Les classifications des systèmes racinaires et des algèbres de Lie simples sont les mêmes: les types classiques
FRn, Bn, Cnet Dn, (n = 1,2,3 ….)
et l'exceptionnel G2, F4, E6, E7et
E8. Types An, Dn, E6,
E7 et E8 s'appelle simplement la ligne.
Les systèmes racinaires simplement lacés ont un lien avec les
formes géométriques.
Il y a exactement 5 solides platoniques: le tétraèdre, le cube,
octaèdres, dodécaèdre et graines d'écho.
Ces solides ont des groupes de symétrie fascinants.
Le cube et l'octaèdre sont "doubles" l'un de l'autre, c'est pareil
icosaèdre et dodécèdre. Deux solides ont la même symétrie
groupe, donc il y a trois groupes de symétrie ici: le tétraèdre, le cube
et l'icoshèdre. Le groupe symétrique pour l'icosaèdre est le plus
intéressant: c'est le dernier groupe simple A5
sur commande 60.
Les groupes T (les symétries du tétraèdre), C (les symétries du cube)
et I (symétries de l'icosaèdre) sont des sous-groupes de
groupe de rotations de l'espace tridimensionnel, connu sous le nom de SO (3). cette
Le groupe couché est le groupe de symétrie dans la sphère. Il y en a deux autres
familles infinies de sous-ensembles finis de SO (3).
Le groupe cyclique d'ordre n est le groupe de symétrie d'un n-gon commun
dans l'avion. Si nous permettons des symétries dans 3 espaces, nous obtenons
groupe dièdre d'ordre 2n.
Cela donne tous les sous-ensembles finaux de SO (3): Cn,
rén, T,
C et I.
Voir le magnifique livre classique d'Hermann Weyl
symétrie.
Il existe une coïncidence remarquable entre les sous-groupes de la
SO (3) et les systèmes racinaires simples:
| groupe | système racinaire |
| Groupe cyclique d'ordres n | FR2n-1 |
| Groupe dièdre sur l'ordre 2n | rén + 2 |
| Groupe de symétrie du tétraèdre | E6 |
| Cube de groupe de symétrie / octaèdre | E7 |
| Groupe de symétrie icosaèdre / dodécaèdre | E8 |
Ce qui est merveilleux, c'est que c'est plus qu'une coïncidence: c'est une
connexion profonde entre les entrées de chaque ligne. Cela a été observé par
John McKay et a appelé
Correspondance McKay.
Pourquoi juste une poignée d'exceptions?
Il peut sembler curieux qu'il n'y en ait que quelques exceptionnels
Groupes couché. Mais il y a d'autres exemples de mathématiques
objets avec des propriétés spéciales, où seul un petit nombre
Des opportunités se présentent réellement. Un exemple est le platonicien
solides. Un autre exemple est les structures algébriques qui
généraliser les nombres réels.
L'algèbre de Lie exceptionnelle se produit en conjonction avec
les algèbres de composition. Il y a quatre compositions
algèbres contenant les nombres réels.
- La première composition est les vrais nombres
R. Il s'agit d'un champ ordonné. - Ajouter le nombre complexe Je = √-1 pour faire des nombres complexes
C. Il s'agit d'une algèbre bidimensionnelle. C'est un champ,
mais pas commandé. - Faites ensuite les quatuors toniques du hameau H en ajoutant j, qui
satisfait les fameuses questions
ij = -ji, Je2 = j2 = -1. C'est quadridimensionnel.
C'est une algèbre divisionnaire, mais pas commutative.
Remarque: ij est généralement désigné ket les propriétés de k
peut être soustrait des propriétés de Je et j. - Enfin, les octonions O sont en huit dimensions.
Il s'agit d'une algèbre non associative.
Ces algèbres donnent naissance aux exceptionnelles algèbres de Lie. Par exemple
sol2 est le groupe auteur des octonions. L'autre
algèbres de Lie exceptionnelles
fa4, E7, E8 et E8 est
extraites de ces algèbres de composition via "la magie de Freudenthal
carré. "Voir l'article de John Baez dans le Bulletin of the American
Mathematical Society 2002 pour une belle exposition sur ce sujet.
principal E8 côté
En observant les relations entre les robustes de Platon, nous pouvons remarquer que l’icosaèdre est l’inverse précis du dodécaèdre. C’est-à-dire, si vous connectez les échelons centraux des douze pentagones qui forment le composant éthérique, vous aurez créé les 12 coins de l’icosaèdre aqueux. nC’est intrigant parce que ce que nous avons pu observer jusqu’à présent de l’éther indique qu’il se comporte effectivement comme un fluide. Certes, la mesure et l’observation de l’éther s’est avérée assez compliqué jusqu’à présent, à cause de son omniprésence. Comment mesurer quelque chose dont on ne peut s’échapper ? Et si nous ne pouvons pas le mesurer, comment pouvons-nous être sûrs qu’il existe ? nNous avons peu de mal à mesurer les autres composants : la masse cinétique de la terre ; les contre sens chimiques rendues solubles par l’eau ; la chaleur rayonnante du feu ; les volts du vent électrique. Celles-ci s’observent plutôt facilement, ‘ continuellement ouvertes à notre regard ‘ comme elles le font. Mais l’éther super délicat échappe à une détection facile. ‘ n











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