Résumé.
Cet article traite des solides / polytopes platoniques dans le véritable espace euclidien de dimension <span class = "mjx-math" aria-label = "3 leq n
Notre méthode consiste à décorer de manière récursive le diagramme de Coxeter-Dynkin approprié. Chaque étape de récursivité fournit des informations importantes sur les visages ayant une dimension spécifique. Si toutes les faces à chaque étape de la récursivité se trouvent sur la même orbite du groupe de Coxeter, c'est-à-dire identique, le solide est appelé platonique.
1. introduction
Les solides platoniques sont ici compris comme le sous-ensemble des polytopes dont les sommets sont générés, à partir d’un seul point de , , de l'action d'un groupe limité de Coxeter. Les polytopes platoniques se distinguent par leurs faces de toute dimension sont des solides platoniques de dimension inférieure et qu’ils sont transformés entre eux par l’action du groupe de Coxeter, c’est-à-dire qu’ils appartiennent à une voie du groupe de Coxeter correspondant.
On sait depuis l'Antiquité qu'il contient cinq solides platoniciens (4)à savoir le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, l’icosaèdre et le dodécèdre habituels (voir fig. 1). Les groupes de Coxeter sous-jacents sont , , et . Ce sont les cas de faible dimension que nous considérons en utilisant notre méthode.
Les systèmes racinaires des groupes de Coxeter finaux de tous types (5) laissez l’on étendre la méthode à des dimensions plus grandes. à , une classification des solides platoniques a été faite il y a plus de cent ans par Schläfi (1. 3). Dans ce cas, les groupes de Coxeter , , , et . On sait aussi que dans chaque dimension , il n’ya que trois solides de ce type générés par des groupes de types , et à savoir simplex, hypercube et polytope croisé. Ils correspondent aux tétraèdres, cubes et octaèdres habituels dans un espace tridimensionnel.
Pour chaque solide platonique, il y a le double, qui est aussi un solide platonique. Nous décrivons les deux membres de chaque double paire. à , la double paire se compose de deux solides identiques orientés différemment dans l’espace. Les solides platoniques de et forme la double paire. à , et , les deux paires sont formées de solides différents.
Dans cet article, nous obtenons ces résultats de manière assez simple, en utilisant des règles de décoration élémentaires pour les diagrammes Coxeter-Dynkin connectés correspondants. (2). Nous proposons également une méthode constructive pour la construction de faces de dimensions . Bien que nous nous concentrions sur les dimensions , il est également utile de considérer Les solides platoniques parce qu'ils apparaissent comme des surfaces bidimensionnelles de polytopes de dimensions supérieures.
L'idée générale de la méthode de décoration graphique (2) est à considérer le groupe Coxeter de l'algèbre de Lie simple , c’est-à-dire le groupe de symétrie d’un solide donné, et d’identifier le sous-groupe qui stabilise le visage donné point par point et le sous-groupe , qui est le groupe symétrique sur le visage . Alors on l'a
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Depuis les deux et est généré par des réflexions définies par certaines des racines simples de , il est possible, pratiquement, de distinguer par de simples décors les racines simples du diagramme de Coxeter-Dynkin qui définit les réflexions qui génèrent les deux sous-groupes. Les diagrammes décorés permettent d’identifier tous les polytopes appartenant à des trajectoires différentes dans les groupes de Coxeter correspondants et de compter combien de fois chaque face apparaît sur le polytope.
Les nœuds du diagramme de Coxeter-Dynkin sont ornés de l’un des trois symboles, , , , selon les règles des sous-sections 2.2.
Les cartes décorées de Coxeter-Dynkin sont une méthode puissante d'une grande généralité (10), qui peut être utilisé pour résoudre d’autres problèmes, mais reste pour le moment sous-utilisé. en (11), la méthode a été utilisée pour décrire les cellules de Voronoi et Delone dans les grilles racinaires de toutes les algèbres de Lie simples . Il doit encore être utilisé pour décrire les cellules de Voronoi et Delone dans les grilles de poids (3), ainsi que pour d'autres problèmes (6, 9) …
Dans cet article, nous utilisons une version (2) de la méthode de description des solides platoniciens avec toutes les faces. En dimension 4, des résultats équivalents peuvent être trouvés parmi les entrées du tableau 3 de (2).
Les règles de décoration sont récursives. À partir d'un panier de semences, qui fournit des informations sur les sommets du polytope, la procédure consiste à modifier la décoration étape par étape. À chaque étape, la décoration modifiée donne des informations sur les faces de la dimension supérieure de 1. Les règles de décoration sont assez générales et sont particulièrement simples lorsqu'elles sont utilisées sur des polytopes platoniques. Le même ensemble de décorations s'applique aux graphiques de Coxeter-Dynkin comportant le même nombre de nœuds.
Étant donné que les liens entre les nœuds du diagramme n’affectent pas les règles de décoration, il n’est pas nécessaire d’établir des liens. Ce n'est que lorsque vous travaillez avec un groupe de réflexion spécifique que le diagramme décoré avec tous les liens supprimés est visible sur le diagramme de Coxeter-Dynkin approprié.
Nombre général de copies du visage , contenu dans un polytop donné, est égal au rapport des ordres des groupes de Coxeter (2),
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où est l'ordre du groupe de réflexion correspondant. sous-groupes et lire comme des sous-diagrammes du diagramme de Coxeter-Dynkin de . Leurs nœuds sont identifiés par une décoration appropriée pour à savoir pour des générations de réflexions et à .
Le groupe symétrique à l'intersection de deux faces, disons et de dimensions et respectivement est le groupe de réflexion générée par des reflets décorés par des losanges noirs et affichée dans le diagramme des deux faces. Voir l'exemple de motivation 3.1.
Ou, pour répondre à l'inverse de cette question: Donne un visage, disons , d'un polytop, combien de faces d'une dimension supérieure, <span class = "mjx-math" aria-label = "k
4. Commentaires de clôture
Une décoration de graine est souvent utilisée sur plusieurs cartes de Coxeter. Voir un exemple dans 3.2. Il en va de même pour les décorations récursives qui découlent de la graine. Par conséquent, l'ensemble de ces décorations peut être considéré comme un "polytop générique" applicable à tous les groupes de Coxeter avec la même connexion aux diagrammes de Coxeter-Dynkin. Peut-on apprendre quelque chose du jeu générique de décorations?
Dans cet article, nous nous sommes concentrés sur les groupes de Coxeter dont les graphiques sont liés. En règle générale, les règles de décoration peuvent être utilisées pour les polytopes d’algèbres de Lie qui sont à moitié simples mais qui ne le sont pas. Par exemple, les diagrammes de Coxeter-Dynkin sont déconnectés. Dans ce cas, chaque composant connecté doit avoir son propre point d’ensemencement, spécifié dans la décoration initiale. Par conséquent, il existe plusieurs trajectoires d'arêtes et ces polytopes ne sont donc jamais platoniques.
en (2), les auteurs ont considéré les polytopes semi-réguliers en 3 et 4 dimensions. Il serait intéressant de décrire des polytopes semi-réguliers dans une dimension supérieure.
Au cours des dernières années, il a été prouvé qu'il existait dans des molécules naturelles à symétrie imparfaite (6, 9) de type, pas nécessairement platonique. Ils peuvent être considérés comme symétries divisées en un sous-ensemble.
confirmations
L'auteur souhaite exprimer sa gratitude au Centre de recherches mathématiques de l'Université de Montréal pour l'hospitalité qui lui a été réservée au cours de son stage postdoctoral.
Elle aimerait également remercier le Dr J. Patera pour ses discussions et commentaires stimulants.
Elle est reconnaissante envers le MIND Reseach Institute de Santa Ana, en Californie, envers MITACS et OODA Technologies pour son soutien partiel.
La beauté et l’intérêt des solides de Platon continuent d’inspirer toutes sortes de gens, y compris des guérisseurs intuitifs et des esprits plus logiques. nLes Solides de Platon sont 5 formes polyèdres considérées comme une section cruciale de la Géométrie Sacrée. Ils ont été décrits pour la première fois par l’ancien philosophe Platon, bien qu’il ait été prouvé que les anciens étaient déjà au commun de ces formes spéciales et magiques depuis plus de 1000 ans avant la documentation de Platon. nLes formes qui forment les cinq Solides de Platon atypiques se trouvent naturellement dans la nature, mais aussi dans le monde cristallin. Travailler avec eux séparément est censé nous aider à nous relier à la nature et aux royaumes supérieurs du cosmos, à trouver le standard commun qui nous lie tous au niveau moléculaire et spirituel.




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