Vendredi 6. Mai 2011
Première journée de maths
MacPlatonic Solids
Tony Mann, Université de Greenwich
Lorsque l’idée d’une rencontre sur le thème «Mathématiques anciennes» a été découverte, il y avait un grand enthousiasme, mais il est vite devenu évident que nous avions tous des idées différentes sur les «mathématiques anciennes» à prendre en compte. En fait, avec le premier prix Neumann attribué à Reviel Netz et à William Noel pour leur excellent livre sur Archimedes Codex, et que cette réunion offre une occasion propice à la présentation, j’ai le sentiment que nous avons adopté «Mathématiques anciennes» dans l’esprit. "Musique ancienne", comme couvrir tout ce que les athlètes ressentent, entrent dans cette rubrique. (La dernière pièce que j'ai entendue lors d'un festival de musique ancienne était, écrit-on, écrite "la semaine dernière".)
Aborder l’histoire des mathématiques est difficile parce que les preuves sont souvent incomplètes, parce que la culture est différente de la nôtre et parce que (comme avec la musique ancienne), nous ne pouvons pas aborder le sujet en ignorant les développements survenus depuis cette période. Tous ces problèmes sont encore plus évidents dans les «premières mathématiques».
Le sujet principal de cette conférence est la remarquable pierre sculptée néolithique trouvée dans le nord-est de l’Écosse, datant de 3200 à 2500 ans avant notre ère. Ils ont environ trois pouces de diamètre (remarquablement uniformes à cet égard) et sont découpés avec des motifs et des boutons de formes symétriques. Plus de quatre cents ont été découverts, principalement dans le Aberdeenshire.
Ce qui semble particulièrement excitant pour les mathématiciens à propos de ces boules est la symétrie de sculpture. La majorité a (en termes modernes) la symétrie du cube – les six boutons correspondent aux six côtés d’un cube. Certains ont une symétrie tétraédrique et des exemples de symétrie octaédrique, écho cathédrale et cathédrale ont été trouvés.
Les solides dits platoniques sont les cinq polyédrales convexes communes – le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre. L'historien Proclus a attribué cette découverte à Pythagore au cours du Ve siècle après Jésus-Christ, mais d'autres ont loué le théatète moderne de Platon, qui a décrit les cinq hommes et prouvé que personne d'autre n'existe. Ils sont décrits dans le Timée de Platon (vers 360 av. J.-C.), où ils sont mis en correspondance avec les quatre éléments.
On peut en conclure que les anciens peuples qui ont fabriqué les objets trouvés en Écosse connaissaient les cinq solides platoniques communs. Les balles peuvent convenir à chacune des cinq; ainsi, MacPlato connaissait probablement les cinq formes communes plus de deux mille ans avant Platon. Et comme aucun solide platonique ordinaire autre que ces cinq n'a encore été découvert, il semble raisonnable de supposer que MacPlato savait qu'il n'y en avait pas d'autres.
Il était évident que MacPlato s'intéressait à la symétrie. Le mathématicien moderne étudie la symétrie à travers la théorie des groupes. On peut donc se demander à quel point MacPlato a progressé dans ce domaine de l’algèbre abstraite. Il a dû s'intéresser à la classification parce qu'ils classaient les solides platoniques, mais rien ne prouve qu'ils s'attendent à des théoriciens des groupes du XXe siècle lorsqu'ils examinent des groupes simples, occasionnels et occasionnels.
Eh bien, le dernier bit est clairement ridicule. Quand un mathématicien du vingtième siècle voit un objet symétrique, il pense naturellement à la théorie des groupes. Mais même si nous ne savons pas comment MacPlato a pensé à la symétrie de ses objets, il semble peu probable qu'une approche de groupe théorique soit impliquée.
Et de la même manière, nous ne pouvons pas savoir ce que MacPlato savait sur ce que nous appelons maintenant les solides platoniques. Toutes les billes n’ont pas des symétries de polyèdres platoniques ordinaires. Certains ont cinq, sept ou neuf boutons; certains en ont beaucoup plus (on en trouve avec 160 boutons).
Quel était leur but? Des modèles mathématiques illustrant la symétrie des polyèdres ordinaires? Eh bien, cela semble juste un peu moins plausible que certaines des autres théories! Ces objets n'ont pas été trouvés dans les tombes, ce qui indique qu'ils ne sont pas des effets personnels. S'agissait-il d'armes, comme des bolas, avec des ficelles en cuir nouées autour des boutons? Avaient-ils des caractéristiques comme des poids ou des objectifs? Ont-ils été utilisés dans les premiers jeux de ballon? Auraient-ils pu être utilisés comme rouleaux pour transporter de grosses pierres? S'agissait-il de "pierres coulantes" pour les filets de pêche? Passé autour d'une réunion pour indiquer "le droit de parler"? Ou jeté pour voir par quel chemin ils ont atterri, comme des oracles? (Des cubes icosaédriques d'Egypte, de l'époque hellénistique ou du début de l'époque romaine, sont actuellement exposés à l'Institut Barber dans une exposition d'objets de la collection Myers.)
J'ai une note personnelle à ajouter. Il y a quelques années, ces éléments ont été mentionnés dans la liste de courrier électronique histoire-maths histoire (malheureusement abandonnée). Le Musée national d'Écosse vend une carte postale montrant une partie de sa collection de balles et j'ai proposé d'envoyer des copies à la liste des membres intéressés. Quand je suis allé au musée pour acheter une réserve de cartes, j'ai trouvé à côté d'eux une carte postale montrant des bols de tapis du XIXe siècle décorés de motifs très similaires. Donc, mon hypothèse est qu'il s'agissait de cuvettes à tapis néolithiques. Comme je ne suis pas au courant que des scientifiques précédents ont même compris que ces personnes avaient des couvertures, cela ouvre une toute nouvelle image de la vie dans l'Écosse néolithique!
Et ces objets mystérieux et évocateurs continuent à inspirer. Pour un exemple très tardif du XXe siècle, dirigez-vous vers le centre de conférence international d'Édimbourg, en face du Usher Hall, où vous trouverez une installation sculpturale "First Conundrum" (2000) de Remco de Fouw, composée de boules polyédriques inspirées de ces exemples néolithiques. . Et d'autres échos se retrouvent chez des artistes tels que Peter Randall-Page.
Les haches à main paléolithiques que l'on trouve en grand nombre en Europe, en Afrique et en Asie du Nord constituent une autre classe intéressante d'art préhistorique. Ce sont des objets tranchants faits de boutons qui tiennent confortablement dans une main. Là encore, leur utilisation est incertaine. Il semble probable qu'ils aient été utilisés dans des abattoirs, et des expériences ont montré qu'ils fonctionnaient bien pour ce dernier, notamment pour permettre l'accès à la moelle osseuse. Il existe une autre hypothèse selon laquelle il s'agissait de "frisbees tueuses".
Cependant, parmi les nombreuses haches à main trouvées, très peu montrent des signes d'utilisation. Selon une autre théorie, il s’agissait d’objets conçus par des hommes pour impressionner les femmes: la capacité de créer une sorcière efficace et symétrique montrait les compétences pratiques que les femmes recherchaient chez un ami, et le grand nombre de vêtements de première main que l’on peut voir se voit. soutien à cette hypothèse (si vous vouliez impressionner une femme du Paléolithique, vous deviez fabriquer la hache à main en sa présence, pour montrer que vous n'aviez pas ramassé celle fabriquée par quelqu'un d'autre).
Une caractéristique particulière de ces axes de main, cependant, est qu’ils agissent comme des hochets – des objets étranges qui, équilibrés au niveau du pivot, ont un sens de rotation préféré. Si vous les tournez dans la mauvaise direction, ils finiront par tourner dans l'autre sens, ce qui est en contradiction apparente avec la loi de la conservation du moment cinétique.
Rattlebacks sont également connus sous le nom de Celtes, ce qui est un autre nom pour une hache à main:
Voir les mystérieux Celtes,
avec une propriété qui est amusant.
Une façon il va tourner,
l'autre manière le refuse.
Ces objets fascinent les mathématiciens, qui n’ont que récemment compris la dynamique du hochet (articles publiés dans les années 1980 par Sir Hermann Bondi de Cambridge et Mont Hubbard de l’Université de Californie).
Cette propriété était-elle intéressante pour les fabricants d'origine d'axes à main? Étaient-ils même au courant? Était-ce peut-être pourquoi ils ont été fabriqués? Existe-t-il des énigmes et des jouets pour les mathématiciens de l'âge de pierre?
Comme nous l’entendons cet après-midi, la science moderne nous a donné un aperçu remarquable d’une autre relique ancienne, le mécanisme d’Anticythère. Il serait bien de penser qu’un jour nous en saurons plus sur ces objets mystérieux. Jusque dans l’improbable événement, même si nous pouvions imaginer une parenté mathématique avec ces anciens producteurs, nous savons que c’est imaginatif. Mais nous pouvons toujours profiter de ces objets, car quiconque connaît le travail de Beethoven et de Schönberg peut toujours profiter de Bach et de Mozart, même sans oreilles originales.
références:
Le site Web des musées nationaux d'Écosse, http://www.nms.ac.uk/, contient des informations et des photos sur la collection de balles sculptées. Pour les poignées, voir Marek Kohn, Ce que nous savons: parler à un esprit développé (Granta, 1999)
au cours de votre trip d’apprentissage des cristaux, vous avez peut-être rencontré des mots et des échanges étranges que vous n’auriez sans doute jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les solides de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta géométrie après le lycée ! Alors, que sont exactement les robustes de Platon ? En matière simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les éléments principaux ( terre, air, feu et eau ) étaient directement liés aux robustes. il y a cinq solides de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à le composant feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à l’élément de l’air. Les icosaèdres ( composés de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à le composant eau. Le dernier et souvent nommé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été appellé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à le composant d’éther. n















