vue d'ensemble
FR solide platonique
est l'un polyèdres convexes lisses. le terme polyèdre signifie qu'il s'agit d'une forme tridimensionnelle à faces planes et à bords droits. le terme convexe signifie qu'aucun des angles internes ne dépasse cent quatre-vingts degrés (180 °). le terme régulièrement signifie que tous les visages sont polygones ordinaires congruentsc'est-à-dire que les côtés de toutes les surfaces ont la même longueur et que les angles intérieurs de toutes les surfaces ont la même taille. Pour être considéré comme l’un des solides platoniques, la forme doit continuer à avoir même nombre de faces réunis à chaque sommet, et dièdre l'angle entre deux faces doit être le même. Il n'y a que cinq solides platoniques au total:
- tétraèdre
- hexaèdre (ou cube)
- octaèdre
- dodécaèdre
- icosaèdre
Les cinq solides platoniques
Les noms des solides platoniques reflètent le nombre de faces de chacun. Le terme de peloton est dérivé du nom du philosophe grec Platon, qui aurait vécu de 423 à 347 av. On sait que Platon a écrit sur les formes que nous connaissons aujourd'hui sous le nom de solides platoniques, mais pas dans un contexte particulièrement mathématique. On pense qu'il s'est associé à quatre d'entre eux (le tétraèdre, cube, octaèdre et icosaèdre) avec les quatre éléments classiques (feu, terre, airet eau). Dans les écrits de Platon, la chaîne de la mort semble être liée à la disposition des constellations – peut-être une référence au signe zodiacal, bien que sa signification exacte ne soit pas entièrement comprise. Un des contemporains de Platon, le mathématicien grec classique Théétète, est crédité pour avoir formulé une description mathématique des cinq solides platoniques. Mathématicien grec Euclide est censé avoir tiré sur le travail de Theaetetus quand il a écrit la description mathématique complète des solides platoniques qui apparaît dans son travail ultérieur, éléments.
Les principales propriétés des solides platoniques sont résumées dans le tableau ci-dessous. Notez que, comme les noms utilisés sur les solides platoniques sont basés sur le nombre de faces de chacune d’elles, ces mêmes noms peuvent être utilisés pour décrire d’autres solides tridimensionnels ayant le même nombre de faces.
| nom | visages | bords | sommets | Dihedralvinkelen | Angle de tête | forme du visage |
|---|---|---|---|---|---|---|
| tétraèdre | 4 | 6 | 4 | 70,53 ° | 60 ° | Triangle équilatéral |
| hexaèdre | 6 | 12 | 8 | 90 ° | 90 ° | carré |
| octaèdre | 8 | 12 | 6 | 109,47 ° | 60 °, 90 ° | Triangle équilatéral |
| dodécaèdre | 12 | 30 | 20 | 116,57 ° | 108 ° | Pentagone ordinaire |
| icosaèdre | 20 | 30 | 12 | 138,19 ° | 60 °, 108 ° | Triangle équilatéral |
En plus des fonctions décrites ci-dessus, la régularité des solides platoniques signifie qu'ils sont tous très symétriques. Pour chaque solide platonique, il est possible de construire un sphère circonscrite ou circonscrite (c.-à-d. une sphère qui entoure complètement le solide platonicien et, comme tout sommets du platonique se trouve à la surface de la sphère), un midsphere (c'est-à-dire une sphère tangente à chaque bords du solide platonique), et un sphère inscrite ou insphere (c’est-à-dire une sphère complètement entourée du solide platonique et tangente à chacun de ses visages). Pour chacun des solides platoniques, ce sont trois sphères concentrique (c'est-à-dire qu'ils ont un centre commun). Les rayons des sphères s'appellent cercle circonscrit, le midradiuset inradius respectivement.
La nature régulière et symétrique d'un solide platonique signifie également qu'il est relativement facile de trouver la surface ou le volume. Cette section contient des pages distinctes qui explorent les propriétés de hexaèdre commun (ou le cube) et tétraèdre (y compris le tétraèdre régulier), y compris des détails sur la façon de calculer la surface et le volume de ces formes. Une description plus détaillée des trois solides platoniques restants, ainsi que des formules permettant de déterminer leurs volumes, leurs surfaces et leurs rayons pour les différentes sphères qui leur sont associées, sont données ci-dessous.
octaèdre
Un octaèdre ordinaire est constitué de huit triangles équilatéraux, quatre de ces triangles se rejoignant à chaque sommet. En fait, c'est le seul solide platonique qui possède un nombre pair de faces qui se rencontrent à un sommet. Différents minéraux se trouvent sous forme de cristaux octaédriques, notamment diamant, alun et fluorine. Il existe également un certain nombre de jeux qui utilisent des dés octaédriques. En fait, les cubes ont été produits sous la forme de tous les solides platoniques à un moment ou à un autre, y compris les cubes de poker octaédriques. Fait intéressant, il y a deux différent angles de sommet (un angle de sommet correspond aux angles entre deux arêtes qui se rejoignent au sommet). À n'importe quel sommet, l'angle entre les arêtes adjacentes soixante degrés (60 °), tandis que l'angle entre les bords opposés est quatre vingt dix degrés (90 °).
L'octaèdre a huit faces triangulaires
Pour un octaèdre avec une longueur d'arête de un, les formules pour trouver le volume et la surface des octahèdes, ainsi que celles pour trouver les rayons de ses circonscrite, midsphere et insphere sont donnés ci-dessous.
| volume = | √2un3 |
| 3 |
Surface = 2√3un2
| Rayon de rayon (rayon ou circonférence) = | √2un |
| 2 |
| Rayon moyen (rayon de la mi-sphère) = | un |
| 2 |
| Inradius (rayon de la sphère) = | √6un |
| 6 |
Dodekededronen
Un dodécaèdre commun se compose de douze pentagones communs, trois pentagones se rencontrant à chaque sommet. Il existe un certain nombre de jeux qui utilisent des dés cathédraux (à douze faces), et certains quasi-cristaux ont une forme de cathédrale. FR quasicristaux est généralement une structure cristalline artificielle, bien que des exemples naturels aient été découverts. Un peu plus intriguant, les cosmologistes français et américains ont suggéré en 2003, sur la base de leur interprétation des diagrammes de rayonnement de fond hyperfréquences, que la taille de l’univers était limitée et sa forme en dodécaèdre.
Le Dodecedron a douze faces pentagonales
Pour une chaîne de la mort avec un bord de longueur de un, les formules pour trouver le volume et la surface du dodécaèdre, ainsi que celles pour trouver les rayons de son circonscrite, midsphere et insphere sont donnés ci-dessous.
| volume = | (15 + 7√5) un3 |
| 4 |
Surface = 3√ (25 + 10√5un2)
| Rayon de rayon (rayon ou circonférence) = | (1 + √5) √3un |
| 4 |
| Rayon moyen (rayon de la mi-sphère) = | (3 + √5) un |
| 4 |
| Inradius (rayon de la sphère) = | |
| 2 |
Ikosahedronen
Un icosaèdre ordinaire comprend vingt triangles de côtés égaux, cinq de ces triangles se rejoignant à chaque sommet. Il y a un certain nombre de jeux qui utilisent des cubes (à vingt côtés) de l'icosaèdre, le plus connu étant probablement le jeu de rôle. Cavernes et dragons, introduit pour la première fois en 1974 et toujours aussi fort (le jeu en est actuellement à sa quatrième version, et plusieurs modifications mineures ont également été apportées). Le jeu utilise, ou a utilisé dans ses différentes incarnations, des cubes ayant la forme de tous les solides platoniciens, ainsi qu’une version à dix faces. Dans le monde naturel, l’icosaèdre est la forme privilégiée par de nombreux virus, dont le fameux herpès virus. L'icosaèdre est le seul solide platonique ayant un angle de dièdre supérieur à cent vingt degrés. Comme l’octaèdre, l’icoshédron a deux différent angles de sommet. À n'importe quel sommet, l'angle entre les arêtes adjacentes soixante degrés (60 °), tandis que l'angle entre les arêtes non adjacentes est cent huit degrés (108 °).
L'Ikosahedron a vingt faces triangulaires
Pour un icosaèdre avec une longueur de bord de un, les formules pour trouver le volume et la surface de l’icosaèdre, ainsi que celles pour trouver les rayons de son circonscrite, midsphere et insphere sont donnés ci-dessous.
| volume = | 5 (3 + √5) un3 |
| 12 |
Surface = 5√3un2
| Rayon de rayon (rayon ou circonférence) = | √ (10 + 2√5) un |
| 4 |
| Rayon moyen (rayon de la sphère centrale) = | (1 + √5) un |
| 4 |
| Inradius (rayon de la sphère) = | √3 (3 + √5) un |
| 12 |
Les anciennes coutumes néolithiques ont gravé des photos des composants de la nature sur des boules de pierre pendant un millier d’années avant qu’elles ne soient renommées sous le nom de solides platoniques. Les philosophes et les mathématiciens grecs ont étudié l’idée des formes primaires. Certains attribuent leurs sources à Pythagore ( 570-495 av. J. -C. ), Empedocle ( 490-430 av. J. -C. ) ou Theaetetus ( 417-369 av. J. -C. ). Platon ( 424-347 av. J. -C. ), un étudiant de Socrate, en a beaucoup parlé dans son dialogue avec Timée. Il les a décrits comme les éléments constituants de la vie représentés par les quatre composants que sont la terre, l’eau, le feu et l’air. Aristote a identifié un cinquième élément qu’il a appelé Aether. Euclide ( 323-283 av. J. -C. ) les réunit, les nomme les Solides de Platon et leur donne des descriptions mathématiques ciblées dans son livre Elements. Ce large corpus de connaissances est passé quasiment sous terre jusqu’à ce que Johannes Kepler ( 1571-1630 ), un astronome allemand, considère la sphère comme un container pour chacun des cinq solides de Platon. Il a aussi essayé de rattacher les solides aux six planètes connues de Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne. En géométrie euclidienne, un solide de Platon est défini comme un polyèdre périodique et convexe, dont les faces sont des polygones constants et congruents, avec le même volume de faces se rencontrant à chaque plus haut qui s’inscrivent dans une sphère. Empedocle voyait la passion comme le pouvoir qui attire ces formes ensemble mais la bataille les sépare. Les composants ont inspiré l’art, la science et la compréhension de la classe de notre monde. n




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