SOLIDES PLATONIQUES
"Ne laissez personne intervenir
de la géométrie dans mes portes. "
Platon (ca. 427 – 347 av. J.-C.)

Diapositive 6-1: Raphaël: École d'Athènes
American Catalgo, page 126, n ° 21061. Fresco, Vatican, Stanza della Signurata,
Bibliothèque privée du pape
Nous avançons depuis 150 ans, toujours en Grèce,
de Pythagore à Platon, même un pythagoricien.
Dans notre dernière unité, nous avons étudié des polygones et j'ai dit que l'un d'entre eux
Ceux-ci, le triangle, étaient considérés par Platon comme la pierre angulaire
univers. Il a présenté l'idée et d'autres sur la création, comme
L’univers est créé pour ressembler à une progression géométrique, dans un
de ses livres, il Timée.
en Timée, nous voulons voir comment Platon décrit comment les triangles
constitue cinq solides, maintenant appelés Solides platoniqueset comment
Ces solides constituent les quatre éléments et le ciel. Nous regardons
polyèdre commun en général, et voyez pourquoi cinq seulement sont possibles.
Enfin, nous voyons comment les solides platoniques ont été utilisés comme motifs d'art
même avant Platon, comment ils ont été utilisés plus tard et comment ils ont servi à associer
ensemble, trois mathématiciens et artistes de la Renaissance, Piero della
Francesca, Luca Pacioli et Leonardo da Vinci.
lecture
projets
Platon
![]() |
Diapositive 6-2: Raphaël: École d'Athènes. section centre |
Profil:
Platon (c.427-347 av. J.-C.) est né à
une famille aristocratique à Athènes. Jeune homme, Platon avait la politique
ambitions, mais il a été déçu par la direction politique
Athènes. Il est finalement devenu un disciple de Socrate et a accepté ses bases
philosophie et style dialectique du débat, la recherche de la vérité par le biais
questions, réponses et autres questions. Platon a été témoin de la mort
de Socrate aux mains de la démocratie athénienne en 399 av. en
Raphael École d'Athènes on voit Socrate exposé, avec une tasse
à proximité.
L'étudiant le plus en vue de Platon était Aristote,
montré ici avec Platon à Raphaels École d'Athènes,
Aristote se serrant contre lui éthique et Platon avec lui Timée.
Académie de Platon
En 387 AEC, Platon a créé une académie
Athènes, souvent décrite comme la première université. Il a donné un
programme complet, y compris l’astronomie, la biologie, les mathématiques,
théorie politique et philosophie.
La dernière année de Platon a été utilisée pour des conférences dans son académie et pour des écrits.
Il mourut à Athènes vers 80 ans, en 348 ou 347.
À travers les portes de son académie se trouvaient les mots

sens, "Ne laissez personne intervenir
de la géométrie dans mes portes. "
Platon sur l'art et la géométrie
Bien que Platon aimait la géométrie, il n'aurait pas été
Bon à enseigner un cours d'art et de géométrie parce qu'il avait un faible niveau
signification de l'art. Il l'a appris, puisque le monde est une copie ou une image de
le réel, alors une œuvre d'art est une copie d'une copie, la troisième à distance de
réalité.
Il écrit dans sa République (p. 603),
"… peinture (et) … tout l'art de l'imitation concerne une œuvre qui est
loin de la vérité; … et est sa maîtresse et amie pour pas en bonne santé ou
vrai but. … c'est l'amant sans valeur d'un ami sans valeur, et
parent d'une progéniture sans valeur. "
Mais sur la géométrie, il a écrit dans sa république (p. 527),
"(La géométrie est). . . poursuivi pour la connaissance de la connaissance
ce qui existe pour toujours, et non ce qui vient un moment d'existence,
et puis les cochons, …
(il) doit tirer l'âme de la vérité et se terminer
à l'esprit philosophique. "
Timée
Platon a laissé de nombreux écrits.
Nous avons mentionné son république dans notre unité sur le symbolisme des nombres où
il a donné les quatre vertus cardinales, mais son amour de la géométrie est spécial
clair dans Timée.
Écrit vers la fin de Platon
la vie, vers 355 AEC, le Timée décrit une conversation entre
Socrate, professeur de Platon, critiques, grand-père de Platon,
Hermocrates, homme d'État et soldat sicilien, et Timée, pythagoricien,
philosophe, scientifique, général, moderne de Platon et l'inventeur
de la poulie. Il fut le premier à distinguer entre harmonique,
progressions arithmétiques et géométriques.
Dans ce livre, Timaeus fait le plus
parler avec un grand hommage à Pythagore et faire écho harmonie de
sphères, qu'il décrit la création géométrique de
monde.
Musique par les balles
Platon, par Timaeus, dit que le créateur l'âme du monde
à partir de différents ingrédients et façonné dans une longue bande.
La bande a ensuite été marquée à intervalles.
| Tout d'abord (le créateur) a pris une partie de l'ensemble | (1 unité) |
| et la prochaine partie double la première | (2 unités) |
| une troisième moitié moins que l'autre | (3 unités) |
| la quatrième partie double de l'autre | (4 unités) |
| le cinquième trois fois le troisième | (9 unités) |
| le sixième huit fois le premier | (8 unités) |
| et le septième 27 ème le premier | (27 unités) |
Ils donnent les sept entiers; 1, 2, 3, 4, 8, 9, 27.
Ceux-ci contiennent la monade, la source de tous les nombres,
les premiers lisses et les premiers étranges, ainsi que leurs carrés et leurs cubes.
Platon lambda
![]() |
Diapositive 8-72: L'arithmétique personnifiée en tant que femme
Lawlor, Robert. Géométrie sacrée NY: Thames & Hudson, 1982. 7. |
Ces sept numéros peuvent être arrangés
comme deux progressions
Monade 1 point
Première ligne lisse et étrange 2 3
Squares 4 9 Fly
Cubes 8 27 solide
Ceci s'appelle Platons Lambdacar il a la forme de la lettre grecque lambda.
Les divisions de l'âme du monde
comme intervalles musicaux
Si cela s'applique à la musique, si nous commençons
à faible C et hors de ces intervalles, nous obtenons 4 octaves plus un sixième. la
ne ressemble pas encore à une gamme musicale. Mais Platon continue à Remplir
chaque intervalle avec un agent arithmétique et un agent harmonique. prise
Le premier intervalle, de 1 à 2, par exemple,
Arithmétique signifie =
(1 + 2) / 2 = 02/03
ils Moyens harmoniques
de deux nombres, il est réciproque de la moyenne arithmétique de leurs inverses.
Pour 1 et 2, les inverses sont 1 et 1/2,
dont la moyenne arithmétique est 1+ 1/2 ÷ 2 ou 3/4. Et ainsi
Harmonique signifie = 4/3
Ainsi nous obtenons quatrième ou 4/3,
et cinquième ou 3/2, ont bien trouvé les mêmes intervalles chez les Pythagoriciens.
De plus, les quatre premiers chiffres sont composés de 1, 2, 3, 4 de
tétractys.
Combler les trous
Il a pris l'intervalle entre le quatrième et le
le cinquième comme un ton plein. C'est
3/2 ÷ 4/3 = 3/2 x 3/4 =
9/8
Platon a alors rempli son créateur
échelle avec intervalles de 9/8, ton. Cela laisse des intervalles de
256/243 en tant que reste, comme les demi-teintes.
Platon a donc construit la balance de
calculs arithmétiques seulset non pas en expérimentant
avec des cordes tendues pour trouver ce qui sonnait le mieux, comme le firent les pythagore.
projet: Répéter Platon
calculs et voir si vous obtenez vraiment une échelle musicale.
Former des cercles célestes
Après avoir marqué la bande dans ces
intervalles, le créateur le coupe ensuite longitudinalement en deux bandes
placés à un angle les uns des autres et façonnés en cercles. ces
correspond à l'équateur céleste et l'écliptique, le début d'un
sphère armillaire.
![]() |
Diapositive 10-121: Sphère armillaire
Turner, Gérard. Instruments scientifiques antiques. Dorset: Blandford, 1980. page 61 |
Rappelez-vous notre citation de Platon
république, où, dans Mon mythe il a écrit,
". . . Sur chacun de ses cercles
se tenait une sirène emportée par ses mouvements, épuisée
Concord d'une seule échelle. " (République p. 354)
C'est l'origine de l'expression,
Musique par les balles.
les éléments
L'idée que toutes les choses sont
composé de quatre éléments principaux:
sol, air, feu et eau, attribué
Empédocle (environ 493-433 avant notre ère), philosophe grec,
Homme d'État et poète. Il est né à Agrigentum (maintenant Agrigente),
Sicile, et était un disciple de Pythagore et de Parménide.
Rappelez-vous les forces opposées, Yin
et Yang, homme et femme, dont les interactions ont tout créé
univers? Empedocles croyait que des forces actives et opposées, de l'amour et
la haine, ou l'affinité et l'antipathie, agissent sur ces éléments, combinent et
Séparez-les en formes infiniment variées.
Il a également estimé que pas de changement
Il est possible d'entrer dans un nouveau traitement de cas. juste des changements dans
Des combinaisons des quatre éléments existants peuvent se produire.
Empédocle est décédé environ 6 ans auparavant
Platon est né.
L'univers géométrique
progression
Platon déduit
La nécessité des quatre éléments. Timée, 31B-32C
1. Il faut d’abord avoir un feu, faire
Le monde visible et la terre pour le rendre résistant au toucher.
Ce sont les deux extrême éléments, le feu appartenant au ciel et
sol à sol. Il écrit,
. . . Il faut que
la nature doit être visible et tangible …
et rien ne peut être visible sans feu ni matériau sans terre …
2. Mais deux ne peuvent pas rester ensemble
sans tiers comme un lien. (comme colle)
. . . Mais il est impossible que deux choses se rassemblent sans l'intervention d'une troisième …
3. Et le lien le plus parfait est la proportion géométrique cohérente.
… (et) La plus belle analogie est quand dans
trois chiffres,
le milieu est au dernier comme le premier au milieu,. . .
ils deviennent identiques les uns aux autres.
4. Mais les corps les plus importants
sont des solides et doivent être représentés par des nombres fixes (cubes).
Lier deux numéros de vol (carrés) est un moyen suffisant
mais pour connecter deux numéros fixes, Deux manières sont nécessaires.
Mais si l'univers allait
N'ayant pas de profondeur, un support suffirait à lier toute la nature
contient. Mais . . Le monde devrait être solide, et les solides ne sont jamais
harmonisé par un, mais toujours avec deux médias.
Par conséquent, la divinité a mis l'eau et
air au milieu du feu et de la terre, les produit dans le même rapport
l'un à l'autre; ainsi l'a fait Le feu peut être à l'air quand l'air va à l'eau
et que l'eau est au sol.
Ainsi, le rapport est constant entre
éléments successifs, qui donnent une progression géométrique.
Les solides platoniques
Les solides platoniques appartiennent au groupe des
figures géométriques appelées polyèdres.
FR polyèdre est l'un
rigidement limité par des polygones plans. Les polygones s'appellent
visages; ils traversent bords, il
les points où trois arêtes ou plus sont croisées sont appelés
sommets.
FR régulièrement polyèdre est celui dont les faces sont identiques
Polygones communs. Seulement cinq solides solides sont possibles
octaèdre cube tétraèdre
dodécaèdre d'icosaèdre
Ceux-ci sont connus pour être les solides platoniques
Les éléments attachés à
les solides platoniques
Platon relie quatre des Platonique fixe avec les quatre éléments.
Il écrit,
Nous devons continuer à distribuer
les nombres (solides) que nous venons de décrire entre feu, sol,
l'eau et l'air. . .
Attribuons le cube au sol, car c’est le plus
immobile des quatre corps et le plus durable de forme
le moins mobile du reste
figures (icosaèdre) pour l'eau
le plus mobile (tétraèdre)
se faire virer
produit intermédiaire (octaédrique)
à l'air
Notez que la terre est connectée aux dés,
avec ses six faces carrées. Ceci a apporté un support au terme quatuor
de la terre.
Kosmos
Mais c'est cinq régulièrement
polyèdre et seulement quatre éléments. Platon écrit:
"C'était encore un cinquième
la construction, que le dieu a utilisé pour broder les constellations
sur tout le ciel. "
La déclaration de Platon est vague,
et il ne donne aucune autre explication. Les philosophes grecs ultérieurs assignent
Dodécaèdre pour l'éther ou le ciel ou le cosmos.
Le dodécaèdre a 12 faces et ressort
Le symbolisme numérique relie 12 avec le zodiaque.
Cela peut être le sens de Platon quand il écrit « broderie
les constellations " sur le dodécaèdre.
Notez que les 12 faces du dodécaèdre sont des pentagones. commémorer
ce pentagone contient rapport d'or.
Cela a peut-être quelque chose à voir avec la comparaison de cette figure avec le cosmos.
Autres polyèdres
Les solides armés

Diapositive 6-4: Solides archimédiens
Wenniger, Magnus J. Modèles en polyèdre pour la classe. NCTM 1966, page 7
D'autres ensembles de solides peuvent être
obtenu à partir de solides platoniques. Nous pouvons obtenir un jeu en coupant
coins de solides platoniques et peu tronqué polyèdres.
Ils ne sont plus communs; ils
s'appelle demi -regelmessig; Toutes les faces sont des polygones réguliers, cependant
Il y a plus d'un polygone dans un solide particulier et dans tous les coins
sont identiques.
On les appelle aussi
Solides d'Archimède, nommé d'après Archimède, (287-212), le grec
mathématicien vivant à Syracuse dans le coin inférieur droit de
Sicilia.
Mini-projet:
Faire des solides armés.
Polyèdres étoiles

Diapositive 6-5: Les quatre solides de Kepler-Poinsot
Wenniger, Magnus J. Modèles en polyèdre pour la classe. NCTM 1966, page 11

Diapositive 6-6: Gravure Harmonices Mundi1619.
Seau, Michele, Ed. L'esprit visuel: art et mathématiques. Cambridge: MIT
Press, 1993. 218
L'autre moyen évident d'en obtenir un autre
Ensemble de solides est d'étendre les faces de chacun pour former une étoile,
Donne-le soi-disant Polyèdres en étoile.
Polyèdre à deux étoiles a été découvert
par Poinsot en 1809. Les autres ont été découverts environ 200 ans avant
celle de Johannes Kepler (1571-1630), l'astronome allemand et naturel
le philosophe a noté pour formuler les trois lois du mouvement planétaire,
maintenant connu comme lois de Kepler, y compris la loi des corps célestes
chemins elliptiques et non circulaires.
Mini-projet:
Fabrique du polyèdre en étoile.
Polyèdres dans l'art et l'architecture
polyèdres
y a rien de nouveau
Polyhedra a servi de
motifs d'art de la préhistoire à nos jours.
![]() |
Diapositive 6-7: Les pyramides
Tompkins, Peter. Secrets de la grande pyramide. NOUVEAU: Harper, 1971. Couverture |
Les Egyptiens bien sur
connaissait le tétraèdre, mais aussi l'octaèdre et le cube.
Et c'est des dés icosaédriques
de la dynastie ptolomique du British Museum, Londres.
![]() |
Diapositive 6-8: Dodécaèdre étrusque
Seau, Michele, Ed. L'esprit visuel: art et mathématiques. Cambridge: MIT |
Des solides néolithiques ont été trouvés
en Écosse, et des fouilles près de Padoue ont permis de découvrir un étrusque
dodécaèdre, environ 500 fvm, probablement utilisé comme jouet.
Kepler
![]() |
Diapositive 3 à 6: Le modèle de l'univers de Kepler
Lawlor, page 106 |
En 1596, Kepler a publié une chaîne
appelé Le mystère cosmique où il prévoyait l'univers
consistant en solides platoniques imbriqués comportant des sphères inscrites
Déterminer les orbites de la planète, toutes enfermées dans une sphère
représentant le ciel extérieur. Bien sûr, ses observations ne correspondaient pas
ce schéma. Nous retrouvons Kepler dans notre unité céleste
Les thèmes de l'art.
Polyèdres et plagiat
à la Renaissance
![]() |
Diapositive 14-10: JACOPO DE BARBERI: Luca Pacioli, 1499 environ |
Cette photo montre Fra Luca
Pacioli et son élève, Guidobaldo, duc d'Urbino. En haut à gauche
est un cuboctaèdre losange, et sur la table est un dodécaèdre au-dessus de
une copie de Euclid Éléments.
![]() |
Diapositive 15-11: Illustrations de Leonardo pour Lucas Book.
Puis Divina Proportione |
Luca Pacioli a écrit un livre intitulé
Puis Divina Proportione (1509) qui contenait une section sur
Les solides platoniques et autres solides, qui ont 60 plaques de solides sans
autre que son élève Léonard de Vinci. Nous racontons toute l'histoire
comment ce matériel a été volé à Piero della Francesca, professeur de Lucas
dans notre unité sur Polyèdres et plagiat dans
Renaissance.
Solides platoniques tels que
Motifs artistiques
![]() |
Diapositive 6-12: UCELLO: Mosaïque de la cathédrale Saint-Marc, Venise,1425-1430 assiette J2 Seau, Michele, Ed. L'esprit visuel: art et mathématiques. Cambridge: MIT |
![]() |
Diapositive 16-08: DURER: Melancolia I, 1514 citation |
Albrech Durer (1471-1528) en avait un
grand intérêt pour la géométrie, que nous voyons dans une unité ultérieure. Ce fameux
La gravure montre un polyèdre irrégulier, ainsi qu’une sphère, une magie
carré et compas. Les personnes qui ont analysé ce polyèdre ont
décidé qu'il y avait en fait un cube avec des coins opposés coupés.
![]() |
Diapositive 6-13: NEUFCHATEL, Nicolaus: Photo de John Neudorfer et de son fils,1561. Kemp, Martin. Leonardo sur la peinture. New Haven: Yale U. Press, 1989, page 63. |
![]() |
Diapositive 6-14: Lion doré vu de l'avant Porte de la pureté céleste, Gros plan du ballon La Cité Interdite, Beijing. De la dynastie Qing (1736-1796) |
Cette balle a des hexagones pointus
avec des pentagones.
Les polyèdres dans l'art dans
le vingtième siècle
|
Diapositives 6-15, 6-16, 6-17: Les oeuvres de Giacometti Hohl, Reinhold. Alberto Giacometti. NY: Abrams, 1972. |
Artiste suisse Alberto Giacometti
(1901-1966) a souvent inclus le polyèdre dans son ancien surréalisme
fonctionne comme ces deux dessins et une sculpture.
![]() |
Diapositive 21-5: Escher:étoiles 1948 (# 123) |
Nous parlons de M.C. Escher
(1902-1972) en détail quand nous arrivons au 20ème siècle mais ne laissons que
regardez sa gravure de 1948, Étoiles. Notez la similitude entre
ce polyèdre et les illustrations de Leonardo pour Pacioli
livre.
![]() |
Diapositive 21-06: Escher Considérez son ensemble imbriqué de solides platoniques citation |
Escher fait un ensemble de niché
Solides platoniques. Quand il a déménagé dans un nouveau studio, il en a perdu la majeure partie
Ses biens, cependant, ont pris son modèle bien-aimé.
Autres artistes du 20ème siècle
Le polyèdre comprend Harriet Brisson, Paul Calter et Lucio
Saffaro.
![]() |
Diapositive 6-18:plafonnés Octaèdres, rhombidodécaèdres et cubes proches du paquet. Plexiglas, tube en aluminium et cordon en nylon, 1976 Seau, Michele, Ed. L'esprit visuel: |
|
Diapositives 6-19, 6-20, 6-21: Solides platoniques
Calter s Cercle des sorciers |
![]() |
Diapositive 6-22: LUCIO SAFFARO: Formes platoniques. Infographie, 1989. Seau, Michele, Ed. L'esprit visuel: art et mathématiques. Cambridge: MIT |
projet:
Faire une oeuvre d'art avec polyèdre.
résumé
Nous avons donc vu l'origine
Platonic Solids, commençant même avant Plato, a le short track
L'influence du polygone dans l'art jusqu'à aujourd'hui.
Nous avons également eu un premier regard sur quelqu'un
sujets que nous examinons plus tard.
Pour les sujets mathématiques, nous avons
Bref aperçu des séquences et des séries et de la géométrie de
polyèdres.
Lecture Affectation:
Platon, Timée,
votre choix dans votre lecteur.Emmer, L'esprit visuel,
de votre lecteurCalter, sélection de
Mathématiques techniques avec calcul, Donne lePlus de références
de votre bibliographie:Wenninger Pedoe Kappraf Irma Richter Lawlor Euclid
Ivins Newman, Ghyka Wittkower Critchlow
Projet: Répéter les calculs de Platon et voir si vous en avez réellement un
échelle musicale.Faire des solides armés
Fabrique du polyèdre en étoile.
Faire une oeuvre d'art avec polyèdre

suivant -> |
© Paul Calter, 1998. Tous droits réservés. Collège Dartmouth
Les robustes de Platon sont des formes qui font partie de la forme sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées sur la planète entier plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. nIls sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du nombre de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. nLes quatre premières formes correspondent aux éléments : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.




































