Polyèdre à 12 faces, aka dodeckaheda
En géométrie, un dodécaèdre (grec δωδεκάεδρονde δώδεκα Dodeka "douze" + ἕδρα Hedra "base", "siège" ou "face" est un polyèdre à douze surfaces planes. Le dodécaèdre le plus connu est le dodécahène commun, qui est un solide platonique. Il existe également trois dodécaèdres étoiles communs, qui sont construits comme des stellations de la forme convexe. Tous ces éléments ont une symétrie icosaédrique, ordre 120.
Le pyritohèdre, forme cristalline commune de la pyrite, est un dodécaèdre pentagonal irrégulier, qui présente la même topologie que la symétrie commune mais pyritohédrique, tandis que le tétartoïde présente une symétrie tétraédrique. Le dodécaèdre rhombique, en tant que cas limite du pyritohèdre, présente une symétrie octaédrique. Le dodécaèdre allongé et le dodécaèdre rhombique trapézoïdal, ainsi que le dodécaèdre rhombique, constituent des obturations spatiales. Il existe un grand nombre d'autres dodécaèdres.
Dodécaèdres communs(éditer)
Le dodécaèdre commun convexe est l’un des cinq solides platoniques fixes et peut être représenté par le symbole de Schleifli 5, 3.
Le double polyèdre est l'isoèdre habituel (3, 5), composé de cinq triangles équilatéraux autour de chaque sommet.
Le dodécaèdre ordinaire convexe possède également trois stellations, qui sont toutes des dodécaèdres communs. Ils forment trois des quatre polyèdres de Kepler-Poinsot. Il s’agit du petit dodécaèdre étoilé 5/2, 5, du grand dodécaèdre 5, 5/2 et du grand dodécaèdre étoilé 5/2, 3. Le petit dodécaèdre étoilé et le grand dodécaèdre sont doubles; Le grand dodécaèdre étoilé est le double du grand icosaèdre 3, 5/2. Tous ces dodécaèdres étoiles communs ont des faces pentagonales ou pentagramiques régulières. Le dodécaèdre commun convexe et le grand dodécaèdre étoilé sont diverses mises en œuvre du même polyèdre abstrait abstrait; Le petit dodécaèdre étoilé et le grand dodécaèdre sont diverses réalisations d’un autre polyèdre commun abstrait.
Autres dodécaèdres pentagonaux(éditer)
En cristallographie, deux dodécaèdres importants peuvent apparaître sous forme cristalline dans certaines classes de symétrie du système cristallin cubique topologiquement équivalentes au dodécaèdre commun, mais moins symétriques: le pyritohèdre à symétrie pyritohédrique et le tétartoïde à symétrie tétraédrique:
pyritohedron(éditer)
FR pyritohedron est un dodécaèdre à pyritohèdre (Th) symétrie. En tant que dodécaèdre habituel, il a douze faces pentagonales identiques, avec trois réunions dans chacun des 20 sommets (voir figure).(1) Cependant, les pentagones ne sont pas forcés d'être communs, et la disposition atomique sous-jacente n'a pas de véritables axes de symétrie à cinq volets. Ses 30 arêtes sont divisées en deux ensembles – contenant 24 et 6 arêtes de même longueur. Les seuls axes présentant une symétrie de rotation sont trois axes double face perpendiculaires et quatre axes triples.
Bien que le dodécaèdre commun n'existe pas dans les cristaux, le colza pyritoeder se trouve dans les cristaux de la pyrite minérale et il peut être une source d'inspiration pour la découverte de la forme solide platonique commune. Le véritable dodécaèdre commun peut se présenter sous la forme de quasi-cristaux (tels que des quasi-cristaux d’holmium, de magnésium et de zinc) à symétrie isoscétique, qui comprend des axes de rotation réels à cinq fois.
Krystallpyritt(éditer)
Le nom vient de l'une des deux habitudes cristallines communes à la pyrite, l'autre étant le cube.
Coordonnées cartésiennes(éditer)
Les coordonnées des huit sommets de la matrice d'origine sont:
- (± 1, ± 1, ± 1)
Les coordonnées des douze arêtes des arêtes transversales sont:
- (0 ± ± 1 + h), ± (1 – h2))
- (± (1 + h), ± (1 – h2), 0)
- (± (1 – h2), 0, ± (1 + h))
où h est la hauteur du "toit" en forme de coin sur la surface du cube. quand h = 1, les six arêtes transversales dégénèrent en pointes et un dodécaèdre rhombique se forme. quand h = 0, les arêtes transversales sont absorbées dans les facettes du cube et le pyritohèdre est réduit à un cube. quand h = -1 + √5/2, l'inverse multiplicatif du nombre d'or est le résultat d'un dodécaèdre commun. quand h = -1 – √5/2, le conjugué de cette valeur, le résultat est un grand dodécaèdre étoilé commun.
Un pyritohèdre réfléchi est créé en échangeant les coordonnées non nulles ci-dessus. Les deux pyritohèdres peuvent être superposés pour permettre la connexion de deux dodécaèdres. La photo de gauche montre le cas où les pyritohédres sont des dodécaèdres communs convexes.
Liberté géométrique(éditer)
Le pyritohèdre a un degré de liberté géométrique avec les cas limites d’une coque cubique convexe à une bordure de bords cholinergiques, et d’un dodécaèdre rhombique en tant que seconde limite dont 6 bords dégénèrent à une longueur nulle. Le dodécaèdre habituel représente un cas intermédiaire spécial où toutes les arêtes et tous les angles sont égaux.
ils endo-dodécaèdre peut tessell placer avec le dodécaèdre commun convexe.
Tetartoid(éditer)
FR tetartoid (également dodécaèdre pentagonal tétragonal, Pentagone tritetrahedronet dodécaèdre du pentagone tétraédrique) est un dodécaèdre à symétrie tétraédrique chirale (T). Comme le dodecah régulier, il a douze faces pentagonales identiques, avec trois réunions dans chacun des 20 sommets. Cependant, le pentagone n'est pas commun et la figure n'a pas d'axes de symétrie quintuple.
Bien que le dodécaèdre commun n'existe pas dans les cristaux, la forme tétartoïde le fait. Le nom tétartoïde vient du rat grec pour un quart parce qu'il a un quart de symétrie octaédrique complète et la moitié de la symétrie pyritoédrique.(2) Le cobalt minéral peut avoir cette forme de symétrie.(3)
Sa topologie peut ressembler à un cube à faces carrées divisées en 2 rectangles comme le pyritohèdre, puis les lignes bisexuelles sont obliques et ont une rotation triple dans 8 angles.
Coordonnées cartésiennes(éditer)
Les points suivants sont les verticales d'un pentagone tétartoïde sous symétrie tétraédrique:
- (un, b, c); (-un, –b, c); (-n/ré1, –n/ré1, n/ré1); (-c, –un, b); (-n/ré2, n/ré2, n/ré2)
dans les conditions suivantes:(4)
- 0 un ≤ b ≤ c,
- n = un2c – bc2,
- ré1 = un2 – ab + b2 + ac – 2bc,
- ré2 = un2 + ab + b2 – ac – 2bc,
- Dakota du Nord1ré2 0.
variations(éditer)
Il peut être vu comme un tétraèdre, avec des arêtes divisées en 3 segments, avec un point central pour chaque face triangulaire. Dans la notation polyèdre de Conway, on peut voir gT, un tétraèdre gyroscopique.
Dual de gyrobianticupola triangulaire(éditer)
Une symétrie inférieure du dodécaèdre habituel peut être construite comme le double d’un polyèdre construit de deux bases triangulaires reliées par anticupole, appelé gyrobianticupola triangulaire. Il a d3d symétrie, ordre 12. Il comporte 2 ensembles de 3 pentagones identiques en haut et en bas, couplés à 6 pentagones sur les côtés qui alternent de haut en bas. Cette forme a une section transversale hexagonale et des copies identiques peuvent être liées en nid d’abeille partiellement hexagonal, mais toutes les croix ne correspondent pas.
Dodécaèdre rhombique(éditer)
ils dodécaèdre rhombique est un zonohèdre à douze faces rhombiques et à symétrie octaédique. Il est double dans le cuboctaèdre quasirégulier (un solide arkimédique) et se présente dans la nature sous forme de cristal. Le dodécahénron rhombique s’emballe pour remplir l’espace.
ils dodécaèdre rhombique peut être vu comme un pyritohèdre dégénéré dans lequel les 6 arêtes particulières sont réduites à une longueur nulle et réduisent le pentagone dans les faces rhombiques.
Le dodécahénron rhombique a plusieurs stellations, dont la première est également un remplisseur d’espace paralléloriental.
Un autre dodécaèdre rhombique important, le dodécaèdre Bilinski, a douze faces congruentes à celles du triacontaèdre rhombique, c’est-à-dire que les diagonales sont dans le rapport du nombre d’or. C'est aussi un zonohédron et a été décrit par Bilinski en 1960.(5) Cette figure est un autre élément de remplissage de l'espace et peut également apparaître dans des remplissages spatiaux non périodiques avec le triacontaèdre rhombique, l'icosaèdre rhombique et l'hexaèdre rhombique.(6)
Autres dodécaèdres(éditer)
Il est 6 384 634 topologiquement différent convexe dodécaèdres, sauf que le nombre de croix dans l’image miroir varie de 8 à 20.(7) (Deux polyèdres sont "topologiquement distincts" s'ils ont des arrangements de faces et d'angles fondamentalement différents, de sorte qu'il n'est pas possible de se déformer l'un l'autre, il suffit de changer la longueur du bord ou les angles entre les arêtes ou les faces.)
Dodécaèdres topologiquement différents (sauf les formes pentagonale et rhombique)
- Polyèdres uniformes:
- Solides de Johnson (face régulière):
- Dôme pentagonal – 5 triangles, 5 carrés, 1 pentagone, 1 décagone, C5v symétrie, ordre 10
- Snub disphénoïde – 12 triangles, D2d, commande 8
- Dipyramide carrée allongée – 8 triangles et 4 carrés, D4h symétrie, ordre 16
- Icosaèdre métabidiminé – 10 triangles et 2 pentagones, C2v symétrie, ordre 4
- Congruent irrégulière: (transitive faciale)
- Autres réunions moins communes:
- Pyramide handcagonale – 11 triangles isocèles et 1 cagon mâle régulier, C11V, commande 11
- Dodécaèdre trapézo-rhombique – 6 losanges, 6 trapèzes – double orthobicupole triangulaire, D3T symétrie, ordre 12
- Dodécaèdre rhombo-hexagonal ou dodécaèdre allongé – 8 losanges et 4 hexagones parallèles, D4h symétrie, ordre 16
- Trapèzoïde pentagonal tronqué, D5d, ordre 20, topologiquement équivalent au dodécaèdre conventionnel
Voir aussi(éditer)
références(éditer)
- ^ Habitude de cristal. Galleries.com. Téléchargé le 02/12/2016.
- ^ Dutch, steve Les 48 formes cristallines spéciales. Sciences naturelles, Université de Wisconsin-Green Bay, États-Unis
- ^ Habitude de cristal. Galleries.com. Téléchargé le 02/12/2016.
- ^ Tetartoid. Demonstrations.wolfram.com. Téléchargé le 02/12/2016.
- ^ Hafner, I. et Zitko, T. Introduction aux polyèdres rhombiques dorés. Faculté de génie électrique, Université de Ljubljana, Slovénie.
- ^ Seigneur, E. A. Ranganathan, S .; Kulkarni, U. D. (2000). "Les pavages, les revêtements, les grappes et les quasi-cristaux". Curr. Sci. 78: 64-72.
- ^ Teller polyeder. Numericana.com (31 décembre 2001). Téléchargé le 02/12/2016.
Liens externes(éditer)
- Weisstein, Eric W. "Dodécaèdre". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Dodécaèdre allongé". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Pyritohedron". MathWorld.
- Le quatrième fixe de Platon et "Pyritohedron"par Paul Stephenson, 1993, The Mathematical Gazette, volume 77, n ° 479 (juil. 1993), pages 220-226 (1).
- LES ÉLÉMENTS GRECQUES
- Mise en scène des modèles VRML Pyritohedron et animations de Pyritohedron et de ses stellations
- Klitzing, Richard. "Polyèdres uniformes convexes 3D oxo5x – do".
- Réseau imprimable éditable d'un éditeur de dodécan avec affichage 3D interactif
- Les polyèdres uniformes
- Polyèdres Origami – Modèles fabriqués en origami modulaire
- Dodecahedron – Modèle 3D qui fonctionne dans votre navigateur
- Encyclopédie des polyèdres de réalité virtuelle
- Dodécaèdre commun
- Dodécaèdre rhombique
- Prisme détachable par le haut
- Antiprisme pentagonal vertex-transitif
- Dipyramide hexagonal en transit facial
- Transitive faciale au tétraèdre de Triakis
- transit facial trapézoïdal hexagonal
- Faces communes du dôme pentagonal
- K.J.M. MacLean, une analyse géométrique des cinq masses platoniques et d'autres polyèdres semi-réguliers
- Visualisation 3D de dodécaèdre
- Stella: Polyhedron Navigator: le logiciel est utilisé pour créer certaines des images sur cette page.
- Comment fabriquer un dodécaèdre à partir d'un cube en polystyrène
- Dodécaèdres romains: objets mystiques trouvés sur le territoire de l'empire romain
Les robustes platoniques fonctionnent comme des cellules unitaires qui se répètent sur elles-mêmes afin de maintenir l’intégrité de leur forme insolite. Chaque cellule unitaire a un volume particulier de conscience, ou lien énergétique, qu’elle exprime par sa géométrie unique. Les cellules unitaires se développent les unes au travers des autres et se soutiennent les unes les autres. c’est pourquoi certaines cellules deviennent des nerfs, d’autres des muscles, d’autres encore des organes. Chacun suit une directive qui se répète sur lui-même tout en désormais l’intégrité d’un corps homme de 3ème superficie. Drunvalo Melchizédek note que l’icosaèdre et le dodécaèdre tournent microscopiquement à l’intérieur de la double hélice de notre ADN qui propose et maintient la conscience des humains dans la 3ème dimension. C’est aussi la raison pour laquelle le monde, en tant que forme de vie de 3ème dimension, ne peut pas voir physiquement des êtres dimensionnels supérieurs. Nos yeux physiques ne peuvent pas distinguer la signature énergétique des êtres de la septième superficie. Cependant, à mesure que notre planète avance vers la cinquième superficie, l’humanité évolue vers notre prochaine expression réel en tant qu’êtres de cinquième dimension sur Terre. A travers nos yeux de cinquième surface, nous ferons l’expérience de nous-mêmes dans notre nouveau monde dans une perspective d’amour extraordinaire, de pardon compatissant et de grande paix. Travaillez avec ces automobiles de la conception pour célébrer tout ce que vous soyez














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