La période pré-euclidienne
Les Grecs ont divisé le domaine des mathématiques en arithmétique (étude de la "multitude" ou quantité discrète) et en géométrie ("grandeur" ou quantité continue) et sont considérés comme issus d'activités pratiques. Proclus, dans son Commentez Euclid, observant que la géométrie – littéralement "mesure du sol" – est apparue dans les anciennes méthodes de cartographie égyptiennes, car la crue du Nil les obligeait à redéfinir chaque année les limites des propriétés. De même, l'arithmétique a commencé à commercer et à commercer avec des marchands phéniciens. Bien que Proclus ait écrit assez tard dans l’ancienne période (au Ve siècle CE), son récit s’appuie sur les vues suggérées beaucoup plus tôt Hérodote (milieu du Ve siècle BCE), par exemple, et par Eudemus, disciple d’Aristote (fin du IVe siècle) BCE).
Mais, digne de confiance, il est difficile à examiner car il existe peu de preuves de mathématiques pratiques datant du début de la période grecque (du VIII au IVe siècle). BCE). Les inscriptions sur pierre, par exemple, révèlent que l'utilisation d'un système vocal est identique à celle du roman connu. Hérodote semble être familier abaque comme une aide pour le calcul des Grecs et des Égyptiens, et si une douzaine d'échantillons de pierre d'abaci grec survivent à partir des Ve et IVe siècles BCE. En parcourant les nouvelles villes des colonies grecques des VIe et Ve siècles, on utilisait couramment une longueur standard de 70 plèthres (une plethron correspond à 100 pieds) en diagonale d’un carré de la page 50 plèthres; En fait, la diagonale réelle du carré 50Racine carrée de√2 plèthresdonc cela équivaut à utiliser 7/5 (ou 1,4) comme une estimation pour Racine carrée de√2, qui est maintenant connu comme 1 414 …. Au 6ème siècle BCE ingénieur Eupalinus de Megara a dirigé un aqueduc à travers une montagne de l'île de Samos, et les historiens discutent encore de la façon dont il l'a fait. Autre indication des aspects pratiques des mathématiques grecques anciennes, Platon décrit dans son lois comment les Egyptiens entraînaient leurs enfants à des problèmes pratiques d'arithmétique et de géométrie; il voyait évidemment cela comme un modèle à imiter pour les Grecs.
De telles indications sur la nature des mathématiques pratiques grecques anciennes ont été confirmées dans des sources ultérieures, par exemple dans les problèmes arithmétiques de textes de papyrus en Egypte ptolémaïque (du 3ème siècle). BCE plus loin) et les manuels géométriques du héron d’Alexandrie (1er siècle) CE). À la base, cette tradition grecque ressemblait beaucoup aux traditions précédentes de l’Égypte et de la Mésopotamie. En fait, les Grecs emprunteront probablement dans une certaine mesure auprès de sources aussi anciennes.
Ce qui caractérisait la contribution des Grecs aux mathématiques – et ce qui en faisait en fait les créateurs de "mathématiques", comme on l'entend couramment, était le développement en tant que discipline théorique. Cela signifie deux choses: les énoncés mathématiques sont généraux et ils sont confirmés par preuve. Par exemple, les procédures mésopotamiennes pour trouver des nombres entiers un, bet c pour lequel un2 + b2 = c2 (par exemple, 3, 4, 5, 5, 12, 13 ou 119, 120, 169). Les Grecs ont apporté la preuve d’une règle générale consistant à trouver tous ces ensembles de nombres (maintenant appelés Triples de Pythagore: si vous prenez des nombres entiers p et q, les deux sont les mêmes ou les deux étranges, alors un = (p2 – q2) / 2, b = pqet c = (p2 + q2) / 2. Comme Euclid apparaît dans le livre X de éléments, les nombres sous cette forme satisfont la relation avec les triples pythagoriciens. De plus, les Mésopotamiens semblent avoir compris que vu avec de tels nombres un, bet c formant les côtés des triangles rectangles, mais les Grecs ont montré ce résultat (Euclide, le montrant deux fois: i éléments, Livre I, Proposition 47, et sous une forme plus générale dans élémentsLivre VI, proposition 31), et ces éléments de preuve apparaissent dans le contexte d’une présentation systématique des propriétés des figures géométriques planaires.
ils éléments, composé par Euclide d'Alexandrie environ 300 BCE, c’était la contribution centrale à la géométrie théorique, mais le passage des mathématiques pratiques aux mathématiques théoriques avait eu lieu beaucoup plus tôt, une fois au Ve siècle. BCE. Initiée par des hommes tels que les Pythagore de Samos (fin du VIe siècle) et Hippocrate de Chios (fin du 5e siècle), la forme géométrique théorique a été développée par d'autres, notamment par les archives allemandes de Tarentum, Theaetus d'Athènes, et Eudoxe de Cnide (IVe siècle). Parce que les écrits de ces hommes ne survivent pas, la connaissance de l’œuvre dépend des commentaires des auteurs ultérieurs. Bien que ces preuves limitées révèlent à quel point l'euklidé en dépend lourdement, les motifs des études ne sont pas clairement indiqués.
La question de savoir comment et pourquoi cette transition théorique a eu lieu est donc un sujet de discussion. Un facteur souvent mentionné est la découverte de nombres irrationnels. Le début Les Pythagoriciens ont affirmé que "toutes choses sont des nombres". On peut supposer que cela signifie que tout objectif géométrique peut être lié à un certain nombre (c'est-à-dire un tout ou une partie, dans la terminologie moderne, nombre rationnel) pour des nombres, arithmos, fait uniquement référence à des nombres entiers ou, dans certains contextes, à des fractions communes. Cette hypothèse est assez courante dans la pratique: lorsque la longueur d’une ligne donnée est égale à autant de mètres plus une fraction. Cependant, il décompose les lignes qui forment le côté et diagonal à carré. (Par exemple, si on suppose que le rapport de la page à la diagonale peut être exprimé par le rapport de deux nombres entiers, on peut montrer que ces deux nombres doivent être égaux. Ceci est impossible, car chaque fraction peut être exprimée en tant que rapport de deux nombres entiers sans facteurs communs.) Géométriquement, cela signifie qu’aucune longueur ne peut servir d’unité de mesure pour les côtés et la diagonale; c'est-à-dire que le côté et la diagonale ne peuvent pas avoir la même longueur multipliée par des nombres entiers (différents). En conséquence, les Grecs ont appelé de telles paires de longueurs "imprévisible. "(Dans la terminologie moderne, contrairement aux Grecs, le terme" nombre "est utilisé en quantités telles que Racine carrée de√2mais on les appelle irrationnelles.)
Ce résultat était déjà connu à l'époque de Platon et aurait bien pu être découvert à l'école de Pythagore au Ve siècle. BCE, comme certaines autorités en retard comme Pappus d’Alexandrie (IVe siècle) CE) maintenir. En tout cas, avec 400 BCE On savait que les lignes qui correspondent à Racine carrée de√3, Racine carrée de√5et les autres racines carrées sont incontinentes avec une unité de longueur fixe. Le résultat plus général, l’équivalent géométrique de la théorie Racine carrée de√p est irrationnel quand p n'est pas un nombre carré rationnel, est associé à l'ami de Platon Théétète. Théétète et Eudoxe ont tous deux contribué à la poursuite de l'étude de l'irrationnel, et leurs successeurs ont rassemblé les résultats dans une théorie majeure, représentée par les 115 propositions du livre X de éléments.
La découverte de l'irrationnel doit avoir influencé la nature même des premières recherches mathématiques, car elle montre que l'arithmétique n'est pas suffisante pour la géométrie, malgré les hypothèses retenues dans les travaux pratiques. De plus, lorsque des suppositions apparemment évidentes comme l'approche de toutes les lignes se sont révélées fausses, toutes les suppositions mathématiques ont été rendues suspectes. Au moins, il devint nécessaire de justifier soigneusement toutes les affirmations des mathématiques. Plus encore, il était nécessaire de déterminer ce qu'un raisonnement doit être considéré comme une preuve. Apparemment, l'Hippocrate de Chios, au 5ème siècle BCEet d'autres après qu'il ait déjà commencé à travailler sur l'organisation des résultats géométriques sous une forme systématique dans des manuels appelés "éléments" (signifiant "résultats de base" de la géométrie). Celles-ci devaient servir de sources à Euclid dans leur manuel complet un siècle plus tard.
Les premiers mathématiciens n'étaient pas un groupe isolé, mais faisaient partie d'un environnement intellectuel plus vaste et extrêmement concurrentiel. penseurs pré-sociologiques en Ionie et en Italie, ainsi que des sophistes à Athènes. En insistant sur le fait que seules des choses fixes peuvent avoir une existence réelle, le philosophe Parmenider (Ve siècle BCE) a remis en question les affirmations les plus fondamentales de la connaissance elle-même. En revanche, Heracleitus (c. 500 BCE) a soutenu que toute durée est une illusion, car les choses perçues découlent d'un équilibre subtil entre des tensions conflictuelles. Ce que l’on entend par "connaissance" et "preuve" est donc entré dans le débat.
Les problèmes mathématiques ont souvent été inclus dans ces débats. Pour certains, tels que les Pythagoriciens (et plus tard Platon), la sécurité des mathématiques était considérée comme un modèle de raisonnement dans d'autres domaines, tels que la politique et l'éthique. Mais pour d'autres, les mathématiques semblaient sujettes à la contradiction. Zénon d'Élée (Ve siècle) BCE) libéré paradoxes de quantité et de mouvement. Dans un tel paradoxe, on suppose qu'une ligne peut être biped à plusieurs reprises sans limitation; si la division aboutit finalement à un ensemble de points de longueur nulle, alors même beaucoup d'entre eux ne dissolvent que le zéro, mais si cela aboutit à de petits segments de ligne, leur somme sera infinie. En réalité, la longueur de la ligne spécifiée doit être égale à zéro et à l'infini. Au 5ème siècle BCE une solution à de tels paradoxes a été tentée Démocrite et atomistes, philosophes qui prétendent que tous les corps matériels sont en fin de compte constitués de petits "atomes" invisibles (le mot grec signifie atomon signifie "indivisible"). Mais dans De telles vues géométriques entraient en conflit avec l'existence de lignes incohérentes, car les atomes deviendraient les unités de mesure de toutes les lignes, même entrantes. Démocrite et le sophiste Protagoras s’étonnaient de la tangente à un cercle qui lui faisait face en un point ou une ligne. Sophists Antiphon et Bryson (tous deux du 5ème siècle BCE) Considéré comment comparer le cercle avec des polygones écrits dans celui-ci.
Les présocratiques ont ainsi révélé des difficultés dans certaines hypothèses sur l'infiniment grand et l'infiniment petit et sur le rapport entre géométrie et réalité physique, ainsi que dans des perceptions plus générales telles que "existence" et "évidence". Les questions philosophiques dont ils ont besoin n’ont pas influencé les investigations techniques des mathématiciens, mais ils leur ont fait prendre conscience des difficultés pouvant porter sur des questions fondamentales et les ont donc rendus plus prudents dans la définition de leur sujet.
Tout examen des effets possibles de tels facteurs est purement formel, car les sources sont fragmentaires et n'indiquent jamais comment les mathématiciens ont réagi aux problèmes soulevés. Toutefois, les hypothèses de base et les preuves qui distinguent les mathématiques grecques des traditions antérieures suscitent une inquiétude particulière. Des facteurs possibles derrière cette préoccupation peuvent être identifiés dans les conditions spéciales de la tradition grecque primitive – ses découvertes techniques et son environnement culturel – bien qu'il soit impossible de décrire en détail comment ces changements ont eu lieu.
ils éléments
La principale source de reconstruction des mathématiques pré-euclidiennes est celle d'Euclide. éléments, la plupart du contenu peut être retracé à la recherche du 4ème siècle BCE et dans certains cas, même plus tôt. Les quatre premiers livres présentent des constructions et des preuves sur l'avion figures géométriques: livre je discute de la congruence de triangles, les propriétés des lignes parallèles et les connexions de la zone avec des triangles et des parallélogrammes; Le livre II établit des similitudes avec les carrés, les rectangles et les triangles; Le livre III couvre les caractéristiques de base des cercles; et le livre IV indique les constructions de polygones dans des cercles. Une grande partie du contenu des livres I-III était déjà connue d’Hippocrate et le contenu du livre IV peut être lié aux pythagoras afin que cette partie du livre éléments a des racines dans la recherche du 5ème siècle. Cependant, on sait que les questions sur des parallèles ont été discutés à l'école d'Aristote (c. 350 BCE), et donc des efforts pour prouver des résultats, tels que la phrase indiquant que pour une ligne et un point donnés, il existe toujours une ligne unique passant par ce point et parallèle à la ligne – a été tentée et a échoué. Ainsi, la décision de trouver la théorie des parallèles sur un postulat, comme dans le livre I de éléments, devait être un développement relativement nouveau à l'époque d'Euclide. (Le postulat ferait plus tard l'objet de nombreuses études et conduisit à la découverte des géométries dites non euclidiennes.)
Le livre V prépare une théorie générale des proportions, c'est-à-dire une théorie qui n'exige aucune limitation par rapport à l'ordre de grandeur. Cette théorie générale vient d'Eudoxe. Sur la base de la théorie, le livre VI décrit les propriétés de figures rectangulaires planes similaires et ensuite généraliser la théorie de la congruence au livre I. Il semble que la technique des figures similaires était déjà connue au 5ème siècle BCE, bien qu'une justification complète n'ait pu être fournie avant qu'Eudoxe ait élaboré sa théorie des proportions.
Les livres VII-IX traitent de ce que les Grecs ont appelé "arithmétique ", la théorie des nombres entiers. Elle contient les propriétés des proportions numériques, les plus grands diviseurs communs, au moins les multiples communs et les primates relatifs (livre VII); des propositions de progressions numériques et de nombres carrés et dés (livre VIII); ainsi que des résultats spéciaux, tels que la factorisation unique. dans l’amorce, l’existence d’un nombre illimité de primates et la formation de "nombres parfaits "- ce sont les nombres qui correspondent à la somme de leurs diviseurs corrects (livre IX). Sous une forme, le livre VII est dérivé de Theaetetus et le livre VIII d'Archytas.
Le livre X présente une théorie des lignes irrationnelles et provient de Theaetetus et Eudoxus. Les livres restants traitent de la géométrie des solides. Le livre XI présente des résultats sur des figures solides analogues à ceux des avions des livres I et VI; Le livre XII prouve des phrases sur les conditions circulatoires, les relations entre les sphères et les volumes de pyramides et de cônes; Le livre XIII montre comment entrer les cinq solides solides, appelés solides platoniques, dans une sphère donnée (comparez les constructions de figures planes du livre IV). La mesure des figures courbes du livre XII en est tirée formes droites; pour une figure courbe particulière, une séquence de figures rectilignes est considérée, les figures suivantes de la séquence étant continuellement plus proches de la figure courbe; La méthode particulière utilisée par Euclid vient d’Eudoxus. Les constructions fixes du livre XIII proviennent de Théétète.
Résumé de éléments a rassemblé tout le domaine de la géométrie élémentaire et de l’arithmétique qui avait évolué au cours des deux siècles précédant Euclide. Quoi qu’il en soit, il faut attribuer à Euclid des aspects particuliers de ce travail, notamment l’édition dans son ensemble. Mais il n'est pas possible d'identifier pour certains, même l'un des résultats, sa découverte. Autres domaines plus avancés mais non affectés dans éléments, était déjà très étudié à l'époque d'Euclide, dans certains cas par Euclide lui-même. Pour ces champs, leur manuel, fidèle au nom, donne la bonne introduction "élémentaire".
L’un des domaines est l’étude de la géométrie structures. Euclide, en tant que géométrie de la génération devant lui, partageait les propositions mathématiques en deux types: "théorèmes" et "problèmes. « A théorème impose à tous les termes d'une description particulière d'avoir une propriété spécifique; Un problème cherche à construire un terme qui devrait avoir une propriété spécifiée. en éléments Tous les problèmes peuvent être construits sur la base des trois postulats susmentionnés: une ligne peut être construite en joignant deux points donnés, un segment de ligne donné peut être étendu indéfiniment sur une ligne et un cercle peut être construit avec un point donné tel que centre et un segment de droite donné comme rayon. En fait, ces postulats limitaient les constructions à l’utilisation du soi-disant Des outils euclidiens – c’est-à-dire une boussole et une règle ou une règle non marquée.
Les trois numéros classiques
Bien qu'Euclid résolve plus de 100 problèmes de construction éléments, beaucoup d’autres ont été posés si les solutions demandaient plus que la simple boussole et la règle. Trois de ces problèmes ont suscité tant d’intérêt parmi les géométries ultérieures qu’ils ont été appelés «problèmes classiques»: double le cube (c’est-à-dire construit un cube dont le volume est le double de celui d’un cube donné), dessine l’angle et carré du cercle. Même à l'époque pré-euclidienne, le travail de construction d'un carré dans la zone d'un cercle donné avait commencé. Certains résultats connexes sont venus d'Hippocrate (voir Barre latérale: quadrature de la lune); d'autres ont été signalés à Antiphon et Bryson; et le théorème d'Euclide sur le cercle élémentsLivre XII, la proposition 2, qui stipule que les cercles sont dans la relation entre les carrés dans leurs diamètres, était importante pour cette recherche. Mais les premières constructions effectives (non pas à noter, en utilisant les outils euclidiens, car cela est impossible) ne sont apparues qu'au troisième siècle. BCE. La première histoire d'angle la trisection n'est pas claire. Il a probablement été essayé à l'époque pré-euclidienne, bien que les solutions ne soient connues qu'à partir du 3ème siècle ou plus tard.
Il y a plusieurs paris réussis en doublant le cube datant de la période pré-euclidienne, cependant. Hippocrate a montré que le problème pouvait être réduit à deux proportions significatives: si pour une ligne donnée un Il faut trouver x pour que x3 = 2un3, lignes x et y peut être recherché si un:x = x:y = y: 2un; pour ensuite un3/x3 = (un/x)3 = (un/x) (x/y) (y/ 2un) = un/ 2un = 1/2. (Notez que le même argument s'applique à tout multiplicateur, pas seulement au nombre 2.) Ainsi, le cube peut être doublé s'il est possible de trouver les deux proportions moyennes. x et y entre les deux lignes indiquées un et 2un. Les solutions du problème avec les deux agents ont été proposées par Archytas, Eudoxus et Menaechmus au 4ème siècle BCE. Menaechmus, par exemple, a construit trois courbes qui correspondent à ces mêmes proportions: x2 = uny, y2 = 2unxet xy = 2un2; Le croisement entre certains d'entre eux produit alors la ligne x cela résout le problème. Les courbes de Menaechmus sont des sections effilées: les deux premières sont des antennes paraboliques, la troisième est une hyperbole. Ainsi, on prétend souvent que Menaechmus est issu de l’étude des sections coniques. En fait, Proclus et son autorité plus ancienne, Geminus (au milieu du siècle) CE), semble avoir gardé cette vue. Les preuves n'indiquent pas comment Menaechmus est réellement prononcé par les courbes, mais il est donc possible que l'étude formelle des parties coniques en tant que telles n'ait commencé que plus tard, près du temps d'Euclide. Euclid et Aristaeus, un ancien plus moderne, ont composé des traitements (maintenant perdus) de la théorie des sections effilées.
En trouvant des solutions aux problèmes, les géométries ont développé une technique spéciale, appelée "analyse. "Ils ont supposé que le problème était résolu, puis en examinant les propriétés de cette solution, ils ont travaillé en arrière pour trouver un problème similaire qui pourrait être résolu sur la base du donateur. Pour obtenir la solution formellement correcte au problème initial, les géométries ont inversé la procédure : Tout d'abord, les données ont été utilisées pour résoudre le problème correspondant au test, puis à partir de la résolution, le problème initial a été résolu.synthèse ".
La duplication de cube de Menaechmus est un exemple d'analyse: il a assumé la proportionnalité moyenne x et y et ensuite ils ont découvert qu'ils étaient équivalents au résultat de la traversée des trois paniers dont il pouvait prendre la construction de la manière connue. (La synthèse consiste à introduire des courbes, à trouver l'intersection et à montrer que cela résout le problème.) Il est clair que les géométries du 4ème siècle BCE connaissait bien cette méthode, mais Euclid ne fournit que des synthèses, jamais des analyses, des problèmes résolus dans éléments. Certes, dans le cas de constructions plus complexes, il ne fait guère de doute qu'une analyse a eu lieu dans les synthèses présentées dans éléments.
au cours de votre trip d’apprentissage des cristaux, vous avez peut-être rencontré des mots et des échanges étranges que vous n’auriez sans doute jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les solides de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta forme après le lycée ! Alors, que sont exactement les solides de Platon ? En matière simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les éléments principaux ( terre, aspect, feu et eau ) étaient directement liés aux solides. il existe cinq robustes de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à le composant feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à le composant de l’air. Les icosaèdres ( constitués de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à l’élément eau. Le dernier et souvent appelé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été nommé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à l’élément d’éther. n








![[1204.1875] Faces de solides platoniques dans toutes les dimensions
| pierre énergétique [1204.1875] Faces de solides platoniques dans toutes les dimensions
| pierre énergétique](https://pierrevoyancegratuite.eu/wp-content/uploads/2019/04/solide-de-platon-178-150x150.jpg)








