formation: Apprenez à connaître les cinq platonique
solides et la relation entre eux. Commencez par compter le nombre
des faces, des arêtes et des angles trouvés dans chacun de ces cinq modèles. faire
une table avec les quinze réponses et notez que seulement six nombres différents
apparaît dans les quinze pistes.
Réponse:
faces bords coins
tétraèdre 4 6 4
cube 6 12 8
octaèdre 8 12 6
dodécaèdre 12 30 20
icosaèdre 20 30 12
Notez que chaque numéro affiché quelque part dans ce tableau est affiché
au moins deux fois. Ce n'est pas juste une coïncidence numérique.
Ratio de solides platoniques
Chaque fois qu'un numéro apparaît à deux endroits différents ci-dessus
table est une relation significative à comprendre. Arrêtez et profitez
Chacun de ces composés étudie la figure qui l'accompagne jusqu'à ce qu'il soit
prêt:
6 arêtes dans un tétraèdre = 6 faces dans un cube:
cette
est une conséquence du fait que un
le tétraèdre peut être écrit dans un cube. Ceci établit un one-to-one
la relation entre les surfaces du cube et les bords du tétraèdre, puis
Il doit y avoir le même nombre de chacun. Chacun de 6 se détache
tétraèdre apparaît comme l'une des diagonales de l'une des 6 visages
des dés.
Notez qu'il y a deux manières différentes pour lesquelles 4 des 8 points de cube sont verticaux
peuvent être choisis comme têtes de tétraèdre.
4 faces dans un tétraèdre = 4 coins dans un tétraèdre:
Ceci est dû au fait que dans le tétraèdre,
Chaque face est directement opposée à un sommet, il s'agit donc d'une relation un à un.
entre les visages et les coins. Si c'est 4 par un, il doit être
4 par l'autre. Dans les quatre autres solides platoniques opposés
Les faces et les angles sont des angles opposés, le nombre de faces n’est donc pas
doit être égal au nombre de croix. En d'autres termes, juste le tétraèdre
a la propriété que vous pouvez reposer à l'envers sur la table et pas
avoir un visage sur le dessus; Au lieu de cela, un sommet est au sommet.
Un autre
La façon de caractériser la même propriété est un
tétraèdre peut se chevaucher avec une copie de lui-même faisant face à l'opposé
direction. Les deux tétraèdres ont un centre commun, donc 4
les coins d'un tétraèdre sont centrés dans 4 les visages de l'autre
tétraèdre. Aucun autre rapide platonique n'a cette propriété. Quand deux tétraèdres
Être combiné de cette manière s'appelle le résultat composé de deux
tétraèdresou voler octangula, Terme latin de Kepler pour
étoile à huit branches.
6 arêtes dans un tétraèdre = 6 coins dans un octaèdre:
Ceci est une conséquence du fait que un
octaèdre peut être écrit dans un tétraèdre. ils 6 bords médians
du tétraèdre est 6 les coins de l'octogone. (Oktaedronen
dans cette image est l'intersection des deux composants de Stella octangula.)
6 faces dans un cube = 6 coins dans un octaèdre,
8 coins dans une matrice = 8 faces dans un octaèdre,
12 arêtes dans un cube = 12 arêtes dans un octaèdre:
tous
Trois de ces identités numériques peuvent être vues si nous examinons une lien
d'un cube et d'un octaèdre. Au milieu de chacun d'eux 6
Les faces du cube font partie de celles 6 les coins de l'octogone. en
le centre de chacun d'eux 8 Les visages de l'octaèdre sont l'un de ceux
8 dés des dés. Aussi 12 les bords du cube et
ils 12 Les bords de l'octaèdre se divisent en deux à angle droit.
Ce triple rapport particulier entre le cube et l'octaèdre est
appelée la dualité, et a de nombreuses conséquences importantes.
12 arêtes dans un cube = 12 faces dans un dodécaèdre:
cette
est une conséquence du beau fait que un
les dés peuvent être écrits dans un dodécaèdre. Notez que chacun des 12
les faces du dodécaèdre contiennent l’un des 12 les bords du cube.
Les bords du cube sont les diagonales du pentagone. Ce chiffre suggère également
comment construire un dodécaèdre en ajoutant six bosses en forme de pyramide
six faces des dés.
12 arêtes dans un octaèdre = 12 coins dans un icosaèdre:
Un autre 12=12 équivalence, cela découle d'une construction
dans lequel un icosaèdre est
inscrit dans un octaèdre. Chacun de 12 bords de l'octaèdre
contient l'un des 12 traverse l'icosaèdre. Soit dit en passant,
Les arêtes de l'octaèdre sont divisées en fonction de d'or
relations.
12 faces du dodécaèdre = 12 coins de l'icosaèdre,
20 coins de dodécaèdre = 20 faces d’icosaèdre,
30 arêtes de dodécaèdre = 30 arêtes d'icosaèdre:
Une fois de plus
une triple relation entre la dualité tient entre
deux polyèdres. Ces trois identités numériques peuvent être clairement vus si
nous examinons un lien
d'un dodécaèdre et d'un icosaèdre. Au milieu de chacun d'eux
12 Les visages du dodécaèdre sont l’un des 12 sommets de
l'icosaèdre. Et au milieu de chacun des 20 fait face à
L'icosaèdre est l'un des 20 coins du dodécaèdre. aussi,
ils 30 bords du dodécaèdre et 30 se détache
L'icosaèdre traverse perpendiculairement aux points médians.
Les deux derniers peuvent être les plus difficiles. Si vous avez suivi ce qui précède, travaillez
sur ceux-ci comme exercices:
12 arêtes dans un octaèdre = 12 faces dans un dodécaèdre:
formation: Découvrez comment construire un modèle d'octaèdre
inscrit dans un dodécaèdre. étudier
pour voir directement un rapport entre les bords octaédriques et
visages de dodécaèdre.
astuce: combinant cette
idée et cette idée,
puis supprimez le cube. Les tambours octaédriques seront au milieu
de six dodecah edron bords.
Réponse: Regarde ça ils
répondre Face à face et voyez comment un bord d'octaèdre est juste derrière
chaque visage de dodécaèdre.
12 arêtes dans un cube = 12 coins dans un icosaèdre:
formation: Découvrez comment construire un modèle d'icosaèdre
inscrit dans un dé.
astuce: combinant cette
idée et cette
idéepuis supprimez le dodécane et agrandissez le cube.
Réponse: Répondre.
Il est maintenant temps d'observer une relation plus profonde cachée dans les cinq rangées
sur la table en haut de cette page. Pour un polyèdre donné, la V
être le nombre de croix, laissez E être le nombre d'arêtes, et laisser
fa soit le nombre de faces.
formation: À partir des entrées du tableau, calculez F-E + V pour
chacun des cinq solides platoniques.
Réponse: Remarquez une réponse simple et cohérente.
Polyèdres virtuels, (C)
1996, George W. Hart
Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des solides de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au moins une de ses surfaces qui n’est pas plate ( par exemple, barillet, sphère ou tube ). n Régulier sous-entend que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou égales dans tous les critères, et tous les rives sont de la même longueur. n 3D sous-entend que la forme a la largeur, la capacité et la hauteur. n Un polygone est une forme fermée dans une figure plane avec au minimum cinq bords droits. n Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face. n















