Les solides platoniques

Comprendre les mathématiques
de
Peter Alfeld,
Département de mathématiques,
Université d'Utah
Les solides platoniques
Un solide platonique est un polyèdre où toutes les faces sont
polygones communs congruents,
et où le même nombre de faces se rencontrent à chaque sommet.
La meilleure caractéristique est un cube (ou hexaèdre
) dont les faces sont six carrés congruents.
Manipulez les figures sur cette page.
Si vous en avez un
Java
navigation compatible, vous pouvez cliquer sur l'un des numéros de cette
page et enregistrer une nouvelle fenêtre où vous pouvez faire pivoter
polyeder et ensuite avoir une meilleure idée de sa forme. ils
les applets sont des cas particuliers d’un simple visualiseur de géométrie 3D comme
venir avec
manuel.
Il n'y en a que cinq!
Les Grecs ont réalisé qu'il n'y avait que cinq pays platoniques
solides. Mais pourquoi est-ce vrai? L'observation clé est que
Les angles intérieurs des polygones se rejoignent au sommet d'un
polyèdre Ajouter moins de 360 degrés. Pour voir ça
Notez que si ces polygones se rencontraient dans un plan, l’intérieur
les angles de tous les polygones se réunissant à un sommet ajouteraient
juste 360 degrés. Couper un angle dans le papier, et
Pliez un autre morceau de papier à cet angle le long d'une ligne. ils
La première pièce ira dans la deuxième pièce quand elle sera
perpendiculaire au plateau. Pensez au tableau comme une ligne
sortant de notre polyèdre. Les visages du polyèdre
Rendez-vous au conseil sous des angles inférieurs à 90 degrés. Comment peut
C'est possible? Essayez de tourner votre premier morceau de papier
dans l'autre. Être capable de le transporter en ce qui concerne
le rabat vous devez réduire l'angle de la première pièce,
ou augmenter l'angle de l'autre.
Ensuite, nous considérons toutes les possibilités pour la quantité
les faces se rencontrent au sommet d'un polyèdre régulier. Pour chaque
Possibilité de faire un tel polyèdre, un
image que vous pouvez voir près de cette page. Voici
possibilités:
-
Triangles. L'angle intérieur d'un équilatéral
le triangle est de 60 degrés. Sur un polyèdre régulier,
Seuls 3, 4 ou 5 triangles peuvent faire face à un sommet. Si c'est
étaient plus de 6 leurs angles ajouteraient au moins
360 degrés, ils ne peuvent pas. envisager
possibilités:-
3 triangles se rencontrer à chaque sommet. cette
donne lieu à un Tétraèdre. -
4 triangles se rencontrer à chaque sommet. cette
donne lieu à un Octaèdre. -
5 triangles se rencontrer à chaque sommet. cette
donne lieu à un icosaèdre
-
3 triangles se rencontrer à chaque sommet. cette
-
Carrés. Depuis l'angle intérieur d'un carré est
À 90 degrés, trois carrés au maximum peuvent se rejoindre au sommet.
C’est effectivement possible et cela donne lieu à un
hexaèdre ou cube. -
Pentagones. Comme dans le cas des dés, le seul
la possibilité est que trois pentagones se rencontrent en pointe.
Cela donne lieu à un Dodécaèdre. -
hexagones ou des polygones réguliers avec plus de six
les côtés ne peuvent pas former les faces d'un polyèdre commun
puisque leurs angles internes sont d'au moins 120 degrés.
Mais maintenant cela devient un peu plus subtil. Nous avons regardé
toutes les possibilités de polygones communs congruents qui se rencontrent à un
sommet d'un polyèdre, mais comment savons-nous que ce n'est pas
un autre polyèdre régulier pour l’un de ces cas?
Par exemple, pourquoi le cube est-il juste polyèdre
pour quels trois carrés se rencontrent à chaque sommet? Le reste
Cette page répond à cette question, mais elle va
sera beaucoup plus difficile!
Avant de continuer, collectons quelques données. la
-
m soit le nombre de polygones qui se rencontrent sur un
sommet, - n nombre de points dans chaque polygone,
- fa nombre de surfaces de surfaces,
- e Le nombre d'arêtes du polyèdre, et
- v nombre de verticales du polyèdre.
Les valeurs de ces nombres pour chacun des polyèdres sont
énumérés dans ce tableau:
| n | m | fa | e | v | |
| tétraèdre | 3 | 3 |
4 |
6 |
4 |
| octaèdre | 3 | 4 |
8 |
12 |
6 |
| icosaèdre | 3 | 5 |
20 | 30 | 12 |
| hexaèdre | 4 | 3 |
6 |
12 |
8 |
| dodécaèdre | 5 | 3 |
12 | 30 | 20 |
| Tableau: combinatoire de polyèdres ordinaires |
|||||
Notre objectif est maintenant de le montrer à quelques personnes n
et m les valeurs des autres paramètres,
fa, eet v est déterminé
unique.
Premièrement, nous remarquons que, puisque deux faces se rencontrent dans un bord, nous devons
avoir
Puis, puisque chaque sommet est divisé m visages, nous
doit avoir
Il ressort du tableau que, pour les cinq postes fixes
polyèdres
(E)
Nous voyons ci-dessous que ces équations sont valables pour tout le monde
polyèdre convexe. donné m et n les trois ci-dessus
les équations déterminent fa, eet v unique
Et puis il n'y a que cinq polyèdres communs possibles.
Le résultat (E) est appelé
Théorème des polyèdres d'Eulers
Pour voir pourquoi c'est vrai, nous continuons en plusieurs étapes. Tout d'abord, nous
enlever une face du polyèdre. la
Soyez le nouveau nombre de visages. Il faut montrer
(*)
Maintenant, pensez aux surfaces restantes du polyèdre fabriqué
de caoutchouc et étendu sur une table. Ce sera certainement
changer la forme des polygones et les angles impliqués
mais cela ne changera pas le nombre de croix, d'arêtes et
visages. Maintenant, nous dessinons des diagonales sur les visages étirés
polygones. Chaque diagonale augmente le nombre e
des bords d'un, et aussi le nombre fa des visages, donc
que notre équation (*) reste valide. Nous continuons cela
processus jusqu'à ce que tous les polygones ont été changés en triangles.
Dans la dernière étape, nous enlevons les triangles jusqu'à ce que nous soyons partis
avec seulement un triangle pour lequel (*) est évident
réel. Comment on fait ça? Si le triangle enlevé a
juste une frontière à la frontière alors fa et e
sont tous deux réduits de 1 et (*) restent vrais. Si oui, alors
a deux bords sur la bordure puis fa est réduit de
1, e est réduit de 2 et v est réduit de
1, de sorte que (*) reste vrai.
C'est un dernière subtilité. Peut-on vraiment démonter
les triangles comme décrit? La réponse est oui. Mais comme un
formation, vous voudrez peut-être changer la procédure de démontage pour
Supprimez tous les doutes dans votre esprit. Un démantèlement similaire
La procédure peut être conçue pour une mosaïque de
polyèdres par polyèdres, mais si oui, il est pas
toujours possible. Pour une illustration, vous pouvez visiter
ma page qui décrit
Exemple de Rudin d'une triangulation invisible.
Si vous voulez jouer avec un polyèdre avec beaucoup plus de visages,
Voici un rendu urbain d'une sphère qui est bien sûr
pas un solide platonique!
(22-Jan-1997)
Belle copie, vos commentaires, plus de liens, Peter Alfeld,
PA1UM
La et l’intérêt des robustes de Platon continuent d’inspirer toutes sortes de gens, y compris des guérisseurs intuitifs et des esprits plus logiques. nLes Solides de Platon sont 5 formes polyèdres considérées comme une partie cruciale de la Géométrie Sacrée. Ils ont été décrits pour la première fois par l’ancien philosophe Platon, bien qu’il ait été prouvé que les anciens étaient déjà au commun de ces formes spéciales et magiques depuis plus de 1000 ans avant la documentation de Platon. nLes formes qui composent les cinq Solides de Platon atypiques se retrouvent naturellement dans la nature, mais aussi sur la planète cristallin. Travailler avec eux individuellement est censé nous aider à nous rattacher à la nature et aux royaumes supérieurs du cosmos, à trouver le modèle commun qui nous lie tous à la hauteur moléculaire et spirituel.











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