Solides platoniques, eau et nombre d'or solides de Platon

tetrahedron dodecahedron cube icosahedron octahedron The platonic solids; click to go to java animation

les solides platoniques

«  Je suis l'homme le plus sage du monde, parce que je sais une chose, c'est que je ne sais rien ''

Platon, ≈ 380 avant JC, République

Platon a supposé que ces chiffres correspondaient
propriétés données. En particulier, il a associé les icosaèdres à l'eau (comme je le fais sur ce site). un Une compréhension des solides platoniques est nécessaire tout au long de la chimie (4059). Ce sont les seuls solides là-bas
les sommets et les centres de toutes les faces et arêtes se trouvent
sur les sphères (respectivement les sphères réécrites, inscrites et intermédiaires)
avec le même centre.

Les propriétés de ces solides, avec edge length
(el ), est donnée dans le tableau suivant:

Caractéristiques trigonométriques des solides platoniques

Nom

Visages

Bords

Coins

Flotte

Le volume

Non.

Diamètre, el

Non.

Diam., el

Non.

Diam., el

el 2

el 3

Tétraèdre

4 triangulaires

1 / √6

6

√½

4

√6 / 2

√3

√2 / 12

cube

6 carré

1

12

√2

8

√3

6

1

Octaèdre

8 triangulaires

2 / √6

12

1

6

√2

2√3

√2 / 3

Dodekaeder

12 pentagonales

√ (140 + 220φ) / dix

30

1+φ

20

φ√3

3√ (15 + 20φ)

(4 + 7φ) / 2

Icosaèdre

20 triangulaire

√ (24 + 36φ) / 6

30

φ

12

√ (2+φ)

5√3

5 (1+φ) / 6

Nom

Coordonnées, el (444)

Angle dièdre

(θ)

tan (θ / 2) Angle centre-sommet des sommets Angle de sommet

Tétraèdre

(-½√½, ½√½, ½√½) (½√½, -½√½, ½√½)
(½√½, ½√½, -½√½) (- ½√½, -½√½, -½√½)

70,529 ° 1 / √2 109,471 ° 60 °

cube

(± ½,
± ½, ± ½)

90 000 ° 1 70,529 ° 90 °

Octaèdre

(± √½,
0, 0) (0, ± √½,
0) (0, 0, ± √½)

109,471 ° √2 90 000 ° 60 °, 90 °

Dodekaeder

(0, ± ½,
± ½ (1 + φ)) (± ½ (1 + φ),
0, ± ½)
(± ½, ± ½ (1 + φ),
0) (± φ / 2, ± φ / 2,
± φ / 2)

116565 ° φ 41 810 ° 108 °

Icosaèdre

(± ½,
0, ± φ / 2) (± φ / 2,
± ½, 0) (0, ± φ / 2,
± ½)

138,90 ° φ2 63 435 ° 60 °, 108 °
Rectangle d'or montrant des sections

φ (phi) euh d'or
relation
. Un rectangle avec des côtés dans la relation
1: φ donne un rectangle similaire lorsque le côté carré est
1 est supprimé:

φ = (√5 + 1) / 2 = 2cos (π / 5) = 1 618 033 988 ….
1 /φ = φ – 1 = (√5-1) / 2
= 0,618 033 988 ….
φ2 = φ + 1 = (√5 + 3) / 2
= 2 618 033 988 …

φn + 1 = φn + φn-1

<img src = "http://www1.lsbu.ac.uk/images/phi2.gif » alt= »nombre d'or » title= »nombre d'or » width= »188″ height= »36″ />

φ est la limite du rapport entre les nombres de Fibonacci consécutifs, formée en additionnant les deux nombres précédents, e commence 1 1 comme

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89144233377 610987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 ………

Donc,

5/3 = 1,60

89/55 = 1 6182

2584/1597 = 1,618 034

28657/17711 = 1,618 033 99

le d'or
relation
se produit dans les dimensions des pentamères des molécules d'eau que l'on trouve souvent dans l'eau liquide et les icosaèdres d'eau décrits sur ce site.

Le dodécaèdre montre les trois mutuellement

rectangles perpendiculaires entre les faces

<img src = "http://www1.lsbu.ac.uk/images/dodeca-gold.gif » alt= »Le dodécaèdre montre les trois rectangles mutuellement perpendiculaires entre les faces » title= »Le dodécaèdre montre les trois rectangles mutuellement perpendiculaires entre les faces » width= »240″ height= »219″ class= »floatright » />

Pentamètres à eau

<img src = "http://www1.lsbu.ac.uk/images/water_pentamer.gif" width = "320" height = "290″ title= »pentamère d'eau » alt= »pentamère d'eau » />

Ainsi, le rapport des distances entre les molécules d'eau les plus proches (a) et les molécules d'eau les plus proches (b) dans les pentamères planaires à liaisons hydrogène (H2O)5 (voir a / b à gauche) est

a / b =

2 ˣ sin (108 ° / 2) = φ

= (√5 + 1) / 2

= 1,618034 …

De plus, ces diagonales se croisent dans le nombre d'or avec b / c = φ et c / d = φ. Les diagonales intérieures forment un pentagramme.

Les trois rectangles mutuellement perpendiculaires formés en reliant les centres de face pentagonaux dans les dodécaèdres (voir ci-dessus à droite) ont des côtés avec des longueurs par rapport au nombre d'or.

Intéressant d'or
relation
apparaît également en chimie aqueuse comme le rapport du diamètre atomique au diamètre ionique. Ainsi le diamètre d'un anion (A) est le double de son diamètre atomique divisé par φ, et le diamètre d'un cation (A+) est le double de son diamètre atomique divisé par φ2; avec le diamètre de A être d'or
relation
fois le diamètre de A.+, et des fonctions simples de φ également lié aux distances de l'eau aux rayons covalents (1091). le d'or
relation
a également été associé au code génétique (1808).

Platon n'avait pas eu tort
connecter la structure liquide en général aux icosaèdres
quels atomes et molécules sphériques (par exemple les gaz rares plus gros) en phase liquide préfèrent
regroupement icosaédrique qui a une énergie inférieure
que les structures cristallines (mais ne peut pas former de cristaux
en raison de la symétrie quintuple).

Le cluster de 13 molécules d'atomes d'argon

<img class = "floatright" border = "0" src = "http://www1.lsbu.ac.uk/images/platon1.gif » alt= »Amas de 13 molécules d'argon » title= »Amas de 13 molécules d'argon "width =" 200 "height =" 225″ />

Montré à droite est un amas icosaédrique
de treize atomes sphériques identiques b trouvé dans l'argon liquide, le krypton, le xénon et fondu
les métaux. Une telle symétrie cinq fois est optimale pour une courte portée
emballage serré, mais incompatible avec une longue commande
et favorise les structures amorphes. La formation préférée
a été montré pour empêcher la cristallisation dans le liquide
le métal fond et est la cause de leur surfusion étendue
(505).

alors
associe la science moderne à la philosophie ancienne.

<img src = "http://www1.lsbu.ac.uk/images/water-ico.gif » title= »amas d'eau et icosaèdre géométrique (survoler la souris) » alt= »amas d'eau et icosaèdre géométrique (survolez la souris) "name =" ico "width =" 240 "height =" 240 "border =" 0 "id =" ico » />

Graphique de connexion pour la proposition (H2O)280

<img src = "http://www1.lsbu.ac.uk/images/Rhombicosidodecahedron.gif" width = "400" height = "382″ alt= »graphique de la grappe vannicosédrique proposée (H2O) 280. » title= »graphique de la grappe vannicosedrique (H2O) 280. "class =" floatright » />

À droite se trouve le graphique de connexion et ci-dessous une applet Java c montrant la forme solide de l'amas vannicosedric proposé (H2O)280. C'est un icosaèdre tronqué avec 60 coins (points bleu foncé). 120 arêtes, 12 surfaces pentagonales (bleues) (avec longueur d'arête el ≈ 0,28 nm), 20 surfaces triangulaires unilatérales (rouge avec longueur d'arête 4 ˣ (2/3)½ ˣ el, molécules d'eau dans les coins et sur chaque bord) et 30 surfaces rectangulaires (bleu et rouge) (avec des longueurs de bord el (bleu) et 4 ˣ (2/3)½ ˣ el (Rouge)). (Notez-le 4 ˣ (2/3)½ est 3266 et proche de la valeur de ; = 3 236).

(H2O)280 comme un polygone

Retour)

Octaèdre cubique à 13 atomes

<img class = "floatright" border = "0" src = "http://www1.lsbu.ac.uk/images/cuboct.gif » alt= »Octaèdre cubique à 13 atomes » title= »Unités cubiques à 13 atomes "align =" middle "width =" 95 "height =" 95″ />

b Un atome ment
dans la cavité un peu trop petite au milieu,
provoque un contact lâche entre les douze bois de chauffage
coins. Notez que treize atomes ne peuvent s'adapter
étroitement ensemble dans un cuboctaèdre (avec 8 triangulaires
et 6 surfaces carrées) formées de trois couches contenant
3, 7 et 3 atomes et partie d'un joint hexagonal
schème. On trouve généralement qu'une telle structure (voir à droite) a une énergie plus élevée que l'amas icosaédrique, mais se trouve dans H cristallin2 S (avec une liaison hydrogène plus faible que H2O). (Retour)

c Cela utilise une applet Java 1.1 non commerciale de Martin Kraus. Utilisez la souris pour faire pivoter la structure. (Retour)

L'angle à deux angles est l'angle intérieur entre deux surfaces planes, l'angle au sommet est l'angle formé par deux arêtes de rencontre et l'angle sommet-centre-sommet avec les deux sommets au même bord. (Retour)

e Deux nombres quelconques peuvent être utilisés, par ex. 9 et 3

9 3 12 15 27 42 69111180 291471772 1233 1995 3228 5223 8451 13674 22125 35799 57924 93723 151647

151647/93723 = 1,618034 …. ≅ F

(Retour)

au cours de votre voyage d’apprentissage des cristaux, vous avez sans doute rencontré des mots et des conversations étranges que vous n’auriez peut-être jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les robustes de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta forme après le lycée ! Alors, que sont exactement les solides de Platon ? En matière simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les éléments principaux ( terre, aspect, feu et eau ) étaient directement liés aux solides. il y a cinq robustes de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à l’élément feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à le composant de l’air. Les icosaèdres ( constitués de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à l’élément eau. Le dernier et souvent nommé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été nommé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à le composant d’éther

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