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Les solides platoniques et les quaternaires

Pendant que vous réfléchissez à cela, laissez-moi vous dire une autre façon de
obtenir quelques-uns des polytopes réguliers 4d. Cette méthode implique des quaternions,
qui est une version supposée des nombres complexes avec trois
racines carrées de -1, appelées i, j et k. Un quaternaire typique
ressemble à ça:

a + bi + cj + dk

où a, b, c et d sont des nombres réels. Pour multiplier les quaternaires, vous
besoin d'appliquer ces règles, inventées par Hamilton en 1843:

je2 = j2 = k2 = -1
ij = -ji = k

jk = -kj = i

ki = -ik = j

Commençons par les 24 cellules, puisque ce type n'a pas d'analogue
autres dimensions.
Puisque les sommets des 24 cellules se trouvent sur la boule de l'appareil
4 dimensions, on peut imaginer
ses coins comme certains quaternions unitaires. 24 cellules
ont non seulement 24 faces mais aussi 24 coins!
On peut prendre
qu'ils sont précisément l'unité «  quaternions intégraux de Hurwitz '',
qui sont des quaternions de forme

a + bi + cj + dk

où a, b, c, d sont soit tous les nombres entiers, soit tous les nombres entiers plus 1/2.
On peut vérifier que les quartiers intégrés de Hurwitz sont fermés
lors de la multiplication, de sorte que les sommets des 24 cellules forment un
sous-groupe des quaternions unitaires. Un polytope ordinaire c'est
un groupe de symétrie en soi – méditer cette pendant que tu
croisez les yeux et regardez-le tourner!

De la même manière, la cellule 600 a 120 coins, ce à quoi nous pouvons penser
comme certains quaternions unitaires. Nous pouvons les considérer comme l'appareil exact
«Icosiens». Ce sont des quaternions de la forme

a + bi + cj + dk

où a, b, c, d vivent tous dans le «  champ d'or '' – sens
qu'ils ont la forme x + √5 y où x et y sont
rationnel. Puisque les Ikosiens sont fermés pendant la multiplication
un groupe en multiplication, les sommets des 120 cellules
formez également un groupe!

Les sommets du polytope croisé à 4 dimensions sont également formés
un sous-groupe des quaternions unitaires. Mais celui-ci est un peu
moins excitant. Nous ne prenons que des quaternions de la forme

a + bi + cj + dk

où l'un des nombres a, b, c, d est 1 ou -1, et le reste
est zéro. Ce sous-groupe de 8 éléments est parfois
appelé le & # 39; groupe quaternion & # 39;.

Ce sont tous les polytopes communs en 4 dimensions qui sont
également des groupes. Trois sur six ne sont pas mal!
Mais nous pouvons obtenir la plupart du reste grâce à la dualité.

En général, le & # 39; double & # 39; d'un polytop ordinaire un autre
polytope, également commun, avec un sommet au centre de
chaque visage du polytope avec lequel nous avons commencé. Il a doublé
double d'un polytope régulier
est celui avec lequel nous avons commencé (seulement plus petit). Donc polytopes
vient par paires – sauf pour certains «  doubles ''.

En deux dimensions, chaque polytope ordinaire est son propre double.

En trois dimensions, le tétraèdre est auto-doublant. Le double
du cube sont des octaèdres. Et double le dodécaèdre
est l'icosaèdre.

En 4 dimensions, le 4-simplex est auto-doublant. Le 24 cellules est
également auto-double – c'est pourquoi il avait 24 faces et 24 coins!
Le double de l'hypercube est le polytope croisé à 4 dimensions. le
le double de la cellule 120 est la cellule 600.

Dans les dimensions supérieures, n-simplex est auto-doublant, et
le double du n-cube est le n-dimensionnel
cross-polytop.

Mais qu'y a-t-il de si spécial dans 4 dimensions, exactement?

Eh bien, il y a très peu de dimensions où l'appareil est cool
est aussi un groupe. Cela n'arrive que dans les dimensions 1, 2 et 4!
En 1 dimensions, la sphère unitaire n'est que de deux points, car nous
peut être considéré comme les nombres réels de l'unité, -1 et 1. En 2 dimensions
on peut considérer la sphère unitaire comme les nombres complexes de l'unité,
exp (iθ). En quatre dimensions, nous pouvons penser à la sphère de l'unité
comme les quaternions unitaires.

Ce n'est que dans ces dimensions que nous obtenons des polytopes qui sont également des groupes dans un
naturellement. En deux dimensions, tous les n-gons ordinaires correspondent
groupes constitués du nombre complexe de l'unité exp (2πi / n). Je 4
Les dimensions des choses sont plus subtiles et intéressantes. C'est spécial
intéressant car le groupe de quaternions unitaires, également appelé
SU (2) se trouve être la «  double couverture '' au groupe de rotation en 3
dimensions. En gros, cela signifie que c'est une belle
fonction qui envoie 2 éléments de SU (2) à chaque rotation en 3 dimensions.

Cela fournit un moyen simple de construire 600 cellules, ou hypericosaèdre.
Prenez l'icosaèdre en 3 dimensions. Pensez au groupe
une symétrie de rotation. Ceci est un sous-groupe avec 60 éléments de rotation
groupe en 3 dimensions. Regardez maintenant le sous-groupe correspondant de
SU (2) – c'est une «  double couverture '', pour ainsi dire. Ceci est un 120 article
sous-groupe des quaternions unitaires. Voici les points forts de
hypericosaèdre! Donc dans un sens très réel, l'hypericosaèdre
ne sont que les symosets de l'icosaèdre! Cette astuce ne
travailler dans des dimensions supérieures. C'est une chose qui est très cool avec 4
dimensions – il hérite de l'hypericosaèdre et
hyperdodécaèdre du fait que l'icosaèdre et
les dodécaèdres existent en trois dimensions.

De même, les 24 cellules proviennent des symétries du tétraèdre!

Orientations pour d'autres études

J'ai copié les images de solides platoniques en rotation de Wikipedia
article sur les solides platoniques
aux termes de
GNOU
Licence de documentation gratuite
: ceux-ci ont été fabriqués par Cyp. J'ai copié aussi
les images de polytopes communs 4d des articles Wikipédia sur
ces polytopes, aux termes des droits d'auteur pertinents: ces
a été créé par Tom Run à l'aide du logiciel Stella de Robert Webb. Celles-ci
Les articles sont un excellent endroit pour commencer à comprendre
Solides platoniques.

Pour plus d'informations, essayez Eric Weissteins Mathworld
site Internet
. Il a beaucoup d'informations sur les solides platoniques
et 4j
géométrie
. Vous pouvez faire pivoter des solides platoniques et des polytopes 4d
utilisez la souris!

Si vous avez accès à VRML, vous pouvez également vous amuser avec George Hart & # 39; s
Encyclopédie
des polyèdres
, qui compte plus de 1000 polyèdres. (VRML signifie
"langage de modélisation de réalité virtuelle", et il est disponible sous forme de plugin
pour la plupart des navigateurs.)

Si vous voulez apprendre un beaucoup sur les polytopes communs,
lisez ce livre du roi de la géométrie:

  • H. S. M. Coxeter, Polytopes communs, 3e édition, New York, Douvres
    Publications, 1973.

Pour en savoir plus sur les dodécaèdres, voir "Contes de
le dodécaèdre: de Pythagore à Platon à Poincaré
".

Pour plus d'informations sur l'icosaèdre, voir "Certains
réflexions sur le numéro six
".

Pour en savoir plus sur les icosiens et les merveilles associées, voir
uke20
des résultats de cette semaine.

Pour en savoir plus sur les solides platoniques, comment l'or du leurre se cachait
Les Grecs ont inventé le dodécaèdre habituel, et
structures symétriques de dimensions supérieures,
voir uke62,
uke63,
uke64 et
semaine 65 dans ma chronique hebdomadaire sur les mathématiques
la physique. Cette histoire se poursuit à un niveau plus profond dans
uke186 et
uke187.

Pour en savoir plus sur les quartiers intégrés et les mystères de Hurwitz
de la trialalité en 8 dimensions, voir semaine 91.

Pour un examen plus approfondi de la relation entre les différents solides platoniques,
et aussi plus d'informations sur 24 cellules et 600 cellules, voir
uke155.

Tout ce qui est suffisamment beau est connecté à tout le reste
belles choses! Suivez la beauté et vous apprendrez tout
les trucs les plus cool. Les solides platoniques sont une amende
par où commencer.

De Kepler & # 39; s Mystère
Cosmographicium
,
où il a modélisé les chemins pour
cinq planètes connues utilisant des solides platoniques.
Le cube tient à l'extérieur
tous ceux indiqués ci-dessus.


Parmi les formes infinies, nous devons choisir le plus
beau, si nous voulons continuer dans le bon ordre …
– Platon, je
Timée

© 2020 John Baez
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Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des solides de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au minimum une de ses surfaces qui n’est pas plate ( par exemple, barillet, sphère ou tube ). n Régulier sous-entend que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou équivalentes dans tous les aspects, et tous les abords sont de la même dimension. n 3D signifie que la forme a la largeur, la profondeur et la hauteur. n Un polygone est une forme verrouillée dans une figure plane avec au minimum cinq bords droits. n Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face. n

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