Adam Rumpf: Papercraft | solides de Platon

Adam Rumpf: Papercraft

Adam Rumpf: mathématicien

Quand j'étais jeune, j'ai participé à un camp d'été AutoCAD (j'étais un garçon plutôt cool). Le projet en cours le plus important au cours du programme était de concevoir et de créer un modèle 3D d'une voiture. À la fin du camp, chacun était autorisé à apporter une boîte d'allumettes en plastique de sa propre voiture, réalisée à partir d'un prototypage rapide. C'était ma première exposition à l'impression 3D.

Au cours de ma vie d'adulte, l'impression 3D a explosé en popularité. La technologie s'est constamment améliorée et est entrée sur le marché de la consommation. L'impression 3D a contribué au développement de la culture Maker et fait partie intégrante de la construction de salles telles que Idea Shop dans ma propre université. Il existe des magasins en ligne où les gens peuvent publier leurs créations à toute personne qui peut commander. Des gens comme Henry Segerman ont fait un usage incroyable de l'impression 3D pour expliquer des concepts mathématiques avec des démonstrations visuelles et pratiques.

La montée en puissance de l'impression 3D est l'un des développements technologiques les plus importants de ma vie. C'est une technologie qui a vraiment le pouvoir de révolutionner le monde, et qui a d'innombrables utilisations en ingénierie et en médecine. Je suis impatient de voir ce que l'avenir nous réserve et j'aimerais en faire partie moi-même.

Certes, l'impression 3D coûte de l'argent, alors je viens de découper quelques vieux dossiers et de les coller dans des formes à la place.

Les solides platoniques sont des solides qui s'aiment comme des amis. Ils sont également définis par la propriété que toutes leurs faces sont des polygones ordinaires identiques et que toutes les verticales sont identiques. Il y en a exactement cinq, et prouver que ces cinq sont les seules possibilités est une activité courante pour les étudiants en géométrie. Ils revêtent une importance particulière pour moi car, en plus de la soude trapézoïdale pentagonale, ce sont les formes d'un ensemble standard de cubes multicolores.

J'éprouve une légère synesthésie associative qui me fait associer certaines couleurs à certaines lettres et formes. Les couleurs que j'ai choisies pour ces polyèdres sont ce que mon cerveau a décidé d'être les «bonnes» couleurs.

tétraèdre

Le tétraèdre (d4) est le membre 3D de la série simplex, défini par la propriété que tous les sommets sont également éloignés. Comme cette propriété est facile à généraliser à n'importe quel nombre de dimensions, un analogue du tétraèdre existe dans tous les nombres de dimensions possibles (l'analogue 2D est un triangle équilatéral). Ils sont également extrêmement importants en géologie car les tétraèdres silicium-oxygène forment les éléments constitutifs des minéraux silicatés, qui constituent la majeure partie de la croûte terrestre.

Hexaèdre

L'hexaèdre (d6), comme certains insistent pour appeler un «cube», a été le premier modèle d'artisanat en papier que j'ai fabriqué. Sa principale caractéristique est qu'il s'empile très bien et peut être utilisé pour carreler tout l'espace 3D (bien que le dodécaèdre rhombique étoilé le fasse aussi, et qu'il soit plus intéressant à regarder). La généralisation multidimensionnelle est l'hypercube, qui comprend le carré 2D et l'axe de thèse 4D.

octaèdre

L'octaèdre (d8) est le double du cube, et c'est vraiment ce que vous obtiendriez si vous convertissiez tous les codes de dés en faces et les faces en vertex. Ce processus se généralise également à l'espace dimensionnel supérieur, et c'est un analogue de l'octaèdre dans toutes les dimensions.

dodécaèdre

Le dodécaèdre (d12) est à mon avis le solide platonique le plus cool, et sa généralisation 4D, le 120 cellules, est mon polytope régulier préféré. Il a également une importance particulière dans la théorie des graphes en raison du puzzle du dodécaèdre des voyageurs qui a conduit à l'étude des sentiers hamiltoniens.

icosaèdres

L'icosaèdre (d20) a le plus de faces de tous les solides platoniques. Il se compose de 20 triangles et son analogue 4D, le 600 cellules, se compose de 600 tétraèdres. Il est assez rond et est souvent utilisé comme base pour les dômes géodésiques.

Vous vous demandez peut-être pourquoi mon icosaèdre est tellement plus petit que toutes les autres figures. C'est une excellente question.

Les solides d'Archimède sont des polyèdres dont les faces sont composées de polygones ordinaires et dont les verticales sont toutes identiques, mais contrairement aux solides de Platon, toutes les faces n'ont pas besoin d'être le même polygone ordinaire. Les solides platoniques, en eux-mêmes, sont généralement exclus du groupe, tout comme les prismes et les anti-prismes (pour éviter qu'ils ne se détruisent mutuellement lorsqu'ils se touchent).

Selon la manière dont l'exigence de «sommet identique» est spécifiquement définie, il existe 13 ou 14 solides d'Archimède. Cela prendrait un peu de temps à faire, alors j'ai dû choisir quelques-uns de mes favoris.

Tétraèdre tronqué

Comme beaucoup de solides archimédiens, le tétraèdre tronqué est créé en liant les coins d'un solide platonique de manière à laisser toutes les faces exposées comme des polygones ordinaires. Dans ce cas, nous avons raccourci les sommets d'un tétraèdre juste assez pour transformer les faces précédemment triangulaires en hexagones ordinaires.

Certains fabricants de matrices polyédriques ont pris l'habitude de remplacer le tétraédrique standard d4 par le tétraèdre tronqué, à la fois parce qu'il est plus rond (et donc roule mieux) et parce qu'il a toujours une face sur le dessus (et peut donc avoir un numéro imprimé sur le dessus).

kuboktaeder

L'octaèdre cube est une bonne illustration du fait que le cube et l'octaèdre sont doubles l'un par rapport à l'autre. Il peut être formé en coupant soit un cube soit un octaèdre, juste pour que toutes les coupes se rencontrent. Dans ce cas, les faces rouges correspondent au cube, tandis que les faces jaunes correspondent à l'octaèdre. Si nous devions continuer à découpler le cube jusqu'à ce que ses faces d'origine aient complètement disparu, il ne nous resterait qu'un seul okèdre, et vice versa.

De même, il peut être formé en séparant les faces d'un cube ou d'un octaèdre, en les faisant tourner et en les reconnectant de sorte qu'elles laissent des trous triangulaires (pour le cube) ou carrés (pour l'octaèdre), qui sont ensuite convertis en surfaces.

Icosidodécaèdre tronqué

J'ai décidé d'inclure l'icosidodécaèdre abrégé uniquement parce que c'est le plus grand solide d'Archimède (compte tenu du nombre de faces, qui est de 62), et je savais que si je ne pouvais faire qu'un ensemble limité, je pourrais aussi bien inclure le plus grand garçon . Ce modèle est légèrement plus petit qu'un ballon de football. Malheureusement, le grand nombre de faces signifie qu'il est assez rond et ne ressemble donc pas particulièrement à un polyèdre. J'ai également appris par expérience qu'il est facilement écrasé si quelqu'un s'appuie dessus.

Les connexions polyédriques sont des collections fermées de bâtiments à plusieurs étages. Ce sont également des formes créées en fusionnant plusieurs polyèdres avec un centre commun, généralement d'une manière qui préserve une symétrie intéressante. Je les aime parce qu'ils me rappellent l'extraction de cristal. Les versions papier présentent également une illusion d'optique intéressante où un tas de pièces complètement séparées semble former une forme solide en faisant certains morceaux de papier en ligne et en leur donnant la même couleur.

Composé de cube et d'octaèdre

De la même manière que l'octaèdre cube ci-dessus, la connexion à un cube et à un octaèdre montre le double rapport entre le cube et l'octaèdre. Cette forme se trouve être l'équivalent d'un octaèdre cubique stellaire, et si vous deviez broyer les pyramides triangulaires et carrées qui composent sa surface, vous vous retrouveriez avec un octaèdre cube.

Connexion avec 3 cubes

C'est le joyau de la couronne de la collection. Il montre trois dés qui sont tournés et placés les uns sur les autres. Il contient les pièces les plus séparées et a pris le plus de temps à faire de l'un de mes nombreux modèles polédriques. Il apparaît également dans l'une de mes œuvres d'art préférées: cascade, par M.C. Escher. J'avais l'habitude d'avoir une copie de la lithographie placée sur le mur au-dessus de mon bureau, et je la regardais tous les jours pour essayer de comprendre ce qu'elle était et quel genre de symétrie elle avait.

À propos, l'autre polyèdre mentionné dans cascade est un dodécaèdre rhombique étoilé, double du composé de 3 cubes. Il est également connu sous le nom de «solide d'Escher» car il est apparu dans plusieurs de ses œuvres.

Ballons de football non euclidiens

Ceci est principalement conçu comme un bâillon visuel avec un football elliptique, euclidien et hyperbolique, mais cela vient d'un exercice de réflexion qui est souvent utilisé pour présenter aux gens l'idée d'espaces positifs et négatifs. Un ballon de football standard (illustré à gauche) se compose de panneaux pentagonaux noirs, chacun entouré de tous les côtés par des panneaux hexagonaux blancs (il s'agit d'un icosaèdre tronqué, ou l'équivalent d'un dodécaèdre tronqué).

Que se passerait-il si nous essayions de faire la même chose mais en utilisant des panneaux noirs hexagonaux à 6 côtés au lieu de panneaux pentagonaux à 5 côtés? Le fait d'avoir 5 hexagones rencontrés sur chaque panneau nous a donné une balle ronde et incurvée car nous devions les presser ensemble pour les faire se rencontrer, mais pour 6 hexagones, ils se rencontrent déjà sans nécessiter de compression. Le résultat serait une boule complètement plate (représentée au milieu), et contrairement à la version à courbure positive qui se courbe pour se rencontrer et se fermer, la boule à courbure nulle peut potentiellement être étendue dans toutes les directions pour toujours. Malheureusement, je n'ai pas une quantité infinie d'espace, de papier ou de temps, alors j'ai arrêté après trois équipes.

Que se passerait-il si nous essayions d'utiliser des panneaux noirs heptagonaux à 7 faces? 7 hexagones sont plus que ce qui va s'emboîter dans le plan, et les tentatives d'entourer un heptagone avec des hexagones se traduisent par un chevauchement. Plutôt que d'avoir à creuser un espace comme nous l'avons fait dans 5 hexagones, nous devons maintenant écarter toute la forme pour avoir suffisamment d'espace pour tout rejoindre. Comme pour la balle courbée positivement, cela nous oblige à soulever certaines choses hors de l'avion, mais cette fois, il semble que l'objet résultant aura la forme d'une selle (ou d'un Pringle) au lieu d'un bol. Il s'agit d'une courbure négative (illustrée à droite), et comme le cas de courbure zéro, il peut potentiellement être étendu dans toutes les directions pour toujours, mais contrairement au cas de courbure zéro, il se dilate beaucoup plus rapidement lorsque nous nous éloignons du centre. Si ce modèle devait inclure quelques couches supplémentaires autour du centre, le nombre de panneaux requis augmenterait de façon exponentielle et le modèle commencerait à sembler discordant.

Si vous voulez savoir comment fabriquer correctement des polyèdres en papier, je vous recommande de consulter polyhedra.net et de savoir comment construire des polyèdres. Sinon, vous pouvez continuer à lire. Je n'ai pas de talent brut pour l'artisanat du papier, mais je le rattrape largement par la persévérance, et j'ai pu créer les projets listés ci-dessus après de nombreuses heures de travail. Comme pour toutes choses, cela vous prendra probablement un temps inattendu lorsque vous démarrez pour la première fois, mais après avoir appris comment votre chaîne de montage devrait aller plus vite.

Si vous regardez des conceptions de polyèdres en papier, vous trouverez souvent ceux qui consistent principalement en un maillage polyédrique avec des épingles attachées, ce qui signifie que certains bords sont simplement bouclés, tandis que d'autres sont collés ensemble. Je ne suis pas fan de ce à quoi cela ressemble, car j'aime que tous les bords soient identiques, alors au lieu de cela, je découpe simplement tous les visages séparément avec leur propre jeu d'onglets attachés de chaque côté. Ce n'est pas strictement nécessaire, car une face avec un rabat peut être collée sur une face sans surfaces, mais j'aime l'aspect du léger espace laissé lorsque deux languettes sont collées ensemble. Ensuite, j'étale les épingles et je les colle ensemble à l'intérieur du moule. Voici à quoi ressemble l'intérieur:

En utilisant cette technique, vous n'avez pas besoin d'un filet, mais simplement d'un modèle pour chaque visage. Je commence par découper une copie principale de la forme du visage (sans onglets) à utiliser comme modèle, puis en traçant autour d'elle avec un crayon pour dessiner un tas de copies identiques pour tous les visages individuels. Les faces suivies doivent être séparées d'un pouce environ pour faire de la place aux onglets. Les catégories, en elles-mêmes, n'ont pas besoin d'être suivies car elles veulent toutes être masquées et n'ont pas besoin d'être identiques, vous pouvez donc simplement repérer la forme individuellement. Après les avoir découpés, recourbez les épingles avec une règle pour que le visage lui-même soit bien défini.

Tout coller ensemble est relativement facile, mais prend du temps. J'utilise de la colle scolaire standard. Appliquez une très fine couche de colle sur une languette et maintenez-la très bien contre une autre pendant quelques secondes, puis laissez sécher quelques minutes avant de travailler à nouveau avec la même forme. Je commence par une face principale, puis je pose généralement des couches autour de celle-ci, en créant d'abord une forme de bol, puis en me courbant jusqu'à ce que tout se rencontre sur la face opposée. Pour les polyèdres non convexes, je peux plutôt commencer par assembler des composants séparés, puis les assembler (comme les pyramides de cube composite et d'octaèdre). Évidemment, vous ne pourrez pas maintenir les broches ensemble sur les dernières faces, car elles seront fermées à l'intérieur du moule, vous devrez donc peut-être verser une fine perle de colle dans les derniers bords et sécher loin superflu avec le doigt.

Les ballons de football non euclidiens ci-dessus ont été construits un peu différemment, en partie parce qu'ils devaient être flexibles, et en partie parce que les deux côtés sont visibles et ne pouvaient donc pas être vidés des languettes à l'intérieur. Celles-ci ont été faites en découpant des panneaux sans languettes et en plaçant de petits rectangles avec du papier noir entre eux pour faire office de charnières. En conséquence, les panneaux sont tous légèrement séparés les uns des autres. Ce n'était pas strictement nécessaire pour la boule sphérique, qui ne doit pas se plier et qui a un intérieur caché, mais je l'ai quand même fait pour que les trois parties correspondent.


© 2020 Adam Rumpf

Les solides platoniques fonctionnent comme des cellules unitaires qui se répètent sur elles-mêmes afin de maintenir l’intégrité de leur forme originale. Chaque cellule unitaire contient un volume spécialisé de conscience, ou lien énergétique, qu’elle exprime par sa forme unique. Les cellules unitaires se développent les unes au travers des autres et se soutiennent les unes les autres. c’est la raison pour laquelle certaines cellules deviennent des nerfs, d’autres des muscles, d’autres encore des organes. Chacun suit une directive qui se répète sur lui-même tout en dorénavant l’intégrité d’un corps humain de troisième superficie. Drunvalo Melchizédek note que l’icosaèdre et le dodécaèdre tournent microscopiquement à l’intérieur de la double hélice de notre ADN qui propose et maintient la conscience humaine dans la 3ème dimension. C’est aussi la raison pour laquelle l’humanité, en tant que forme de vie de troisième superficie, ne peut pas voir physiquement des êtres dimensionnels supérieurs. Nos yeux physiques ne peuvent pas reconnaître la signature énergétique des êtres de la septième surface. Cependant, à mesure que notre planète avance vers la cinquième superficie, l’humanité évolue vers notre prochaine expression physique en tant qu’êtres de cinquième dimension sur Terre. A travers nos yeux de cinquième dimension, nous ferons l’expérience de nous-mêmes à l’intérieur de notre nouveau monde dans une perspective d’amour extraordinaire, de pardon compatissant et de grande paix. Travaillez avec ces voitures de la fabrication pour célébrer tout ce que vous devenez. n

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