Icosaèdre – Wikipédia | solides de Platon énergie

Icosaèdre ordinaire
120px-Icosahedron-slowturn.gif "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/120px-Icosahedron-slowturn.gif "decoding =" async "width =" 120 "height =" 120 "data-file-width =" 120 "data-file-height =" 120
Type de surfaces de page triangles équilatéraux
Nombre de zones 20
Nombre de coins 12.
Nombre d'arêtes 30ème
Symbole de sommeil 3,5
doubler à dodécaèdre
Exemple de réseau corporel Icosaèdre flat.svg
Nombre de réseaux différents 43380
Nombre d'arêtes dans un coin 5
Nombre de coins dans une zone troisième

Il (aussi, surtout autrichien: là) icosaèdre (ikozaʔeːdɐ) (du grec ancien εἰκοσάεδρον eikosáedron "Vingt appartement", "Vingt appartement")(1) est l'un des cinq solides platoniques, plus précisément un polyèdre commun (Diverse, Diverse) Med

Icosaèdre avec des exemples des axes de rotation

En raison de sa symétrie élevée – tous les coins, bords et surfaces sont identiques les uns aux autres – l'icosaèdre est un polyèdre commun. Il a:

et est

Au total, le groupe de symétrie de l'icosaèdre – le groupe d'icosaèdre ou le groupe de dodécaèdre – comprend 120 éléments. Le sous-ensemble de rotations d'icosaèdre a l'ordre 60 et est le plus petit groupe unique non marqué (

UNE5 displaystyle A_ 5

, Alternance de groupe d'ordre 5). La symétrie de l'icosaèdre est incompatible avec une structure spatiale périodique en raison de la symétrie quintuple qui se produit avec lui (voir carrelage). Il ne peut donc pas s'agir d'un réseau cristallin à symétrie icosaédrique (voir quasi-cristaux).

Les coordonnées cartésiennes suivantes définissent les coins d'un icosededron de longueur d'arête une = 2, centré sur l'origine:

(0, ± 1, ±
(± 1, ±

Avec

Φ=1+5autres1618{ displaystyle Phi = frac 1 + sqrt 5 2 ca 1 , 618}

(Nombre d'or).

Le dodécaèdre est le double polyèdre de l'icosaèdre et vice versa.

En utilisant des icosaèdres et des dodécaèdres, de nombreux corps peuvent être construits qui ont également le groupe des icosaèdres comme groupe de symétrie. Donc, vous obtenez par exemple

Rectangles dans un icosaèdre

Comme le montre l'illustration ci-contre, on peut sélectionner 3 paires d'arêtes opposées à partir des bords de l'icosaèdre de sorte que ces paires s'étendent sur 3 rectangles congruents et orthogonaux entre eux. Les longueurs sur les côtés de ces rectangles correspondent au nombre d'or car ce sont des côtés ou des diagonales de pentagones ordinaires. L'icosaèdre peut donc être inscrit dans un cube, de sorte que ces 6 arêtes se trouvent dans les 6 surfaces du cube et soient parallèles au bord du cube.

Les 24 arêtes restantes délimitent 8 triangles, qui se trouvent dans les faces d'un octaèdre – entouré par l'icosaèdre, les coins de l'icosaèdre se trouvant sur les bords.

Il existe au total cinq positions de ce type, chaque arête de l'icosaèdre appartenant exactement à un tel groupe de paires d'arêtes orthogonales, tandis que chaque surface se trouve deux fois dans la surface d'un octaèdre circonscrit. Le groupe symos d'icosaèdre provoque les 5! / 2 = 60 permutations correctes de ces cinq positions.

Les bords de l'icosaèdre contiennent douze pentagones plats, chaque bord appartenant à deux et chaque coin à cinq de ces pentagones. Cette fonction peut être utilisée pour créer une structure filaire.

L'icosaèdre peut également être considéré comme une combinaison d'un anti-prisme pentagonal uniforme et d'une pyramide à cinq côtés des deux côtés.

Tailles d'un icosaèdre avec longueur d'arête une
le volume

01 icosahedron tailles.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons once / d / dc / 01_Ikosaeder-Gr% C3% B6% C3% 9Fen.png / 400px-01_Ikosaeder-Gr% C3% B6% C3% 9Fen.png "decoding =" async "width =" 400 "height =" 426 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons ago / d / dc / 01_Ikosaeder-Gr% C3% B6 % C3% 9Fen.png / 600px-01_Ikosaeder-Gr% C3% B6% C3% 9Fen.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons stutt / d / dc / 01_Ikosaeder-Gr% C3% B6% C3% 9Fen.png / 800px-01_Ikosaeder-Gr% C3% B6% C3% 9Fen.png 2x "data-file-width =" 1422 "data-file-height =" 1513

sans angle solide
Contenu de la surface
Rayon de la sphère
Rayon de la boule de bord
rayon de la balle
Condition de volume
au volume orbital
Angle intérieur sur
triangle équilatéral
Angle entre
Zones adjacentes
Angle entre
Bord et surface
Angle de bord 3D
Angle solide dans les coins

le volume(Éditer | Modifier le code source)

L'icosaèdre se compose de vingt pyramides à trois côtés.

Pour une pyramide et donc pour un vingtième d'icosédoine

en elle se trouve la zone de base (triangle équilatéral)

et la hauteur de la pyramide

Hp displaystyle h_ p

égal au rayon de la sphère

rje displaystyle r_ i

il est livré avec inséré Variables pour le volume d'icosaèdre

Contenu de la surface(Éditer | Modifier le code source)

Pour le contenu de surface

UNEO displaystyle A_ O

d'icosaèdre (vingt triangles de même côté) s'applique

Angle entre les surfaces adjacentes(Éditer | Modifier le code source)

Cet angle, marqué

β displaystyle beta

(voir l'image dans formules) a la pointe sur un bord de l'icosaèdre. Il peut être déterminé à l'aide du triangle rectangle suivant.

Les longueurs latérales de ce triangle sont:
Rayon de la boule de bord

rk displaystyle r_ k

comme hypoténuse, dans le rayon de la sphère

rje displaystyle r_ i

comme un grand cathéter et un tiers de la hauteur latérale

1troisièmeHs textstyle frac 1 3 cdot h_ s

comme un petit cathéter. Cette valeur est déterminée par la position du centre de gravité sur la surface triangulaire, le côté la mise au point géométrique divise la hauteur du triangle dans le rapport 2: 1.

Pour l'angle

β displaystyle beta

appliquer

Angle entre le bord et la surface(Éditer | Modifier le code source)

Cet angle, marqué

γ displaystyle gamma

, a la pointe sur un coin d'icosaèdre.

Est, comme dans l'illustration (voir l'image dans formules), l'angle

γ displaystyle gamma

par exemple B. dans le coin

displaystyle D

recherché, puis il utilise les triangles droits

MC. displaystyle DMC

et

ME displaystyle MDE

déterminé. Leur hypoténuse commune

M¯ displaystyle overline MD

, égal au rayon de la sphère

ru displaystyle r_ u

, divise l'angle

γ displaystyle gamma

à des angles non représentés

γ1 displaystyle gamma _ 1

ou.

γautres; displaystyle gamma _ 2;

s'applique donc

γ=γ1+γautres. displaystyle gamma = gamma _ 1 + gamma _ 2.

Les cathéters triangulaires droits

MC. displaystyle DMC

avec angle

γ1 displaystyle gamma _ 1

est:

MC.¯ displaystyle overline MC

, égal au rayon de la sphère

rje displaystyle r_ i

, comme grand cathéter et

C.¯ displaystyle overline CD

, deux tiers de la hauteur latérale

autrestroisièmeHs textstyle frac 2 3 cdot h_ s

du triangle de l'ikosaèdre, comme un petit cathéter. Cette valeur est déterminée par l'emplacement du centre de gravité de la surface triangulaire équilatérale, le côté la mise au point géométrique divise la hauteur du triangle dans le rapport 2: 1.

Les cathéters triangulaires droits

ME displaystyle MDE

avec angle

γautres displaystyle gamma _ 2

est:

ME¯ displaystyle overline ME

, lik kantradius

rk displaystyle r_ k

, comme grand cathéter et

E¯ displaystyle overline DE

, égale à la moitié de la longueur de la page

uneautres displaystyle frac a 2

, comme un petit cathéter.

Pour les angles

γ1 displaystyle gamma _ 1

du triangle

MC. displaystyle DMC

appliquer

pour les angles

γautres displaystyle gamma _ 2

du triangle

ME displaystyle MDE

appliquer

les Un théorème supplémentaire pour la fonction d'arc fournit l'angle

γ=γ1+γautres displaystyle gamma = gamma _ 1 + gamma _ 2

après avoir saisi les valeurs pertinentes (

X=cosγ1,y=cosγautres displaystyle x = cos gamma _ 1, ; y = cos gamma _ 2

) s'applique

Angle de bord 3D(Éditer | Modifier le code source)

Cet angle, marqué

δ displaystyle delta

(voir l'image dans formules) a la pointe sur un coin de l'icosaèdre et correspond à l'angle intérieur du pentagone régulier.

Ainsi, ce qui suit s'applique à l'angle d'arête 3D de l'icosaèdre

s'applique à l'algébrique

(6)

Angle solide dans les coins(Éditer | Modifier le code source)

Une solution pour l'angle fixe

Ω displaystyle Omega

montre la formule suivante, décrite dans Corps platonicien

(7)

Avec le nombre d'arêtes / surfaces sur un coin

n=5 displaystyle n = 5

et l'angle intérieur du triangle équilatéral

une=60 displaystyle a = 60 ^ circ

appliquer

wegen

cos(arcsinx)=1x2displaystyle cos(arcsin x)=sqrt 1-x^2

wird damit

eingesetzt

(2)displaystyle mathsf (2)

in

(1)displaystyle mathsf (1)

und umgeformt

Vereinfachung(8)

Die Punktgruppe des Ikosaeders, die Ikosaedergruppe, wird in der Mathematik vielfach angewendet. Das geht zurück auf die berühmte Monographie von Felix Klein aus dem Jahr 1884 Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade.(9) Die allgemeine Gleichung fünften Grades hat nach der Galoistheorie keine Lösung in Radikalen, da die alternierende Gruppe A5 nicht auflösbar ist.

Große Bedeutung hat die Ikosaeder-Form bei Clustern (Ansammlungen von Atomen in der Größenordnung von 3 bis 50.000 Atomen) ab einer Größe von mehr als 7 Atomen. Grund dafür ist die Regel von Friedel, die besagt, dass diejenige Struktur die geringste Energie besitzt, für die die Anzahl der Nächste-Nachbarn-Bindungen maximal ist. Bei vielen freien Clustern tritt dies ab 7 Atomen auf, wobei es allerdings auch Ausnahmen gibt und andere Strukturen bevorzugt werden (etwa Kuben).

Des Weiteren gibt es in der Clusterphysik sogenannte magische Zahlen, die eng mit dem sogenannten Mackayschen Ikosaeder zusammenhängen. Hier sorgen Schalenabschlüsse (also perfekte Atom-Ikosaeder) für besonders stabile Cluster. Dies tritt bei Clustern mit den magischen Atomzahlen 1, 13, 55, 147, 309, 561, 923 und 1415 auf. Diese recht alten Erkenntnisse von Alan Mackay(10) spielen in der aktuellen Clusterphysik eine bedeutende Rolle.

Die Clusterzahlen lassen sich nach folgender Formel berechnen:

C=10n315n2+11n33displaystyle C=,frac 10n^3-15n^2+11n-33

C = Gesamtzahl der Atome im Cluster
n = Anzahl der Atome pro Kante

  • Die Kapside vieler Viren haben eine ikosaedrische Symmetrie. Das ist dadurch zu erklären, dass Viren ihre Nukleinsäure optimal verpacken. Die Ikosaederform ist in dieser Hinsicht günstig, weil das Ikosaeder von allen regelmäßigen Polyedern mit gegebenem Durchmesser das größte Volumen besitzt. Beispiele sind Rhinovirus (Schnupfen), Hepatitis-B-Virus, Adenovirus und Poliovirus.
  • Das closo-dodeka-Boranat-Anion B12H122− besitzt die Struktur des besonders stabilen B12-Ikosaeders.
  • Rudolf von Laban hatte das Ikosaeder für seine Raumharmonielehre intensiv genutzt und beeinflusste damit den modernen Tanz. Dies wird heute in den Laban-Bewegungsstudien weiter geführt.
  • Stafford Beer hatte in seiner kybernetischen Managementtheorie die Ikosaeder-Struktur als Modell für eine optimale Vernetzung von Mitarbeitern in Teams herausgearbeitet.
  • In vielen Pen-&-Paper-Rollenspielen werden Ikosaeder als zwanzigseitige Spielwürfel (W20) verwendet.
  • Klettergerüste für Kinder sind in der Ikosaederform besonders stabil.
  • Ein in die Erdkugel platziertes Ikosaeder bildet den Kern der Gitterstruktur beim Wettervorhersagemodell ICON des Deutschen Wetterdienstes (ähnlich wie eine geodätische Kuppel bzw. dem Dymaxion-Weltkarten-Entwurf nach Richard Buckminster Fuller).
  • Der Dogic ist eine Variante des Zauberwürfels in Form eines Ikosaeders als dreidimensionales, mechanisches Puzzle.
  • Im Inneren eines Magic 8 Ball befindet sich ein Ikosaeder, auf dem die möglichen Antworten stehen. Es schwimmt in einer dunkelblauen Flüssigkeit im Inneren der Kugel.
  • Beim Militär als Sonarreflektor in der Minenjagd, um ein Grundgewicht in der Nähe einer Grundmine zu positionieren. Hierbei sind die 20 gleichseitigen Dreiecke noch einmal in jeweils 3 nach innen gehende Tetraeder geöffnet, um möglichst viele Reflexionswinkel zu erzeugen.

closo-dodeka-Boranat-Anion B12H122− Ikosaeder

Das Ikosaeder hat 43380 Netze.(11) Das heißt, es gibt 43380 Möglichkeiten, ein hohles Ikosaeder durch Aufschneiden von 11 Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Die anderen 19 Kanten verbinden jeweils die 20 gleichseitigen Dreiecke des Netzes. Um ein Ikosaeder so zu färben, dass keine benachbarten Flächen dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 3 Farben.

Färbungen veranschaulicht
Ikosaeder einbeschrieben vom dualen Dodekaeder

Das Ikosaeder hat einen ihm zugeordneten ungerichteten planaren Graphen mit 12 Knoten, 30 Kanten und 20 Gebieten, der 5-regulär ist, d. h. von jedem Knoten gehen 5 Kanten aus, sodass der Grad für alle Knoten gleich 5 ist. Bei planaren Graphen ist die genaue geometrische Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Ikosaedergraphen entsprechen den Ecken des Ikosaeders.

Die Knoten des Ikosaedergraphen können mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 4 ist (siehe Knotenfärbung). Außerdem können die Kanten mit 5 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 4 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die Kantenfärbung gleich 5 ist (das nebenstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen).

Knotenfärbung des Ikosaedergraphen

Kantenfärbung des Ikosaedergraphen

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die Flächen oder Gebiete zu bestimmen, ist der duale Graph (Dodekaedergraph) mit 20 Knoten, 30 Kanten und 12 Gebieten hilfreich. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des Ikosaedergraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe bijektive Funktion und Abbildung oben). Die Knoten des Dodekaedergraphen können mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, aber nicht mit 2 Farben, sodass die chromatische Zahl des Ikosaedergraphen gleich 3 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 3 ist, sind 3 Farben für eine solche Flächenfärbung des Ikosaeders oder eine Färbung der Gebiete des Ikosaedergraphen nötig.(12)

Die 11 aufgeschnittenen Kanten jedes Netzes (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken (Knoten) einen Spannbaum des Ikosaedergraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Ikosaedernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als dualen Graphen jeweils einem Baum mit 20 Knoten und 19 Kanten und dem maximalen Knotengrad 5. Jede Fläche des Ikosaeders wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommt nicht jede graphentheoretische Konstellation (siehe Isomorphie von Graphen) solcher Bäume vor, aber einige mehrfach.

Der Ikosaedergraph besitzt 2560 Hamiltonkreise, aber keine Eulerkreise.(13)

Ikosaedergraph mit einem der 2560 Hamiltonkreise
  1. Wilhelm Pape: Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (zeno.org).
  2. Mathematische Basteleien – Fußball: Abgestumpftes Ikosaeder.
  3. Eric Weisstein: Regular Icosahedron. Umkugelradius, Formel (12). In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 22. Juni 2020.
  4. Eric Weisstein: Regular Icosahedron. Kantenkugelradius, Formel (16). In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 22. Juni 2020.
  5. Eric Weisstein: Regular Icosahedron. Inkugelradius, Formel (14). In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 22. Juni 2020.
  6. Alternativer Ausdruck für

    . Wolfram Alpha, abgerufen am 22. Juni 2020.

  7. Harish Chandra Rajpoot: Solid angles subtended by the platonic solids (regular polyhedra) at their vertices. SlideShare, März 2015, abgerufen am 22. Juni 2020.
  8. Alternativer Ausdruck für

    . Wolfram Alpha, abgerufen am 22. Juni 2020.

  9. Felix Klein: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. Teubner, Leipzig 1884 (VIII, 260, online).
  10. A. L. Mackay: A dense non-crystallographic packing of equal spheres. In: Acta Crystallographia. Band 15, 1962, S. 916–918, doi:10.1107/S0365110X6200239X.
  11. Wolfram MathWorld: Regular Icosahedron
  12. Mike Zabrocki: HOMEWORK #3 SOLUTIONS – MATH 3260. (PDF) York University, Mathematics and Statistics, Toronto, 2003, S. 4, abgerufen am 31. Mai 2020.
  13. Wolfram MathWorld: Icosahedral Graph


En observant les relations entre les solides de Platon, il est possible de noter que l’icosaèdre est l’inverse précis du dodécaèdre. C’est-à-dire, si vous connectez les échelons centraux des 12 pentagones qui forment le composant éthérique, vous aurez créé les 12 coins de l’icosaèdre aqueux. nC’est intrigant car ce que nous avons pu observer jusqu’à présent de l’éther indique qu’il se comprend effectivement comme un fluide. Certes, la mesure et l’observation de l’éther s’est reconnue assez difficile jusqu’à présent, à cause de son omniprésence. Comment mesurer quelque chose dont on ne peut s’échapper ? Et si nous ne pouvons pas le mesurer, comment pouvons-nous être sûrs qu’il existe ? nNous avons peu de mal à mesurer les autres composants : la masse cinétique de la terre ; les réactions chimiques rendues solubles par l’eau ; la chaleur rayonnante du feu ; les volts du vent électrique. Celles-ci s’observent relativement facilement, ‘ continuellement ouvertes à notre regard ‘ comme elles le font. Mais l’éther super délicat échappe à une détection facile. ‘ n

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