Solide platonicien – Formasearchengine solides de Platon

Dans la géométrie euclidienne, un Solide platonicien est un polyèdre ordinaire et convexe avec des faces congruentes de polygones ordinaires et le même nombre de faces qui se rencontrent à chaque sommet. Cinq solides répondent aux critères et chacun est nommé d'après le nombre de faces.

Les géomètres étudient la beauté mathématique et la symétrie des solides platoniques depuis des milliers d'années. Ils portent le nom de l'ancien philosophe grec Platon qui, dans son dialogue, Timée, a émis l'hypothèse que les éléments classiques étaient constitués de ces substances solides.(1)

L'histoire

Les solides platoniques sont connus depuis l'Antiquité. Les boules de pierre sculptées créées par les derniers Nylites d'Écosse sont dans des modèles ornementaux similaires à eux, mais les solides platoniques ne semblent pas avoir été préférés aux objets moins symétriques, et certains des solides platoniques sont même absents.(2) Les dés remontent au matin de la civilisation avec des formes qui ont eu lieu la cartographie formelle des solides platoniques.

Les anciens Grecs ont étudié les solides platoniques en profondeur. Certaines sources (comme Proclus) attribuent à Pythagore leur découverte. D'autres preuves suggèrent qu'il n'a peut-être connu que le tétraèdre, le cube et le dodécaèdre, et que la découverte de l'octaèdre et de l'icosaèdre appartenait à Theaetetus, un contemporain de Platon. Dans tous les cas, Theaetet a donné une description mathématique des cinq et peut avoir été responsable de la première preuve connue qu'aucun autre polyèdre ordinaire convexe n'existe.

Les solides platoniciens sont proéminents dans la philosophie de Platon, leur homonyme. Platon a écrit à leur sujet dans le dialogue Timée c.360 avant JC où il a associé chacun des quatre éléments classiques (terre, air, eau et feu) à un solide commun. La Terre était associée au cube, l'air à l'octaèdre, l'eau à l'icosaèdre et le feu au tétraèdre. Il y avait des raisons intuitives à ces associations: la chaleur du feu est vive et piquante (comme de petits tétraèdres). L'air est fait de l'octaèdre; ses composants minusule sont si glissants qu'on peut à peine le sentir. L'eau, l'icosaèdre, s'écoule de la main lorsqu'elle est récupérée, comme si elle était faite de petites boules. En revanche, solide solide non sphérique, l'hexaèdre (cube) représente la «terre». Ces petits solides maladroits provoquent l'effritement et la rupture de la saleté lorsqu'ils sont ramassés, ce qui contraste fortement avec le débit constant de l'eau. De plus, on pense que le cube est le seul solide qui dalle l'espace euclidien, provoquant la solidité de la Terre. Cinquième solide platonique, le dodécèdre, remarque vaguement Platon, "… le dieu avait l'habitude de disposer les constellations dans tout le ciel". Aristote ajouta un cinquième élément, aithêr (éther en latin, «éther» en anglais) et postula que les cieux étaient faits de cet élément, mais il n'avait aucun intérêt à le faire correspondre avec le cinquième solide de Platon.(3)

Euclide décrit complètement mathématiquement les solides platoniques dans Élémentssi le dernier livre (Livre XIII) est consacré à leurs propriétés. Les suggestions 13 à 17 du livre XIII décrivent la construction du tétraèdre, des octaèdres, du cube, de l'icosaèdre et du dodécaèdre dans cet ordre. Pour chaque solide, Euclide trouve le rapport entre le diamètre de la sphère circonscrite et la longueur du bord. Dans la proposition 18, il soutient qu'il n'y a plus de polyèdres ordinaires convexes.
Andreas Speiser a fait valoir que la construction des 5 solides communs est le principal objectif du système déductif canonisé en Éléments.Symbole: Sfn Une grande partie des informations du Livre XIII est probablement tirée des travaux de Theaetetus.

Au 16ème siècle, l'astronome allemand Johannes Kepler a tenté de relier les cinq planètes extraterrestres alors connues aux cinq solides platoniques. DANS Mysterium Cosmographicum, publié en 1596, Kepler a proposé un modèle du système solaire dans lequel les cinq solides étaient placés les uns dans les autres et séparés par une série de sphères inscrites et circonscrites. Kepler a suggéré que les relations de distance entre les six planètes connues à l'époque pourraient être comprises sous la forme des cinq solides platoniques enfermés dans une sphère représentant l'orbite de Saturne. Les six sphères correspondaient chacune à l'une des planètes (Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Les solides étaient ordonnés, et les plus intimes étaient des octaèdres, suivis de l'icosaèdre, du dodécèdre, du tétraèdre et enfin du cube, dictant ainsi la structure du système solaire et les relations de distance entre les planètes des solides platoniques. Finalement, l'idée originale de Kepler a dû être abandonnée, mais de ses recherches sont sorties les trois lois de la dynamique orbitale, dont la première était que les orbites des planètes sont des ellipses plutôt que des cercles, et ont changé le cours de la physique et de l'astronomie. Il a également découvert les solides de Kepler.

Au 20e siècle, les tentatives de lier les solides platoniques au monde physique ont été étendues au modèle de la couche d'électrons en chimie par Robert Moon dans une théorie connue sous le nom de «modèle de la lune». Illustration: Sfn

Coordonnées cartésiennes

Pour les solides platoniques centrés à l'origine, les coordonnées cartésiennes des sommets sont:

Coordonnées cartésiennes
Figure tétraèdre octaèdre cube icosaèdre dodécaèdre
sommets 4 6 (2 × 3) 8 12 (4 × 3) 20 (8 + 4 × 3)
coordonnées (1,1,1)
(1, -1, -1)
(-1,1, -1)
(-1, -1,1)
(± 1, 0, 0)
(0, ± 1, 0)
(0, 0, ± 1)
(± 1, ± 1, ± 1) (0, ± 1, ± φ)
(± 1, ± φ, 0)
(± φ, 0, ± 1)
(± 1, ± 1, ± 1)
(0, ± 1 /φ, ±φ)
(± 1 /φ, ±φ, 0)
φ, 0, ± 1 /φ)
Image CubeAndStel.svg Double cube-octaèdre.svg Icosaèdre-rectangles-d'or.svg Cube et dodécaèdre.png

Les coordonnées du tétraèdre représentent la moitié du cube, l'un des deux ensembles de 4 coins en positions doubles. Huit des coins avec des dodécaèdres sont divisés par le cube.

Avec φ=

Propriétés combinatoires

Un polyèdre convexe est un solide platonique si et seulement si

  1. toutes les faces sont des polygones ordinaires convexes congrus,
  2. aucune des faces ne se coupe sauf au niveau des arêtes, et
  3. le même nombre de faces se rencontrent à chacun des sommets.

Chaque solide platonique peut donc être désigné par un symbole p, q

p nombre d'arêtes sur chaque face (ou nombre de coins sur chaque face) et
q = nombre de faces qui se rencontrent à chaque sommet (ou nombre d'arêtes qui se rencontrent à chaque sommet).

Le symbole p, q, appelé le symbole Schläfli, donne une description combinatoire du polyèdre. Les symboles Schläfli pour les cinq solides platoniques sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Toutes les autres informations combinatoires sur ces solides, telles que le nombre total de verticales (V), bords (E) et les visages (F), peut être déterminé à partir de p et q. Comme toute arête joint deux coins et a deux surfaces adjacentes, nous devons avoir:

La deuxième relation entre ces valeurs est donnée par la formule d'Euler:

Ce fait non factuel peut être prouvé de nombreuses manières différentes (en topologie algébrique, il découle du fait que la caractéristique d'Euler de la sphère est de deux). Ensemble, ces trois conditions déterminent complètement V, E, et F:

Notez que vous changez p et q nœuds F et V en partant E inchangé (pour une interprétation géométrique de ce fait, voir la section sur les polyèdres doubles ci-dessous).

Classification

Le résultat classique est qu'il n'existe que cinq polyèdres ordinaires convexes. Deux arguments courants ci-dessous montrent que pas plus de cinq solides platoniques peuvent exister, mais il s'agit d'une question distincte pour démontrer l'existence d'un solide donné – une question à laquelle une construction explicite ne peut pas facilement répondre.

Preuve géométrique

L'argument géométrique suivant est très similaire à celui donné par Euclide dans Éléments:

  1. Chaque sommet du solide doit coïncider avec un sommet d'au moins trois faces.
  2. A chaque sommet du matériau solide, le total, entre les surfaces adjacentes, des angles entre les côtés adjacents respectifs doit être inférieur à 360 °.
  3. Les angles de tous les sommets sur toutes les surfaces d'un solide platonique sont identiques: chaque sommet de chaque face doit contribuer moins de 360 ​​° / 3 = 120 °.
  4. Les polygones ordinaires sur six côtés ou plus ont des angles de seulement 120 ° ou plus, de sorte que la face ordinaire doit être triangulaire, carrée ou pentagonale. Ce qui suit s'applique à ces différentes formes:
    • Surfaces triangulaires: chaque sommet d'un triangle normal est de 60 °, donc une forme peut avoir trois, 4 ou 5 triangles qui se rencontrent à un sommet; ce sont respectivement le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre.
    • Faces carrées: Chaque sommet d'un carré est de 90 °, il n'y a donc qu'un seul arrangement possible avec trois faces dans un sommet, le cube.
    • Faces pentagonales: chaque sommet fait 108 °; encore une fois, il n'y a qu'un seul arrangement, de trois faces dans un sommet, le dodécèdre.
Au total, cela rend 5 solides platoniques possibles.

Preuve topologique

Une preuve purement topologique peut être produite en utilisant uniquement des informations combinatoires sur les solides. La clé est l'observation d'Euler sur ce

VE+F=2 displaystyle V-E + F = 2

, et le fait que

pF=2E=qV displaystyle pF = 2E = qV

, où p représente le nombre d'arêtes sur chaque face et q pour le nombre d'arêtes qui se rencontrent à chaque sommet. En combinant ces équations, l'équation est obtenue

Une simple manipulation algébrique donne alors

Puisque

E displaystyle E

est à proprement parler positif, nous devons avoir

Utilise le fait que p et q les deux doivent être au moins 3, on peut facilement voir qu'il n'y a que cinq possibilités pour (p, q):

Propriétés géométriques

Angles

Il existe un certain nombre d'angles associés à chaque solide platonique. L'angle dièdre est l'angle intérieur entre deux surfaces planes. L'angle dièdre θ du fixe p,q est donné par la formule

Parfois, cela s'exprime plus confortablement sous la forme de la tangente de

La quantité h (appelé le nombre de Coxeter) sont 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre, respectivement.

La déficience angulaire au sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles de la face à ce sommet et 2π. Le défaut, δ, à tout sommet des solides platoniques p,q euh

Dans un théorème de Descartes, cela est égal à 4π divisé par le nombre de sommets (c'est-à-dire que l'erreur totale à tous les sommets est de 4π).

L'analogue tridimensionnel d'un angle plan est un angle solide. L'angle fixe Ω au sommet d'un solide platonique est donné sous la forme de l'angle dièdre avec

Cela découle de la formule de l'excès sphérique pour un polygone sphérique et du fait que le sommet du polyèdre p,q est un régulier q-Gon.

L'angle fixe d'une face soumise à partir du centre d'un solide platonique est égal à l'angle fixe d'une sphère pleine (4π stéradians) divisé par le nombre de faces. Notez que cela correspond à la déficience angulaire du double.

Les différents angles associés aux solides platoniques sont présentés ci-dessous. Les valeurs numériques des angles fixes sont données en stéradians. La constante φ = (1 + √5) / 2 est le nombre d'or.

Rayons, surface et volume

Une autre vertu de la régularité est que les solides platoniques ont tous trois sphères concentriques:

Les rayons de ces sphères sont appelés circumradius, tanière rayon moyen, et inradius. Ce sont les distances entre le centre du polyèdre et les sommets, les centres des arêtes et les centres des faces, respectivement. circumradius R et inradius r du fixe p, q avec longueur d'arête une est donné par

où θ est l'angle dièdre. Le rayon médian ρ est donné par

h est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (h = 4, 6, 6, 10 ou 10). Notez que la relation entre circumradius et inradius est symétrique p et q:

La surface, UNE, d'un solide platonique p, q se calcule facilement comme une aire d'un p-répéter le nombre de faces F. C'est:

Le volume est calculé comme F fois le volume de la pyramide dont la base est régulière p-gon et dont la hauteur est inradius r. C'est,

Le tableau suivant montre les différents rayons des solides platoniques ainsi que leur surface et leur volume. La taille globale est fixée en prenant la longueur du bord, une, pour être égal à 2.

Les constantes φ et ξ ci-dessus sont données par

Parmi les solides platoniques, le dodécaèdre ou l'icosaèdre peut être considéré comme la meilleure approche de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces et le plus grand angle dièdre, il serre sa sphère inscrite le plus étroitement, et le rapport de la surface au volume est le plus proche de celui d'une sphère de même taille (soit la même surface ou le même volume.) Le dodécaèdre, d'autre part, a le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle de sommet fixe, et il remplit le plus sa sphère réécrite.

Symétrie

Double polyèdre

Une double paire: cube et octaèdre.

Chaque polyèdre a un polyèdre double (ou "polaire") avec faces et sommet interchangeables. Le dual de chaque solide platonique est un autre solide platonique, nous pouvons donc organiser les cinq solides en paires doubles.

  • Le tétraèdre est auto-double (c'est-à-dire que son double est un autre tétraèdre).
  • Le cube et l'octaèdre forment une double paire.
  • Le dodécaèdre et l'icosaèdre forment une double paire.

Si un polyèdre a le symbole Schläfli p, q, alors son double symbole a q, p. En fait, chaque propriété combinatoire d'un solide platonique peut être interprétée comme une autre propriété combinatoire du double.

On peut construire le double polyèdre en prenant les verticales du dual comme centre des faces de la figure originale. Si vous connectez les centres à des surfaces adjacentes dans l'original, les arêtes du double sont formées, équilibrant ainsi le nombre de faces et l'apex tout en conservant le nombre d'arêtes.

Plus généralement, on peut dualiser un solide platonique par rapport à une sphère de rayon concentrique avec le solide. Radiene (R, ρ, r) d'un solide et ceux de son double (R*, ρ *, r*) est lié par

Dualisation par rapport à la sphère médiane ( = ρ) est souvent pratique car la sphère intermédiaire a la même relation avec les deux polyèdres. prise 2 = rr donne un double solide avec le même circumradius et inradius (ie R* = R et r* = r).

Groupes de symétrie

En mathématiques, le concept de symétrie est étudié avec la notion de groupe mathématique. Chaque polyèdre a un groupe de symétrie associé, qui est défini avec toutes les transformations (isométries euclidiennes) qui laissent le polyèdre invariant. L'ordre du groupe de symétrie est le nombre de symétries du polyèdre. On distingue souvent groupe de symétrie complète, qui comprend des réflexions, et groupe de symétrie approprié, qui ne comprend que les rotations.

Les groupes de symétrie des solides platoniques sont appelés groupes polyédriques (qui constituent une classe spéciale pour les groupes ponctuels en trois dimensions). Le haut niveau de symétrie des solides platoniques peut être interprété de plusieurs manières. Plus important encore, les verticales de chaque solide sont égales sous l'influence du groupe de symétrie, en plus des arêtes et des faces. On dit que l'action du groupe de symétrie est transitive sur les coins, les arêtes et les faces. En fait, c'est une autre façon de définir la régularité d'un polyèdre: un polyèdre est régulièrement si et seulement si elle est vertex uniforme, arête uniforme et face uniforme.

Il n'y a que trois groupes de symétrie associés aux solides platoniques au lieu de cinq, puisque le groupe de symétrie de tout polyèdre coïncide avec celui de son double. Ceci est facilement visible en examinant la construction du double polyèdre. Toute symétrie de l'original doit être une symétrie duelle et vice versa. Les trois groupes multi-dangereux sont:

Les ordres pour les groupes (rotationnels) corrects sont respectivement de 12, 24 et 60 – exactement deux fois plus d'arêtes dans le polyèdre respectif. Les ordres pour les groupes de symétrie complets sont deux fois plus à gauche (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une dérivation de ces faits. Tous les solides platoniques à l'exception du tétraèdre sont symétrique au centre, ce qui signifie qu'ils sont conservés lors de la réflexion à travers l'origine.

Le tableau ci-dessous montre les différentes propriétés de symétrie des solides platoniques. Les groupes de symétrie répertoriés sont les groupes complets avec les sous-groupes de rotation indiqués entre parenthèses (également pour le nombre de symétries). La construction du kaléidoscope de Wythoff est une méthode de construction de polyèdres directement à partir de leurs groupes de symétrie. Ils sont répertoriés comme un symbole de référence de Wythoff pour chacun des solides platoniques.

polyèdre Schläfli
symbole
Wythoff
symbole
Double
polyèdre
Groupe de symétrie (réflexion, rotation)
polyédrique Schönflies Coxeter Orbifold Ordre
tétraèdre 3, 3 3 | 2 3 tétraèdre tétraédrique Tetrahedral Reflection Domains.png "src =" https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 7/75 / Tetrahedral_reflection_domains.png / 40px-Tetrahedral_reflection_domains.png "decoding =" async "width =" 40 "height "40" srcset = "https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons moment / 7/75 / Tetrahedral_reflection_domains.png / 60px-Tetrahedral_reflection_domains.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia / commons Plus tard / 7/75 / Tetrahedral_reflection_domains.png / 80px-Tetrahedral_reflection_domains.png 2x "data-file-width =" 826 "data-file-height =" 818 T
T
(3,3)
(3,3)+
* 332
332
24
12
cube 4, 3 3 | 2 4 octaèdre octaédrique Réflexion octaédrique domain.png "src =" https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Summit / 1/10 / Octahedral_reflection_domains.png / 40px-Octahedral_reflection_domains.png "decoding =" async "width =" 40 " 39 "srcset =" https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons laten / 1/10 / Octahedral_reflection_domains.png / 60px-Octahedral_reflection_domains.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia / commons laten /1/10/Octahedral_reflection_domains.png/80px-Octahedral_reflection_domains.png 2x "data-file-width =" 825 "data-file-height =" 813 Oh
O
(4,3)
(4,3)+
* 432
432
48
24
octaèdre 3, 4 4 | 2 3 cube
dodécaèdre 5, 3 3 | 2 5 icosaèdre icosaèdre Domaines de réflexion icosaédrique.png "src =" https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons onlangs / e / eb / Icosahedral_reflection_domains.png / 40px-Icosahedral_reflection_domains.png "decoding =" async "width =" 40 "height = "40" srcset = "https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / e / eb / Icosahedral_reflection_domains.png / 60px-Icosahedral_reflection_domains.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia / commons laten / e / eb / Icosahedral_reflection_domains.png / 80px-Icosahedral_reflection_domains.png 2x "data-file-width =" 811 "data-file-height =" 812 jeh
je
(5,3)
(5,3)+
* 532
532
120
60
icosaèdre 3, 5 5 | 2 3 dodécaèdre

Dans la nature et la technologie

Le tétraèdre, le cube et l'octaèdre se produisent tous naturellement dans les structures cristallines. Celles-ci n'échappent nullement au nombre de formes possibles de cristaux. Cependant, ni l'icosaèdre commun ni le dodécèdre commun n'en font partie. L'une des formes, appelée pyritoèdre (du nom du groupe de minéraux car il est typique) a douze surfaces pentagonales, disposées dans le même motif que les faces du dodécaèdre commun. Cependant, les faces du pyritoèdre ne sont pas communes, donc le pyritoèdre n'est pas régulier non plus.

Circogonia icosahedra, une espèce de radiolaire, en forme d'icosaèdre commun.

Au début du 20e siècle, Ernst Haeckel (Haeckel, 1904) a décrit un certain nombre d'espèces de radiolaires, dont certaines ont la forme de divers polyèdres ordinaires. Les exemples comprennent Circoporus octaèdre, Circogonia icosahedra, Lithocubus Geometricus et Circorrhegma dodécaèdres. Les formes de ces créatures doivent être claires à partir des noms.

De nombreux virus, comme le virus de l'herpès, prennent la forme d'un icosaèdre commun. Les structures virales sont constituées de sous-unités protéiques identiques répétées, et l'icosaèdre est la forme la plus facile à assembler en utilisant ces sous-unités. Un polyèdre commun est utilisé car il peut être construit à partir d'une seule protéine unitaire de base qui est utilisée encore et encore; cela économise de l'espace dans le génome viral.

En météorologie et climatologie, les modèles numériques globaux du courant atmosphérique sont d'un intérêt croissant en utilisant des grilles géodésiques basées sur un icosaèdre (affiné par triangulation) au lieu de la longitude / latitude plus couramment utilisée. Ceci présente l'avantage d'une résolution spatiale uniformément répartie sans singularités (c'est-à-dire les pôles) au prix de difficultés numériques un peu plus grandes.

La géométrie des cadres spatiaux est souvent basée sur des solides platoniques. Dans le système MERO, les solides platoniques sont utilisés pour nommer la convention des différentes configurations de trame spatiale. Par exemple, ½O + T fait référence à une configuration composée de demi-octades et d'un tétraèdre.

Plusieurs hydrocarbures platoniques ont été synthétisés, dont le cubain et le dodécaèdre.

Les solides platoniques sont souvent utilisés pour fabriquer des cubes, car les cubes de ces formes peuvent être rendus équitables (cubes équitables). Les dés à 6 faces sont très courants, mais les autres nombres sont souvent utilisés dans les jeux de rôle. Ces dés sont souvent appelés dnn est le nombre de faces (d8, d20, etc.); voir la notation des dés pour plus d'informations.

Ces personnages apparaissent souvent dans d'autres jeux ou puzzles. Les puzzles ressemblant à un cube de Rubik se présentent sous les cinq formes – voir le polyèdre magique.

Flytende krystaller med symmetrier av platoniske faste stoffer

For den mellomliggende materialfase kalt flytende krystaller ble eksistensen av slike symmetrier først foreslått i 1981 av H. Kleinert og K. Maki, og strukturen deres ble analysert i.(4) Se gjennomgangsartikkelen her.
I aluminium ble icosahedral-strukturen oppdaget tre år etter dette av Dan Shechtman, som ga ham Nobelprisen i kjemi i 2011.

Beslektet polyeder og polytoper

Uniform polyhedra

There exist four regular polyhedra which are not convex, called Kepler–Poinsot polyhedra. These all have icosahedral symmetry and may be obtained as stellations of the dodecahedron and the icosahedron.

The next most regular convex polyhedra after the Platonic solids are the cuboctahedron, which is a rectification of the cube and the octahedron, and the icosidodecahedron, which is a rectification of the dodecahedron and the icosahedron (the rectification of the self-dual tetrahedron is a regular octahedron). These are both quasi-regular, meaning that they are vertex- and edge-uniform and have regular faces, but the faces are not all congruent (coming in two different classes). They form two of the thirteen Archimedean solids, which are the convex uniform polyhedra with polyhedral symmetry.

The uniform polyhedra form a much broader class of polyhedra. These figures are vertex-uniform and have one or more types of regular or star polygons for faces. These include all the polyhedra mentioned above together with an infinite set of prisms, an infinite set of antiprisms, and 53 other non-convex forms.

The Johnson solids are convex polyhedra which have regular faces but are not uniform.

Regular tessellations

Regular spherical tilings
Platonic tilings
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3,3 4,3 3,4 3,5 5,3…
Regular dihedral tilings
Hengonal dihedron.png" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Hengonal_dihedron.png/60px-Hengonal_dihedron.png" decoding="async" width="60" height="59" srcset="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Hengonal_dihedron.png/90px-Hengonal_dihedron.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Hengonal_dihedron.png/120px-Hengonal_dihedron.png 2x" data-file-width="621" data-file-height="612 Digonal dihedron.png" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Digonal_dihedron.png/60px-Digonal_dihedron.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Digonal_dihedron.png/90px-Digonal_dihedron.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Digonal_dihedron.png/120px-Digonal_dihedron.png 2x" data-file-width="594" data-file-height="593 Trigonal dihedron.png" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Trigonal_dihedron.png/60px-Trigonal_dihedron.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Trigonal_dihedron.png/90px-Trigonal_dihedron.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Trigonal_dihedron.png/120px-Trigonal_dihedron.png 2x" data-file-width="597" data-file-height="599 Tetragonal dihedron.png" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Tetragonal_dihedron.png/60px-Tetragonal_dihedron.png" decoding="async" width="60" height="61" srcset="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Tetragonal_dihedron.png/90px-Tetragonal_dihedron.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Tetragonal_dihedron.png/120px-Tetragonal_dihedron.png 2x" data-file-width="594" data-file-height="600
1,2 2,2 3,2 4,2 5,2…
Regular hosohedral tilings
Spherical henagonal hosohedron.png" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Spherical_henagonal_hosohedron.png/60px-Spherical_henagonal_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="59" srcset="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Spherical_henagonal_hosohedron.png/90px-Spherical_henagonal_hosohedron.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Spherical_henagonal_hosohedron.png/120px-Spherical_henagonal_hosohedron.png 2x" data-file-width="865" data-file-height="856 Spherical digonal hosohedron.png" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Spherical_digonal_hosohedron.png/60px-Spherical_digonal_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="63" srcset="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Spherical_digonal_hosohedron.png/90px-Spherical_digonal_hosohedron.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Spherical_digonal_hosohedron.png/120px-Spherical_digonal_hosohedron.png 2x" data-file-width="573" data-file-height="603 Spherical trigonal hosohedron.png" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Spherical_trigonal_hosohedron.png/60px-Spherical_trigonal_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Spherical_trigonal_hosohedron.png/90px-Spherical_trigonal_hosohedron.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Spherical_trigonal_hosohedron.png/120px-Spherical_trigonal_hosohedron.png 2x" data-file-width="849" data-file-height="851 Spherical square hosohedron.png" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Spherical_square_hosohedron.png/60px-Spherical_square_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="59" srcset="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Spherical_square_hosohedron.png/90px-Spherical_square_hosohedron.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Spherical_square_hosohedron.png/120px-Spherical_square_hosohedron.png 2x" data-file-width="792" data-file-height="774 Spherical pentagonal hosohedron.png" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Spherical_pentagonal_hosohedron.png/60px-Spherical_pentagonal_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="59" srcset="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Spherical_pentagonal_hosohedron.png/90px-Spherical_pentagonal_hosohedron.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Spherical_pentagonal_hosohedron.png/120px-Spherical_pentagonal_hosohedron.png 2x" data-file-width="777" data-file-height="770
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5…

The three regular tessellations of the plane are closely related to the Platonic solids. Indeed, one can view the Platonic solids as regular tessellations of the sphere. This is done by projecting each solid onto a concentric sphere. The faces project onto regular spherical polygons which exactly cover the sphere. Spherical tilings provide two additional sets of regular tilings, the hosohedra, 2,n with 2 vertices at the poles, and lune faces, and the dual dihedra, n,2 with 2 hemispherical faces and regularly spaced vertices on the equator.

One can show that every regular tessellation of the sphere is characterized by a pair of integers p, q with 1/p + 1/q > 1/2. Likewise, a regular tessellation of the plane is characterized by the condition 1/p + 1/q = 1/2. There are three possibilities:

In a similar manner one can consider regular tessellations of the hyperbolic plane. These are characterized by the condition 1/p + 1/q < 1/2. There is an infinite family of such tessellations.

Higher dimensions

In more than three dimensions, polyhedra generalize to polytopes, with higher-dimensional convex regular polytopes being the equivalents of the three-dimensional Platonic solids.

In the mid-19th century the Swiss mathematician Ludwig Schläfli discovered the four-dimensional analogues of the Platonic solids, called convex regular 4-polytopes. There are exactly six of these figures; five are analogous to the Platonic solids, while the sixth one, the 24-cell, has one lower-dimension analogue (truncation of a simplex-faceted polyhedron that has simplices for ridges and is self-dual): the hexagon.

In all dimensions higher than four, there are only three convex regular polytopes: the simplex, the hypercube, and the cross-polytope.Template:Sfn In three dimensions, these coincide with the tetrahedron, the cube, and the octahedron.

See also

Template:Columns-list

Notes

  1. Template:Cite web
  2. Template:Cite web; see also Lloyd D. R, (2012), How old are the Platonic Solids?, BSHM Bulletin: Journal of
    the British Society for the History of Mathematics, 27:3, 131-140
  3. See e.g. citation
    . Wildberg discusses the correspondence of the Platonic solids with elements in Timaeus but notes that this correspondence appears to have been forgotten in Epinomis, which he calls "a long step towards Aristotle&#39;s theory", and he points out that Aristotle&#39;s ether is above the other four elements rather than on an equal footing with them, making the correspondence less apposite.
  4. citation

références

  • citation
  • CitationClass=book

    • CitationClass=book

      • CitationClass=book

        • Haeckel, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. (1998); Art forms in nature, Prestel USA. ISBN 3-7913-1990-6.
        • Template:Cite web
        • Kepler "Strena seu de nive sexangula" (On the Six-Cornered Snowflake), 1611 paper by Kepler which discussed the reason for the six-angled shape of the snow crystals and the forms and symmetries in nature. Talks about platonic solids.
        • citation
        • #invoke:citation/CS1

          External links

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Les solides platoniques marchent comme des cellules unitaires qui se répètent sur elles-mêmes afin de maintenir l’intégrité de leur forme originale. Chaque cellule unitaire a un volume spécifique de conscience, ou lien énergétique, qu’elle exprime par sa forme unique. Les cellules unitaires se développent les unes au travers des autres et se soutiennent les unes les autres. c’est la raison pour laquelle certaines cellules deviennent des nerfs, d’autres des groupes musculaires, d’autres encore des organes. Chacun suit une directive qui se répète sur lui-même tout en à présent l’intégrité d’un corps humain de troisième surface. Drunvalo Melchizédek note que l’icosaèdre et le dodécaèdre tournent microscopiquement à l’intérieur de la double hélice de notre ADN qui transmet et maintient la conscience humaine dans la troisième superficie. C’est aussi la raison pour laquelle l’humanité, en tant que forme de vie de 3ème dimension, ne peut pas voir physiquement des êtres dimensionnels supérieurs. Nos yeux physiques ne peuvent pas distinguer la signature énergétique des êtres de la septième surface. Cependant, à mesure que notre planète avance vers la cinquième dimension, l’humanité avance vers notre prochaine expression physique en tant qu’êtres de cinquième superficie sur Terre. A travers nos yeux de cinquième dimension, nous ferons l’expérience de nous-mêmes à l’intérieur de notre nouveau monde dans une perspective d’amour inconditionnel, de pardon compatissant et de grande paix. Travaillez avec ces véhicules de la création pour célébrer tout ce que vous devenez

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