2.5: Solides platoniques – Mathématiques LibreTexts | solides de Platon énergie

Bien sûr, nous vivons dans un monde en trois dimensions (au moins!), Donc étudier la géométrie plate n'a pas beaucoup de sens. Pourquoi ne pas penser également à des objets tridimensionnels?

Définition

UNE polyèdre est une figure solide (tridimensionnelle) délimitée par des polygones. Un polyèdre a visages qui sont des polygones plats, droits bords où les visages se rencontrent par paires, et sommets où trois arêtes ou plus se rencontrent.

La majorité des polyèdres sont polyèdres.

Rappelez-vous qu'un polygone ordinaire tous les côtés ont la même longueur et tous les angles les mêmes dimensions. C'est une notion similaire (quoique un peu plus compliquée) à propos de régulièrement pour les nombres solides.

Définition

A rpolyèdre égulaire avoir des visages qui sont tous polygones ordinaires identiques (congruents). Tous les sommets sont également identiques (le même nombre de faces se rencontrent dans chaque sommet).

Les polyèdres ordinaires sont également appelés Solides platoniques (nommé d'après Platon).

Si vous fixez le nombre de pages et leur longueur, il existe un et un seul polygone régulier avec ce nombre de pages. Autrement dit, chaque côté carré commun est un carré, mais il peut y avoir des carrés de différentes tailles. Chaque octogone régulier ressemble à un panneau d'arrêt, mais il peut être agrandi ou réduit. Votre travail dans cette section est de découvrir ce que nous pouvons dire sur le polyèdre ordinaire.

Par eux-même

Travaillez seul ou avec un partenaire sur les exercices suivants. Vous devrez faire de nombreuses copies des polygones réguliers ci-dessous. Copiez et coupez au moins:

  • 40 exemplaires du triangle équilatéral,
  • 15 exemplaires du carré,
  • 20 exemplaires du pentathlon régulier, et
  • 10 copies chacune d'hexagone, heptagone et octogone.

Vous avez également besoin de ruban adhésif.

eqtri.png

square3.png

pentagone-300x277.png

hexagone-300x255.png

heptagone-300x287.png

octogone-300x293.png

  1. Dans tout polyèdre, au moins trois polygones se rencontrent à chaque sommet. Commencez par les triangles équilatéraux: Définissez Trois d'entre eux se réunissent au sommet et les perdent ensemble. Ensuite, ouvrez-les pour qu'ils forment une forme solide. Pouvez-vous compléter ce formulaire en un solide platonique? Assurez-vous de le vérifier dans chaque sommet que vous avez exactement trois les triangles se rencontrent.
  2. Répétez ce processus, mais commencez par quatre triangles équilatéraux autour d'un seul sommet. Ensuite, ouvrez-les pour qu'ils forment une forme solide. Pouvez-vous compléter cela en un solide platonique? Assurez-vous de le vérifier dans chaque sommet que vous avez exactement quatre les triangles se rencontrent.
  3. Répétez ce processus avec cinq triangles équilatéraux, puis six, puis sept, et ainsi de suite. Continuez jusqu'à ce que vous soyez convaincu que vous comprenez ce qui arrive aux solides platoniques qui ont des faces triangulaires.
  4. Lorsque vous avez terminé avec les faces triangulaires, passez aux faces carrées. Travaillez systématiquement: essayez de construire un solide platonique avec trois carrés dans chaque sommet, puis quatre, puis cinq, etc. Continuez jusqu'à ce que vous puissiez trouver une définition des solides platoniques avec des faces carrées.
  5. Répétez ce processus avec les autres polygones courants que vous avez découpés: pentagones, hexagones, heptagones et octogones.

Vous devez avoir remarqué que la situation des solides platoniques est assez différente de la situation des polygones ordinaires. C'est infini beaucoup polygones réguliers (même si vous ne tenez pas compte de la taille). C'est un polygone régulier avec n pages pour chaque valeur de n supérieur à 2. Mais pour les solides, nous avons le résultat suivant (peut-être surprenant).

théorème

Il y a exactement cinq solides platoniques.

Le fait clé est que pour qu'un solide tridimensionnel se referme et forme un polyèdre, il doit être inférieur à 360 ° autour de chaque sommet. Sinon, il est soit plat (s'il fait exactement 360 °) soit se replie sur lui-même (s'il fait plus de 360 ​​°).

Exercice 9

Sur la base de votre travail dans les exercices, vous devriez être en mesure d'écrire une justification convaincante de la phrase ci-dessus. Voici un croquis et vous devez remplir les explications.

  1. Si un solide platonique a des faces égales aux triangles latéraux, moins de 6 faces doivent se rencontrer à chaque sommet. Pourquoi?
  2. Si un solide platonique a des faces carrées, trois faces peuvent se rencontrer à chaque sommet, mais pas plus. Pourquoi?
  3. Si un solide platonique a des faces qui sont des pentagones ordinaires, trois faces peuvent se rencontrer à chaque sommet, mais pas plus. Pourquoi?
  4. Les hexagones ordinaires ne peuvent pas être utilisés comme faces pour un solide platonique. Pourquoi?
  5. De même, commun n-Gagne pour n supérieur à 6 ne peut pas être utilisé comme faces pour un solide platonique. Pourquoi?

  1. Image de Tom Ruen (domaine public), via Wikimedia Commons
  2. Image via pixababy.com, licence CC0 Creative Commons.
  3. Image par Aldoaldoz (Travail personnel) (CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons.
  4. Photo de By Thinkingarena (Travail personnel) (CC BY-SA 4.0), via Wikimedia Commons
  5. Image de Robert Webb & # 39; s Logiciel Stella: http://www.software3d.com/Stella.php, via Wikimedia Commons.
  6. Image DTR CC-BY-SA-3.0), via Wikimedia Commons
  7. Imgae de Stephen.G.McAteer (Travail personnel) (CC BY-SA 3.0), via Wikimedia Commons.
  8. Imgae via Wikimedia Commons (domaine public).
  9. Image de soi (CC BY-SA 3.0), via Wikimedia Commons.

Les robustes de Platon sont des formes qui déterminent partie de la forme sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées sur la planète entier pendant plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. nIls sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du nombre de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. nLes 4 premières formes correspondent aux composants : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.

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