Solide platonicien – Wikipédia | pierre énergétique

Polyèdre simple convexe avec le même nombre de faces à chaque sommet

Dans l'espace tridimensionnel, un Solide platonicien est un polyèdre simple et convexe. Il est composé de surfaces polygonales congruentes (de forme et de taille identiques), régulières (tous les angles sont égaux et tous les côtés égaux), avec le même nombre de faces qui se rencontrent à chaque sommet. Cinq solides répondent à ces critères:

Les géomètres étudient les solides platoniques depuis des milliers d'années.(1) Ils portent le nom de l'ancien philosophe grec Platon qui a assumé dans l'un de ses dialogues, le Timée, que les éléments classiques étaient constitués de ces solides solides.(2)

L'histoire(Éditer)

Affectation des éléments dans Keplers Mysterium Cosmographicum

Les solides platoniques sont connus depuis l'Antiquité.
Il a été suggéré que certains
des boules de pierre sculptées créées par les derniers Néolithiques d'Écosse représentent ces formes; cependant, ces billes ont des boutons arrondis au lieu d'être polyédriques,
le nombre de boutons différait souvent du nombre de verticales dans les solides platoniques, il n'y a pas de billes avec les boutons correspondant aux 20 coins du dodécaèdre, et la disposition des boutons n'était pas toujours symétrique.

Les anciens Grecs ont étudié les solides platoniques en profondeur. Certaines sources (comme Proclus) attribuent à Pythagore leur découverte. D'autres preuves suggèrent qu'il n'a peut-être connu que le tétraèdre, le cube et le dodécaèdre, et que la découverte de l'octaèdre et de l'icosaèdre appartenait à Theaetetus, un contemporain de Platon. En tout cas, Theaetet a donné une description mathématique des cinq et peut avoir été responsable de la première preuve connue qu'aucun autre polyèdre ordinaire convexe n'existe.

Les solides platoniciens sont proéminents dans la philosophie de Platon, leur homonyme. Platon a écrit à leur sujet dans le dialogue Timée c.360 avant JC où il a associé chacun des quatre éléments classiques (terre, air, eau et feu) à un solide commun. La Terre était associée au cube, l'air à l'octaèdre, l'eau à l'icosaèdre et le feu au tétraèdre. Il y avait des raisons intuitives à ces associations: la chaleur du feu est vive et piquante (comme de petits tétraèdres). L'air est fait de l'octaèdre; ses composants minusule sont si glissants qu'on peut à peine le sentir. L'eau, l'icosaèdre, s'écoule de la main lorsqu'elle est récupérée, comme si elle était faite de minuscules boules. En revanche, solide solide non sphérique, l'hexaèdre (cube) représente la «terre». Ces petits solides maladroits provoquent l'effritement et la rupture de la saleté lorsqu'ils sont ramassés, ce qui contraste fortement avec le débit constant de l'eau.(source nécessaire) De plus, on pense que le cube est le seul solide qui dalle l'espace euclidien, provoquant la solidification de la terre.

Du cinquième solide platonique, le dodécaèdre, Platon, remarqua obscurément, "… le dieu s'en servit pour arranger les constellations dans tout le ciel." Aristote ajouta un cinquième élément, aithēr (éther en latin, «éther» en anglais) et postula que les cieux étaient faits de cet élément, mais il n'avait aucun intérêt à l'appariement avec le cinquième solide de Platon.(4)

Euclide décrit complètement mathématiquement les solides platoniques dans Élémentssi le dernier livre (Livre XIII) est consacré à leurs propriétés. Les suggestions 13 à 17 du livre XIII décrivent la construction du tétraèdre, des octaèdres, du cube, de l'icosaèdre et du dodécaèdre dans cet ordre. Pour chaque solide, Euclide trouve le rapport entre le diamètre de la sphère circonscrite et la longueur du bord. Dans la proposition 18, il soutient qu'il n'y a plus de polyèdres ordinaires convexes.
Andreas Speiser a fait valoir que la construction des 5 solides est le principal objectif du système déductif canonisé en Éléments. Une grande partie des informations du livre XIII est probablement tirée des travaux de Theaetetus.

Au 16ème siècle, l'astronome allemand Johannes Kepler a tenté de relier les cinq planètes extraterrestres alors connues aux cinq solides platoniques. DANS Mysterium Cosmographicum, publié en 1596, Kepler proposa un modèle du système solaire dans lequel les cinq solides étaient placés les uns dans les autres et séparés par une série de sphères inscrites et circonscrites. Kepler a suggéré que les relations de distance entre les six planètes connues à l'époque pourraient être comprises sous la forme des cinq solides platoniques enfermés dans une sphère représentant l'orbite de Saturne. Les six sphères correspondaient chacune à l'une des planètes (Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Les solides étaient ordonnés et les plus intimes étaient les octaèdres, suivis de l'icosaèdre, du dodécèdre, du tétraèdre et enfin du cube, dictant ainsi la structure du système solaire et les relations de distance entre les planètes des solides platoniques. Finalement, l'idée originale de Kepler a dû être abandonnée, mais de ses recherches sont sorties les trois lois de la dynamique orbitale, dont la première était que les orbites des planètes sont des ellipses plutôt que des cercles, et ont changé le cours de la physique et de l'astronomie. Il a également découvert les solides de Kepler.

Au 20e siècle, les tentatives de relier les solides platoniques au monde physique ont été étendues au modèle de la couche d'électrons en chimie par Robert Moon dans une théorie connue sous le nom de «modèle de la lune».

Coordonnées cartésiennes(Éditer)

Pour les solides platoniques centrés à l'origine, les coordonnées cartésiennes simples des sommets sont données ci-dessous. La lettre grecque φ utilisé pour représenter le nombre d'or 1 + 5/2 ≈ 1.6180.

paramètres
Figure tétraèdre octaèdre cube icosaèdre dodécaèdre
visages 4 8 6 20 12
sommets 4 6 (2 × 3) 8 12 (4 × 3) 20 (8 + 4 × 3)
Compte rendu
ensemble
1 2 1 2 1 2
Sommet
coordonnées
(1, 1, 1)
(1, −1, −1)
(−1, 1, −1)
(−1, −1, 1)
(−1, −1, −1)
(−1, 1, 1)
(1, −1, 1)
(1, 1, −1)
(± 1, 0, 0)
(0, ± 1, 0)
(0, 0, ± 1)
(± 1, ± 1, ± 1) (0, ± 1, ±φ)
(± 1, ±φ, 0)
φ, 0, ± 1)
(0, ±φ, ± 1)
φ, ± 1, 0)
(± 1, 0, ±φ)
(± 1, ± 1, ± 1)
(0, ±1/φ, ±φ)
1/φ, ±φ, 0)
φ, 0, ±1/φ)
(± 1, ± 1, ± 1)
(0, ±φ, ±1/φ)
φ, ±1/φ, 0)
1/φ, 0, ±φ)
Image CubeAndStel.svg Double cube-octaèdre.svg Icosaèdre-rectangles-d'or.svg Cube et dodécaèdre.png

Les coordonnées du tétraèdre, du dodécaèdre et de l'icosaèdre sont données dans deux ensembles d'orientation, chacun contenant la moitié du signe et la permutation de position des coordonnées.

Ces coordonnées révèlent certaines relations entre les solides platoniques: les sommets du tétraèdre représentent la moitié du cube comme 4.3 ou Nœud CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, l'un des deux ensembles de 4 coins en position double, comme h 4.3 ou Nœud CDel h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. Les deux positions tétraédriques font de la composition des octaèdres stellaires.

Les coordonnées de l'icosaèdre sont liées à deux ensembles alternés de coordonnées d'un octaèdre tronqué non uniforme, t 3,4 ou Nœud CDel 1.pngCDel 3.pngNœud CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.png, également appelé un octaèdre snub, comme s 3.4 ou Nœud CDel h.pngCDel 3.pngNœud CDel h.pngCDel 4.pngCDel node.png, et vu dans la connexion de deux icosaèdres.

Huit des coins du dodécaèdre sont divisés par le cube. Remplir toutes les directions conduit à la composition de cinq dés.

Propriétés combinatoires(Éditer)

Un polyèdre convexe est un solide platonique si et seulement si

  1. toutes les faces sont des polygones ordinaires convexes congrus,
  2. aucune des faces ne se coupe sauf au niveau des arêtes, et
  3. le même nombre de faces se rencontrent à chacun des sommets.

Chaque solide platonique peut donc être désigné par un symbole p, q

p est le nombre d'arêtes (ou, comme, de verticales) sur chaque face, et
q est le nombre de faces (ou d'arêtes correspondantes) qui se rencontrent à chaque sommet.

Le symbole p, q, appelé le symbole Schläfli, donne une description combinatoire du polyèdre. Les symboles Schläfli pour les cinq solides platoniques sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Ce qui précède sous forme de graphe plan bidimensionnel

Toutes les autres informations combinatoires sur ces solides, telles que le nombre total de verticales (V), bords (E) et les visages (F), peut être déterminé à partir de p et q. Comme toute arête joint deux coins et a deux surfaces adjacentes, nous devons avoir:

La deuxième relation entre ces valeurs est donnée par Formule d'Euler:

Cela peut être prouvé de plusieurs manières. Ensemble, ces trois conditions déterminent complètement V, E, et F:

commutation p et q nœuds F et V en partant E inchangé. Pour une interprétation géométrique de cette propriété, voir § Double polyèdre ci-dessous.

En tant que configuration(Éditer)

Les éléments d'un polyèdre peuvent être exprimés dans une matrice de configuration. Les lignes et les colonnes correspondent aux sommets, arêtes et faces. Les nombres diagonaux indiquent combien de chaque élément se produit dans tout le polyèdre. Les nombres non diagonaux indiquent le nombre d'éléments de colonne dans ou près de l'élément de ligne. Deux paires de polyèdres ont leurs matrices de configuration tournées à 180 degrés l'une de l'autre.(7)

P, q Configurations platoniciennes
Ordre de groupe:
g = 8pq/ (4- (p-2) (q-2))
g= 24 g= 48 g= 120
v e F
v g/ 2q q q
e 2 g/ 4 2
F p p g/ 2p
3,5
12 5 5
2 30 2
3 3 20
5,3
20 3 3
2 30 2
5 5 12

Classification(Éditer)

Le résultat classique est qu'il n'existe que cinq polyèdres ordinaires convexes. Deux arguments courants ci-dessous montrent que pas plus de cinq solides platoniques peuvent exister, mais c'est une question distincte pour démontrer l'existence d'un solide donné – une qui nécessite une construction explicite.

Preuve géométrique(Éditer)

Fil polygonal autour d'un sommet
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3,3
180 ° défectueux
Polyiamond-4-1.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons onlangs / 1/16 / Polyiamond-4-1.svg / 80px-Polyiamond-4-1.svg.png " decoding = "async" width = "80" height = "71" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 1/16 / Polyiamond-4-1.svg / 120px-Polyiamond-4 -1 .svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons laten / 1/16 / Polyiamond-4-1.svg / 160px-Polyiamond-4-1.svg.png 2x "data-file-width = "90" hauteur du fichier de données = "80
3,4
Défectueux 120 °
Polyiamond-5-4.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons onlangs / 6/60 / Polyiamond-5-4.svg / 80px-Polyiamond-5-4.svg.png " decoding = "async" width = "80" height = "71" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons laten / 6/60 / Polyiamond-5-4.svg / 120px-Polyiamond-5-4 .svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons laten / 6/60 / Polyiamond-5-4.svg / 160px-Polyiamond-5-4.svg.png 2x "data-file-width = "90" hauteur du fichier de données = "80
3,5
Erreur 60 °
Polyiamond-6-11.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons onlangs / 1/17 / Polyiamond-6-11.svg / 80px-Polyiamond-6-11.svg.png " decoding = "async" width = "80" height = "71" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Summit / 1/17 / Polyiamond-6-11.svg / 120px-Polyiamond-6-11 .svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons laten / 1/17 / Polyiamond-6-11.svg / 160px-Polyiamond-6-11.svg.png 2x "data-file-width = "90" hauteur du fichier de données = "80
3,6
Erreur 0 °
TrominoV.jpg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 3 / 3f / TrominoV.jpg / 80px-TrominoV.jpg "decoding =" async "width =" 80 "height =" 80 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons moment / 3 / 3f / TrominoV.jpg / 120px-TrominoV.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 3 / 3f / TrominoV.jpg / 160px-TrominoV.jpg 2x "data-file-width =" 200 "data-file-height =" 200
4,3
90 ° défectueux
Carrelage carré vertfig.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / a / a1 / Square_tiling_vertfig.png / 80px-Square_tiling_vertfig.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "80" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons laten / a / a1 / Square_tiling_vertfig.png / 120px-Square_tiling_vertfig.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons aussi / a / a1 / Square_tiling_vertfig.png / 160px-Square_tiling_vertfig.png 2x "data-file-width =" 600 "data-file-height =" 600
4.4
Erreur 0 °
Pentagon net.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons laten / 9/99 / Pentagon_net.png / 80px-Pentagon_net.png "decoding =" async "width =" 80 "height =" 64 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons laten / 9/99 / Pentagon_net.png / 120px-Pentagon_net.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 9/99 / Pentagon_net.png / 160px-Pentagon_net.png 2x "data-file-width =" 1913 "data-file-height =" 1526
5,3
Erreur 36 °
Mosaïque hexagonale vertfig.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons once / a / ab / Hexagonal_tiling_vertfig.png / 80px-Hexagonal_tiling_vertfig.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "79" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons ago / a / ab / Hexagonal_tiling_vertfig.png / 120px-Hexagonal_tiling_vertfig.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons par exemple / a / ab / Hexagonal_tiling_vertfig.png / 160px-Hexagonal_tiling_vertfig.png 2x "data-file-width =" 536 "data-file-height =" 531
6,3
Erreur 0 °
Un sommet a besoin d'au moins 3 faces et d'une erreur angulaire.
Une erreur angulaire de 0 ° remplira le plan euclidien d'un pavage normal.
Selon le théorème de Descartes, le nombre de verticales est de 720 ° /défectueux.

L'argument géométrique suivant est très similaire à celui donné par Euclide dans Éléments:

  1. Chaque sommet du solide doit être un sommet d'au moins trois faces.
  2. A chaque sommet du matériau solide, le total, entre les surfaces adjacentes, des angles entre les côtés adjacents respectifs doit être inférieur à 360 °. La quantité inférieure à 360 ° est appelée un défaut angulaire.
  3. Les angles de tous les sommets de toutes les faces dans un solide platonique sont identiques: chaque sommet de chaque face doit contribuer moins de 360 °/3 = 120 °.
  4. Les polygones ordinaires sur six côtés ou plus n'ont que des angles de 120 ° ou plus, de sorte que la face ordinaire doit être triangulaire, carrée ou pentagonale. Ce qui suit s'applique à ces différentes formes:
    • Surfaces triangulaires: chaque sommet d'un triangle normal est de 60 °, donc une forme peut avoir trois, 4 ou 5 triangles qui se rencontrent à un sommet; ce sont respectivement le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre.
    • Faces carrées: Chaque sommet d'un carré est de 90 °, il n'y a donc qu'un seul arrangement possible avec trois faces dans un sommet, le cube.
    • Faces pentagonales: chaque sommet fait 108 °; encore une fois, un seul arrangement de trois faces à un sommet est possible, le dodécèdre.
Au total, cela rend 5 solides platoniques possibles.

Preuve topologique(Éditer)

Une preuve purement topologique peut être produite en utilisant uniquement des informations combinatoires sur les solides. La clé est l'observation d'Euler sur ce VE + F = 2, et le fait que pF = 2E = QV, où p représente le nombre d'arêtes sur chaque face et q pour le nombre d'arêtes qui se rencontrent à chaque sommet. En combinant ces équations, l'équation est obtenue

Une simple manipulation algébrique donne alors

Puisque E est à proprement parler positif, nous devons avoir

Utilise le fait que p et q les deux doivent être au moins 3, on peut facilement voir qu'il n'y a que cinq possibilités pour p, q:

3, 3, 4, 3, 3, 4, 5, 3, 3, 5.

Propriétés géométriques(Éditer)

Angles(Éditer)

Il existe un certain nombre d'angles associés à chaque solide platonique. L'angle dièdre est l'angle intérieur entre deux surfaces planes. L'angle dièdre, θ, du fixe p,q est donné par la formule

Parfois, cela s'exprime plus confortablement en termes de tangente de

La quantité h (appelé Nombre de Coxeter) sont respectivement 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre.

Le défaut d'angle dans le sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles de face dans ce sommet et 2π. Le manque, δ, dans n'importe quel sommet de solides platoniques p,q euh

Selon un théorème de Descartes, c'est égal à 4π divisé par le nombre de sommets (c'est-à-dire que l'erreur totale à tous les sommets est de 4)π).

L'analogue tridimensionnel d'un angle plan est un angle solide. L'angle solide, Ω, au sommet d'un solide platonique est donné sous la forme de l'angle dièdre avec

Cela découle de formule sphérique redondante pour un polygone sphérique et le fait que le sommet du polyèdre p,q est un régulier q-Gon.

L'angle fixe d'une face soumise à partir du centre d'un solide platonique est égal à l'angle fixe d'une sphère pleine (4π stéradians) divisé par le nombre de faces. Cela correspond au manque angulaire du double.

Les différents angles associés aux solides platoniques sont présentés ci-dessous. Les valeurs numériques des angles fixes sont données en stéradians. La constante φ = 1 + 5/2 est le nombre d'or.

Rayons, surface et volume(Éditer)

Une autre vertu de la régularité est que les solides platoniques ont tous trois sphères concentriques:

Les rayons de ces sphères sont appelés circumradius, tanière rayon moyen, et inradius. Ce sont les distances entre le centre du polyèdre et les sommets, les centres des arêtes et les centres des faces, respectivement. circumradius R et inradius r du fixe p, q avec longueur d'arête une est donné par

θ est l'angle dièdre. Midradiusen ρ est donné par

h est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (h = 4, 6, 6, 10 ou 10). La relation entre circumradius et inradius est symétrique p et q:

le superficie, UNE, d'un solide platonique p, q se calcule facilement comme une aire d'un p-répéter le nombre de faces F. C'est:

le le volume est calculé comme F fois le volume de la pyramide dont la base est régulière p-gon et dont la hauteur est inradius r. C'est,

Le tableau suivant montre les différents rayons des solides platoniques ainsi que leur surface et leur volume. La taille globale est fixée en prenant la longueur du bord, une, pour être égal à 2.

Les constantes φ et ξ dans ce qui précède est donné par

Parmi les solides platoniques, le dodécaèdre ou l'icosaèdre peut être considéré comme la meilleure approche de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces et le plus grand angle dièdre, il serre sa sphère inscrite le plus étroitement, et le rapport de la surface au volume est le plus proche de celui d'une sphère de même taille (soit la même surface ou le même volume.) Le dodécaèdre, d'autre part, a le plus petit angle de bord, le plus grand angle fixe de sommet, et il remplit le plus sa sphère circonscrite.

Propriété Rupert(Éditer)

Un polyèdre P est dit avoir Rupert propriété si un polyèdre de taille identique ou supérieure et de même forme que P peut passer à travers un trou P.(8)
Les cinq solides platoniques ont cette propriété.(8)(9)(dix)

Symétrie(Éditer)

Double polyèdre(Éditer)

Chaque polyèdre a un polyèdre double (ou "polaire") avec faces et sommet interchangeables. Le dual de chaque solide platonique est un autre solide platonique, nous pouvons donc organiser les cinq solides en paires doubles.

  • Le tétraèdre est auto-double (c'est-à-dire que son double est un autre tétraèdre).
  • Le cube et l'octaèdre forment une double paire.
  • Le dodécaèdre et l'icosaèdre forment une double paire.

Si un polyèdre a le symbole Schläfli p, q, alors son double symbole a q, p. En fait, chaque propriété combinatoire d'un solide platonique peut être interprétée comme une autre propriété combinatoire de double.

On peut construire le double polyèdre en prenant les verticales du dual comme centre des faces de la figure originale. Si vous connectez les centres à des surfaces adjacentes dans l'original, les arêtes du double sont formées, équilibrant ainsi le nombre de faces et le sommet tout en conservant le nombre d'arêtes.

Plus généralement, on peut dualiser un solide platonique par rapport à une sphère de rayon concentrique avec le solide. Radiene (R, ρ, r) d'un solide et ceux de son double (R*, ρ*, r*) est lié par

Dualisation par rapport à la sphère médiane ( = ρ) est souvent pratique car la sphère intermédiaire a la même relation avec les deux polyèdres. prise 2 = rr donne un double solide avec le même circumradius et inradius (ie R* = R et r* = r).

Groupes de symétrie(Éditer)

En mathématiques, le concept de symétrie est étudié avec la notion de groupe mathématique. Chaque polyèdre a un groupe de symétrie associé, qui est défini avec toutes les transformations (isométries euclidiennes) qui laissent le polyèdre invariant. L'ordre du groupe de symétrie est le nombre de symétries du polyèdre. On distingue souvent groupe de symétrie complète, qui comprend des réflexions, et groupe de symétrie approprié, qui ne comprend que les rotations.

Les groupes symétriques des solides platoniques sont une classe spéciale de groupes ponctuels tridimensionnels appelés groupes polyédriques. Le haut niveau de symétrie des solides platoniques peut être interprété de plusieurs manières. Plus important encore, les verticales de chaque solide sont égales sous l'influence du groupe de symétrie, en plus des arêtes et des faces. On dit que l'action du groupe de symétrie est transitive sur les coins, les arêtes et les faces. En fait, c'est une autre façon de définir la régularité d'un polyèdre: un polyèdre est régulièrement si et seulement si elle est vertex uniforme, arête uniforme et face uniforme.

Il n'y a que trois groupes de symétrie associés aux solides platoniques au lieu de cinq, puisque le groupe de symétrie de tout polyèdre coïncide avec celui de son double. Ceci est facilement visible en examinant la construction du double polyèdre. Toute symétrie de l'original doit être une symétrie du duel et vice versa. Les trois groupes polyédriques sont:

Les ordres des groupes (de rotation) appropriés sont respectivement de 12, 24 et 60 – exactement le double du nombre d'arêtes dans les polyèdres respectifs. Les ordres des groupes de symétrie complète sont encore deux fois plus élevés (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une dérivation de ces faits. Tous les solides platoniques à l'exception du tétraèdre sont symétrique au centre, ce qui signifie qu'ils sont préservés sous la réflexion à travers l'origine.

Le tableau suivant répertorie les différentes propriétés de symétrie des solides platoniques. Les groupes de symétrie listés sont les groupes complets avec les sous-groupes de rotation indiqués entre parenthèses (de même pour le nombre de symétries). La construction du kaléidoscope de Wythoff est une méthode pour construire des polyèdres directement à partir de leurs groupes de symétrie. Ils sont répertoriés pour référence au symbole de Wythoff pour chacun des solides platoniques.

polyèdre Schläfli
symbole
Wythoff
symbole
Double
polyèdre
Symmetry group (Reflection, rotation)
Polyhedral Schön. Cox. Orb. Rekkefølge
tetrahedron 3, 3 3 | 2 3 tetrahedron Tetrahedral Tetrahedral reflection domains.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Tetrahedral_reflection_domains.png/40px-Tetrahedral_reflection_domains.png" decoding="async" width="40" height="40" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Tetrahedral_reflection_domains.png/60px-Tetrahedral_reflection_domains.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Tetrahedral_reflection_domains.png/80px-Tetrahedral_reflection_domains.png 2x" data-file-width="826" data-file-height="818 Td
T
(3,3)
(3,3)+
*332
332
24
12
cube 4, 3 3 | 2 4 octahedron Octahedral Octahedral reflection domains.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Octahedral_reflection_domains.png/40px-Octahedral_reflection_domains.png" decoding="async" width="40" height="39" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Octahedral_reflection_domains.png/60px-Octahedral_reflection_domains.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Octahedral_reflection_domains.png/80px-Octahedral_reflection_domains.png 2x" data-file-width="825" data-file-height="813 Oh
O
(4,3)
(4,3)+
*432
432
48
24
octahedron 3, 4 4 | 2 3 cube
dodecahedron 5, 3 3 | 2 5 icosahedron Icosahedral Icosahedral reflection domains.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Icosahedral_reflection_domains.png/40px-Icosahedral_reflection_domains.png" decoding="async" width="40" height="40" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Icosahedral_reflection_domains.png/60px-Icosahedral_reflection_domains.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Icosahedral_reflection_domains.png/80px-Icosahedral_reflection_domains.png 2x" data-file-width="811" data-file-height="812 DANSh
DANS
(5,3)
(5,3)+
*532
532
120
60
icosahedron 3, 5 5 | 2 3 dodecahedron

In nature and technology(edit)

The tetrahedron, cube, and octahedron all occur naturally in crystal structures. These by no means exhaust the numbers of possible forms of crystals. However, neither the regular icosahedron nor the regular dodecahedron are amongst them. One of the forms, called the pyritohedron (named for the group of minerals of which it is typical) has twelve pentagonal faces, arranged in the same pattern as the faces of the regular dodecahedron. The faces of the pyritohedron are, however, not regular, so the pyritohedron is also not regular. Allotropes of boron and many boron compounds, such as boron carbide, include discrete B12 icosahedra within their crystal structures. Carborane acids also have molecular structures approximating regular icosahedra.

In the early 20th century, Ernst Haeckel described (Haeckel, 1904) a number of species of Radiolaria, some of whose skeletons are shaped like various regular polyhedra. Examples include Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus and Circorrhegma dodecahedra. The shapes of these creatures should be obvious from their names.

Many viruses, such as the herpes virus, have the shape of a regular icosahedron. Viral structures are built of repeated identical protein subunits and the icosahedron is the easiest shape to assemble using these subunits. A regular polyhedron is used because it can be built from a single basic unit protein used over and over again; this saves space in the viral genome.

In meteorology and climatology, global numerical models of atmospheric flow are of increasing interest which employ geodesic grids that are based on an icosahedron (refined by triangulation) instead of the more commonly used longitude/latitude grid. This has the advantage of evenly distributed spatial resolution without singularities (i.e. the poles) at the expense of somewhat greater numerical difficulty.

Geometry of space frames is often based on platonic solids. In the MERO system, Platonic solids are used for naming convention of various space frame configurations. For example, 1/2O+T refers to a configuration made of one half of octahedron and a tetrahedron.

Several Platonic hydrocarbons have been synthesised, including cubane and dodecahedrane.

Platonic solids are often used to make dice, because dice of these shapes can be made fair. 6-sided dice are very common, but the other numbers are commonly used in role-playing games. Such dice are commonly referred to as dn where n is the number of faces (d8, d20, etc.); see dice notation for more details.

A set of polyhedral dice.

These shapes frequently show up in other games or puzzles. Puzzles similar to a Rubik's Cube come in all five shapes – see magic polyhedra.

Liquid crystals with symmetries of Platonic solids(edit)

For the intermediate material phase called liquid crystals, the existence of such symmetries was first proposed in 1981 by H. Kleinert and K. Maki.(11)(12)
In aluminum the icosahedral structure was discovered three years after this by Dan Shechtman, which earned him the Nobel Prize in Chemistry in 2011.

Related polyhedra and polytopes(edit)

Uniform polyhedra(edit)

There exist four regular polyhedra that are not convex, called Kepler–Poinsot polyhedra. These all have icosahedral symmetry and may be obtained as stellations of the dodecahedron and the icosahedron.

The next most regular convex polyhedra after the Platonic solids are the cuboctahedron, which is a rectification of the cube and the octahedron, and the icosidodecahedron, which is a rectification of the dodecahedron and the icosahedron (the rectification of the self-dual tetrahedron is a regular octahedron). These are both quasi-regular, meaning that they are vertex- and edge-uniform and have regular faces, but the faces are not all congruent (coming in two different classes). They form two of the thirteen Archimedean solids, which are the convex uniform polyhedra with polyhedral symmetry. Their duals, the rhombic dodecahedron and rhombic triacontahedron, are edge- and face-transitive, but their faces are not regular and their vertices come in two types each; they are two of the thirteen Catalan solids.

The uniform polyhedra form a much broader class of polyhedra. These figures are vertex-uniform and have one or more types of regular or star polygons for faces. These include all the polyhedra mentioned above together with an infinite set of prisms, an infinite set of antiprisms, and 53 other non-convex forms.

The Johnson solids are convex polyhedra which have regular faces but are not uniform. Among them are five of the eight convex deltahedra, which have identical, regular faces (all equilateral triangles) but are not uniform. (The other three convex deltahedra are the Platonic tetrahedron, octahedron, and icosahedron.)

Regular tessellations(edit)

Regular spherical tilings
Platonic tilings
Uniform tiling 332-t0-1-.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/Uniform_tiling_332-t0-1-.png/60px-Uniform_tiling_332-t0-1-.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/Uniform_tiling_332-t0-1-.png/90px-Uniform_tiling_332-t0-1-.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/Uniform_tiling_332-t0-1-.png/120px-Uniform_tiling_332-t0-1-.png 2x" data-file-width="810" data-file-height="813 Uniform tiling 432-t0.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Uniform_tiling_432-t0.png/60px-Uniform_tiling_432-t0.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Uniform_tiling_432-t0.png/90px-Uniform_tiling_432-t0.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Uniform_tiling_432-t0.png/120px-Uniform_tiling_432-t0.png 2x" data-file-width="816" data-file-height="816 Uniform tiling 432-t2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Uniform_tiling_432-t2.png/60px-Uniform_tiling_432-t2.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Uniform_tiling_432-t2.png/90px-Uniform_tiling_432-t2.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Uniform_tiling_432-t2.png/120px-Uniform_tiling_432-t2.png 2x" data-file-width="820" data-file-height="815 Uniform tiling 532-t0.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/Uniform_tiling_532-t0.png/60px-Uniform_tiling_532-t0.png" decoding="async" width="60" height="61" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/Uniform_tiling_532-t0.png/90px-Uniform_tiling_532-t0.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/Uniform_tiling_532-t0.png/120px-Uniform_tiling_532-t0.png 2x" data-file-width="815" data-file-height="822 Uniform tiling 532-t2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Uniform_tiling_532-t2.png/60px-Uniform_tiling_532-t2.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Uniform_tiling_532-t2.png/90px-Uniform_tiling_532-t2.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Uniform_tiling_532-t2.png/120px-Uniform_tiling_532-t2.png 2x" data-file-width="822" data-file-height="825
3,3 4,3 3,4 5,3 3,5
Regular dihedral tilings
Digonal dihedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Digonal_dihedron.png/60px-Digonal_dihedron.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Digonal_dihedron.png/90px-Digonal_dihedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Digonal_dihedron.png/120px-Digonal_dihedron.png 2x" data-file-width="594" data-file-height="593 Trigonal dihedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Trigonal_dihedron.png/60px-Trigonal_dihedron.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Trigonal_dihedron.png/90px-Trigonal_dihedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Trigonal_dihedron.png/120px-Trigonal_dihedron.png 2x" data-file-width="597" data-file-height="599 Tetragonal dihedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Tetragonal_dihedron.png/60px-Tetragonal_dihedron.png" decoding="async" width="60" height="61" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Tetragonal_dihedron.png/90px-Tetragonal_dihedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Tetragonal_dihedron.png/120px-Tetragonal_dihedron.png 2x" data-file-width="594" data-file-height="600 Pentagonal dihedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Pentagonal_dihedron.png/60px-Pentagonal_dihedron.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Pentagonal_dihedron.png/90px-Pentagonal_dihedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Pentagonal_dihedron.png/120px-Pentagonal_dihedron.png 2x" data-file-width="605" data-file-height="601 Hexagonal dihedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Hexagonal_dihedron.png/60px-Hexagonal_dihedron.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Hexagonal_dihedron.png/90px-Hexagonal_dihedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Hexagonal_dihedron.png/120px-Hexagonal_dihedron.png 2x" data-file-width="597" data-file-height="601
2,2 3,2 4,2 5,2 6,2…
Regular hosohedral tilings
Spherical digonal hosohedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Spherical_digonal_hosohedron.png/60px-Spherical_digonal_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="63" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Spherical_digonal_hosohedron.png/90px-Spherical_digonal_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Spherical_digonal_hosohedron.png/120px-Spherical_digonal_hosohedron.png 2x" data-file-width="573" data-file-height="603 Spherical trigonal hosohedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Spherical_trigonal_hosohedron.png/60px-Spherical_trigonal_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Spherical_trigonal_hosohedron.png/90px-Spherical_trigonal_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Spherical_trigonal_hosohedron.png/120px-Spherical_trigonal_hosohedron.png 2x" data-file-width="849" data-file-height="851 Spherical square hosohedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Spherical_square_hosohedron.png/60px-Spherical_square_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="59" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Spherical_square_hosohedron.png/90px-Spherical_square_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Spherical_square_hosohedron.png/120px-Spherical_square_hosohedron.png 2x" data-file-width="792" data-file-height="774 Spherical pentagonal hosohedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Spherical_pentagonal_hosohedron.png/60px-Spherical_pentagonal_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="59" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Spherical_pentagonal_hosohedron.png/90px-Spherical_pentagonal_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Spherical_pentagonal_hosohedron.png/120px-Spherical_pentagonal_hosohedron.png 2x" data-file-width="777" data-file-height="770 Spherical hexagonal hosohedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Spherical_hexagonal_hosohedron.png/60px-Spherical_hexagonal_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Spherical_hexagonal_hosohedron.png/90px-Spherical_hexagonal_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Spherical_hexagonal_hosohedron.png/120px-Spherical_hexagonal_hosohedron.png 2x" data-file-width="778" data-file-height="779
2,2 2,3 2,4 2,5 2,6…

The three regular tessellations of the plane are closely related to the Platonic solids. Indeed, one can view the Platonic solids as regular tessellations of the sphere. This is done by projecting each solid onto a concentric sphere. The faces project onto regular spherical polygons which exactly cover the sphere. Spherical tilings provide two infinite additional sets of regular tilings, the hosohedra, 2,n with 2 vertices at the poles, and lune faces, and the dual dihedra, n,2 with 2 hemispherical faces and regularly spaced vertices on the equator. Such tesselations would be degenerate in true 3D space as polyhedra.

One can show that every regular tessellation of the sphere is characterized by a pair of integers p, q with 1/p + 1/q > 1/2. Likewise, a regular tessellation of the plane is characterized by the condition 1/p + 1/q = 1/2. There are three possibilities:

In a similar manner, one can consider regular tessellations of the hyperbolic plane. These are characterized by the condition 1/p + 1/q < 1/2. There is an infinite family of such tessellations.

Higher dimensions(edit)

In more than three dimensions, polyhedra generalize to polytopes, with higher-dimensional convex regular polytopes being the equivalents of the three-dimensional Platonic solids.

In the mid-19th century the Swiss mathematician Ludwig Schläfli discovered the four-dimensional analogues of the Platonic solids, called convex regular 4-polytopes. There are exactly six of these figures; five are analogous to the Platonic solids 5-cell as 3,3,3, 16-cell as 3,3,4, 600-cell as 3,3,5, tesseract as 4,3,3, and 120-cell as 5,3,3, and a sixth one, the self-dual 24-cell, 3,4,3.

In all dimensions higher than four, there are only three convex regular polytopes: the simplex as 3,3,…,3, the hypercube as 4,3,…,3, and the cross-polytope as 3,3,…,4. In three dimensions, these coincide with the tetrahedron as 3,3, the cube as 4,3, and the octahedron as 3,4.

See also(edit)

References(edit)

  1. ^ Gardner (1987): Martin Gardner wrote a popular account of the five solids in his December 1958 Mathematical Games column in Scientific American.
  2. ^ Zeyl, Donald. "Plato&#39;s Timaeus". The Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  3. ^ Wildberg (1988): Wildberg discusses the correspondence of the Platonic solids with elements in Timaeus but notes that this correspondence appears to have been forgotten in Epinomis, which he calls "a long step towards Aristotle&#39;s theory", and he points out that Aristotle&#39;s ether is above the other four elements rather than on an equal footing with them, making the correspondence less apposite.
  4. ^ Coxeter, Regular Polytopes, sec 1.8 Configurations
  5. ^ a b Jerrard, Richard P.; Wetzel, John E.; Yuan, Liping (April 2017). "Platonic Passages". Mathematics Magazine. Washington, DC: Mathematical Association of America. 90 (2): 87–98. doi:10.4169/math.mag.90.2.87.
  6. ^ Schrek, D. J. E. (1950), "Prince Rupert&#39;s problem and its extension by Pieter Nieuwland", Scripta Mathematica, 16: 73–80 and 261–267
  7. ^ Scriba, Christoph J. (1968), "Das Problem des Prinzen Ruprecht von der Pfalz", Praxis der Mathematik (in German), 10 (9): 241–246, MR 0497615
  8. ^ Kleinert and Maki (1981)
  9. ^ The liquid-crystalline blue phases (1989). by Tamar Seideman, Reports on Progress in Physics, Volume 53, Number 6

Sources(edit)

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  • Boyer, Carl; Merzbach, Uta (1989). A History of Mathematics (2nd ed.). Wiley. ISBN 0-471-54397-7.
  • Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes (3rd ed.). New York: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8.CS1 maint: ref=harv (link)
  • Euclid (1956). Heath, Thomas L. (ed.). The Thirteen Books of Euclid&#39;s Elements, Books 10–13 (2nd unabr. ed.). New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60090-4.
  • Gardner, Martin (1987). The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions, University of Chicago Press, Chapter 1: The Five Platonic Solids, ISBN 0226282538
  • Haeckel, Ernst, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. (1998); Art forms in nature, Prestel USA. ISBN 3-7913-1990-6.
  • Hecht, Laurence; Stevens, Charles B. (Fall 2004). "New Explorations with The Moon Model" (PDF). 21st Century Science and Technology. p. 58.CS1 maint: ref=harv (link)
  • Kepler. Johannes Strena seu de nive sexangula (On the Six-Cornered Snowflake), 1611 paper by Kepler which discussed the reason for the six-angled shape of the snow crystals and the forms and symmetries in nature. Talks about platonic solids.
  • Kleinert, Hagen and Maki, K. (1981). "Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals" (PDF). Fortschritte der Physik. 29 (5): 219–259. Bibcode:1981ForPh..29..219K. doi:10.1002/prop.19810290503.CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: ref=harv (link)
  • Lloyd, David Robert (2012). "How old are the Platonic Solids?". BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics. 27 (3): 131–140. doi:10.1080/17498430.2012.670845.CS1 maint: ref=harv (link)
  • Pugh, Anthony (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.
  • Weyl, Hermann (1952). Symmetry. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.CS1 maint: ref=harv (link)
  • Wildberg, Christian (1988). John Philoponus&#39; Criticism of Aristotle&#39;s Theory of Aether. Walter de Gruyter. pp. 11–12. ISBN 9783110104462

External links(edit)


Les robustes platoniques fonctionnent comme des cellules unitaires qui se répètent sur elles-mêmes afin de maintenir l’intégrité de leur forme insolite. Chaque cellule unitaire contient un espace spécifique de conscience, ou lien énergétique, qu’elle exprime par sa forme unique. Les cellules unitaires se développent les unes au travers des autres et se soutiennent les unes les autres. c’est la raison pour laquelle certaines cellules deviennent des nerfs, d’autres des zones musculaires, d’autres encore des organes. Chacun suit une directive qui se répète sur lui-même tout en maintenant l’intégrité d’un corps humain de troisième superficie. Drunvalo Melchizédek note que l’icosaèdre et le dodécaèdre tournent microscopiquement à l’intérieur de la double hélice de notre ADN qui transmet et maintient la conscience humaine dans la troisième dimension. C’est aussi la raison pour laquelle le monde, en tant que forme de vie de 3ème superficie, ne peut pas voir physiquement des êtres dimensionnels supérieurs. Nos yeux physiques ne peuvent pas distinguer la signature énergétique des êtres de la septième superficie. Cependant, à mesure que notre planète avance vers la cinquième surface, l’humanité avance vers notre prochaine expression réel en tant qu’êtres de cinquième surface sur Terre. A travers nos yeux de cinquième superficie, nous ferons l’expérience de nous-mêmes au sein de notre nouveau monde dans une perspective d’amour incontrounable, de pardon compatissant et de grande paix. Travaillez avec ces véhicules de la création pour célébrer tout ce que vous soyez. n

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