Solide platonicien | solides de Platon

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«  Solide platonique '' est un convexe polyèdre ordinaire. Ce sont les analogues tridimensionnels du convexe polygones ordinaires. Il existe exactement cinq de ces chiffres (ci-dessous). Ils sont uniques en ce que les faces, les arêtes et les angles sont tous coïncider.

Le nom de chaque figure est dérivé du nombre de faces: 4, 6, 8, 12 et 20, respectivement.

le La beauté esthétique et la symétrie des solides platoniques en ont fait un thème favori géométries depuis des milliers d'années. Ils sont nommés d'après le philosophe grec Platon qui a théorisé les éléments classiques ont été construits à partir de solides solides.

L'histoire

Modèle solide platonique de Kepler du système solaire de Mysterium Cosmographicum (1596)

Les solides platoniques sont connus depuis l'Antiquité. Des modèles ornementaux d'entre eux peuvent être trouvés parmi boules de pierre sculptées créées par la fin Peuple néolithique en Écosse au moins 1000 ans avant Platon (Atiyah et Sutcliffe 2003).

Les anciens Grecs ont étudié les solides platoniques en profondeur. Certaines sources (telles que Proclus) attribue à Pythagore leur découverte. D'autres preuves suggèrent qu'il n'a peut-être connu que le tétraèdre, le cube et le dodécaèdre, et que la découverte de l'octaèdre et de l'icosaèdre appartient à Theaetetus, un contemporain de Platon. Dans tous les cas, Theaetet a donné une description mathématique des cinq et peut avoir été responsable de la première preuve connue qu'il n'y a pas d'autres polyèdres ordinaires convexes.

Les solides platoniciens ont un rôle de premier plan dans la philosophie de Platon comme ils sont nommés. Platon a écrit à leur sujet dans le dialogue Timée c.360 avant JC où il s'est affilié à chacun des quatre éléments classiques ( Terre, air, l'eau et feu) avec un solide commun. La Terre était associée au cube, l'air à l'octaèdre, l'eau à l'icosaèdre et le feu au tétraèdre. Il y avait des raisons intuitives à ces associations: la chaleur du feu est vive et piquante (comme de petits tétraèdres). L'air est fait de l'octaèdre; ses composants minusule sont si glissants qu'on peut à peine le sentir. L'eau, l'icosaèdre, s'écoule de la main lorsqu'elle est récupérée, comme si elle était faite de petites boules. En revanche, un solide hautement u-sphérique, l'hexaèdre (cube) représente la terre. Ces petits solides maladroits provoquent l'effritement et la rupture de la saleté lorsqu'ils sont ramassés, ce qui contraste fortement avec le débit constant de l'eau. Cinquième solide platonique, le dodécèdre, remarque vaguement Platon, "… le dieu avait l'habitude de disposer les constellations dans tout le ciel". Aristote a ajouté un cinquième élément, aithêr (éther en latin, «éther» en anglais) et a postulé que le ciel était fait de cet élément, mais il n'avait aucun intérêt à le faire correspondre avec le cinquième solide de Platon.

Euclide a donné une description mathématique complète des solides platoniques dans Éléments; le dernier livre (livre XIII) consacré à leurs propriétés. Les suggestions 13 à 17 du livre XIII décrivent la construction du tétraèdre, des octaèdres, du cube, de l'icosaèdre et du dodécaèdre dans cet ordre. Pour chaque solide, Euclide trouve le rapport entre le diamètre de la sphère circonscrite et la longueur du bord. Dans la proposition 18, il soutient qu'il n'y a plus de polyèdres ordinaires convexes. Une grande partie des informations du livre XIII est probablement tirée des travaux de Theaetetus.

Dans les années 1500, allemand L'astronome Johannes Kepler a tenté de trouver une connexion entre les cinq planètes connues à cette époque (sauf la Terre) et les cinq solides platoniques. DANS Mysterium Cosmographicum, Publié dans En 1596, Kepler a présenté un modèle du système solaire dans lequel les cinq solides étaient placés les uns dans les autres et séparés par une série de sphères inscrites et circonscrites. Les six sphères correspondaient chacune à l'une des planètes (Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Les solides étaient ordonnés et les plus intimes étaient des octaèdres, suivis de l'icosaèdre, du dodécèdre, du tétraèdre et enfin du cube. De cette manière, la structure du système solaire et les relations de distance entre les planètes étaient dictées par les solides de Platon. En fin de compte, l'idée originale de Kepler a dû être abandonnée, mais de ses recherches est née la découverte Les solides de Kepler, la reconnaissance que les orbites des planètes ne sont pas des cercles, et les lois de Kepler du mouvement planétaire pour lesquelles il est maintenant connu.

Propriétés combinatoires

Un polyèdre convexe est un solide platonique si et seulement si

  1. tous les visages sont congru convexe polygones ordinaires,
  2. aucune des faces ne se coupe sauf au niveau des arêtes, et
  3. le même nombre de faces se rencontrent sur chacun sommets.

Chaque solide platonique peut donc être désigné par un symbole p, q

p nombre de pages sur chaque face (ou nombre de verticales sur chaque face) et
q = nombre de faces qui se rencontrent à chaque sommet (ou nombre d'arêtes qui se rencontrent à chaque sommet).

Le symbole p, q, appelé Symbole de Schläfli, donne une description combinatoire du polyèdre. Les symboles Schläfli pour les cinq solides platoniques sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Toutes les autres informations combinatoires sur ces solides, telles que le nombre total de verticales (V), bords (E) et les visages (F), peut être déterminé à partir de p et q. Comme toute arête joint deux coins et a deux surfaces adjacentes, nous devons avoir:

pF = 2E = qV. ,

La deuxième relation entre ces valeurs est donnée par la formule d'Euler:

V - E + F = 2. ,

Ce fait non trivial peut être prouvé de nombreuses manières différentes (en topologie algébrique il s'ensuit que la caractéristique d'Euler de la sphère est 2). Ensemble, ces trois conditions déterminent complètement V, E, et F:

V =  frac 4p 4 - (p-2) (q-2),  quad E =  frac 2pq 4 - (p-2) (q-2),  quad F =  frac 4q 4- - (p-2) (q-2).

Notez que vous changez p et q nœuds F et V en partant E inchangé (Pour une interprétation géométrique de ce fait, voir la section sur les polyèdres doubles ci-dessous).

Classification

C'est un résultat classique qu'il n'y a que cinq polyèdres ordinaires convexes. Deux arguments courants sont donnés ci-dessous. Ces deux arguments montrent seulement qu'il ne peut y avoir plus de cinq solides platoniques. Que les cinq existent réellement est une question distincte – une question à laquelle on peut répondre par une construction explicite.

Preuve géométrique

L'argument géométrique suivant est très similaire à celui donné par Euclide dans Éléments:

  1. Chaque sommet du solide doit coïncider avec un sommet d'au moins trois faces.
  2. A chaque sommet du matériau solide, le total, entre les surfaces adjacentes, des angles entre les côtés adjacents respectifs doit être inférieur à 360 °.
  3. Les angles de tous les sommets sur toutes les surfaces d'un solide platonique sont identiques, de sorte que chaque sommet sur chaque face doit contribuer moins de 360 ​​° / 3 = 120 °.
  4. Les polygones ordinaires sur six côtés ou plus n'ont que des angles de 120 ° ou plus, de sorte que la face ordinaire doit être triangulaire, carrée ou pentagonale. Et pour:
    • Surfaces triangulaires: chaque sommet d'un triangle normal est de 60 °, donc une forme peut avoir trois, 4 ou 5 triangles qui se rencontrent à un sommet; ce sont respectivement le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre.
    • Faces carrées: Chaque sommet d'un carré est de 90 °, il n'y a donc qu'un seul arrangement possible avec trois faces dans un sommet, le cube.
    • Faces pentagonales: chaque sommet fait 108 °; encore une fois, il n'y a qu'un seul arrangement, de trois faces dans un sommet, le dodécèdre.

Preuve topologique

Une preuve purement topologique peut être produite en utilisant uniquement des informations combinatoires sur les solides. La clé est l'observation d'Euler sur ce V - E + F = 2, et le fait que pF = 2E = qV. En combinant ces équations, l'équation est obtenue

 frac 2E q - E +  frac 2E p = 2.

Une simple manipulation algébrique donne alors

1  over q + 1  over p = 1  over 2 + 1  over E.

Puisque E est à proprement parler positif, nous devons avoir

 frac 1 q +  frac 1 p>  frac 1 2. "class =" tex "src =" http://pacificschoolserver.org/images/130/13069. png "/></dd>
</dl>
<p>Utilise le fait que <i>p</i> et <i>q</i> les deux doivent être au moins 3, on peut facilement voir qu'il n'y a que cinq possibilités pour <i>p</i>, <i>q</i>:</p>
<dl>
<dd><img alt=

Propriétés géométriques

Angles

Il existe un certain nombre d'angles associés à chaque solide platonique. le l'angle dièdre est l'angle intérieur entre deux surfaces planes. L'angle dièdre θ du fixe p,q est donné par la formule

 sin  theta  over 2 =  frac  cos ( pi / q)  sin ( pi / p).

Parfois, cela s'exprime plus confortablement sous la forme de la tangente de

 tan  theta  over 2 =  frac  cos ( pi / q)  sin ( pi / h).

La quantité h sont respectivement 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre.

le la déficience angulaire au sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles de la face à ce sommet et 2π. Le défaut, δ, à tout sommet des solides platoniques p,q euh

 delta = 2  pi - q  pi  left (1- 2  above p  right).

De Théorème de Descartes, c'est égal à 4π divisé par le nombre de sommets (c'est-à-dire que l'erreur totale à tous les sommets est de 4π).

L'analogue tridimensionnel d'un angle plan est un angle solide. L'angle fixe Ω au sommet d'un solide platonique est donné sous la forme de l'angle dièdre avec

 Omega = q  theta - (q-2)  pi. ,

Cela découle de formule de surplus sphérique pour un polygone sphérique et le fait que figure de sommet du polyèdre p,q est un régulier q-Gon.

Les différents angles associés aux solides platoniques sont présentés ci-dessous. Les valeurs numériques des angles fixes sont données en stéradian. La constante φ = (1 + √5) / 2 est le nombre d'or.

Rayons, surface et volume

Une autre vertu de la régularité est que les solides platoniques ont tous trois sphères concentriques:

  • les sphère circonscrite passant par tous les sommets,
  • les la sphère centrale tangente à chaque arête au milieu de l'arête, et
  • les sphère inscrite tangente à chaque face au centre de la face.

le les rayons de ces sphères sont appelés circumradius, tanière rayon moyen, et inradius. Ce sont les distances entre le centre du polyèdre et les sommets, les centres des arêtes et les centres des faces, respectivement. circumradius R et inradius r du fixe p, q avec longueur d'arête une est donné par

R =  left (a  over 2  right)  tan  frac  pi q  tan  frac  theta 2
r =  left (a  over 2  right)  cot  frac  pi p  tan  frac  theta 2

où θ est l'angle dièdre. Le rayon médian ρ est donné par

 rho =  left (a  over 2  right)  frac  cos ( pi / p)  sin ( pi / h)

h est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (h = 4, 6, 6, 10 ou 10). Notez que la relation entre circumradius et inradius est symétrique p et q:

R  over r =  tan  frac  pi p  tan  frac  pi q.

le superficie, UNE, d'un solide platonique p, q se calcule facilement comme une aire d'un p-répéter le nombre de faces F. C'est:

A =  left (a  over 2  right) ^ 2 Fp  cot  frac  pi p.

Le volume est calculé comme F fois le volume éteint pyramide dont la base est commune p-gon et dont la hauteur est inradius r. C'est,

V = 1  sur 3 rA.

Le tableau suivant montre les différents rayons des solides platoniques ainsi que leur surface et leur volume. La taille globale est fixée en prenant la longueur du bord, une, pour être égal à 2.

Les constantes φ et ξ ci-dessus sont données par

 varphi = 2  cos  pi  over 5 =  frac 1+  sqrt 5 2  qquad  xi = 2  sin  pi  over 5 =  sqrt  frac 5-  sqrt 5 2 = 5 ^ 1/4  varphi ^ - 1/2.

Parmi les solides platoniques, le dodécaèdre ou l'icosaèdre peut être considéré comme la meilleure approche de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces, le plus grand angle de dièdre, et il serre la sphère inscrite la plus proche. Le dodécaèdre, par contre, a le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle fixe angulaire, et il remplit le plus sa sphère circonscrite.

Symétrie

Double polyèdre

Et double octets de cube.

Chaque polyèdre en a un polyèdre double avec faces et sommet interchangeables. Le dual de chaque solide platonique est un autre solide platonique, nous pouvons donc organiser les cinq solides en paires doubles.

  • Le tétraèdre est auto-duel (c'est-à-dire que son double est un autre tétraèdre).
  • Le cube et l'octaèdre forment une double paire.
  • Le dodécaèdre et l'icosaèdre forment une double paire.

Si un polyèdre a le symbole Schläfli p, q, alors son double symbole a q, p. En fait, chaque propriété combinatoire d'un solide platonique peut être interprétée comme une autre propriété combinatoire du double.

On peut construire le double polyèdre en prenant les verticales du dual comme centre des faces de la figure originale. Les bords du double sont formés en reliant les centres à des surfaces adjacentes dans l'original. De cette manière, le nombre de faces et le sommet sont modifiés, tandis que le nombre d'arêtes reste le même.

Plus généralement, on peut dualiser un solide platonique par rapport à une sphère de rayon concentrique avec le solide. Radiene (R, ρ, r) d'un solide et ceux de son double (R*, ρ *, r*) est lié par

d ^ 2 = R ^  ast r = r ^  ast R =  rho ^  ast  rho.

Il est souvent pratique de dualiser par rapport à la sphère médiane ( = ρ) car il a le même rapport aux deux polyèdres. prise 2 = rr donne un double solide avec le même circumradius et inradius (ie R* = R et r* = r).

Groupes de symétrie

En mathématiques, le concept de symétrie est étudié avec la notion de groupe mathématique. Chaque polyèdre a un attaché groupe de symétrie, qui est l'ensemble de toutes les transformations ( Isométries euclidiennes) laissant le polyèdre invariant. le l'ordre du groupe de symétrie est le nombre de symétries du polyèdre. On distingue souvent groupe de symétrie complète, qui inclut réflexions, et groupe de symétrie approprié, qui ne comprend que rotations.

Les groupes de symétrie des solides platoniques sont appelés groupes polyédriques (qui est une classe spéciale pour groupes de points en trois dimensions). Le haut niveau de symétrie des solides platoniques peut être interprété de plusieurs manières. Plus important encore, les verticales de chaque solide sont égales en dessous l'effet du groupe de symétrie, en plus des arêtes et des faces. On dit que l'action du groupe de symétrie est transitive sur les coins, les arêtes et les faces. En fait, c'est une autre façon de définir la régularité d'un polyèdre: un polyèdre est régulièrement si et seulement si c'est vertex-uniforme, uniforme de bord, et visage uniforme.

Il n'y a que trois groupes de symétrie associés aux solides platoniques au lieu de cinq, puisque le groupe de symétrie de tout polyèdre coïncide avec celui de son double. Ceci est facilement visible en examinant la construction du double polyèdre. Toute symétrie de l'original doit être une symétrie duelle et vice versa. Les trois groupes multi-dangereux sont:

  • les groupe tétraédrique T,
  • les groupe octaédrique O (qui est également le groupe de symétrie du cube), et
  • les groupe icosaédrique je (qui est également le groupe de symétrie du dodécaèdre).

Les ordres pour les groupes (rotationnels) corrects sont respectivement de 12, 24 et 60 – exactement deux fois plus d'arêtes dans le polyèdre respectif. Les ordres pour les groupes de symétrie complets sont deux fois plus à gauche (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une dérivation de ces faits.

Le tableau ci-dessous montre les différentes propriétés de symétrie des solides platoniques. Les groupes de symétrie répertoriés sont les groupes complets avec les sous-groupes de rotation indiqués entre parenthèses (également pour le nombre de symétries). La construction du kaléidoscope de Wythoff est une méthode de construction de polyèdres directement à partir de leurs groupes de symétrie. Nous listons le symbole de Wythoff pour chacun des solides platoniques.

polyèdre Symbole de sommeil Symbole de Wythoff Double polyèdre symétries Groupe de symétrie
tétraèdre 3, 3 3 | 2 3 tétraèdre 24 (12) T (T)
cube 4, 3 3 | 2 4 octaèdre 48 (24) Oh (O)
octaèdre 3, 4 4 | 2 3 cube
dodécaèdre 5, 3 3 | 2 5 icosaèdre 120 (60) jeh (je)
icosaèdre 3, 5 5 | 2 3 dodécaèdre

Dans la nature et la technologie

Le tétraèdre, le cube et l'octaèdre se produisent tous naturellement dans structures cristallines. Celles-ci n'échappent nullement au nombre de formes possibles de cristaux. Cependant, ni l'icosaèdre commun ni le dodécèdre commun n'en font partie. L'une des formes, appelée pyritoèdre (nommé d'après le groupe de minéraux car il est typique) a douze surfaces pentagonales, disposées dans le même modèle que les faces du dodécaèdre ordinaire. Cependant, les faces du pyritoèdre ne sont pas communes, donc le pyritoèdre n'est pas régulier non plus.

Circogonia icosahedra, une espèce de Radiolaria, en forme d'icosaèdre ordinaire.

Au début du 20e siècle, Ernst Haeckel a décrit (Haeckel, 1904) un certain nombre d'espèces de Radiolaires, dont certains des squelettes ont la forme de divers polyèdres ordinaires. Les exemples comprennent Circoporus octaèdre, Circogonia icosahedra, Lithocubus Geometricus et Circorrhegma dodécaèdres. Les formes de ces créatures doivent être claires à partir des noms.

De nombreux virus, comme virus de l'herpès, a la forme d'un icosaèdre commun. Les structures virales sont constituées de sous-unités protéiques identiques répétées, et l'icosaèdre est la forme la plus facile à assembler en utilisant ces sous-unités. Un polyèdre commun est utilisé car il peut être construit à partir d'une seule protéine unitaire de base qui est utilisée encore et encore; cela économise de l'espace dans le viral génome.

En météorologie et climatologie, les modèles numériques globaux d'écoulement atmosphérique sont d'un intérêt croissant en utilisant des réseaux basés sur un icosaèdre (affiné par triangulation) au lieu de la plus utilisée longitude latitude. Cela présente l'avantage d'une résolution spatiale uniformément répartie sans singularités (i.e. pôles) au détriment de difficultés numériques un peu plus grandes.

Géométrie de les cadres spatiaux sont souvent basés sur des solides platoniques. Dans le système MERO, les solides platoniques sont utilisés pour nommer la convention des différentes configurations de trame spatiale. Par exemple, ½O + T fait référence à une configuration composée de demi-octades et d'un tétraèdre.

Les solides platoniques sont souvent utilisés pour fabriquer des cubes, car les cubes de ces formes peuvent être rendus équitables. Les dés à 6 faces sont très courants, mais les autres nombres sont souvent utilisés RPG. Ces dés sont souvent appelés dnn est le nombre de faces (d8, d20, etc.); voir notation de cube pour plus de détails.

Ces personnages apparaissent souvent dans d'autres jeux ou puzzles. Les énigmes ressemblant à un cube de Rubik se présentent sous les cinq formes – voir polyèdre magique.

Polyèdres et polytopes associés

Polyèdre uniforme

Il existe quatre polyèdres non convexes communs, appelés Polyèdre de Kepler-Poinsot. Ceux-ci ont tout symétrie icosaédrique et est disponible en échafaudages du dodécaèdre et de l'icosaèdre.

Cuboctaèdre.svg
cuboctaèdre
Icosidodécaèdre.jpg
icosidodécaèdre

Le polyèdre convexe suivant le plus courant après les solides platoniques est kuboktaedron, qui est un correction du cube et de l'octaèdre et l'icosidodécèdre, qui est une amélioration du dodécèdre et de l'icosaèdre (l'amélioration du tétraèdre auto-conducteur est un octaèdre commun). Ce sont les deux quasi-régulier ce qui signifie qu'ils sont uniformes au sommet et à l'arête et ont des faces régulières, mais que les faces ne sont pas toutes coïncidentes (sont de deux classes différentes). Ils forment deux des treize Les solides d'Archimède, qui sont les convexes polyèdre uniforme à symétrie polyédrique.

Les polyèdres uniformes forment une classe beaucoup plus large de polyèdres. Ces figures sont uniformes au sommet et ont un ou plusieurs types ordinaire ou polygones en étoile pour les faces. Ceux-ci incluent tous les polyèdres mentionnés ci-dessus avec un ensemble infini de prismes, un ensemble infini de antiprismes et 53 autres formes non convexes.

le Les solides Johnson sont des polyèdres convexes qui ont des faces régulières mais qui ne sont pas uniformes.

pavages

Les trois les pavages communs de l'aéronef sont étroitement liés aux solides platoniques. En fait, on peut voir les solides platoniques comme les cinq pavages communs dans la sphère. Cela se fait en projetant chaque solide sur une sphère concentrique. Les faces projettent sur la normale polygones sphériques qui couvrent précisément la sphère. On peut montrer que chaque tessellation régulière de la sphère est caractérisée par un entier p, q avec 1 /p + 1 /q > 1/2. De la même manière, une tessellation régulière de l'état de l'aéronef 1 /p + 1 /q = 1/2. Il existe trois possibilités:

  • 4, 4 en tant que carrelage carré,
  • 3, 6 qui est un carrelage triangulaire, et
  • 6, 3 qui est un carrelage hexagonal (double du carrelage triangulaire).

De la même manière, on peut considérer des pavages communs de plan hyperbolique. Celles-ci sont caractérisées par la condition 1 /p + 1 /q

Dimensions supérieures

En plus de trois dimensions, les polyèdres généralisent polytopes, avec convexe de plus grande dimension les polytopes courants sont des équivalents des solides platoniques tridimensionnels.

Au milieu du XIXe siècle, le mathématicien suisse Ludwig Schläfli a découvert les analogues à quatre dimensions des solides platoniques, appelés 4-polytopes communs convexes. Il y a exactement six de ces nombres; cinq sont analogues aux solides platoniques, tandis que le sixième, le 24 cellules, n'a pas d'analogue de dimension inférieure.

Dans toutes les dimensions supérieures à quatre, il n'y a que trois polytopes communs convexes: simplex, le hypercube, et cross-polytope. En trois dimensions, ceux-ci coïncident avec le tétraèdre, le cube et l'octaèdre.

La beauté et l’intérêt des robustes de Platon continuent d’inspirer toutes sortes de personnes, y compris des guérisseurs intuitifs et des esprits plus logiques. nLes Solides de Platon sont 5 formes polyèdres considérées comme une partie importante de la Géométrie Sacrée. Ils ont été décrits pour la première fois par l’ancien philosophe Platon, bien qu’il ait été prouvé que les anciens étaient déjà au courant de ces formes spéciales et magiques depuis plus de 1000 ans avant la documentation de Platon. nLes formes qui forment les cinq Solides de Platon atypiques se retrouvent naturellement dans la nature, mais également dans le monde cristallin. Travailler avec eux individuellement est censé nous aider à nous rattacher à la nature et aux royaumes supérieurs du cosmos, à trouver le modèle commun qui nous lie tous à la hauteur moléculaire et spirituel.

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