En géométrie euclidienne, un solide platonique est un polyèdre uni et convexe. Alors que les polygones communs et convexes en géométrie plane sont infinis en nombre, il n'y a que cinq solides platoniques.
Le nombre de faces du solide 4, 6, 8, 12 ou 20 est dans le préfixe du nom du solide: tétra pour quatre, hexa pour six – un cube est un hexaèdre commun -, octa pour huit, dodeca pour douze, ICOS et vingt. L'adjectif "ordinaire" sera souvent implicite sur cette page((1).
Depuis les mathématiques grecques, les solides platoniques ont fait l'objet de recherches en raison de leur esthétique et de leur symétrie. Leur nom, donné en l'honneur du philosophe grec Platon, rappelle une de ses théories et associe quatre d'entre elles aux quatre éléments de la physique ancienne.
Selon une étude, les peuples néolithiques d'Écosse ont construit des modèles en pierre des «cinq solides» au moins 1000 ans avant Platon (Atiyah et Sutcliffe 2003). Ces modèles sont conservés au Ashmolean Museum d'Oxford. Mais cette conclusion est hâtive((2).
Dans l'histoire des mathématiques dans la Grèce antique, la chronologie suivante peut être tracée. Les Pythagoriciens avaient une connaissance empirique de trois solides: le tétraèdre (pyramide), l'hexaèdre (cube), le dodécaèdre (douze faces). Selon Proclos, Pythagore est lui-même (v ) aurait connu ces solides. Mais ça pourrait être son disciple Hippase de Métaponte (qui aurait construit le premier dodécèdre) ou, plus vraisemblablement, Archytas de Taranto (vers 360 avant JC).(réf. requise)
Il n'est pas fait mention de la pyramide d'avant Démocrite (fragment 155), active vers 430 avant JC. AD Archytas aurait construit le cube en premier, pour résoudre le problème de duplication du carré. Le premier mentionne Platon le Dodécèdre, je Phaedo (110b), qui provient d'environ. mathématicien Théétète d'Athènes (décédée en 395 ou ) a découvert les deux autres solides: l'octaèdre et l'icosaèdre; par-dessus tout, il les a construits, le premier, les cinq((3).
Les solides platoniciens jouent un rôle crucial dans la philosophie de Platon, d'où ils ont été nommés. Platon, dans le dialogue Timaea (À propos. ), associait chacun des quatre éléments (Terre, air, eau et feu) à un solide commun. La Terre était associée au cube (Timaea, 55d), Air avec octaèdres, Eau avec icosaèdre et Feu avec tétraèdre. Il y avait une raison à ces associations: la chaleur du feu semble forte et comme une dague (comme un petit tétraèdre). L'air se compose de l'octaèdre; ses minuscules composants sont si doux que vous pouvez à peine les sentir. L'eau, l'icosaèdre, s'échappe de la main lorsqu'elle est saisie comme si elle était composée de minuscules petites boules. Le solide le plus stable, l'hexaèdre (cube), représente la terre. Ces petits solides créent de la poussière lorsqu'ils s'effritent et se brisent lorsqu'ils sont saisis, une grande différence par rapport au débit d'eau doux. Pour le cinquième solide de Platon, le Dodécèdre, Platon observe indistinctement: «Dieu avait l'habitude d'organiser les constellations à travers le ciel». Platon a fait correspondre le dodécaèdre avec Whole (Phaedo, 110b; Timaea, 55c), car c'est le solide qui ressemble le plus à la sphère. Aristote a nommé ce cinquième élément, aithêr (Éther en latin, "éther" en français) et postulait que l'univers était fait de cet élément et qu'il était significatif pour tous les autres, qu'il les contenait tous.
Speusippus, le successeur de Platon à l'académie (en 348 avant JC) a pensé à la tradition de Pythagore des cinq solides (Pythagore, Hippase, Archytas).
Euclide a donné une description mathématique complète des solides platoniques i Éléments (À propos. ); le dernier livre (livre XIII) consacré à leurs propriétés. Les suggestions 13 à 17 du livre XIII décrivent la construction des tétraèdres, octaèdres, cubes, icosaèdres et dodécaèdres dans cet ordre. Pour chaque solide, Euclide trouve le rapport entre le diamètre et la sphère circonscrite à la longueur des bords. Dans la proposition 18, il soutient qu'il n'y a plus de polyèdres convexes communs. Pour être régulier, un polyèdre doit avoir le même nombre de polygones réguliers dans chacun des coins, et la somme des angles au sommet des polygones réguliers doit être strictement inférieure à 360 ° (voir démonstration((4)). Une grande partie des informations contenues dans le livre XIII provient probablement du travail de Théétète.
Sur XVIe siècle, l'astronome allemand Johannes Kepler a tenté de trouver une connexion entre les cinq planètes connues à l'époque (sauf la Terre) et les cinq solides de Platon. DANS Mysterium Cosmographicum, publié en 1596, Kepler a présenté un modèle du système solaire dans lequel les cinq solides étaient attachés les uns aux autres et séparés par une série de sphères attribuées et circonscrites. Les six sphères correspondaient chacune aux planètes (Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Les solides ont été ordonnés de l'intérieur vers l'extérieur, le premier étant l'octaèdre, suivi par l'icosaèdre, le dodécaèdre, le tétraèdre et enfin le cube. De cette façon, la structure du système solaire et les relations de distance entre les planètes étaient dictées par les solides platoniques. Vers la fin, l'idée originale de Kepler a été abandonnée, mais de cette recherche a émergé la découverte des solides de Kepler, la constatation que les orbites des planètes ne sont pas des cercles et les lois du mouvement planétaire de Kepler telles qu'elles sont maintenant connues.
Chaque solide platonique répond à la formule d'Euler((4), démontré en 1752 par le mathématicien suisse Leonhard Euler, obtenu avec un certain nombre de faces F, A d'arêtes et S de sommet: F + S – A = 2
Propriétés combinatoiresÉditer
Un polyèdre convexe est un solide platonique si et seulement si
- Toutes les faces sont isométriques, c'est-à-dire des polygones ordinaires convexes superposés,
- Aucune des faces ne se croise, sauf sur les bords
- Le même nombre de faces se rencontrent à chacun des sommets.
Chaque solide platonique peut donc être désigné par un symbole p, q ou
- p = nombre de pages sur chaque face (ou nombre de sommets sur chaque face) et
- q = nombre de faces qui se rencontrent à chaque sommet (ou nombre d'arêtes qui se rencontrent à chaque sommet).
Le symbole p, q, appelé symbole Schläfli, donne une description combinatoire du polyèdre. Les symboles Schläfli pour les cinq solides platoniciens sont donnés dans le tableau ci-dessous.
Toutes les autres informations combinatoires sur ces solides, telles que le nombre total de verticales (S), bords (SUR) et visages (F) peut être déterminée à partir de p et q. Puisque toute arête est reliée par deux coins et a deux surfaces adjacentes, nous devons avoir:
La deuxième relation entre ces valeurs est donnée par Formule d'Euler:
Ce fait non trivial peut être démontré de plusieurs façons (i topologie algébrique, il en résulte que la caractéristique d'Euler de la sphère est 2). Ensemble, ces trois conditions sont cruciales S, SUR et F :
Remarque: échange p et q swaps F et S feuilles SUR inchangé (pour une interprétation géométrique de ce fait, voir la section sur les polyèdres doubles ci-dessous).
C'est un résultat classique qu'il n'y a que cinq polyèdres convexes communs. Deux arguments communs sont donnés ci-dessous. Les deux montrent simplement qu'il ne peut y avoir plus de cinq solides platoniciens. La question de savoir si chacun des cinq existe réellement est une question distincte à laquelle on peut répondre par une construction explicite.
Démonstration géométriqueÉditer
L'argument géométrique suivant est très similaire à celui donné par Euclide dans Éléments :
- Chaque sommet du solide doit coïncider avec un sommet d'au moins trois faces, sinon ce n'est qu'un sommet et non un sommet.
- À chaque sommet du solide, la somme des angles entre les côtés adjacents par rapport aux surfaces adjacentes doit être strictement inférieure à 360° (sinon le solide ne peut pas être convexe).
- Les angles de tous les sommets de toutes les faces d'un solide platonique sont identiques, donc chaque sommet de chaque face doit contribuer à proprement parler à moins de 360°/ 3 =120°.
- Les polygones ordinaires sur six côtés ou plus n'ont que des angles 120° ou plus, donc la face régulière doit être un triangle, un carré ou un pentagone. Et pour :
- surfaces triangulaires: chaque sommet d'un triangle normal a un angle de 60°, donc une forme doit avoir 3, 4 ou 5 triangles qui se rencontrent au sommet; ce sont respectivement le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre.
- faces carrées: chaque sommet d'un carré a un angle de 90°, il n'y a donc qu'un seul arrangement possible avec trois faces au sommet, le cube.
- les faces pentagonales: chaque sommet a un angle de 108° ; encore une fois, c'est juste un arrangement de trois faces au sommet, le dodécaèdre.
Démonstration topologiqueÉditer
Une démonstration purement topologique peut être donnée en utilisant uniquement des informations combinatoires sur les solides. La clé est l'observation d'Euler de cette
et le fait que
. En combinant ces équations, nous obtenons l'équation
Pièces après
il arrive
Puisque
est strictement positif, nous devons avoir
Propriétés géométriquesÉditer
AnglesÉditer
Il existe un certain nombre d'angles associés à chaque solide platonique. L'angle dièdre est l'angle intérieur entre deux surfaces planes. L'angle dièdre θ par rapport au solide p, q est donné par la formule
Cela s’exprime parfois plus concrètement en termes de tangente de
Le montant h sont respectivement 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre,
En d'autres termes
.
Vinkeldefekten (dans) Au sommet d'un polyèdre se trouve la différence entre la somme des angles d'une face et 2π. L'erreur, δ, à n'importe quel sommet des sommets de Platon p, q er
L'analogue tridimensionnel d'un angle plan est un angle solide. L'angle solide, Ω, au sommet d'un solide platonique est donné sous la forme d'un angle dièdre avec
Cela vient de la formuleexcès sphérique pour un polygone sphérique et le fait que le sommet du polyèdre p, q est un q– espace commun.
Les différents angles associés aux solides platoniques sont donnés ci-dessous. Les valeurs numériques des angles fixes sont données en stéradians. La constante
est-ce nombre d'or.
| polyèdre | Dihedralvinkelen |
erreur d'angle (dans) | Angle solide | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| tétraèdre | 70,53° | |||||
| cube | 90° | |||||
| octaèdre | 109,47° | |||||
| dodécaèdre | 116,56° | |||||
| icosaèdre | 138.19° | |||||
Rayons, surfaces et volumesÉditer
Une autre vertu de la régularité est que les solides platoniques ont tous trois sphères concentriques:
Les rayons dans ces zones sont appelés rayons circonscrits, les par rayon et rayons intérieurs. Ce sont les distances entre le centre du polyèdre et les coins, les points médians jusqu'aux bords et les centres faciaux, respectivement. Rayon réécrit R et le rayon intérieur r solide p, q avec longueur d'arête sur est donné par
où θ est l'angle dièdre. Le rayon moyen ρ est donné par
ou h est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (h = 4, 6, 6, 10 ou 10). Notez que le rapport du rayon circonscrit aux rayons intérieurs est symétrique p et q :
Le tableau ci-dessous montre les différents jets de solides platoniques et leurs gammes. SUR et leurs volumes V, et deux taux de revêtement: les rapports entre ces volumes V et ceux, VS = 4πR3/ 3, de la sphère circonscrite et Vs = 4πr3/ 3, de la sphère enregistrée. La taille globale est fixée en prenant la longueur du bord, sur, lik 2.
| polyèdre ((sur = 2) |
r | ρ | R | SUR | V | V/VS((5) | Vs/V((6) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| tétraèdre | |||||||
| cube | |||||||
| octaèdre | |||||||
| dodécaèdre | |||||||
| icosaèdre |
Les constantes φ et ξ ci-dessus sont données par
Parmi les solides platoniques, le dodécèdre ou l'icosaèdre peuvent être considérés comme la meilleure approche de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces, le plus grand angle dièdre et l'enveloppe est la plus proche de la sphère inscrite. Le Dodécèdre, d'autre part, a le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle fixe en haut et remplit la majeure partie de sa sphère circonscrite.
Double polyèdreÉditer
Chaque polyèdre a un double polyèdre avec des surfaces et des coins interchangeables. Le dual de chaque solide platonique est un autre solide platonique, ce qui signifie que nous pouvons disposer les cinq solides en paires doubles.
- Le tétraèdre est auto-dual (c'est-à-dire que son dual est un autre tétraèdre).
- Le cube et l'octaèdre forment une double paire.
- Le dodécaèdre et l'icosaèdre forment une double paire.
Si un polyèdre a un symbole Schläfli p, q, son double symbole a q, p. En fait, chaque propriété combinatoire d'un solide platonique peut être interprétée comme une autre propriété combinatoire du double.
Groupes de symétrieÉditer
En mathématiques, le concept de symétrie est étudié avec le concept d'un groupe mathématique. Chaque polyèdre a un groupe de symétries associé, qui sont définies avec toutes les transformations (isométries euclidiennes) qui laissent le polyèdre invariant. Le groupe d'ordre de symétrie est le nombre de symétries du polyèdre. On distingue souvent entre groupe de symétrie totale, qui comprend des réflexions, et propre groupe de symétrie, qui inclut uniquement les rotations.
Les groupes de symétrie des solides platoniques sont appelés groupes polyédriques (dans) (qui est une classe spécifique de groupes de points en trois dimensions (dans)). Le haut niveau de symétrie des solides platoniques peut être interprété de différentes manières. Plus important encore, les sommets de chaque sommet sont égaux sous l'influence du groupe de symétrie, tout comme les arêtes et les faces. Nous disons que l'action du groupe de symétrie est transitive sur les coins, les bords et les faces. En fait, c'est une autre façon de définir la régularité d'un polyèdre: un polyèdre est régulièrement si et seulement si elle est de pointe uniforme, de bord uniforme et de face uniforme.
Il n'y a que trois groupes de symétrie associés aux solides platoniques au lieu de cinq, car le groupe de symétrie d'un polyèdre coïncide avec celui de son double. Cela se voit facilement en examinant la construction du double polyèdre. Toute symétrie de l'original doit être une symétrie du double et vice versa. Les trois groupes multi-dangereux sont:
Les ordres des groupes corrects (rotations) sont respectivement 12, 24 et 60 – exactement le double du nombre d'arêtes dans le polyèdre respectif. Les ordres pour les groupes de symétrie totale sont deux fois les ordres précédents (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une déduction de ces faits.
Le tableau ci-dessous montre les différentes propriétés de symétrie des solides platoniques. Les groupes de symétrie répertoriés sont les groupes totaux avec les sous-groupes de rotation donnés entre parenthèses (comme pour le nombre de symétries). La construction kaléidoscopique de Wythoff est une méthode de construction de polyèdres directement à partir de groupes de symétrie. Nous montrons la référence au symbole de Wythoff pour chaque solide de Platon.
Naturel et technologiqueÉditer
Le tétraèdre, le cube et l'octaèdre se produisent tous naturellement dans les structures cristallines. Ceux-ci ne vident pas le nombre de formes cristallines possibles. Cependant, ni l'icosaèdre commun ni le dodécaèdre commun n'en font partie. L'une de ces formes, appelée pyritoèdre (du nom typique du groupe de minéraux) a douze surfaces pentagonales, disposées selon le même motif que les faces du dodécaèdre ordinaire. Cependant, les faces du pyritoèdre ne sont pas régulières, donc le pyritoèdre n'est pas régulier non plus.
De nombreux virus, comme le virus de l'herpès, ont la forme d'un icosaèdre ordinaire. Les structures virales sont construites sur des sous-unités de protéines répétitives identiques, et l'icosaèdre est la forme la plus facile à assembler à l'aide de ces sous-unités. Un polyèdre ordinaire est utilisé car il peut être construit à partir d'une unité de protéine de base utilisée indéfiniment, créant un espace dans le génome viral.
En météorologie et climatologie, les modèles numériques globaux des flux atmosphériques présentent un intérêt croissant. Ils utilisent des grilles basées sur un icosaèdre (affiné par triangulation) au lieu de la longitude / latitude la plus couramment utilisée. Cela présente l'avantage d'avoir une résolution spatiale également distribuée sans singularités (c'est-à-dire les pôles géographiques) au détriment d'un certain degré de difficulté numérique plus important.
La géométrie des structures spatiales est souvent basée sur des solides platoniques. Dans le système MERO, des solides platoniques sont utilisés pour la convention de dénomination des différentes configurations de cadre spatial. Par exemple, ½O + T fait référence à une configuration composée d'une demi-octave et d'un tétraèdre.
Lisez les outils solides de Platon pour les fabricants de cela. Ces 6 visages sont très courants, mais les autres noms sont couramment utilisés dans les jeux de rôle. De ceux-ci sont souvent appelés dne pas où ne pas c'est le nombre de faces (d8, d20, etc.). Danse dans les années 1960, quand on pense à la nécessité d'un test de la nécessité de la paternité à valeur ajoutée d'une plage plus un importateur de 1 à 6 tout et un gardien d'une fonction d'uniforme de masse (une "plaque de probabilité"), sinon c'est-à-dire, sur le plus plus de ceux-ci, sur la probabilité de "cloche", favorit les les résultats (limite centrale du théorème médian). L'emploi d'icosaèdres a déjà été évoqué, mais il a été difficile de s'en procurer et ils étaient chers. En 1971, Gary Gygax a utilisé un système de jetons dans une boîte pour obtenir des résultats entre 1 et 20 pour le jeu. Tractics (une)(8). Découvrant le matériel pédagogique présentant les plastiques solides de Platon, Gary Gygax a eu l'idée d'ajouter des nombres et de les utiliser pour Donjons et dragons (1974)(9).
Ces formes apparaissent fréquemment dans d'autres jeux ou autres puzzles. Des puzzles similaires au Rubik's Cube ont été publiés sous toutes ces formes – voir Combine Puzzle (une).
Les polyèdres reposent et les polytopesmodificateur
Uniformes en polyèdremodificateur
Il existe quatre polyèdres réguliers qui ne sont pas convexes, appelant des solides de Kepler-Poinsot. Ceux-ci ont toute la symétrie icosaédrique et peuvent être obtenus par des échafaudages en dodécaèdre et icosaèdre.
Les polyèdres convexes les plus réguliers après les solides de Platon sont le cuboctaèdre, qui est une rectification (une) vous cube et l'octaèdre, et l & # 39; icosidodécaèdre, qui est une rectification du dodécaèdre et de l & # 39; icosaèdre (la correction du polyèdre auto-dual, le tétraèdre est un octaèdre rululier). Ils sont tous deux quasi-régulier Cela ne veut pas dire que c'est la somme des uniformes et des uniformes des faces, mais les faces ne sont pas les seules isométriques (provenant de deux classes différentes). C'est pour le bien de l'architecture solide solide, en termes de convexes uniformes uniformes de la symétrie des polyèdres.
Les polyèdres uniformes forment une classe beaucoup plus large de polyèdres. Ces solides sont des sommes uniformes et un ou plusieurs types de polygones réguliers (convexes ou amidonnés) pour les faces. Ceux-ci incluent tous les polyèdres mentionnés ci-dessous avec l'ensemble infinitif de prismes, l'ensemble infinitif d'antifrices ainsi que 53 autres formes non convexes.
Les semelles de Johnson sur le polyèdre sont convexes à leurs faces mais ne sont pas uniformément uniformes.
PAVAGEmodificateur
Les trois trottoirs réguliers du plan sont fortement liés aux solides de Platon. En fait, on peut considérer les solides de Platon comme les cinq pavés réguliers de la sphère. Ceci est effectué et projectant chaque solide sur une sphère concentrentrique. Les faces se projettent sur des polygones sphériques réguliers qui couvrent exactement la sphère. Sur un coup de tête, vous pouvez voir comment le pavage est régulé par le caractère et le caractère d'un couple de personnes p, q avec 1 /p + 1 /q > 1/2. En fait, une feuille de route régulière du plan est caractérisée par la condition 1 /p + 1 /q = 1/2. Trois possibilités existantes:
De façon similaire, on peut considérer les trottoirs réguliers sur le plan hyperbolique. Ils sont caractérisent la condition 1 /p + 1 /q <1/2. Il existe un nombre infini de tels pavages.
Dimensions plus élevéesModifier
Lorsqu'il y a plus de trois dimensions, les polyèdres se généralisent aux polytopes. Dans le milieu du XIXe siècle, le mathématicien suisse Ludwig Schläfli découvrit les analogues quadridimensionnels des solides de Platon, appelés les 4-polytopes réguliers convexes. Il existe exactement six de ces figures ; cinq sont analogues aux solides de Platon, tandis que le sixième, le 24-cellules, n'a pas d'analogue en dimension inférieure.
Dans les dimensions plus élevées que quatre, il existe seulement trois polytopes réguliers convexes : le simplexe, l’hypercube et l’hyperoctaèdre. En trois dimensions, ceux-ci coïncident avec le tétraèdre, le cube et l’octaèdre.
Notes et référencesModifier
- Dans le contexte de cette page, le mot régulier est implicite et généralement omis. Le mot irrégulier est parfois utilisé pour souligner le fait qu'un polyèdre n’est pas régulier, bien qu'il soit encore supposé avoir la même topologie que la forme régulière. D'autres formes topologiques très différentes, telles que le dodécaèdre rhombique qui possède douze faces rhombiques, ou un polyèdre étoilé non-convexe, comme le grand dodécaèdre, ne sont jamais données avec des noms raccourcis.
- (en) The Scottish solids hoax
- (de) Eva Sachs, Die fünf platonischen Körper, Berlin, 1917. Festugière, Études de philosophie grecque, p. 385.
- Yvan Monka, Les Solides de Platon
- Pour des valeurs approchées plus précises, voir http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/Footsphe.htm#remplir.
- Pour les valeurs approchées de V/Vs, voir (en) http://www.thomasbending.co.uk/puzzles/geometry/spheresolids.htm, Volume of the circumscribed solid.
- (de) E. Haeckel, Kunstformen der Natur, 1904, rééd. (en) Art forms in nature, Prestel USA, 1998 (ISBN 3-7913-1990-6)
- (en) Leon Tucker, Mike Reese et Ernest Gary Gygax, Tractics, Guidon Games, ; 2de édition par TSR en 1975.
- Michael Witwer, L'Empire de l'imaginaire : Gary Gygax et la naissance de Dungeons & Dragons, Sycko, (ISBN 979-10-94206-18-8), p. 93-94.
Articles connexesModifier
BibliographieModifier
- Platon, Timée (vers 358 av. J.-C.), 55e-56c. Trad. L. Brisson, Timée/Critias, Garnier-Flammarion, 3° éd. revue 1996
- Euclide, Éléments (vers 300 av. J.-C.), livre XIII. Euclide, Les Éléments, volume IV, Livre XI-XIII, Géométrie des solides ; trad. du texte par Heiberg et commentaires par Bernard Vitrac. Paris : Presses universitaires de France, 2001. (Bibliothèque d'histoire des sciences). 482 p. (ISBN 2-13-051927-X)
Liens externesModifier
Les solides de Platon sont des formes qui font partie de la forme sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées dans le monde entier pendant plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. nIls sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du nombre de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. nLes quatre premières formes correspondent aux éléments : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.
















