Kepler – Poinsot polyhedron – Wikipedia | solides de Platon

En géométrie, un Kepler – Polyèdre Poinsot est l'un des quatre polyèdres en étoile communs.(1)

Ils peuvent être obtenus en positionnant les dodécaèdres et icosaèdres convexes habituels, et en différant lorsqu'ils ont des pentagrammes réguliers ou des formes de vertex. Ils peuvent tous être considérés comme des analogues tridimensionnels du pentagramme d'une manière ou d'une autre.

caractéristiques(Éditer)

Non convexité(Éditer)

Ces figures ont des pentagrammes (pentagones étoilés) comme des visages ou des sommets. Le petit dodécaèdre magnifiquement étoilé a des faces pentagrammes régulières non convexes. Le grand dodécaèdre et le grand icosaèdre ont des faces polygonales convexes, mais des figures de sommet pentagrammes.

Dans tous les cas, deux faces peuvent être croisées le long d'une ligne qui n'est pas un bord des deux côtés, de sorte qu'une partie de chaque face passe à l'intérieur de la figure. Ces intersections ne font pas partie de la structure polyédrique et sont parfois appelées fausses arêtes. De la même manière que trois de ces lignes se coupent en un point qui n'est un coin d'aucune face, ces points sont de faux coins. Les images ci-dessous montrent des sphères avec de vrais coins et des barres bleues le long des vrais bords.

Par exemple, le petit dodécaèdre étagé a 12 surfaces pentagrammes avec la partie pentagonale centrale cachée dans le solide. Les parties visibles de chaque face se composent de cinq triangles uniformes qui touchent cinq points autour du pentagone. Nous pourrions traiter ces triangles comme 60 faces distinctes pour obtenir un nouveau polyèdre irrégulier qui semble identique. Chaque bord serait maintenant divisé en trois bords plus courts (de deux types différents), et les 20 faux coins seraient vrais, de sorte que nous aurions un total de 32 coins (encore une fois de deux types). Les pentagones intérieurs cachés ne font plus partie de la surface polyédrique et peuvent disparaître. Maintenant, la formule d'Euler a: 60 – 90 + 32 = 2. Cependant, ce polyèdre n'est plus celui décrit par le symbole Schläfli 5/2, 5, et ne peut donc pas être un solide Kepler – Poinsot, bien que Il ressemble toujours à un étranger.

Caractéristique d'Euler χ(Éditer)

Un polyèdre Kepler – Poinsot couvre sa sphère circonscrite plus d'une fois, les centres des visages agissant comme des points pivots dans les visages pentagrammes et les sommets des autres. De ce fait, ils ne sont pas nécessairement topologiquement équivalents à la sphère des solides platoniques, et surtout au rapport d'Euler

ne dure pas toujours. Schläfli croyait que tous les polyèdres doivent avoir χ = 2, et il a rejeté le petit dodécaèdre stellaire et le grand dodécaèdre comme étant les bons polyèdres. Cette vue n'a jamais été largement partagée.

Une forme modifiée de formule d'Euler utilisant la densité () des sommets (

v displaystyle d_ v

) et visages (

F displaystyle d_ f

) a été émis Arthur Cayley, et détient à la fois pour les polyèdres convexes (où les facteurs de correction sont tous 1), et Kepler – le polyèdre de Poinsot:

Polygones de dualité et de Petrie(Éditer)

Kepler – Le polyèdre Poinsot existe en deux paires. Les doubles ont le même polygone de Petrie, ou plus précisément, des polygones de Petrie avec la même projection bidimensionnelle.

Les images suivantes montrent les deux connexions doubles avec le même rayon de bord. Ils montrent également que les polygones de Petrie sont asymétriques.
Deux conditions décrites dans l'article ci-dessous sont également facilement visibles sur les photos: Que les bords violets sont les mêmes et que les faces vertes sont dans les mêmes plans.

Résumé(Éditer)

Relations entre le polyèdre commun(Éditer)

Système de relations de Conway entre les six polyèdres (disposés verticalement par densité) (2)

Terminologie opérationnelle de Conway(Éditer)

John Conway définit le polyèdre Kepler – Poinsot comme grande forteresse et stellations des solides convexes.
Dans sa convention de dénomination, le petit dodécaèdre étoilé est juste dodécaèdre stellaire.

icosaèdre (I) chaîne de la mort (D)
grand dodécaèdre (gD) dodécaèdre étoilé (sD)
grand icosaèdre (gI) grandes chaînes mortelles étoilées (sgD = gsD)

Stellation transforme les visages pentagonaux en pentagrammes. (En ce sens, l'échafaudage est une opération unique et ne doit pas être confondu avec l'échafaudage plus général décrit ci-dessous.)

Great Ning conserve le type de faces, les modifie et les redimensionne en plan parallèle.

Stations et facettes(Éditer)

Le grand icosaèdre est l'un des peuplements d'icosaèdre. (Voir cinquante-neuf icosaèdres)
Les trois autres sont tous les postes de la chaîne de la mort.

Le grand dodécaèdre étoilé est une facette du dodécaèdre.
Les trois autres sont des facettes de l'icosaèdre.

Si les intersections sont traitées comme de nouvelles arêtes et sommets, les figures obtenues ne seront pas régulières, mais elles pourront tout de même être considérées comme des échafaudages.(exemples nécessaires)

(Voir aussi la liste des modèles de polyèdres Wenninger)

Coins et arêtes partagés(Éditer)

Le grand dodécaèdre étoilé partage son apex avec le dodécaèdre. Les trois autres polyèdres Kepler – Poinsot partagent leur icosaèdre.
Les squelettes des solides qui partagent la verticale sont topologiquement équivalents.

Le dodécaèdre étoilé(Éditer)

Coque et noyau(Éditer)

Le petit et le grand dodécaèdre étoilé
peut être considéré comme un dodécaèdre régulier et grand avec les bords et les faces étendus jusqu'à ce qu'ils se croisent.
Les surfaces pentagones de ces noyaux sont les parties invisibles des surfaces pentagrammes des polyèdres étoilés.
Car le petit dodécaèdre rangé est la coque

φ displaystyle varphi

fois plus grand que le noyau, et pour les plus gros, il est

φ+1=φ2 displaystyle varphi + 1 = varphi ^ 2

fois plus grand.
(Voir Golden ratio)
(Le rayon moyen est une mesure courante pour comparer la taille de différents polyèdres.)

augmentations(Éditer)

Traditionnellement, le polyèdre à deux étoiles a été défini comme augmentations (ou CUMULATION)
c'est-à-dire comme dodécaèdre et icosaèdre avec des pyramides ajoutées aux faces.

Kepler appelle la petite station dodécaèdre augmenté (puis surnommé hérisson).(3)

À son avis, la grande posture est liée à l'icosaèdre comme la petite est au dodécèdre.(4)

Ces définitions naïves sont toujours utilisées.
Par exemple, MathWorld déclare que les polyèdres à deux étoiles peuvent être construits en ajoutant des pyramides aux côtés solides du peloton.(5)(6)

C'est juste une aide pour visualiser la forme de ces solides, et non une affirmation que les intersections de l'intersection (faux coins) sont des coins.
S'ils l'étaient, les deux polyèdres étoilés seraient topologiquement équivalents au dodécaèdre pentakis et à l'icosaèdre triakis.

Symétrie(Éditer)

Tous les polyèdres Kepler – Poinsot ont une symétrie icosaédrique complète, tout comme leurs coques convexes.

Le grand icosaèdre et son double sont similaires à l'icosaèdre et à son double en ce qu'ils ont des faces et des verticales sur les axes de symétrie triple (jaune) et 5 fois (rouge).
Dans le grand dodécaèdre et son double, toutes les faces et l'apex sont sur des axes de symétrie 5 (il n'y a donc pas d'éléments jaunes dans ces images).

Le tableau ci-dessous montre les solides par paires. Dans la rangée supérieure, ils sont représentés avec une symétrie pyritoédrique, dans la rangée inférieure avec une symétrie icosaédrique (à laquelle se réfèrent les couleurs mentionnées).

Le tableau ci-dessous montre les projections orthographiques des axes de symétrie 5 fois (rouge), 3 fois (jaune) et 2 fois (bleu).

L'histoire(Éditer)

La plupart, sinon la totalité, du polyèdre Kepler-Poinsot était connue sous une forme quelconque avant Kepler. Un petit dodécaèdre stellaire apparaît dans un tarsia en marbre (panneau incrusté) sur le sol de la basilique Saint-Marc, Venise, Italie. Il remonte au XVe siècle et est parfois attribué à Paolo Uccello.

Dans son Perspectiva corporum regularium (Perspectives des solides communs), un livre de gravures sur bois publié en 1568, dépeint Wenzel Jamnitzer le grand dodécaèdre stellaire et un grand dodécaèdre (tous deux illustrés ci-dessous). Il existe également une version tronquée du petit dodécaèdre étoilé.(7) Il ressort du plan général du livre qu'il ne considérait les cinq solides platoniciens que comme ordinaires.

Les petits et grands dodécaèdres étoilés, parfois appelés Polyèdre de Kepler, a été reconnu pour la première fois comme d'habitude par Johannes Kepler vers 1619.(8) Il les a obtenus en posant le dodécaèdre convexe habituel, pour la première fois il l'a traité comme une surface au lieu d'un solide. Il a remarqué qu'en étendant les bords ou les faces du dodécaèdre convexe jusqu'à ce qu'ils se rencontrent à nouveau, il a pu obtenir des pentagones étoilés. De plus, il a reconnu que ces pentagones étoilés sont également courants. De cette façon, il a construit les deux chaînes de la mort arrangées. Chacun a la zone convexe centrale de chaque face "cachée" à l'intérieur, avec seulement les bras triangulaires visibles. La dernière étape de Kepler était de reconnaître que ces polyèdres correspondaient à la définition de la régularité, même s'ils n'étaient pas convexes, comme l'étaient les solides platoniciens traditionnels.

En 1809, Louis Poinsot redécouvre les personnages de Kepler en collectant des pentagones étoilés autour de chaque sommet. Il a également monté des polygones convexes autour des codes d'étoiles pour détecter deux autres étoiles régulières, le grand dodécaèdre emblématique et le grand. Certains appellent ces deux Poinsot polyedra. Poinsot ne savait pas s'il avait découvert tout le polyèdre étoilé habituel.

Trois ans plus tard, Augustin Cauchy prouve complètement la liste en volant des pelotons de solides, et près d'un demi-siècle après, en 1858, Bertrand en donne une preuve plus élégante en les facettant.

L'année suivante, Arthur Cayley Kepler – le polyèdre Poinsot a donné les noms qu'ils connaissent aujourd'hui.

Cent ans plus tard, John Conway a développé une terminologie systématique pour les échafaudages jusqu'à quatre dimensions. Dans ce schéma, le petit dodécaèdre stellaire est seulement dodécaèdre stellaire.

Polyèdre étoilé commun dans les arts et la culture(Éditer)

Une dissection du grand dodécaèdre a été utilisée pour le puzzle des années 80 d'Alexander's Star.
Les polyèdres en étoile ordinaires apparaissent pour la première fois dans l'art de la Renaissance. Un petit dodécaèdre stellaire est représenté dans un tarsia de marbre sur le sol de l'église Saint-Marc, Venise, Italie, datant de ca. 1430 et parfois attribué à Paulo Ucello.

Dans les années 1900, l'intérêt de l'artiste M. C. Escher pour les formes géométriques a souvent conduit à des œuvres basées sur ou incluant des solides ordinaires; la gravité est basé sur un petit dodécaèdre stellaire.

Sculpture de l'artiste norvégien Vebjørn Sand L'étoile Kepler apparaît près de l'aéroport d'Oslo, Gardermoen. L'étoile s'étend sur plus de 14 mètres et se compose d'un icosaèdre et d'un dodécèdre à l'intérieur d'un grand dodécaèdre étoilé.

Voir également(Éditer)

références(Éditer)

Remarques(Éditer)

  1. ^ Coxeter, Polytopes étoilés et fonction Schläfli f (α, β, γ) p. 121 1. Kepler – Le polyèdre de Poinsot
  2. ^ Conway et. anguille. (2008), p.405 Figure 26.1 Relations entre les polytopes en étoile tridimensionnels
  3. ^ "Dodecaches étendues auxquelles j'ai nommé Echinus"
    (Harmonices Mundi, Livre V, Chapitre III – p. 407 dans la traduction de E. J. Aiton)
  4. ^ "Ces chiffres sont si étroitement liés à l'un des dodécaèdres de l'icosaèdre que les deux derniers chiffres, en particulier le dodécaèdre, semblent en quelque sorte tronqués ou limités par rapport aux nombres avec des pointes."
    (Harmonices Mundi, Livre II, Proposition XXVI – p. 117 dans la traduction de E. J. Aiton)
  5. ^ "Un petit dodécaèdre stellaire peut être construit par cumul d'un dodécaèdre.
    c'est-à-dire, pour construire douze pyramides pentagonales et les attacher aux faces du dodécaèdre d'origine. "
    Weisstein, Eric W. "Petit dodécaèdre étoilé". mathworld. Ramassé 2018-09-21.
  6. ^ "Une autre façon de construire un grand dodécaèdre stellaire via le cumul est de créer 20 pyramides triangulaires (…) et de les attacher aux côtés d'un icosaèdre."
    Weisstein, Eric W. "Grand dodécaèdre étoilé". mathworld. Ramassé 2018-09-21.
  7. ^ Fichier: Perspectiva Corporum Regularium 27e.jpg
  8. ^ H.S.M. Coxeter, P. Du Val, H.T. Flather et J.F. Petrie; Les cinquante-neuf icosaèdres, 3e édition, Tarquin, 1999. p.11

Bibliographie(Éditer)

  • J. Bertrand, Note sur la théorie des régulateurs, Rendu à venir des sessions de l'Académie des sciences, 46 (1858), p. 79–82, 117.
  • Augustin-Louis Cauchy, Recherche des polyèdres. J. de l & # 39; École Polytechnique 9, 68-86, 1813.
  • Arthur Cayley, sur les quatre nouveaux solides de Poinsot. Phil. Mag. 17, p. 123-127 et 209, 1859.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, La symétrie des choses 2008 ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapitre 24, Polytopes à étoiles communes, pp. 404-408)
  • Kaléidoscope: auteurs sélectionnés par H. S. M. Coxeter, édité par F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 (1)
    • (Papier 1) H.S.M. Coxeter, Les neuf solides (Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), 252-264, MR 8, 482)
    • (Papier 10) H.S.M. Coxeter, Les polytopes étoilés et la fonction Schlafli f (α, β, γ) (Éléments de mathématiques 44 (2) (1989) 25-36)
  • Theoni Pappas, (The Kepler – Poinsot Solids) La joie des mathématiques. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p 113, 1989.
  • Louis Poinsot, Mémoire sur les polygones et polyèdres. J. de l & # 39; École Polytechnique 9, p. 16–48, 1810.
  • Lakatos, Imre; Preuve et rejetée, Cambridge University Press (1976) – discussion des preuves de la caractéristique d'Euler
  • Wenninger, Magnus (1983). Deux modèles. La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 0-521-54325-8., p. 39–41.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Les symétries des choses 2008 ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapitre 26. p. 404: Polytopes en étoile commune Dimension 3)
  • Anthony Pugh (1976). Polyèdres: une approche visuelle. Californie: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapitre 8: Polyèdres de Kepler Poisot

Liens externes(Éditer)


Les solides platoniques fonctionnent comme des cellules unitaires qui se répètent sur elles-mêmes afin de maintenir l’intégrité de leur forme insolite. Chaque cellule unitaire contient un volume particulier de conscience, ou lien énergétique, qu’elle exprime par sa géométrie unique. Les cellules unitaires se développent les unes à côté des autres et se soutiennent les unes les autres. c’est la raison pour laquelle certaines cellules deviennent des nerfs, d’autres des groupes de muscles, d’autres encore des organes. Chacun suit une directive qui se répète sur lui-même tout en dorénavant l’intégrité d’un corps homme de troisième dimension. Drunvalo Melchizédek note que l’icosaèdre et le dodécaèdre tournent microscopiquement à l’intérieur de la double hélice de notre ADN qui soumet et maintient la conscience humaine dans la troisième dimension. C’est aussi la raison pour laquelle le monde, en tant que forme de vie de 3ème superficie, ne peut pas voir physiquement des êtres dimensionnels supérieurs. Nos yeux physiques ne peuvent pas reconnaître la signature énergétique des êtres de la septième superficie. Cependant, à mesure que notre planète évolue vers la cinquième dimension, le monde se développe vers notre prochaine expression réel en tant qu’êtres de cinquième surface sur Terre. A travers nos yeux de cinquième dimension, nous ferons l’expérience de nous-mêmes dans notre nouveau monde dans une perspective d’amour extraordinaire, de pardon compatissant et de grande paix. Travaillez avec ces automobiles de la création pour célébrer tout ce que vous soyez. n

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