Les solides platoniciens – un prélude à la formule des polyèdres d'Euler – C'est facile à voir … solides de Platon spirituel

Ce billet était motivé par le livre "Gemme d'Euler: la formule des polyèdres et la naissance de la topologie" de David R. Richeson.

Platon était un philosophe grec et fondateur de l'Académie d'Athènes, la première institution d'enseignement supérieur dans le monde occidental. Theaetetus, un conférencier dans le monde universitaire et aussi un ami de Platon, est crédité d'être le premier à donner une preuve complète de l'existence deplatonicsolidsb cinq (et pas plus de cinq) polyèdres convexes unis. Platon croyait qu'il devait y avoir une raison cosmologique à ce fait, et il a proposé un modèle atomique dans lequel toute la substance était composée de quatre éléments en forme de polyèdres convexes ordinaires. Le cinquième élément, le dodécaèdre, serait le matériau de ce que les dieux ont créé l'univers lui-même.

Dans ce qui suit, nous présentons trois arguments différents qui prouvent que seuls cinq polyèdres ordinaires convexes peuvent exister. Nous commençons à dire quelques mots sur la contrepartie des polyèdres dans la deuxième dimension, les polygones.

polygonespolygone-commun2

Prenez un crayon et placez-le sur un morceau de papier, disons sur un point p_0. Dessinez une séquence de lignes droites (arêtes) sans intersection de sorte que la dernière arête ait un point d'extrémité p_0. Le personnage que vous avez créé est un poly. Une classe de polygones sont ceux qui sont régulièrement, à savoir les polygones où tous les côtés ont la même longueur. On peut aller plus loin et limiter la classe des polygones réguliers à ceux qui s'y trouvent aussi convexe. Les polygones convexes sont ceux où la main oscille de la même manière pendant le dessin. Il y a quelques bons théorèmes qui impliquent des polygones convexes ordinaires

Théorème (somme des angles externes): La somme des angles extérieurs d'un polygone convexe k-ordinaire est égale   Displaystyle 2  pi.

Théorème (angle interne): L'angle intérieur d'un polygone convexe k-ordinaire est égal  displaystyle  frac  pi (k-2) k.

Le premier théorème provient de la proximité d'un polygone. Puisque je commence et termine le dessin au même point, mon crayon doit décrire un tour complet sur le papier. En laissant X être l'angle intérieur de k-polygone convexe régulier, nous pouvons écrire chacun de ses angles externes comme  pi - x puis utilisez le premier théorème pour dériver le second.

La classe des polygones convexes ordinaires est infinie. Pour certains k, on peut toujours en construire un k-polygone convexe régulier. Malgré ses propriétés symétriques, autant d'attention aux polygones convexes ordinaires peut être expliquée par le résultat ci-dessous:

Théorème (meilleur rapport surface / circonférence): Parmi tous les polygones inclus k pages et une circonférence donnée L, le k-le polygone convexe régulier est celui qui a la plus grande surface.

Le résultat suivant consiste à couvrir l'avion de polygones. Un ensemble de polygones adjacents divisant la planète en un ensemble de régions est appelé carrelage de l'avion. Une tuile où le même polygone est utilisé à nouveau est appelée une tuile carrelage lisse, et un pavage uniforme qui utilise des polygones convexes ordinaires est appelé carrelage régulier.

Théorème (Obtenez des tuiles communes dans l'avion): Il n'y a que trois tuiles communes dans l'avion.

Choisissez n'importe quel kpolygone convexe régulé et essayons de couvrir l'avion avec. Pour ce faire, nous devons être en mesure d'organiser les polygones de telle sorte que tous les trous soient remplis. En d'autres termes, tout cercle de rayon quelconque doit reposer complètement dans le sol.

Choisissons un ensemble spécifique de cercles, à savoir ceux centrés sur un côté ou un autre du carrelage. Un sommet général pour un pavage régulier aura le même nombre q des bords incidents et les bords incidents forment des angles égaux à l'angle interne du polygone régulier (voir figure)

carrelage platonique

Voilà pourquoi nous devons 2  pi être un multiple entier des angles intérieurs du polygone en mosaïque.

 displaystyle 2  pi = q  cdot  frac  pi (k-2) k.

Dont on dérive

 displaystyle k =  frac 2q q-2.

enregistrer

La dernière équation définit l'hyperbole sur la figure. Nous ne nous soucions pas des valeurs négatives de q ou k , et nous considérons uniquement cette partie du graphique dans le premier quadrant. Nous savons que k  geq 3 et si on fait k = 3 dans l'équation il obtient:

3 =  frac 2q q-2  Rightarrow q = 6.

Donc, k = 3 (triangles) est un polygone valide pour paver l'avion. Pour trouver les valeurs restantes, observez que la fonction ci-dessus diminue de façon monotone (la dérivée est toujours négative). De plus, le graphique nous indique que pour les valeurs de q plus grand que 6, k  in (2.3) et nous pouvons limiter notre analyse à seulement trois autres cas.

 begin array lr q = 5 & k =  frac 2  cdot 5 5-2 =  frac 10 3 \ (0.1in) q = 4 & k =  frac 2  cdot 4 4-2 = 4 \ (0.1in) q = 3 & k =  frac 2  cdot 3 3-2 = 6  end array

Nous concluons que le carrelage s'applique également k = 4 et k = 6 . Enfin, un pavage régulier de l'avion doit utiliser des triangles, des carrés ou des hexagones ordinaires.

polyèdres

Un polyèdre peut être décrit de la même manière qu'un polygone, sauf que vous êtes maintenant autorisé à dessiner votre figure dans un espace en trois dimensions. La classe des polyèdres convexes unis est définie de façon analogue à celle faite pour les polygones, mais alors que dans ce dernier la classe contient l'infini, les polyèdres convexes unis sont un groupe très sélectif de seulement cinq membres. Ce sont exactement les solides platoniques.

Preuve de théétus

Sélectionnez un sommet dans un polyèdre v et il doit avoir au moins trois coins adjacents, sinon il ne serait pas possible d'avoir une zone fermée dans la pièce. Considérez également l'angle formé par chaque paire de surfaces adjacentes v et désigné par  sigma la somme. Observez-le  sigma doit être inférieur à 2  pi et nous dénotons la différence 2  pi -  sigma le erreur d'angle de v.

N'oubliez pas que chaque côté d'un polyèdre convexe régulier est du même type de polygone. Décrivons les possibilités:

  1. Face triangulaire unilatérale:
    1. Trois faces à chaque sommet v: Erreur d'angle =  displaystyle 2  pi - 3  cdot  pi / 6 =  pi / 2.
    2. Quatre faces dans chaque sommet v: Erreur d'angle =  displaystyle 2  pi / 3.
    3. Cinq faces: erreur angulaire =  displaystyle  pi / 3.
    4. Six faces: erreur angulaire = 0. Pas possible.
  2. Carré:
    1. Trois faces: erreur d'angle =  displaystyle  pi / 2.
    2. Quatre faces: erreur angulaire = 0. Pas possible.
  3. Pentagone régulier:
    1. Trois faces: erreur d'angle =  displaystyle  pi / 5.
    2. Quatre faces: erreur angulaire =  displaystyle -2  pi / 5. Pas possible.
  4. Hexagone simple:
    1. Trois faces: erreur angulaire = 0. Pas possible.

Il est inutile d'essayer et d'essayer, puis nous avons identifié les cinq seuls types possibles de polyèdre ordinaire convexe.

Utilise la formule polyèdre d'Euler

La célèbre formule d'Euler, qui indique le nombre de sommets (V), d'arêtes (E) et de surfaces (F) d'un polyèdre, nous donne également la preuve des cinq solides platoniques.

V - E + F = 2.

Dans un polyèdre convexe régulier, chaque face a le même numéro m des bords et chaque bord fait partie de exact deux visages, ce qui nous permet d'écrire

mF = 2E.

De même, chaque sommet a le polyèdre n bords qui lui sont connectés. Donc,

nV = 2E.

Solution pour F dans la formule d'Euler:

 begin array c mF / n - mF / 2 + F = 2 \ (0.1in) F = 4n / (2m - mn + 2n).  Fin matrice

Nous savons que m, n  geq 3 et F> 0. Donc

2m - mn + 2n> 0.

 begin array lcccc m / n & 3 & 4 & 5 & 6  (0.1in) 3 & 3 (OK) & 2 (OK) & 1 (OK) & -2  (0.1in) 4 & 2 (OK) & 0 & &   (0.1in) 5 & 1 (OK) & -2 & &   (0.1in) 6 & 0 & & &  end array

Pour chaque paire valide (M, n) nous avons un autre solide platonique.

 begin array cc (3.3) &  text Tetrahedron \ (0.1in) (4.3) &  text Cube \ (0.1in) (5.3) &  text Dodécaèdre \ (0.1in) (3.4) &  text Octaèdre \ (0.1in) (3.6) &  text Icosaèdre  end array

Preuve légendaire

Soit S une sphère de rayon. UNE grand cercle de S est un circuit de rayon situé à la surface de S. A capricorne sphérique est l'aire de la sphère délimitée par deux grands cercles, comme indiqué sur la figure.

Digon commun en géométrie sphérique-2.svg
Par Pbroks13 – Image: Digon régulier dans sherical geometry.png, Domaine Public, Lien

Les grands cercles d'un câlin se rencontrent à deux points antipodaux au même angle, disons une. Nous pouvons facilement calculer la zone à chauffer L.

 begin array c  displaystyle  frac a 2  pi =  frac L 4  pi \ (0.1in) L = 2a.  Fin matrice

Les lunes peuvent être utilisées pour calculer les zones de triangles à la surface de la sphère. Un triangle est formé de trois beaux cercles, et pour chaque paire d'entre eux a un câlin. Nous pouvons couvrir toute la sphère en résumant toutes les mélodies et leurs parents symétriques, comme le montre la figure. Pensez au triangle abc et désigné par  sigma région. Laisser L_x l'angle correspondant X.

Trigonométrie sphérique Crossing Circles.svg
Par Peter Mercator – Propre travail, CC BY-SA 3.0, Lien

 begin array c 2L_a + 2L_b + 2L_c - 2  sigma = 4  pi \ (0.1in)  sigma = a + b + c -  pi.  Fin matrice

Nous pouvons étendre ce résultat à n'importe quel polygone dans une sphère. Pour un polygone avec n pages, je peux le diviser en n-2 Triangles. par conséquent n-la zone polygonale d'un shper,  sigma_n, se dégage

 sigma_n =  text Somme des angles internes - (n-2)  pi.

C'est un dessin qui nous aide à nous souvenir de cette formule. Chaque sommet est marqué avec sa valeur, chaque bord du polygone est marqué -  pi et le polygone lui-même est étiqueté  pi. La somme de tous les marquages ​​donne l'aire du polygone sur une sphère de rayon un.

platonique

Nous sommes maintenant prêts pour l'ingénieuse preuve de Legendre. Commencez par n'importe quel polyèdre convexe et entourez-le d'une sphère de rayon (vous pouvez toujours le faire en redimensionnant correctement le polyèdre). Projetez ensuite le polyèdre sur la sphère en émettant des rayons depuis le centre de la sphère. Pour chaque surface du polyèdre, faites le marquage comme décrit ci-dessus. Notez que les angles adjacents de chaque sommet du polyèdre projeté résument 2  pi. De plus, chaque bord contribue deux fois, un pour chaque visage auquel il appartient. Donc,

 begin array c 2  pi V - 2  pi E + 2  pi F = 4  pi \ (0.1in) V - E + F = 2.  end array

En observant les relations entre les robustes de Platon, on peut préciser que l’icosaèdre est l’inverse précis du dodécaèdre. C’est-à-dire, si vous connectez les échelons centraux des douze pentagones qui constituent l’élément éthérique, vous aurez créé les douze coins de l’icosaèdre aqueux. C’est intrigant parce que ce que nous avons pu regarder jusqu’à présent de l’éther indique qu’il se inclus effectivement comme un fluide. Certes, la mesure et l’observation de l’éther s’est vérifiée assez difficile jusqu’à présent, à cause de son omniprésence. Comment mesurer quelque chose dont on ne peut s’échapper ? Et si nous ne pouvons pas le mesurer, de quelle manière pouvons-nous être sûrs qu’il existe ? Nous avons peu de mal à mesurer les autres éléments : la masse cinétique de la terre ; les contre sens chimiques rendues solubles par l’eau ; la chaleur rayonnante du feu ; les volts du vent électrique. Celles-ci s’observent relativement facilement, ‘ continuellement ouvertes à notre regard ‘ comme elles l’effectuent. Mais l’éther super délicat échappe à une détection facile. Les anciennes traditions néolithiques ont gravé des photos des composants de la nature sur des boules de pierre un millier d’années avant qu’elles ne soient connues sous l’appellation de robustes platoniques. Les philosophes et les mathématiciens grecs ont analysé l’idée des formes primaires. Certains attribuent leurs sources à Pythagore ( 570-495 av. J. -C. ), Empedocle ( 490-430 av. J. -C. ) ou Theaetetus ( 417-369 av. J. -C. ). Platon ( 424-347 av. J. -C. ), un étudiant de Socrate, en a beaucoup parlé dans son dialogue avec Timée. Il les a décrits comme les éléments constituants de la vie représentés par les 4 éléments que sont la terre, l’eau, le feu et l’air. Aristote a identifié un cinquième élément qu’il a nommé Aether. Euclide ( 323-283 av. J. -C. ) les réunit, les nomme les Solides de Platon et leur donne des descriptions mathématiques ciblées dans son livre Elements. Ce large corpus de connaissances est passé quasiment sous terre jusqu’à ce que Johannes Kepler ( 1571-1630 ), un astronome allemand, considère la sphère comme un conteneur pour chacun des cinq solides de Platon. Il a aussi essayé de rattacher les robustes aux six planètes renommées de Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne. En géométrie euclidienne, un solide de Platon est défini comme un polyèdre fréquent et convexe, dont les faces sont des polygones réguliers et congruents, avec le même volume de faces se rencontrant à chaque plus haut qui s’inscrivent dans une sphère. Empedocle voyait l’attachement comme le pouvoir qui attire ces formes ensemble tandis que la lutte les sépare. Les composants ont inspiré l’art, la technique et la compréhension de l’élégance de notre monde.

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