Solide platonicien – Wikipedia | pierre énergétique

Dans l'espace tridimensionnel, un Platoniquement solide est un polyèdre convexe commun. Il est construit de surfaces polygonales congruentes (de forme et de taille identiques), régulières (tous angles égaux et tous égaux égaux), avec le même nombre de faces qui se rencontrent à chaque sommet. Cinq solides répondent à ces critères:

Les géomètres étudient les solides platoniques depuis des milliers d'années.(1) Ils sont nommés d'après le philosophe grec Platon qui a assumé dans l'un de ses dialogues, le Timée, que les éléments classiques étaient constitués de ces solides.(2)

Tâche pour les éléments de Keplers Mysterium Cosmographicum

Les solides platoniciens sont connus depuis l'Antiquité.
Il a été suggéré que certains
les pierres sculptées faites par la population néolithique tardive d'Écosse représentent ces formes; cependant, ces boules ont des boutons arrondis au lieu d'être polyédriques,
le nombre de boutons diffère souvent du nombre de sommets dans les solides platoniques, il n'y a pas de boules avec les boutons correspondant aux 20 coins du dodécaèdre, et la disposition des boutons n'était pas toujours symétrique.

Les anciens Grecs ont étudié de manière approfondie les solides platoniciens. Certaines sources (comme Proclus) attribuent Pythagore à leur découverte. D'autres preuves suggèrent qu'il ne connaissait peut-être que le tétraèdre, le cube et le dodécèdre, et que la découverte de l'octaèdre et de l'icosaèdre appartient à Theaetetus, un contemporain de Platon. Dans tous les cas, Theaetetus a donné une description mathématique de tous les cinq et peut avoir été responsable de la première preuve connue qu'aucun autre polyèdre ordinaire convexe n'existe.

Les solides platoniciens occupent une place importante dans la philosophie de Platon, leur homonyme. Platon a écrit à leur sujet dans le dialogue Timée c.360 av. où il associe chacun des quatre éléments classiques (terre, air, eau et feu) à un solide commun. La terre était associée au cube, l'air à l'octaèdre, l'eau à l'icosaèdre et le feu au tétraèdre. Il y avait une justification intuitive à ces associations: la chaleur du feu est vive et poignardante (comme le petit tétraèdre). L'air est fait par l'octaèdre; ses minuscules composants sont si lisses que vous pouvez à peine le sentir. L'eau, l'icosaèdre, coule de sa main lorsqu'elle est récupérée, comme si elle était faite de minuscules petites boules. En revanche, un hexaèdre (cube), un solide très non sphérique, représente le "sol". Ces solides maladroits provoquent l'effritement et la cassure de la saleté lorsqu'ils sont ramassés en contraste frappant avec le courant constant d'eau.(référence nécessaire) En outre, le cube est considéré comme le seul solide commun à tesseller l'espace euclidien, provoquant la solidité de la Terre.

Du cinquième solide platonicien, remarqua le Dodécèdre, Platon brouillé, "… le dieu l'utilisa pour disposer les constellations dans tout le ciel". Aristote a ajouté un cinquième élément, aithēr (éther en latin, "éther" en anglais) et a postulé que les cieux étaient faits de cet élément, mais il n'avait aucun intérêt à le faire correspondre avec le cinquième solide de Platon.(4)

Euclide a décrit mathématiquement les solides platoniques Élémentsdont le dernier livre (Livre XIII) est consacré à leurs caractéristiques. La proposition 13-17 du livre XIII décrit la construction du tétraèdre, de l'octaèdre, du cube, de l'icosaèdre et du dodécaèdre dans cet ordre. Pour chaque Euclide fixe, trouvez le rapport du diamètre de la sphère circonscrite à la longueur du bord. Dans la proposition 18, il soutient qu'il n'y a plus de polyèdres ordinaires convexes.
Andreas Speiser a fait valoir que la construction des 5 solides est l'objectif principal du système déductif canonisé dans Éléments. Une grande partie des informations contenues dans le livre XIII provient probablement du travail de Theaetetu.

Au XVIe siècle, l'astronome allemand Johannes Kepler a tenté de relier les cinq planètes extraterrestres connues à l'époque aux cinq solides platoniciens. DANS Mysterium Cosmographicum, publié en 1596, Kepler a proposé un modèle du système solaire dans lequel les cinq solides étaient interposés et séparés par une série de sphères écrites et circonscrites. Kepler a suggéré que les relations de distance entre les six planètes connues à l'époque pouvaient être comprises sous la forme des cinq solides platoniciens enfermés dans une sphère représentant l'orbite de Saturne. Les six sphères correspondent chacune à l'une des planètes (Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Les solides ont été ordonnés, et les plus internes étaient l'octaèdre, suivi de l'icosaèdre, du dodécèdre, du tétraèdre et enfin du cube, dictant ainsi la structure du système solaire et les relations de distance entre les planètes de solides platoniques. Finalement, l'idée originale de Kepler a dû être abandonnée, mais de ses recherches sont sorties les trois lois de la dynamique orbitale, dont la première était que les orbites des planètes sont des ellipses plutôt que des cercles, et ont changé le cours de la physique et de l'astronomie. Il a également découvert des solides Kepler.

Dans les années 1900, les tentatives d'attacher des solides platoniques au monde physique ont été étendues au modèle de la coquille d'électrons en chimie par Robert Moon dans une théorie connue sous le nom de "modèle de la lune".

Coordonnées cartésiennesÉditer

Pour les solides platoniciens centrés à l'origine, les coordonnées cartésiennes simples des sommets sont données ci-dessous. La lettre grecque φ est utilisé pour représenter la relation d'or 1 + 5/2 ≈ 1,6180.

paramètres
Figure tétraèdre octaèdre cube icosaèdre dodécaèdre
visages 4 8 6 20 12
sommets 4 6 (2 × 3) 8 12 (4 × 3) 20 (8 + 4 × 3)
Compte rendu
ensemble
1 2 1 2 1 2
Sommet
coordonnées
(1, 1, 1)
(1, -1, -1)
(-1, 1, -1)
(-1, -1, 1)
(-1, -1, -1)
(−1, 1, 1)
(1, -1, 1)
(1, 1, -1)
(± 1, 0, 0)
(0, ± 1, 0)
(0, 0, ± 1)
(± 1, ± 1, ± 1) (0, ± 1, ±φ)
(± 1, ±φ, 0)
φ, 0, ± 1)
(0, ±φ, ± 1)
φ, ± 1, 0)
(± 1, 0, ±φ)
(± 1, ± 1, ± 1)
(0, ±1/φ, ±φ)
1/φ, ±φ, 0)
φ, 0, ±1/φ)
(± 1, ± 1, ± 1)
(0, ±φ, ±1/φ)
φ, ±1/φ, 0)
1/φ, 0, ±φ)
Image

Les coordonnées du tétraèdre, de l'icosaèdre et du dodécaèdre sont données dans deux ensembles d'orientation, contenant chacun la moitié du caractère et la permutation de position des coordonnées.

Ces coordonnées révèlent certaines relations entre les solides platoniques: les sommets du tétraèdre représentent la moitié du cube, comme 4.3 ou , l'un des deux ensembles de 4 sommets en position double, tels que h 4.3 ou . Les deux positions tétraédriques rendent l'octaèdre stellaire de composition.

Les coordonnées de l'icosaèdre sont liées à deux ensembles alternés de coordonnées d'un octaèdre non uniformément tronqué, t 3,4 ou , également appelé octaves trébuchantes, comme s 3,4 ou et connectez-vous avec deux icosaèdres.

Huit des coins du dodécaèdre sont partagés avec le cube. Remplir toutes les directions conduit à la composition de cinq dés.

Propriétés combinatoiresÉditer

Un polyèdre convexe est un solide platonique si et seulement si

  1. toutes les faces sont des polygones réguliers convexes congruents,
  2. aucune des faces ne se croise sauf sur les bords, et
  3. le même nombre de visages se rencontrent à chacun des pics.

Chaque solide platonique peut donc être désigné par un symbole p, q

p est le nombre d'arêtes (ou, comme les verticales) sur chaque face, et
q est le nombre de faces (ou d'arêtes similaires) qui se rencontrent à chaque sommet.

Le symbole p, q, appelé le symbole Schläfli, fournit une description combinatoire du polyèdre. Les symboles Schläfli pour les cinq solides platoniciens sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Ce qui précède sous forme de graphique plan bidimensionnel

Toutes les autres informations combinatoires sur ces solides, telles que le nombre total de verticales (V), bords (E) et visages (F), peut être déterminé à partir de p et q. Puisque toute arête rejoint deux coins et a deux surfaces adjacentes, nous devons avoir:

La deuxième relation entre ces valeurs est donnée par Formule d'Euler:

Cela peut être prouvé de plusieurs façons. Ensemble, ces trois conditions déterminent complètement V, E, et F:

commutation p et q noeuds F et V en partant E inchangé. Pour une interprétation géométrique de cette propriété, voir § Double polyèdre en dessous.

En configurationÉditer

Les éléments d'un polyèdre peuvent être exprimés dans une matrice de configuration. Les lignes et les colonnes correspondent au sommet, aux bords et aux faces. Les nombres diagonaux indiquent combien de chaque élément se trouve dans le polyèdre. Les nombres non diagonaux indiquent le nombre d'éléments de colonne se trouvant dans ou au niveau de l'élément de ligne. Deux paires de polyèdres ont leurs matrices de configuration tournées de 180 degrés.(7)

P, q Configurations platoniciennes
Commande de groupe:
g = 8pq/ (4- (p-2) (q-2))
g= 24 g= 48 g= 120
v e F
v g/ 2q q q
e 2 g/ 4 2
F p p g/ 2p
3,5
12 5 5
2 30 2
3 3 20
5,3
20 3 3
2 30 2
5 5 12

ClassificationÉditer

Le résultat classique est qu'il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes. Deux arguments communs ci-dessous démontrent qu'il ne peut exister plus de cinq solides platoniciens, mais démontrer l'existence d'un solide donné est une question distincte – qui nécessite une construction explicite.

Preuve géométriqueÉditer

Fils de polygone autour d'un pic

3,3
Défectueux 180 °

3,4
Défectueux 120 °

3,5
Erreur 60 °

3,6
Erreur 0 °

4,3
Défectueux à 90 °

4.4
Erreur 0 °

5,3
Erreur 36 °

6,3
Erreur 0 °
Un sommet a besoin d'au moins 3 faces et d'une erreur angulaire.
Une erreur d'angle de 0 ° remplira le plan euclidien avec un pavage normal.
Selon le théorème de Descartes, le nombre de verticales est de 720 ° /défectueux.

L'argument géométrique suivant est très similaire à celui donné par Euclide i Éléments:

  1. Chaque sommet du solide doit être un sommet pour au moins trois faces.
  2. À chaque sommet du solide, le total, entre les surfaces adjacentes, des angles entre leurs côtés adjacents respectifs doit être inférieur à 360 °. La quantité inférieure à 360 ° est appelée défaut angulaire.
  3. Les angles de tous les sommets de toutes les faces d'un solide platonique sont identiques: chaque sommet de chaque face doit contribuer moins de 360 °/3 = 120 °.
  4. Les polygones ordinaires de six côtés ou plus n'ont que des angles de 120 ° ou plus, donc la face régulière doit être le triangle, le carré ou le pentagone. Ce qui suit s'applique à ces différentes formes:
    • Surfaces triangulaires: chaque sommet d'un triangle régulier mesure 60 °, donc une forme peut avoir trois, 4 ou 5 triangles qui se rejoignent au sommet; ce sont respectivement le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre.
    • Faces carrées: Chaque sommet d'un carré est à 90 °, il n'y a donc qu'un seul arrangement possible avec trois faces dans un sommet, le cube.
    • Faces pentagonales: chaque sommet mesure 108 °; là encore, une seule disposition de trois faces dans un sommet est possible, le dodécèdre.
Au total, cela rend 5 solides platoniques possibles.

Preuve topologiqueÉditer

Des preuves topologiques pures peuvent être obtenues en utilisant uniquement des informations combinatoires sur les solides. La clé est l'observation d'Euler que VE + F = 2, et le fait que pF = 2E = QV, où p représente le nombre d'arêtes sur chaque face et q pour le nombre d'arêtes qui se rencontrent à chaque sommet. En combinant ces équations, on obtient l'équation

La manipulation algébrique simple fournit alors

Depuis E est strictement positif, nous devons avoir

AnglesÉditer

Il existe un certain nombre d'angles associés à chaque solide platonique. L'angle dièdre est l'angle intérieur entre deux surfaces planes. L'angle dièdre, θ, du fixe p,q est donné par la formule

Parfois, cela s'exprime plus confortablement en termes de tangente

La quantité h (appelé Le nombre de Coxeter) est 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre, respectivement.

Le défaut angulaire du sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles faciaux de ce sommet et 2π. Le manque, δ, dans tout pic de solides platoniques p,q er

Par un théorème de Descartes, cela est égal à 4π divisé par le nombre de sommets (c'est-à-dire que l'erreur totale à tous les sommets est de 4)π).

L'analogue tridimensionnel à un angle plat est un angle solide. L'angle solide, Ω, au sommet d'un solide platonique est donné sous la forme de l'angle dièdre avec

Cela suit excès de formule sphérique pour un polygone sphérique et le fait que le sommet du polyèdre p,q est une pratique courante q-Gon.

L'angle fixe d'une face subordonnée au centre d'un solide platonique est égal à l'angle fixe d'une sphère pleine (4π stéradians) divisé par le nombre de visages. Cela correspond au défaut angulaire du double.

Les différents angles associés aux solides platoniques sont présentés ci-dessous. Les valeurs numériques des angles fixes sont données en stéradians. La constante φ = 1 + 5/2 est la relation d'or.

Rayons, surface et volumeÉditer

Une autre vertu de régularité est que les solides platoniques ont tous trois sphères concentriques:

Les rayons de ces sphères sont appelés circumradius, le midradius, et inradius. Ce sont les distances entre le centre du polyèdre et les sommets, le milieu du bord et les centres faciaux, respectivement. circumradius R et dans le rayon r du fixe p, q avec longueur de bordure une est dégagé

θ est l'angle dièdre. Midradiusen ρ est dégagé

h est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (h = 4, 6, 6, 10 ou 10). La relation entre circumradius et inradius est symétrique p et q:

le superficie, UNE, d'un solide platonique p, q est facilement calculé comme une aire d'un pet fois le nombre de visages F. C'est:

le le volume est calculé comme F fois le volume de la pyramide dont la base est régulière p-gon et dont la hauteur est en rayon r. C'est,

Le tableau ci-dessous montre les différents rayons des solides platoniques ainsi que leur surface et leur volume. La taille globale est fixée en prenant la longueur du bord, une, égal à 2.

Les constantes φ et ξ dans ce qui précède est donné par

Parmi les solides platoniques, le dodécaèdre ou l'icosaèdre peuvent être considérés comme la meilleure approche de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces et le plus grand angle dièdre, il serre le plus fortement sa sphère inscrite, et le rapport surface / volume est le plus proche de celui d'une sphère de même taille (c'est-à-dire soit la même surface soit le même volume). Cependant, le dodécaèdre a le plus petit angle de bord, le plus grand angle au sommet, et il remplit le plus sa sphère circonscrite.

Biens immobiliers RupertÉditer

Un polyèdre P dit avoir Rupert propriété si un polyèdre de taille identique ou supérieure et de même forme que P peut passer à travers un trou dans P.(8)
Les cinq solides platoniques ont tous cette propriété.(8)(9)(dix)

Double polyèdreÉditer

Chaque polyèdre a un polyèdre double (ou "polaire") avec visages et apex interchangés. Le double de chaque solide platonique est un autre solide platonique, nous pouvons donc disposer les cinq solides en paires doubles.

  • Le tétraèdre est auto-dual (c'est-à-dire que son dual est un autre tétraèdre).
  • Le cube et l'octaèdre forment une double paire.
  • Le dodécaèdre et l'icosaèdre forment une double paire.

Si un polyèdre a le symbole Schläfli p, q, puis le double symbole q, p. En fait, chaque propriété combinatoire d'un solide platonique peut être interprétée comme une autre propriété combinatoire du double.

On peut construire le double polyèdre en prenant les verticales du dual comme centre des faces de la figure originale. Si vous connectez les centres aux surfaces adjacentes de l'original, les bords du double sont formés, équilibrant ainsi le nombre de faces et de verticales tout en conservant le nombre d'arêtes.

Plus généralement, un solide platonique peut être dualisé par rapport à une sphère de rayon concentrique avec le solide. Radians (R, ρ, r) d'un solide et ceux de son double (R*, ρ*, r*) est lié par

Dualisation par rapport à la sphère médiane ( = ρ) est souvent pratique car la sphère intermédiaire a la même relation avec les deux polyèdres. prise 2 = rr donne un solide double avec les mêmes circonradius et inradius (c.-à-d. R* = R et r* = r).

Groupes de symétrieÉditer

En mathématiques, le concept de symétrie est étudié avec la notion de groupe mathématique. Chaque polyèdre a un groupe de symétrie correspondant, qui est défini avec toutes les transformations (isométries euclidiennes) laissant le polyèdre invariant. Le groupe d'ordre de symétrie est le nombre de symétries du polyèdre. On distingue souvent groupe de symétrie complète, qui comprend des réflexions, et groupe de symétrie approprié, qui inclut uniquement les rotations.

Les groupes symétriques des solides platoniques sont une classe spéciale de groupes ponctuels tridimensionnels appelés groupes polyédriques. Le haut niveau de symétrie des solides platoniques peut être interprété de plusieurs manières. Plus important encore, les sommets de chaque solide sont égaux sous l'action du groupe de symétrie, en plus des arêtes et des surfaces. On dit que l'action du groupe de symétrie est transitive sur les coins, les bords et les faces. En fait, c'est une autre façon de définir la régularité d'un polyèdre: un polyèdre est régulièrement si et seulement s'il est uniforme au sommet, uniforme au bord et uniforme au visage.

Il n'y a que trois groupes de symétrie associés aux solides platoniques au lieu de cinq, puisque le groupe de symétrie d'un polyèdre coïncide avec celui de son double. Cela se voit facilement en examinant la structure du double polyèdre. Toute symétrie de l'original doit être une symétrie duale et vice versa. Les trois groupes multirisques sont:

Les ordres des groupes corrects (rotationnels) sont respectivement 12, 24 et 60 – exactement deux fois plus d'arêtes dans le polyèdre respectif. Les commandes pour les groupes de symétrie complets sont deux fois plus nombreuses (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une dérivation de ces faits. Tous les solides platoniques sauf le tétraèdre sont symétrique au centre, ce qui signifie qu'ils sont conservés sous réflexion tout au long de l'origine.

Le tableau ci-dessous montre les différentes propriétés de symétrie des solides platoniques. Les groupes de symétrie répertoriés sont les groupes complets avec les sous-groupes de rotation indiqués entre parenthèses (également pour le nombre de symétries). La construction du kaléidoscope de Wythoff est une méthode de construction de polyèdres directement à partir de leurs groupes de symétrie. Ils sont répertoriés comme symbole de référence de Wythoff pour chacun des solides platoniques.

polyèdre Schläfli
symbole
Wythoff
symbole
Double
polyèdre
Groupe de symétrie (réflexion, rotation)
polyédrique Schön. Barreur. Orbe. Ordre
tétraèdre 3, 3 3 | 2 3 tétraèdre tétraédrique T
T
(3.3)
(3.3)+
* 332
332
24
12
cube 4, 3 3 | 2 4 octaèdre octaédrique Oh
O
(4.3)
(4.3)+
* 432
432
48
24
octaèdre 3, 4 4 | 2 3 cube
dodécaèdre 5, 3 3 | 2 5 icosaèdre icosaédrique jeh
je
(5.3)
(5.3)+
* 532
532
120
60
icosaèdre 3, 5 5 | 2 3 dodécaèdre

Dans la nature et la technologieÉditer

Le tétraèdre, le cube et l'octaèdre se trouvent naturellement dans les structures cristallines. Ceux-ci ne libèrent en aucun cas le nombre de formes possibles de cristaux. Cependant, ni l'icosaèdre ordinaire ni le dodécèdre ordinaire n'en font partie. L'une des formes, appelée pyritoèdre (du nom du groupe de minéraux comme il est typique) a douze surfaces pentagonales, disposées selon le même motif que les faces du dodécaèdre ordinaire. Cependant, les faces du pyritohèdre ne sont pas régulières, donc le pyritohedron n'est pas non plus régulier. Les allotropes de bore et de nombreux composés du bore, tels que le carbure de bore, comprennent des B séparés12 icosaèdres dans ses structures cristallines. Les acides carboranoïques ont également des structures moléculaires similaires à celles des icosaèdres ordinaires.

Au début du XXe siècle, Ernst Haeckel a décrit (Haeckel, 1904) un certain nombre d'espèces de Radiolaria, dont certains squelettes ont la forme de divers polyèdres réguliers. Les exemples comprennent Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus et Circorrhegma dodecahedra. The shapes of these creatures should be obvious from their names.

Many viruses, such as the herpes virus, have the shape of a regular icosahedron. Viral structures are built of repeated identical protein subunits and the icosahedron is the easiest shape to assemble using these subunits. A regular polyhedron is used because it can be built from a single basic unit protein used over and over again; this saves space in the viral genome.

In meteorology and climatology, global numerical models of atmospheric flow are of increasing interest which employ geodesic grids that are based on an icosahedron (refined by triangulation) instead of the more commonly used longitude/latitude grid. This has the advantage of evenly distributed spatial resolution without singularities (i.e. the poles) at the expense of somewhat greater numerical difficulty.

Geometry of space frames is often based on platonic solids. In the MERO system, Platonic solids are used for naming convention of various space frame configurations. For example, 1/2O+T refers to a configuration made of one half of octahedron and a tetrahedron.

Several Platonic hydrocarbons have been synthesised, including cubane and dodecahedrane.

Platonic solids are often used to make dice, because dice of these shapes can be made fair. 6-sided dice are very common, but the other numbers are commonly used in role-playing games. Such dice are commonly referred to as dn where n is the number of faces (d8, d20, etc.); see dice notation for more details.

A set of polyhedral dice.

These shapes frequently show up in other games or puzzles. Puzzles similar to a Rubik's Cube come in all five shapes – see magic polyhedra.

Liquid crystals with symmetries of Platonic solidsEdit

For the intermediate material phase called liquid crystals, the existence of such symmetries was first proposed in 1981 by H. Kleinert and K. Maki.(11)(12)
In aluminum the icosahedral structure was discovered three years after this by Dan Shechtman, which earned him the Nobel Prize in Chemistry in 2011.

Related polyhedra and polytopesEdit

Uniform polyhedraEdit

There exist four regular polyhedra that are not convex, called Kepler–Poinsot polyhedra. These all have icosahedral symmetry and may be obtained as stellations of the dodecahedron and the icosahedron.

The next most regular convex polyhedra after the Platonic solids are the cuboctahedron, which is a rectification of the cube and the octahedron, and the icosidodecahedron, which is a rectification of the dodecahedron and the icosahedron (the rectification of the self-dual tetrahedron is a regular octahedron). These are both quasi-regular, meaning that they are vertex- and edge-uniform and have regular faces, but the faces are not all congruent (coming in two different classes). They form two of the thirteen Archimedean solids, which are the convex uniform polyhedra with polyhedral symmetry. Their duals, the rhombic dodecahedron and rhombic triacontahedron, are edge- and face-transitive, but their faces are not regular and their vertices come in two types each; they are two of the thirteen Catalan solids.

The uniform polyhedra form a much broader class of polyhedra. These figures are vertex-uniform and have one or more types of regular or star polygons for faces. These include all the polyhedra mentioned above together with an infinite set of prisms, an infinite set of antiprisms, and 53 other non-convex forms.

The Johnson solids are convex polyhedra which have regular faces but are not uniform. Among them are five of the eight convex deltahedra, which have identical, regular faces (all equilateral triangles) but are not uniform. (The other three convex deltahedra are the Platonic tetrahedron, octahedron, and icosahedron.)

Regular tessellationsEdit

Regular spherical tilings
Platonic tilings
3,3 4,3 3,4 5,3 3,5
Regular dihedral tilings
2,2 3,2 4,2 5,2 6,2…
Regular hosohedral tilings
2,2 2,3 2,4 2,5 2,6…

The three regular tessellations of the plane are closely related to the Platonic solids. Indeed, one can view the Platonic solids as regular tessellations of the sphere. This is done by projecting each solid onto a concentric sphere. The faces project onto regular spherical polygons which exactly cover the sphere. Spherical tilings provide two infinite additional sets of regular tilings, the hosohedra, 2,n with 2 vertices at the poles, and lune faces, and the dual dihedra, n,2 with 2 hemispherical faces and regularly spaced vertices on the equator. Such tesselations would be degenerate in true 3D space as polyhedra.

One can show that every regular tessellation of the sphere is characterized by a pair of integers p, q with 1/p + 1/q > 1/2. Likewise, a regular tessellation of the plane is characterized by the condition 1/p + 1/q = 1/2. There are three possibilities:

In a similar manner, one can consider regular tessellations of the hyperbolic plane. These are characterized by the condition 1/p + 1/q < 1/2. There is an infinite family of such tessellations.

Higher dimensionsEdit

In more than three dimensions, polyhedra generalize to polytopes, with higher-dimensional convex regular polytopes being the equivalents of the three-dimensional Platonic solids.

In the mid-19th century the Swiss mathematician Ludwig Schläfli discovered the four-dimensional analogues of the Platonic solids, called convex regular 4-polytopes. There are exactly six of these figures; five are analogous to the Platonic solids 5-cell as 3,3,3, 16-cell as 3,3,4, 600-cell as 3,3,5, tesseract as 4,3,3, and 120-cell as 5,3,3, and a sixth one, the self-dual 24-cell, 3,4,3.

In all dimensions higher than four, there are only three convex regular polytopes: the simplex as 3,3,…,3, the hypercube as 4,3,…,3, and the cross-polytope as 3,3,…,4. In three dimensions, these coincide with the tetrahedron as 3,3, the cube as 4,3, and the octahedron as 3,4.

référencesEdit

  1. ^ Gardner (1987): Martin Gardner wrote a popular account of the five solids in his December 1958 Mathematical Games column in Scientific American.
  2. ^ Zeyl, Donald. "Plato&#39;s Timaeus". The Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  3. ^ Wildberg (1988): Wildberg discusses the correspondence of the Platonic solids with elements in Timaeus but notes that this correspondence appears to have been forgotten in Epinomis, which he calls "a long step towards Aristotle&#39;s theory", and he points out that Aristotle&#39;s ether is above the other four elements rather than on an equal footing with them, making the correspondence less apposite.
  4. ^ Coxeter, Regular Polytopes, sec 1.8 Configurations
  5. ^ a b Jerrard, Richard P.; Wetzel, John E.; Yuan, Liping (April 2017). "Platonic Passages". Mathematics Magazine. Washington, DC: Mathematical Association of America. 90 (2): 87–98. doi:10.4169/math.mag.90.2.87.
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  8. ^ Kleinert and Maki (1981)
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Les solides platoniques marchent comme des cellules unitaires qui se répètent sur elles-mêmes afin de maintenir l’intégrité de leur forme insolite. Chaque cellule unitaire a un volume spécialisé de conscience, ou lien énergétique, qu’elle exprime par sa forme unique. Les cellules unitaires se développent les unes à côté des autres et se soutiennent les unes les autres. c’est pourquoi certaines cellules deviennent des nerfs, d’autres des zones musculaires, d’autres encore des organes. Chacun suit une directive qui se répète sur lui-même tout en désormais l’intégrité d’un corps humain de troisième surface. Drunvalo Melchizédek note que l’icosaèdre et le dodécaèdre tournent microscopiquement à l’intérieur de la double hélice de notre ADN qui transmet et maintient la conscience humaine dans la 3ème dimension. C’est aussi la raison pour laquelle l’humanité, en tant que forme de vie de 3ème surface, ne peut pas voir physiquement des êtres dimensionnels supérieurs. Nos yeux physiques ne peuvent pas reconnaître la signature énergétique des êtres de la septième superficie. Cependant, à mesure que notre planète avance vers la cinquième dimension, l’humanité évolue vers notre prochaine expression réel en tant qu’êtres de cinquième dimension sur Terre. A travers nos yeux de cinquième dimension, nous ferons l’expérience de nous-mêmes à l’intérieur de notre nouveau monde dans une perspective d’amour extraordinaire, de pardon compatissant et de grande paix. Travaillez avec ces automobiles de la création pour célébrer tout ce que vous soyez. n

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