Platonic Solid – de Wolfram MathWorld | solides de Platon spirituel







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Les solides platoniques, également appelés solides ordinaires ou polyèdres ordinaires, sont des polyèdres convexes à surfaces égales composées
de convexe congruent régulièrement
polygones
. Il existe exactement cinq de ces solides (Steinhaus 1999, pp. 252-256):
cubes, dodécèdre,
icosaèdre, octaèdre,
et tétraèdre, comme prouvé récemment par Euclide
suggestion pour Éléments. Les solides platoniques
parfois appelés «figures cosmiques» (Cromwell 1997), bien que
Le terme est parfois utilisé pour désigner collectivement les solides platoniques et Solides de Kepler-Poinsot (Coxeter 1973).

Les solides platoniciens étaient connus des anciens Grecs et ont été décrits par Platon dans son Timée à propos. 350 avant JC Dans ce travail, Platon ressemblait au tétraèdre
avec le feu "élément", le cube avec la terre,
icosededron avec de l'eau, octaèdre
avec de l'air, et le dodécaèdre avec les choses hors tension
lorsque les constellations et les cieux ont été créés (Cromwell 1997). Prédateur de Platon,
le peuple néolithique d'Écosse a développé les cinq solides mille ans plus tôt.
Les modèles en pierre sont conservés au Ashmolean Museum d'Oxford (Atiyah et Sutcliffe)
2003).

Schläfli (1852) a prouvé qu'il existe exactement six corps communs avec des propriétés platoniques (c'est-à-dire des polytopes ordinaires) dans quatre
dimensions, trois sur cinq dimensions et trois dans toutes les dimensions supérieures. D'autre part,
son travail (qui ne contenait aucune illustration) restait pratiquement inconnu avant
a été partiellement publié en anglais par Cayley (Schläfli 1858, 1860). Autres mathématiciens
comme Stringham a découvert plus tard des résultats similaires indépendamment en 1880 et
L'œuvre de Schläfli a été publiée à titre posthume dans son intégralité en 1901.

Si P est un polyèdre
avec des faces polygonales communes congruentes (convexes), puis Cromwell (1997, pp. 77-78)
montre que les déclarations suivantes sont équivalentes.

1. La tête pointe P tout le monde est sur une sphère.

2. Tous les angles dièdres sont égaux.

3. Tous les sommets sont régulièrement
polygones
.

4. Tous les angles fixes sont égaux.

5. Tous les reflets sont entourés du même nombre de faces.

Laisser v (parfois appelé N_0) être le nombre
de tête en polyèdre, e (ou N_1) le nombre
des bords du graphique, et F (ou N_2) le nombre
des visages. Le tableau suivant fournit Schläfli
symbole
, Symbole Wythoff et symbole C&R,
nombre de coins v, bords eet visages Fet les groupes de points
pour les solides platoniques (Wenninger 1989). Il a ordonné le nombre de visages pour Platony
les solides sont 4, 6, 8, 12, 20 (OEIS A053016; en
ordre tétraèdre, cube, octaèdre, dodécèdre, icosaèdre), qui sont également
le nombre ordonné de sommets (dans l'ordre tétraèdre, octaèdre, cube, icosaèdre,
dodécaèdre). Le nombre de bords commandés est de 6, 12, 12, 30, 30 (OEIS A063722;
dans l'ordre du tétraèdre, octaèdre = cube, dodécaèdre = icosaèdre).

Les Doubles des Solides Platoniques sont d'autres Solides Platoniques, et en fait le double du tétraèdre est un autre tétraèdre.
Laisser r_d être dans le rayon
de double polyèdre (correspond à la sphère,
qui touche les faces du double solide), rho être le rayon central
du polyèdre et de son double (correspond à la sphère médiane,
qui touche les bords du polyèdre et de ses doubles), R circumradius
(correspond au périmètre du solide
toucher les sommets du solide) du solide platonique, et une longueur de bord
du jeûne. Depuis le périmètre et la sphère
sont doubles les uns par rapport aux autres, ils obéissent à la relation

    Rr_d = rho ^ 2

(1)

(Cundy et Rollett 1989, tableau II après p. 144). En outre,

Les deux tableaux suivants fournissent les valeurs analytiques et numériques de ces distances pour les solides platoniques avec la longueur du côté unité.

Enfin, laissez UNE être la région
d'un seul visage, V être le volume
du solide, et les bords du polyèdre sont d'unité
longueur d'une page. Le tableau ci-dessous résume ces quantités pour Platonic
solides.

Le tableau suivant montre les angles dièdres alpha et angles bêta subjugué par
un bord du centre des solides platoniciens (Cundy et Rollett 1989, tableau II
p. 144).

Le nombre d'arêtes de polyèdre qui se rencontrent dans un sommet de polyèdre est 2e / v. le Schläfli
symbole
peut être utilisé pour spécifier un solide platonique. Pour les fixes dont les faces sont
p-gongs (noté P), avec q se toucher polyèdre
sommet
, le symbole est P, q. donné p et q, Nombre
coins de polyèdre, polyèdre
bords
et les visages se dégagent

PlatonicDualsWenninger

Les tracés ci-dessus montrent des duals à l'échelle du solide platonique intégrés dans une forme agrandie du solide d'origine, où l'échelle est sélectionnée de sorte que les doubles sommets
réside dans les incitations des visages d'origine (Wenninger 1983, p. 8-9).

Puisque les solides platoniques sont convexes, la coque convexe de chaque solide platonique est le solide. minimal
surfaces
pour les cadres solides platoniques est illustré dans Isenberg (1992, pp. 82-83).


Les robustes de Platon sont des formes qui font partie de la géométrie sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées dans le monde entier plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. nIls sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du volume de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. nLes 4 premières formes correspondent aux éléments : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.

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