Icosaèdre commun – Wikipedia | pierre énergétique

Icosaèdre normal
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(Cliquez ici pour le modèle rotatif)
Type Platoniquement solide
Éléments F = 20, E = 30
V = 12 (χ = 2)
Visages sur les côtés 20 3
Notation de Conway je
sT
Symbole Schläfli 3,5
s 3,4
s 3.3 ou
Configuration du visage V5.5.5
Symbole Wythoff 5 | 2 3
Diagramme de Coxeter CDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "data file width =" 5 "hauteur du fichier de données =" 23CDel 5.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_5.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "data file width =" 7 "data-file-height =" 23CDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "data file width =" 5 "hauteur du fichier de données =" 23CDel 3.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "data file width =" 6 "hauteur du fichier de données =" 23Noeud CDel 1.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "width data file = "9" data-file-height = "23
Symétrie jeh, H3, (5.3), (* 532)
Groupe de rotation I, (5.3)+, (532)
références U22, C25, W4
Propriétés deltaèdre commun convexe
Dihedralvinkelen 138.189685 ° = arccos (-5/3)
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3.3.3.3.3
(Toppunktfigur)
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Chaînes de la mort communes
(double polyèdre)
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Nett

Modèle 3D d'un icosaèdre régulier

En géométrie, un icosaèdre commun (ou (1)) est un polyèdre convexe à 20 faces, 30 arêtes et 12 coins. C'est l'un des cinq solides platoniques et celui qui a le plus de côtés.

Il a cinq faces triangulaires à côtés égaux qui se rencontrent à chaque sommet. Il est représenté par le symbole Schläfli 3,5, ou parfois par le sommet comme 3.3.3.3.3 ou 35. C'est la partie double du dodécaèdre, représentée par 5.3, avec trois surfaces pentagonales autour de chaque sommet.

Un icosaèdre ordinaire est un deltaèdre strictement convexe et une bipyramide pentagonale gyro-allongée et un antiprisme pentagonal biaugmenté dans l'une des six orientations.

Le nom vient du grec εἴκοσι (Eíkosi), ce qui signifie «  vingt '', et ἕδρα (Hedra), ce qui signifie "siège". Les majorités peuvent être des «icosaèdres» ou des «icosaèdres» ().

dimensions(Éditer)

Pliage net en icosaèdre

Si la longueur du bord d'un icosaèdre ordinaire est une, est le rayon d'une sphère circonscrite (celle qui touche l'icosaèdre à tous les coins)

et le rayon d'une sphère inscrite (tangente à chacune des faces des icebergs) est

OEIS: A179294

tandis que le rayon central, qui touche le centre de chaque bord, est

OEIS: A019863

φ est la relation d'or.

Surface et volume(Éditer)

La surface UNE et le volume V d'un icosaèdre régulier de longueur d'arête une est:

OEIS: A010527

OEIS: A102208

La dernière chose c'est F = 20 fois le volume d'un tétraèdre général avec un point central
sphère inscrite, où le volume du tétraèdre est un tiers de la surface de base 3une2/4 fois la hauteur rje.

Le facteur de remplissage en volume pour la sphère circonscrite est:

Une sphère inscrite dans un icosaèdre englobera 89 635% du volume, contre seulement 75,47% pour un dodécaèdre.

La sphère centrale d'un icosaèdre aura un volume de 1,01664 fois le volume de l'icosaèdre, qui est de loin la similitude de volume la plus proche avec un solide platonique avec sa sphère centrale. Cela fait sans aucun doute de l'icosaèdre le "plus rond" des solides platoniques.

Coordonnées cartésiennes(Éditer)

Les coins de l'icosaèdre forment trois rectangles dorés orthogonaux

Les têtes d'un icosaèdre centré à l'origine avec une longueur de bord de 2 et un circonradius de

φ+21,9 displaystyle sqrt phi +2 environ 1,9

est décrit par permutations circulaires de:(2)

(0, ± 1, ±φ)

φ = 1 + 5/2 est la relation d'or.

La prise de toutes les permutations (pas seulement cycliques) entraîne la composition de deux icosaèdres.

Notez que ces sommets forment cinq ensembles de trois rectangles d'or concentriques, mutuellement orthogonaux, dont les bords forment des anneaux borroméens.

Si l'icosaèdre d'origine a une longueur de bord 1, son double dodécèdre a une longueur de bord 5 – 1/2 = 1/φ = φ – 1.

Maquette d'un icosaèdre en billes métalliques et contacts magnétiques

Les 12 bords d'un octaèdre régulier peuvent être divisés en nombre d'or, de sorte que les sommets résultants définissent un icosaèdre régulier. Cela se fait en plaçant d'abord des vecteurs le long des bords de l'octaèdre de sorte que chaque face est délimitée par un cycle, puis en divisant chaque bord de la même manière dans le nombre d'or en direction du vecteur. Les cinq octahs définissant un icosaèdre donné forment un composé de polyèdre commun, tandis que les deux icosaèdres qui peuvent être définis de cette manière à partir d'un octaèdre donné forment un composé de polyèdre uniforme.

Coordonnées sphériques(Éditer)

L'emplacement des coins d'un icosaèdre régulier peut être décrit en utilisant des coordonnées sphériques, telles que la latitude et la longitude. Si deux sommets sont considérés comme étant aux pôles nord et sud (latitude ± 90 °), les dix autres sommets sont en latitude ± arctan (1/2) ≈ ± 26,57 °. Ces dix points d'angle sont répartis uniformément (à 36 ° l'un de l'autre), alternant entre les latitudes nord et sud.

Ce schéma bénéficie du fait que l'icosaèdre régulier est une bipyramide pentagonale gyro-allongée, avec D5jsymétrie dièdre – c'est-à-dire qu'elle est formée de deux pyramides pentagonales congruentes associées à un antiprisme pentagonal.

Estimations orthogonales(Éditer)

L'icosaèdre a trois projections orthogonales spéciales, centrées sur une face, un bord et un sommet:

Carrelage sphérique(Éditer)

Le semoir icosa peut également être produit sous forme de carrelage sphérique et projeté sur l'avion via une projection stéréographique. Cette projection est conformable, préservant les angles mais pas les zones ou les longueurs. Des lignes droites sur la sphère sont projetées sous forme d'arcs de cercle sur la planète.

Autres faits(Éditer)

  • Un icosaèdre a 43 380 fils distincts.(3)
  • Pour colorier l'icosaèdre, afin qu'il n'y ait pas deux faces adjacentes de la même couleur, il faut au moins 3 couleurs.(une)
  • Un problème qui remonte aux anciens Grecs est de décider laquelle des deux formes a des volumes plus importants, un icosaèdre inscrit dans une sphère, ou un dodécaèdre inscrit dans la même sphère. Le problème a été résolu, entre autres, par Hero, Pappus et Fibonacci.(4)Apollonius de Perga a découvert l'étrange résultat que le rapport volumique de ces deux formes est le même que le rapport de la surface.(5) Les deux liaisons ont des formules qui impliquent la relation d'or, mais prises à des pouvoirs différents.(6) Il s'avère que l'icosaèdre occupe moins du volume de la sphère (60,54%) que le dodécaèdre (66,49%).(7)

Construction d'un système à lignes égales(Éditer)

Icosaèdre H3 projection.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / b / bc / Icosahedron_H3_projection.svg / 160px-Icosahedron_H3_projection.svg.png "decoding =" async "width =" 160 " height = "160" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / b / bc / Icosahedron_H3_projection.svg / 240px-Icosahedron_H3_projection.svg.png 1,5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / b / bc / Icosahedron_H3_projection.svg / 320px-Icosahedron_H3_projection.svg.png 2x "data-file-width =" 1024 "data-file-height =" 1024
icosaèdre
H3 Coxeter-fly
6-cube t5 B5.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 4/42/6-cube_t5_B5.svg / 160px-6-cube_t5_B5.svg.png "decoding =" async "width =" 160 "height =" 160 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Summit / 4/42/6-cube_t5_B5.svg / 240px-6-cube_t5_B5.svg.png 1,5x, / /upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Later / 4/42/6-cube_t5_B5.svg / 320px-6-cube_t5_B5.svg.png 2x "data-file-width =" 1600 "data file-height =" 1600
6-orthoplex
6 Coxeter-fly
Cette construction peut être vue géométriquement comme les 12 coins du 6-orthoplex projetés en 3 dimensions. Cela représente un pli géométrique de D6 à H3Groupes de Coxeter: Graphique de Coxeter pliable géométrique D6 H3.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/53/Geometric_folding_Coxeter_graph_D6_H3.png "decoding =" async "width =" 55 "height =" 37 " data-file-width = "55" data file-height = "37

Ensemble de ces projections orthogonales 2D du plan de Coxeter, les deux coins centraux qui se chevauchent définissent le troisième axe de cette cartographie.

La construction de l'icosaèdre suivante évite les calculs fastidieux dans le champ numérique (5) nécessaires dans des approches plus élémentaires.

L'existence de l'icosaèdre correspond à l'existence de six lignes similaires dans 3. En fait, le croisement d'un tel système de lignes horizontales avec une sphère euclidienne centrée dans leur intersection commune donne les douze coins d'un icosaèdre ordinaire qui peut être facilement contrôlé. A l'inverse, l'existence d'un icosaèdre régulier, lignes définies par les six paires de sommets opposés, forme un système équilatéral.

Pour construire un tel système uniforme, commençons par cette matrice carrée 6 × 6:

Un calcul simple donne UNE2 = 5je (où je la matrice d'identité est 6 × 6). Cela implique que UNE cheveux valeurs intrinsèques –5 et 5, à la fois avec la diversité 3 depuis UNE est symétrique et avec trace zéro.

La matrice UNE + 5je induisant ainsi une structure euclidienne dans la gamme des quotients 6 / ker (UNE + 5je), qui est isomorphe à 3 depuis le noyau ker (UNE + 5je) de UNE + 5je a la dimension 3. L'image sous la projection π : 66 / ker (UNE + 5je) des six axes de coordonnées v1, …, v6 dans 6 forme ainsi un système de six lignes d'équilibre 3 traverse par paires à un angle aigu normal des arccos1/5. Projection orthogonale de ±v1,…, ±v6 sur 5-Event space UNE fournissant ainsi les douze points supérieurs du hadron emblématique.

Une autre construction simple de l'icosaèdre utilise la théorie de la représentation pour le groupe alterné UNE5 qui fonctionne par isométries directes sur l'icosaèdre.

Symétrie(Éditer)

La symétrie icosaédrique complète a 15 plans de miroir (considérés comme des cercles de taille cyan dans cette sphère) qui se rencontrent sur commande π/5, π/3, π/2 angles, qui divisent une sphère en 120 domaines de base triangulaires. Il y a 6 axes 5 fois (bleu), 10 axes 3 fois (rouge) et 15 axes 2 fois (magenta). Les principales têtes d'icosaèdres existent au point de rotation 5 fois.

Le groupe de symétrie de rotation de l'icosaèdre régulier est isomorphe pour le groupe alterné de cinq lettres. Ce groupe simple non abélien est le seul sous-groupe normal non trivial du groupe symétrique à cinq lettres. Étant donné que le groupe de Galois de l'équation quintique générale est isomorphe au groupe symétrique à cinq lettres, et que ce sous-groupe normal est simple et non abélien, l'équation quintique générale n'a pas de solution dans les radicaux. La preuve du théorème d'Abel-Ruffini utilise ce simple fait, et Felix Klein a écrit un livre qui a utilisé la théorie des symétries icosaédriques pour dériver une solution analytique à l'équation quintique générale (Klein 1884). Voir la symétrie de l'iconoshèdre: les géométries associées pour plus d'histoire et les symétries associées de sept et onze lettres.

Le groupe de symétrie icosaèdre complet (y compris les réflexions) est connu comme le groupe icosaèdre complet et est isomorphe au produit du groupe de symétrie de rotation et du groupe C2 de taille deux, générée par la réflexion à travers le centre de l'icosaèdre.

Stellations(Éditer)

L'icosaèdre possède un grand nombre d'étagères. Selon des règles spécifiques définies dans le livre Les cinquante-neuf icosaèdres59 stellations ont été identifiées pour l'icosaèdre habituel. La première forme est l'icosaèdre lui-même. L'un est un polyèdre Kepler-Poinsot ordinaire. Le bois est généralement composé de polyèdres.(8)

Peintures faciales(Éditer)

Le petit dodécaèdre étoilé, le grand dodécaèdre et le grand icosaèdre sont trois facettes de l'icosaèdre habituel. Ils partagent le même plan supérieur. Ils ont tous 30 bords. L'icosaèdre et le grand dodécaèdre habituels ont la même disposition des bords, mais diffèrent par leurs faces (triangles vs carrés), tout comme les petits dodécaèdres étoilés et les grands icosaèdres (pentagrammes vs triangles).

Relations géométriques(Éditer)

Il existe des distorsions de l'icosaèdre qui, bien que n'étant plus régulières, n'en sont pas moins uniformes. Ceux-ci sont invariants sous les mêmes rotations que le tétraèdre, et sont quelque peu analogues au cube snub et au dodécaèdre snub, y compris certaines formes qui sont chirales et certaines avec Thsymétrie, c'est-à-dire ayant des plans de symétrie différents du tétraèdre.

Les icosaèdres sont uniques parmi les solides platoniques lorsqu'ils ont un angle dièdre non inférieur à 120 °. L'angle dièdre est d'environ 138,19 °. Tout comme les hexagones ont des angles d'au moins 120 ° et ne peuvent pas être utilisés comme faces d'un polyèdre ordinaire convexe car une telle construction ne répondra pas à l'exigence qu'au moins trois faces se rencontrent à l'apex et laissent un défaut positif se plier en trois dimensions, les icosaèdres ne peuvent pas être utilisés comme cellules d'un polychore ordinaire convexe car, de même, au moins trois cellules doivent se rencontrer sur un bord, ce qui laisse un défaut positif pour le pliage en quatre dimensions (généralement pour un polytop convexe en n dimensions, au moins trois facettes doivent se rencontrer à un pic et laisser un défaut positif pour l'intérieur n-chambre). Cependant, lorsqu'ils sont combinés avec des cellules appropriées ayant des angles dièdres plus petits, les icosaèdres peuvent être utilisés comme cellules dans des polychores semi-régulières (par exemple, la cellule 24 qui trébuche), tout comme les hexagones peuvent être utilisés comme faces dans des polyèdres semi-réguliers (par exemple, tronqués icosaèdre). Enfin, les polytopes non convexes n'ont pas les mêmes exigences strictes que les polytopes convexes, et les icosaèdres sont en fait les cellules de la cellule icosaédrique 120, l'une des dix polychores communes non convexes.

Un icosaèdre peut également être appelé une bipyramide pentagonale gyro-allongée. Il peut être divisé en une pyramide pentagonale gyro-allongée et une pyramide pentagonale ou en un antiprisme pentagonal et deux pyramides également pentagonales.

Relation avec le 6-cube et le triacontaèdre rhombique(Éditer)

6demicube-odd-icosahedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Summit / f / f5 / 6demicube-odd-icosahedron.png / 240px-6demicube-odd-icosahedron.png "décodage = = "async" width = "240" height = "221" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commonsute/f/f5/6demicube-odd-icosahedron.png/360px-6demicube-odd-icosahedron .png 1.5 x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / f / f5 / 6demicube-odd-icosahedron.png / 480px-6demicube-odd-icosahedron.png 2x "data-file-width =" 1881 "data-file -height = "1733

Il peut être projeté en 3D à partir du demi-cube 6D 6 en utilisant les mêmes vecteurs de base qui forment la coque du drone triaconta rhombique à 6 cubes. Ici sont représentés, y compris les 20 coins intérieurs qui ne sont pas connectés aux 30 bords extérieurs de la coque avec une longueur standard 6D 2. Les coins intérieurs forment une chaîne de la mort.

Les vecteurs de base de projection 3D (u, v, w) utilisés sont:

u = (1, φ, 0, -1, φ, 0)
v = (φ, 0, 1, φ, 0, -1)
w = (0, 1, φ, 0, -1, φ)

Couleurs et sous-symétries uniformes(Éditer)

Il y a 3 couleurs unies d'icosaèdre. Ces couleurs peuvent être représentées comme 11213, 11212, 11111, en nommant les 5 surfaces triangulaires autour de chaque sommet en fonction de leur couleur.

L'icosaèdre peut être considéré comme un tétraèdre tronqué, car la snubification d'un tétraèdre régulier produit un icosaèdre régulier avec une symétrie tétraédrique chirale. Il peut également être construit comme un octaèdre tronqué alternativement avec une symétrie pyritoédrique. L'inversion de symétrie pyritoédrique est parfois appelée pseudoicosaèdre et est le double du pyritoèdre.

Régulièrement Uniforme 2 uniformes
Nom Régulièrement
icosaèdre
snober
octaèdre
snober
tétratétraèdre
Carré snub
bipyramide
pentagonal
Gyro-allongé
bipyramide
Trio
gyrobianticupola
Snub le triangle
antiprisme(9)
Image Décodage uniforme polyèdre-53-t2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / 1/12 / Uniform_polyhedron-53-t2.png / 80px-Uniform_polyhedron-53-t2.png "Uniforme = "async" width = "80" height = "82" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 1/12 / Uniform_polyhedron-53-t2.png / 120px-Uniform_polyhedron-53-t2. png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons allow / 1/12 / Uniform_polyhedron-53-t2.png / 160px-Uniform_polyhedron-53-t2.png 2x "data-file-width =" 704 "data -file-height = "719 Uniform polyhedron-43-h01.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons once / f / fc / Uniform_polyhedron-43-h01.svg / 80px-Uniform_polyhedron-43-h01.svg. png "decoding =" async "width =" 80 "height =" 72 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons allow / f / fc / Uniform_polyhedron-43-h01.svg / 120px-Uniform_polyhedron-43 -h01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / f / fc / Uniform_polyhedron-43-h01.svg / 160px-Uniform_polyhedron-43-h01.svg.png 2x "fichier de données -width = "240" data file-height = "217 Décodage d'uniforme polyèdre-33-s012.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / 7/74 / Uniform_polyhedron-33-s012.png / 80px-Uniform_polyhedron-33-s012.png " = "async" width = "80" height = "80" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 7/74 / Uniform_polyhedron-33-s012.png / 120px-Uniform_polyhedron-33-s012. png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons sedan / 7/74 / Uniform_polyhedron-33-s012.png / 160px-Uniform_polyhedron-33-s012.png 2x "data-file-width =" 1000 "data -file-height = "1000 Snub square bipyramid.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 4 / 4a / Snub_square_bipyramid.png / 80px-Snub_square_bipyramid.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "84" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons current / 4 / 4a / Snub_square_bipyramid.png / 120px-Snub_square_bipyramid.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commonslike4/4a /Snub_square_bipyramid.png/160px-Snub_square_bipyramid.png 2x "data-file-width =" 659 "data-file-height =" 690 Bipyramide pentagonal gyroscopique.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Summit / 6 / 6c / Pentagonal_gyroelongated_bipyramid.png / 80px-Pentagonal_gyroelongated_bipyramid.png "décodage =" hauteur async = " "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons allow / 6 / 6c / Pentagonal_gyroelongated_bipyramid.png / 120px-Pentagonal_gyroelongated_bipyramid.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons suite / 6 / 6c / Pentagonal_gyroelongated /160px-Pentagonal_gyroelongated_bipyramid.png 2x "data-file-width =" 1000 "data-file-height =" 1000 Gyrobianticupola.png triangulaire commun "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons presque / 8/89 / Regular_triangular_gyrobianticupola.png / 80px-Regular_triangular_gyrobianticupola.png "décodage =" async "77 =" 80 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons sedan / 8/89 / Regular_triangular_gyrobianticupola.png / 120px-Regular_triangular_gyrobianticupola.png 1,5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commonslang / 8/89 / Regular_tri .png / 160px-Regular_triangular_gyrobianticupola.png 2x "data-file-width =" 1198 "data-file-height =" 1146 Snub triangular antiprism.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons once / 4 / 4f / Snub_triangular_antiprism.png / 80px-Snub_triangular_antiprism.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "79" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons current / 4 / 4f / Snub_triangular_antiprism.png / 120px-Snub_triangular_antiprism.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons complete / 4 / 4f / Snub_triangular_antiprism.png / 160px-Snub_triangular_antiprism.png 2x "data-file-width =" 768 "data-file-height =" 756
Visage
coloration
(11111) (11212) (11213) (11212) (11122)
(22222)
(12332)
(23333)
(11213)
(11212)
Coxeter
diagramme
Noeud CDel 1.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "width data file = "9" data-file-height = "23CDel 3.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "data file width =" 6 "hauteur du fichier de données =" 23CDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "data file width =" 5 "hauteur du fichier de données =" 23CDel 5.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_5.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "data file width =" 7 "data-file-height =" 23CDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "data file width =" 5 "hauteur du fichier de données =" 23 Noeud CDel h.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/CDel_node_h.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "width data file = "9" data-file-height = "23CDel 3.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "data file width =" 6 "hauteur du fichier de données =" 23Noeud CDel h.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/CDel_node_h.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "width data file = "9" data-file-height = "23CDel 4.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/CDel_4.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "data file width =" 6 "hauteur du fichier de données =" 23CDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "data file width =" 5 "hauteur du fichier de données =" 23 Noeud CDel h.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/CDel_node_h.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "width data file = "9" data-file-height = "23CDel split1.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/CDel_split1.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "width data file = =" 6 "hauteur du fichier de données =" 23Noeuds CDel hh.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9c/CDel_nodes_hh.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "width file file = "9" data-file-height = "23
Schläfli
symbole
3,5 s 3,4 sr 3,3 SDT 2,4 () || n || r n || () ss 2.6
Conway je MTO sT HtdP4 k5A5 sY3 = HtA3
Symétrie jeh
(5.3)
(* 532)
Th
(3+, 4)
(3 * 2)
T
(3.3)+
(332)
2h
(2.2)
(* 222)
5j
(2+, dix)
(2 * 5)
3d
(2+, 6)
(2 * 3)
3
(3.2)+
(322)
Symétrie
ordre
60 24 12 8 20 12 6

Usages et formes naturelles(Éditer)

La biologie(Éditer)

De nombreux virus, par exemple virus de l'herpès, a des coquilles icosaédriques.(dix) Les structures virales sont constituées de sous-unités de protéines identiques répétées appelées capsomères, et l'icosaèdre est la forme la plus facile à assembler à l'aide de ces sous-unités. UNE régulièrement le polyèdre est utilisé car il peut être construit à partir d'une seule protéine unitaire de base qui est utilisée à plusieurs reprises; cela économise de l'espace dans le génome viral.

Divers organites bactériens de forme icosaédrique ont également été trouvés.(11) Les coquilles icosaédriques qui encapsulent les enzymes et les intermédiaires labiles sont construites de différents types de protéines avec des domaines BMC.

En 1904, Ernst Haeckel a décrit un certain nombre d'espèces de Radiolaria, dont Circogonia icosahedra, dont le squelette a la forme d'un icosaèdre régulier. Une copie de l'illustration de Haeckel pour ce radiolaire apparaît dans l'article sur les polyèdres ordinaires.

Chimie(Éditer)

Les closo carboranes sont des composés chimiques de forme très proche de l'icosaèdre. On trouve également deux icosaédriques dans les cristaux, en particulier les nanoparticules.

De nombreux borures et allotropes de bore contiennent du bore B12 l'icosaèdre comme unité structurelle de base.

Jouets et jeux(Éditer)

Des dés icosaédriques à vingt faces sont utilisés depuis l'Antiquité.(12)

Dans plusieurs jeux de rôle, tels que Donjons & Dragons, la buse à vingt faces (carte d20) est utilisée pour déterminer le succès ou l'échec d'une action. Cette matrice se présente sous la forme d'un icosaèdre régulier. Il peut être numéroté de "0" à "9" deux fois (sous quelle forme il sert généralement de matrice à dix faces, ou d10), mais la plupart des versions modernes sont étiquetées de "1" à "20".

Un icosaèdre est le plateau de jeu en trois dimensions pour Icosagame, anciennement connu sous le nom de jeu de cristal Ico.

Un icosaèdre est utilisé dans le jeu de société Scattergories pour choisir une lettre de l'alphabet. Six lettres sont omises (Q, U, V, X, Y et Z).

dans le Nintendo 64 Jeu Kirby 64: Les éclats de cristal, le patron Miracle Matter est un icosaèdre régulier.

À l'intérieur d'un Magic 8-Ball, diverses réponses à oui – non sont inscrites sur un icosaèdre ordinaire.

Autres(Éditer)

R. Buckminster Fuller et le cartographe japonais Shoji Sadao(13) a conçu une carte du monde sous la forme d'un icosaèdre déplié, appelé projection Fuller, dont la distorsion maximale n'est que de 2%. Le duo de musique électronique américain ODESZA utilise un icosaèdre régulier comme logo.

Graphique icosaédrique(Éditer)

Le squelette de l'icosaèdre (les sommets et les bords) forme un graphique. C'est l'un des 5 graphes platoniciens, chacun étant un squelette ou son solide platonicien.

Le haut degré de symétrie du polygone est reproduit dans les propriétés de ce graphique, qui est à distance transitive et symétrique. Le groupe d'automorphisme a un ordre 120. Les sommets peuvent être colorés avec 4 couleurs, les bords avec 5 couleurs et le diamètre est 3.(14)

Le graphe icosaédrique est hamiltonien: il y a un cycle contenant tous les sommets. C'est également un graphe planaire.

Icosaèdres réguliers diminués(Éditer)

Il existe 4 solides Johnson liés, y compris des faces pentagonales avec un sous-ensemble des 12 sommets. L'icosaèdre régulier disséqué similaire a 2 sommets adjacents diminués, laissant deux faces trapézoïdales, et un bifastigium a 2 ensembles opposés de sommets enlevés et 4 faces trapézoïdales. L'antiprisme pentagonal est formé en supprimant deux sommets opposés.

Forme J2 Bifastigium J63 J62 disséqué
icosaèdre
s 2.10 J11
sommets 6 ou 12 8 ou 12 9 ou 12 10 ou 12 11 ou 12
Symétrie C5v, (5), (* 55)
ordre 10
2h, (2.2), * 222
ordre 8
C3v, (3), (* 33)
ordre 6
C2v, (2), (* 22)
ordre 4
5j, (2+, 10), (2 * 5)
ordre 20
C5v, (5), (* 55)
ordre 10
Image Pentagonal pyramid.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons converti / 0/02 / Pentagonal_pyramid.png / 80px-Pentagonal_pyramid.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "49" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commonsore/0/02/Pentagonal_pyramid.png/120px-Pentagonal_pyramid.png 1,5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commonsor/ 0/02/Pentagonal_pyramid.png/160px-Pentagonal_pyramid.png 2x" data-file-width="413" data-file-height="255 4-diminished icosahedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/4-diminished_icosahedron.png/80px-4-diminished_icosahedron.png" decoding="async" width="80" height="80" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/4-diminished_icosahedron.png/120px-4-diminished_icosahedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/4-diminished_icosahedron.png/160px-4-diminished_icosahedron.png 2x" data-file-width="1200" data-file-height="1200 Tridiminished icosahedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Tridiminished_icosahedron.png/80px-Tridiminished_icosahedron.png" decoding="async" width="80" height="90" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Tridiminished_icosahedron.png/120px-Tridiminished_icosahedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Tridiminished_icosahedron.png/160px-Tridiminished_icosahedron.png 2x" data-file-width="380" data-file-height="429 Metabidiminished icosahedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Metabidiminished_icosahedron.png/80px-Metabidiminished_icosahedron.png" decoding="async" width="80" height="92" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Metabidiminished_icosahedron.png/120px-Metabidiminished_icosahedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Metabidiminished_icosahedron.png/160px-Metabidiminished_icosahedron.png 2x" data-file-width="367" data-file-height="420 Dissected regular icosahedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Dissected_regular_icosahedron.png/80px-Dissected_regular_icosahedron.png" decoding="async" width="80" height="80" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Dissected_regular_icosahedron.png/120px-Dissected_regular_icosahedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Dissected_regular_icosahedron.png/160px-Dissected_regular_icosahedron.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="400 Pentagonal antiprism.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Pentagonal_antiprism.png/80px-Pentagonal_antiprism.png" decoding="async" width="80" height="70" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Pentagonal_antiprism.png/120px-Pentagonal_antiprism.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Pentagonal_antiprism.png/160px-Pentagonal_antiprism.png 2x" data-file-width="991" data-file-height="864 Gyroelongated pentagonal pyramid.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Gyroelongated_pentagonal_pyramid.png/80px-Gyroelongated_pentagonal_pyramid.png" decoding="async" width="80" height="65" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Gyroelongated_pentagonal_pyramid.png/120px-Gyroelongated_pentagonal_pyramid.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Gyroelongated_pentagonal_pyramid.png/160px-Gyroelongated_pentagonal_pyramid.png 2x" data-file-width="412" data-file-height="333

Related polyhedra and polytopes(edit)

The icosahedron can be transformed by a truncation sequence into its dual, the dodecahedron:

As a snub tetrahedron, and alternation of a truncated octahedron it also exists in the tetrahedral and octahedral symmetry families:

This polyhedron is topologically related as a part of sequence of regular polyhedra with Schläfli symbols 3,n, continuing into the hyperbolic plane.

The regular icosahedron, seen as a snub tetrahedron, is a member of a sequence of snubbed polyhedra and tilings with vertex figure (3.3.3.3.n) and Coxeter–Dynkin diagram CDel node h.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/CDel_node_h.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23CDel n.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/CDel_n.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node h.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/CDel_node_h.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23CDel 3.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node h.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/CDel_node_h.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23. These figures and their duals have (n32) rotational symmetry, being in the Euclidean plane for n = 6, and hyperbolic plane for any higher n. The series can be considered to begin with n = 2, with one set of faces degenerated into digons.

The icosahedron can tessellate hyperbolic space in the order-3 icosahedral honeycomb, with 3 icosahedra around each edge, 12 icosahedra around each vertex, with Schläfli symbol 3,5,3. It is one of four regular tessellations in the hyperbolic 3-space.

Hyperb icosahedral hc.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Hyperb_icosahedral_hc.png/240px-Hyperb_icosahedral_hc.png" decoding="async" width="240" height="240" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Hyperb_icosahedral_hc.png/360px-Hyperb_icosahedral_hc.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Hyperb_icosahedral_hc.png/480px-Hyperb_icosahedral_hc.png 2x" data-file-width="800" data-file-height="800
It is shown here as an edge framework in a Poincaré disk model, with one icosahedron visible in the center.

See also(edit)

  1. ^ This is true for all convex polyhedra with triangular faces except for the tetrahedron, by applying Brooks' theorem to the dual graph of the polyhedron.

References(edit)

  1. ^ Jones, Daniel (2003) (1917), Peter Roach; James Hartmann; Jane Setter (eds.), English Pronouncing Dictionary, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 3-12-539683-2
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Icosahedral group". MathWorld.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Regular Icosahedron". MathWorld.
  4. ^ Herz-Fischler, Roger (2013), A Mathematical History of the Golden Number, Courier Dover Publications, pp. 138–140, ISBN 9780486152325.
  5. ^ Simmons, George F. (2007), Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics, Mathematical Association of America, p. 50, ISBN 9780883855614.
  6. ^ Sutton, Daud (2002), Platonic & Archimedean Solids, Wooden Books, Bloomsbury Publishing USA, p. 55, ISBN 9780802713865.
  7. ^ Numerical values for the volumes of the inscribed Platonic solids may be found in Buker, W. E.; Eggleton, R. B. (1969), "The Platonic Solids (Solution to problem E2053)", American Mathematical Monthly, 76 (2): 192, doi:10.2307/2317282, JSTOR 2317282.
  8. ^ Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H.T.; Petrie, J.F. (1999), The Fifty-Nine Icosahedra (3rd ed.), Tarquin, ISBN 978-1-899618-32-3, MR 0676126 (1st Edn University of Toronto (1938))
  9. ^ Snub Anti-Prisms
  10. ^ C. Michael Hogan. 2010. Virus. Encyclopedia of Earth. National Council for Science and the Environment. eds. S. Draggan and C. Cleveland
  11. ^ Bobik, T.A. (2007), "Bacterial Microcompartments", Microbe, Am. Soc. Microbiol., 2: 25–31, archived from the original on 2013-07-29
  12. ^ Cromwell, Peter R. "Polyhedra" (1997) Page 327.
  13. ^ "Fuller and Sadao: Partners in Design". September 19, 2006. Archived from the original on August 16, 2010. Retrieved 2010-01-26.
  14. ^ Weisstein, Eric W. "Icosahedral Graph". MathWorld.

External links(edit)

Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des robustes de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au minimum une de ses étendue qui n’est pas plate ( par exemple, barillet, sphère ou tube ). n Régulier veut dire que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou égales dans tous les critères, et tous les bords sont de la même longueur. n 3D signifie que la forme a la largeur, la profondeur et la hauteur. n Un polygone est une forme verrouillée dans une figure plane avec au minimum cinq bords droits. n Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face. n

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