Problèmes de package – Wikipedia solides de Platon

Balles ou cercles serrés (en haut) et plus proches (en bas)

Problèmes d'emballage est une classe de problèmes d'optimisation mathématique qui implique d'essayer de regrouper des objets dans des conteneurs. L'objectif est soit d'emballer un seul conteneur aussi étroitement que possible, soit d'emballer tous les articles en utilisant le moins de conteneurs possible. Beaucoup de ces problèmes peuvent être liés à des problèmes d'emballage, de stockage et de transport réels. Chaque problème de package a un problème de double superposition, qui demande combien des mêmes objets sont nécessaires pour couvrir complètement chaque zone du conteneur, où les objets peuvent se chevaucher.

Dans un numéro de package, vous obtenez:

  • & # 39; conteneurs & # 39; (généralement une seule région convexe à deux ou trois dimensions ou un espace infini)
  • Un ensemble & # 39; d'objets & # 39; dont certains ou tous doivent être emballés dans un ou plusieurs conteneurs. L'ensemble peut contenir différents objets de leur taille spécifiée, ou un seul objet avec une dimension fixe qui peut être utilisé à plusieurs reprises.

Habituellement, l'emballage doit être fait sans chevauchement entre les marchandises et d'autres marchandises ou parois de conteneurs. Dans certaines variantes, l'objectif est de trouver la configuration qui emballe un seul conteneur avec une densité maximale. Le plus souvent, l'objectif est d'emballer tous les articles dans le moins de conteneurs possible.(1) Dans certaines variantes, le chevauchement (d'objets entre eux et / ou de la bordure du conteneur) est autorisé, mais doit être minimisé.

Emballage dans un espace infini(Éditer)

Bon nombre de ces problèmes, à mesure que la taille du conteneur augmente dans toutes les directions, deviennent similaires au problème de l'emballage des objets aussi étroitement que possible dans un espace euclidien infini. Ce problème concerne un certain nombre de disciplines scientifiques et a reçu une attention considérable. L'hypothèse de Kepler postulait une solution optimale pour emballer des balles des centaines d'années avant qu'elle ne soit correctement prouvée par Thomas Callister Hales. De nombreuses autres formes ont retenu l'attention, notamment les ellipsoïdes,(2) Solides platoniques et archimédiens(3) y compris les tétraèdres,(4)(5)racks (unions de cubes le long de trois rayons positifs parallèles),(6) et différents dimères de sphère.(7)

Emballage hexagonal de cercles(Éditer)

Le paquet hexagonal de cercles sur un plan euclidien à deux dimensions.

Ces problèmes sont mathématiquement différents des idées contenues dans l'énoncé du joint circulaire. Le problème de joint de cercle lié concerne l'emballage de cercles, éventuellement de tailles différentes, sur une surface, comme l'avion ou une balle.

Les homologues d'un cercle dans d'autres dimensions ne peuvent jamais être emballés avec une efficacité totale dans des dimensions supérieures à un (dans un univers unidimensionnel, l'analogue du cercle n'est que de deux points). Autrement dit, il y aura toujours de l'espace inutilisé si vous ne faites que des cercles. La façon la plus efficace d'envelopper les cercles, les emballages hexagonaux, est d'environ 91% d'efficacité.(8)

Dimensions de la balle dans des dimensions supérieures(Éditer)

En trois dimensions, les structures hermétiques offrent le meilleur grille emballage de balles, et est considéré comme étant optimal pour tous les joints. Avec & # 39; simple & # 39; les joints à billes tridimensionnels («faciles» sont soigneusement définis) sont neuf joints définissables possibles.(9) La grille E8 à 8 dimensions et la grille Leech à 24 dimensions se sont également avérées optimales dans leurs espaces dimensionnels réels respectifs.

Joints de solides platoniques en trois dimensions(Éditer)

Les cubes peuvent facilement être arrangés pour remplir complètement l'espace tridimensionnel, l'emballage le plus naturel étant le peigne à miel cubique. Aucun autre fixe platonique ne peut placer l'espace seul, mais certains résultats préliminaires sont connus. Les tétraèdres peuvent atteindre une étanchéité d'au moins 85%. L'un des meilleurs paquets de dodécaèdres réguliers est basé sur la grille cubique centrée sur le visage (FCC) susmentionnée.

Les tétraèdres et les octaèdres peuvent ensemble remplir n'importe quel espace dans un schéma connu sous le nom de pain d'épice octaédrique tétraédrique.

Solide Densité optimale d'un paquet de caillebotis
icosaèdre 0,836357 …(dix)
dodécaèdre (5 + 5) / 8 = 0,904508 …(dix)
octaèdre 18/19 = 0,947368 …(11)

Les simulations qui combinent des méthodes d'amélioration locales avec des emballages aléatoires suggèrent que les emballages de grille pour les icosaèdres, les dodécaèdres et les octaèdres sont optimaux dans la classe plus large de tous les emballages.(3)

Emballage en conteneurs tridimensionnels(Éditer)

Différents cuboïdes pour un cuboïde(Éditer)

Déterminer le nombre minimum de conteneurs cuboïdes (caisses) nécessaires pour emballer un ensemble donné de cuboïdes de l'élément (rectangles tridimensionnels). Les cuboïdes rectangulaires à emballer peuvent pivoter de 90 degrés sur chaque axe.

Les sphères d'une boule euclidienne(Éditer)

Le problème de trouver la plus petite balle comme ça

k displaystyle k

Les balles d'unité ouvertes inconnues peuvent être emballées à l'intérieur avec une réponse simple et complète

n displaystyle n

-Espace euclidien dimensionnel si

kn+1 displaystyle scriptstyle k leq n + 1

, et dans un espace de Hilbert infiniment dimensionnel sans limitations. Il convient de décrire en détail ici, pour donner un avant-goût du problème général. Dans ce cas, une configuration de

k displaystyle k

des balles à paires de clés sont disponibles. Placer les centres aux sommets

une1,..,unek displaystyle a_ 1, .., a_ k

d'un habitué

(k1) displaystyle scriptstyle (k-1)

simplex dimensionnel avec bord 2; ceci est facile à réaliser sur la base d'une base orthonormée. Un petit calcul montre que la distance à chaque sommet du barycentre est

2(11k){ displaystyle scriptstyle sqrt 2 big ( 1 – frac 1 k big)}}

. De plus, tout autre point dans la pièce a nécessairement une plus grande distance de au moins un des

k displaystyle scriptstyle k

sommets. En ce qui concerne le confinement des balles,

k displaystyle scriptstyle k

balles à unité ouverte centrées sur

une1,..,unek displaystyle scriptstyle a_ 1, .., a_ k

est inclus dans une boule de rayon

rk: =1+2(11k){ displaystyle scriptstyle r_ k: = 1 + sqrt 2 big ( 1 – frac 1 k big)}

, ce qui est minimal pour cette configuration.

Pour montrer que cette configuration est optimale, laissez

X1,...,Xk displaystyle scriptstyle x_ 1, …, x_ k

être le centre de

k displaystyle scriptstyle k

déconnecter les balles d'unité ouvertes contenues dans une balle de rayon

r displaystyle scriptstyle r

centré sur un point

X0 displaystyle scriptstyle x_ 0

. Considérez la carte de l'ensemble final

X1,..Xk displaystyle scriptstyle x_ 1, .. x_ k

dans

une1,..unek displaystyle scriptstyle a_ 1, .. a_ k

prise

Xj displaystyle scriptstyle x_ j

dans le correspondant

unej displaystyle scriptstyle a_ j

pour chaque

1jk displaystyle scriptstyle 1 leq j leq k

. Le site pour tous

<img src = "https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1013700fdcac9f74087f07f7a7e3917db244a0c" class = "mwe-math-fallback-image-inline" aria-Hidden = "true" style = " réglage vertical: -0,671ex; largeur: 6,759ex; hauteur: 2,009ex; "alt =" scriptstyle 1 leq i,

unejeunej=2XjeXj

cette carte est 1-Lipschitz et par Théorème de Kirszbraun il s'étend à une carte 1-Lipschitz définie au niveau mondial; en particulier, il existe un point

une0 displaystyle scriptstyle a_ 0

donc pour tout le monde

1jk displaystyle scriptstyle 1 leq j leq k

et son

une0unejX0Xj leq

, il en fut de même

rk1+une0unej1+X0Xjr a_ 0 -a_ j

. Cela montre qu'il existe

k displaystyle scriptstyle k

les boules ouvertes sont séparées en une boule de rayon

r displaystyle scriptstyle r

si et seulement si

rrk displaystyle scriptstyle r geq r_ k

. Notez que dans un espace de Hilbert de dimension infinie, cela signifie qu'il y a une infinité de billes d'unité ouvertes continues à l'intérieur d'une sphère de rayon

r displaystyle scriptstyle r

si et seulement si

r1+2 displaystyle scriptstyle r geq 1 + sqrt 2

. Par exemple, les puces unitaires centrées sur

2ej displaystyle scriptstyle sqrt 2 e_ j

, où

ejj displaystyle scriptstyle e_ j _ j

est une base orthonormée, incohérente et incluse dans une sphère de rayon

1+2 displaystyle scriptstyle 1 + sqrt 2

centré à l'origine. Aussi pour

<img src = "https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/236d0631b9fddbaf26eefa98b5ee90a7daa41316" class = "mwe-math-fallback-image-inline" aria-Hidden = "true" style = " réglage vertical: -0.505ex; largeur: 6.311ex; hauteur: 2.176ex; "alt =" scriptstyle r<1+sqrt 2"/>, le nombre maximum de billes d'unité ouvertes est dans une balle de rayon r

22(r1)2 displaystyle scriptstyle big lfloor frac 2 2- (r-1) ^ 2 big rfloor

.

Balles dans un cuboïde(Éditer)

Déterminer le nombre sphérique objets de diamètre donné qui peut être emballé en un seul cuboïde de Taille une X b X c.

Balles identiques dans un cylindre(Éditer)

Déterminer la hauteur minimale h d'un cylindre à rayon donné R qui emballera n boules de rayon identiques r (< R).(12)

Polyèdres en balles(Éditer)

Déterminer le rayon minimum R qui emballera n volume unitaire identique polyèdres d'une forme donnée.(1. 3)

Emballage dans des conteneurs bidimensionnels(Éditer)

Pack Circles(Éditer)

Cercles en cercle(Éditer)

Le pack optimal de 10 cercles dans un cercle

Paquet n l'appareil tourne le moins possible cercle. Ceci est étroitement lié à la distribution des points dans un cercle unitaire dans le but de trouver la plus grande séparation minimale, n, entre les points.

Des solutions optimales ont été démontrées pour n ≤ 13, et n = 19.

Cercles en carré(Éditer)

L'ensemble optimal de 15 cercles sur un carré

Paquet n l'appareil tourne le moins possible carré. Ceci est étroitement lié à la distribution des points dans un carré unitaire dans le but de trouver la plus grande séparation minimale, n, entre les points.(14) Pour convertir entre ces deux formulations du problème, la page carrée pour les cercles de périphériques sera L = 2 + 2 /n.

Des solutions optimales ont été démontrées pour n ≤ 30.(15)

Cercles dans le triangle rectangle du triangle égal(Éditer)

Le pack optimal de 6 cercles dans un triangle isocèle droit

Paquet n l'appareil tourne le moins possible triangle rectangle isocèle. De bonnes estimations sont connues pour n<300.(16)

Cercles en triangle équilatéral(Éditer)

L'ensemble optimal de cinq cercles dans un triangle unilatéral

Paquet n l'appareil tourne le moins possible triangle équilatéral. Les solutions optimales sont connues pour n<13, et des hypothèses sont disponibles pour n <28.(17)

Emballage de carrés(Éditer)

Carrés en carré(Éditer)

L'emballage optimal de 10 itinéraires dans un carré

Paquet n achemine le moins possible carré.

Des solutions optimales ont été démontrées pour n = 1–10, 14–16, 22–25, 33–36, 62–64, 79–81, 98–100 et éventuellement des nombres carrés.(18)(19)

La pièce perdue est asymptotique O(une7/11).(20)

Carrés en cercle(Éditer)

Paquet n carrés dans le plus petit cercle possible.

Solutions minimales:(21)

Nombre de carrés Rayon de cercle
1 0,707 …
2 1118 …
3 1 288 …
4 1,414 …
5 1,581 …
6 1 688 …
7 1802 …
8 1,978 …
9 2,077 …
dix 2,121 …
11 2,214 …
12 2,236 …

Emballage de rectangles(Éditer)

Rectangles identiques dans un rectangle(Éditer)

Le problème de l'empaquetage de plusieurs instances d'un même rectangle de taille (l,w), donnant une rotation de 90 °, dans un plus grand rectangle de taille (L,W) a des applications comme le chargement de caisses sur palettes et surtout pâte de bois Ragoût.

Par exemple, il est possible de regrouper 147 rectangles de taille (137,95) dans un rectangle de taille (1600,1230).(22)

Différents rectangles dans un rectangle(Éditer)

Le problème de l'emballage de plusieurs rectangles de largeurs et de hauteurs différentes dans un rectangle de fermeture rectangulaire minimum (mais sans limites de largeur ou de hauteur du rectangle englobant) a une application importante lors de la combinaison d'images en une image plus grande. Une page Web qui charge une image plus grande est souvent rendue plus rapidement dans le navigateur que la même page qui charge plus de petites images, en raison du coût lié à la demande de chaque image auprès du serveur Web.

Un exemple d'algorithme rapide qui enveloppe des rectangles de largeur et de hauteur différentes dans un rectangle fermé avec une surface minimale est ici.

Domaines connexes(Éditer)

En carrelage ou carrelage problèmes, il ne doit pas y avoir de trous, ni de chevauchement. Beaucoup de puzzles de ce type impliquent l'emballage rectangles ou Polyomino à un rectangle plus grand ou à une autre forme carrée.

Il existe des théorèmes significatifs sur le carrelage des rectangles (et des cuboïdes) dans des rectangles (cuboïdes) sans espaces ni chevauchements:

une une X b le rectangle peut être emballé avec 1 × n bandes siff n divisions une ou n divisions b.(23)(24)
le théorème de Bruijn: Une boîte peut être emballée avec une brique harmonique une X et B X a b c si la boîte a des dimensions et P X a b q X a b c r pour certains nombres naturels p, q, r (c'est-à-dire que la boîte est un multiple de la brique.)(23)

L'Etude de Polyomino les tuiles traitent essentiellement de deux classes de problèmes: la mosaïque d'un rectangle avec des tuiles congruentes et n-omino à un rectangle.

Un casse-tête classique du deuxième type consiste à organiser les douze pentominos en rectangles de taille 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 ou 6 × 10.

Emballage d'objets irréguliers(Éditer)

L'emballage d'objets irréguliers est un problème qui ne se prête pas bien aux solutions de moule fermées; Cependant, l'applicabilité de la science environnementale pratique est très importante. Par exemple, les particules de sol de forme irrégulière se conditionnent différemment en fonction de la taille et de la forme, ce qui permet aux espèces végétales de s'adapter aux formations racinaires et de permettre le mouvement de l'eau dans le sol.(25)

Voir également(Éditer)

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références(Éditer)

Liens externes(Éditer)

De nombreux livres de puzzles en plus des revues mathématiques contiennent des articles sur les problèmes de package.


Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des solides de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au minimum une de ses surfaces qui n’est pas plate ( par exemple, cylindre, sphère ou cône ) Régulier sous-entend que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou égales dans tous les aspects, et tous les abords sont de la même taille 3D sous-entend que la forme a la largeur, la profondeur et la hauteur. Un polygone est une forme fermée dans une figure plane avec au moins cinq bords droits. Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face

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