Équations diophantiennes, solides platoniques, correspondance de McKay, cartes équivalentes et universalité de Vogel solides de Platon spirituel

abstrait

Nous remarquons que l'une des équations diophantiennes,

knm=2kn+2km+2nm

, qui se produit dans la classification d'origine diophantienne de l'algèbre de Lie simple, a des interprétations intéressantes pour deux ensembles différents de signes de variables. Dans les deux cas, il décrit le "polyèdre ordinaire" avec

k

bords à chaque sommet,

n

les bords de chaque face, avec le nombre total d'arêtes

|m|

et propriétés d'Euler

χ=±2

. En cas de négatif

m

cette équation correspond

χ=2

et décrit de vrais polyèdres ordinaires, des solides platoniques. Le cas du positif

m

correspond à la caractéristique d'Euler

χ=2

et décrit les soi-disant cartes équivalentes (cartes) à la surface du genre

2

. Dans le premier cas, il existe deux voies allant des solides platoniques aux algèbres de Lie simples – la classification diophantienne ci-dessus et la correspondance de McKay. Nous les comparons pour toutes les solutions de ce type, et trouvons des coïncidences dans le cas de l'icosaèdre (dodécaèdre), correspondant

E8

algèbre. En cas de positif

k

,

n

et

m

de cette façon, nous obtenons l'interprétation de (certaines) des solutions mystérieuses (

Y

objets), apparaît dans la classification diophantienne et présente quelques similitudes avec les algèbres de Lie simples.

mots-clés

Algèbre de Lie simple

Correspondance McKay

L'universalité de Vogel

Équations diophantiennes

Cartes communes

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durant votre trip d’apprentissage des cristaux, vous avez peut-être rencontré des mots et des conversations étranges que vous n’auriez peut-être jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les robustes de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta géométrie après le lycée ! Alors, que sont exactement les solides de Platon ? En termes simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les éléments principaux ( terre, aspect, feu et eau ) étaient directement liés aux robustes. il existe cinq solides de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à le composant feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à l’élément de l’air. Les icosaèdres ( composés de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à le composant eau. Le dernier et souvent appelé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été appelé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à l’élément d’éther

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