géométrie – Existe-t-il des solides platoniques non convexes? | solides de Platon spirituel

Imaginez un solide avec les propriétés suivantes –

  1. Il est composé de polygones réguliers congruents.
  2. À chaque sommet, le même nombre d'arêtes et de faces se rencontrent.

C'est la même chose que l'exigence pour les solides platoniques, mais le solide n'a pas besoin d'être convexe. Bien sûr, les cinq solides platoniques satisferont à ces conditions, mais en existe-t-il d'autres?

EDIT: Passez en revue les preuves topologiques fournies dans l'article de Wikipedia sur les solides platoniques – https://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid

Si nous exigeons que la caractéristique d'Euler soit 1 au lieu de 2 (comme dans la preuve), nous obtenons –

$$ frac 1 p + frac 1 q = frac 1 2 + frac 1 2E $$

Cela laisse toujours la possibilité (en utilisant le même argument que pour les solides platoniciens donnés dans cette preuve) ouverte à cinq de ces solides avec la caractéristique d'Euler 1 (afin qu'ils ne soient pas convexes). La question est, ces solides existent-ils?

au cours de votre trip d’apprentissage des cristaux, vous avez sans doute rencontré des mots et des conversations étranges que vous n’auriez sans doute jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les robustes de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta géométrie après le lycée ! Alors, que sont exactement les robustes de Platon ? En matière simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les éléments principaux ( terre, aspect, feu et eau ) étaient directement liés aux robustes. il y a cinq robustes de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à le composant feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à l’élément de l’air. Les icosaèdres ( constitués de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à l’élément eau. Le dernier et souvent nommé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été nommé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à le composant d’éther. n

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