Polyèdre remplissant l'espace – de Wolfram MathWorld | solides de Platon







Un polyèdre rempli d'espace, parfois appelé plésiohèdre (Grünbaum et Shephard 1980), est un polyèdre qui peut être utilisé pour générer
une tessellation d'espace. Même si Aristote
lui-même proclamé dans son travail Dans le ciel au tétraèdre
remplit l'espace, en fait pas. Plusieurs polyèdres remplis d'espace sont illustrés
ci-dessus.

Le cube est le seul solide platonique possédant cette propriété (Gardner 1984, p. 183-184). Cependant, une combinaison
de tétraèdres et d'octaèdres
remplissez l'espace (Steinhaus 1999, p. 210; Wells 1991, p. 232). De plus,
octaèdre, tronqué
octaèdre
et des cubes, combinés dans un rapport 1: 1: 3,
peut également remplir l'espace (Wells 1991, p. 235). En 1914, Föppl découvre un espace de remplissage
composition tétraédrique et tronqué
tétraèdres
(Wells 1991, p. 234).

Il n'y a que cinq polyèdres convexes remplis d'espace à faces ordinaires: le prisme triangulaire, le prisme hexagonal, le cube, l'octaèdre tronqué (Steinhaus 1999, pp. 185-190;
Wells 1991, p. 233-234) et gyrobifastigium
(Johnson 2000). Le dodécaèdre rhombique
(Steinhaus 1999, p. 185-190; Wells 1991, p. 233-234) et longue
dodécaèdre
et trapézo-rhombique
dodécaèdre
apparaît dans l'emballage sphère est
placer également des charges (Steinhaus 1999, pp. 203-207), toutes non auto-entrecroisées
prisme carré. Le cube,
prisme hexagonal, losange
dodécaèdre
chaîne de la mort allongée,
et les octaves tronquées sont toutes "primaires"
paralléloèdres (Coxeter 1973, p. 29).

Au cours de la période 1974-1980, Michael Goldberg a tenté de cataloguer de manière exhaustive les polyèdres remplis d'espace. Selon Goldberg, il existe 27 hexaèdres nettement remplis d'espace,
qui couvre les 7 hexaèdres sauf pentagonal
pyramide
. Sur les 34 heptahèdres, 16 sont des charges, qui peuvent remplir l'espace
au moins 56 façons différentes. Les octaèdres peuvent remplir l'espace
au moins 49 façons différentes. Dans les articles d'avant 1980, c'est quarante-onze distinctions, seize
dodécaèdre, quatre 13-honra, huit 14-honra, pas de 15-honra, un 16-hedron à l'origine
découvert par Föppl (Grünbaum et Shephard 1980; Wells 1991, p. 234),
deux 17-hèdres, un 18-hèdres, six icosaèdres, deux 21-hèdres, cinq 22-hèdres, deux 23-hèdres,
un 24 hèdres et un maximum supposé de 26 hèdres. En 1980, P. Engel (Wells 1991,
pp. 234-235) a trouvé un total de 172 charges supplémentaires sur 17 à 38 faces,
et plusieurs charges ont été trouvées plus tard. P. Schmitt a découvert un
obturateur polyédrique apériodique non convexe vers 1990, et un convexe
polyèdre
dit Schmitt-Conway
biprisme
qui ne remplit que l'espace par apériodique a été trouvé par J. H. Conway
en 1993 (Eppstein).

Schmitt (2016) fournit un résumé des polyèdres remplis d'espace via une étude dont les stéréohèdres de Dirichlet-Voronoi peuvent générer les groupes tétragonaux, trigonaux, hexagonaux et cubiques.


Les anciennes croyances néolithiques ont gravé des clichés des éléments de la nature sur des boules de pierre un millier d’années avant qu’elles ne soient connues sous le nom de robustes platoniques. Les philosophes et les mathématiciens grecs ont diagnostiqué l’idée des formes primaires. Certains attribuent leurs sources à Pythagore ( 570-495 av. J. -C. ), Empedocle ( 490-430 av. J. -C. ) ou Theaetetus ( 417-369 av. J. -C. ). Platon ( 424-347 av. J. -C. ), un étudiant de Socrate, en a beaucoup parlé dans son dialogue avec Timée. Il les a décrits comme les composants constitutifs de la vie représentés par les 4 éléments que sont la terre, l’eau, le feu et l’air. Aristote a identifié un cinquième élément qu’il a appelé Aether. Euclide ( 323-283 av. J. -C. ) les réunit, les nomme les Solides de Platon et leur donne des descriptions mathématiques précises dans son bouqin Elements. Ce large corpus de connaissances est passé quasiment sous terre jusqu’à ce que Johannes Kepler ( 1571-1630 ), un astronome allemand, considère la sphère comme un conteneur pour chacun des cinq robustes de Platon. Il a aussi essayé de lier les solides aux six planètes connues de Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne. En géométrie euclidienne, un solide de Platon est défini comme un polyèdre périodique et convexe, dont les faces sont des polygones réguliers et congruents, avec le même nombre de faces se rencontrant à chaque plus haut qui s’inscrivent dans une sphère. Empedocle voyait l’amour comme le pouvoir qui attire ces formes ensemble mais la lutte les sépare. Les éléments ont inspiré l’art, la science et l’assimilation de l’élégance de notre univers. n

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