Tétraèdre – Wikipedia | pierre énergétique

Polyèdre à 4 faces

Tétraèdre commun
Tetrahedron.jpg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 8/83 / Tetrahedron.jpg / 280px-Tetrahedron.jpg "decoding =" async "width =" 280 "height =" 264 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons letter / 8/83 / Tetrahedron.jpg / 420px-Tetrahedron.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 8/83 / Tetrahedron.jpg / 560px-Tetrahedron.jpg 2x "data-file-width =" 643 "data-file-height =" 607
(Cliquez ici pour le modèle rotatif)
type Platoniquement solide
éléments fa = 4, E = 6
V = 4 (χ = 2)
Visages sur les côtés 4 3
notation Conway T
symbole Schläfli 3,3
h 4,3, s 2,4, sr 2,2
Configuration visage V3.3.3
Symbole Wythoff 3 | 2 3
| 2 2 2
Diagramme de Coxeter Noeud CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = Noeud CDel h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Noeud CDel h.pngCDel 2x.pngNoeud CDel h.pngCDel 4.pngCDel node.png
Noeud CDel h.pngCDel 2x.pngNoeud CDel h.pngCDel 2x.pngNoeud CDel h.png
symétrie T, A3, (3.3), (* 332)
Groupe rotation T, (3,3)+, (332)
références U01, C15, W1
propriétés deltaèdre commun convexe
Dihedralvinkelen 70,528779 ° = arccos (1/3)
Tétraèdre vertfig.png
3.3.3
(Toppunktfigur)
Tetrahedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons allow / 2/25 / Tetrahedron.png / 120px-Tetrahedron.png "decoding =" async "width =" 120 "height =" 120 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Toe / 2/25 / Tetrahedron.png / 180px-Tetrahedron.png 1,5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons end / 2/25 / Tetrahedron.png / 240px-Tetrahedron.png 2x "data-file-width =" 1000 "data-file-height =" 1000
Auto double
(double polyèdre)
Tetrahedron flat.svg
nett

Modèle 3D de tétraèdre régulier.

En géométrie, un tétraèdre (Pluriel: tétraèdres ou tétraèdre), également appelé pyramide triangulaire, est un polyèdre composé de quatre surfaces triangulaires, six arêtes droites et quatre coins de sommet. Le tétraèdre est le plus simple de tous les polyèdres convexes ordinaires et le seul à moins de 5 faces.(1)

Le tétraèdre est le cas tridimensionnel du concept plus général d'un simplexe euclidien, et peut donc aussi être appelé un 3-simplex.

Le tétraèdre est une sorte de pyramide qui est un polyèdre avec une base polygonale plate et des surfaces triangulaires reliant la base à un point commun. Dans le cas d'un tétraèdre, la base est un triangle (n'importe laquelle des quatre faces peut être considérée comme la base), donc un tétraèdre est également connu comme une "pyramide triangulaire".

Comme tous les polyèdres convexes, un tétraèdre peut être plié à partir d'une seule feuille. Il a deux de ces fils.(1)

Pour chaque tétraèdre, il existe une sphère (appelée périmètre) sur laquelle se trouvent les quatre coins, et une autre sphère (la sphère) tangente aux faces du tétraèdre.(2)

Tétraèdre commun(éditer)

FR tétraèdre commun est une où les quatre faces sont des triangles latéraux égaux. C'est l'un des cinq solides platoniciens communs, connus depuis l'Antiquité.

Dans un tétraèdre régulier, toutes les faces ont la même taille et la même forme (congruentes) et toutes les arêtes sont de la même longueur.

Cinq tétraèdres sont posés à plat sur un plan, avec les points tridimensionnels les plus élevés marqués comme 1, 2, 3, 4 et 5. Ces points sont ensuite attachés les uns aux autres et un mince volume d'espace vide est laissé, où les cinq angles de bord ne se rencontrent pas complètement.

Les tétraèdres ordinaires seuls ne tessellent pas (espace de remplissage), mais s'ils sont échangés avec des octaèdres ordinaires dans le rapport de deux tétraèdres pour un octaèdre, ils forment l'alvéole cubique alterné, qui est une tessellation. Certains tétraèdres non réguliers, notamment l'orthoschème de Schläfli et le tétraèdre de Hill, peuvent se tesseller.

Le tétraèdre régulier est auto-dual, ce qui signifie que son dual est un autre tétraèdre commun. La figure composite comprenant deux de ces doubles tétraèdres forme un octaèdre stellaire ou octa stellaire.

Coordonnées d'un tétraèdre régulier(éditer)

Les coordonnées cartésiennes suivantes définissent les quatre coins d'un tétraèdre de longueur d'arête 2, centré à l'origine, et deux arêtes de niveau:

Exprimé symétrique en 4 points sur sphère périphérique, centroïde à l'origine, avec un niveau de face inférieur, les coins sont:

v1=(89,0,13) displaystyle v_ 1 = ( sqrt frac 8 9, 0, – frac 1 3)

v2=(29,23,13) displaystyle v_ 2 = (- sqrt frac 2 9, sqrt frac 2 3, – frac 1 3 )

v3=(29,23,13) displaystyle v_ 3 = (- sqrt frac 2 9, – sqrt frac 2 3, – frac 1 3 )

v4=(0,0,1) displaystyle v_ 4 = (0,0,1)

avec la longueur de bordure de

83 displaystyle sqrt frac 8 3

.

Un autre ensemble de coordonnées est basé sur un cube alterné ou demicube avec une bordure de longueur 2. Ce formulaire a un diagramme de Coxeter Noeud CDel h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png et le symbole Schläfli h 4,3. Le tétraèdre dans ce cas a une longueur de bord 22. L'inversion de ces coordonnées génère le double tétraèdre, et la paire forme ensemble l'octaèdre positionné, dont le sommet est celui du cube d'origine.

Tétraèdre: (1,1,1), (1, -1, -1), (-1,1, -1), (-1, -1,1)
Double tétraèdre: (-1, -1, -1), (-1,1,1), (1, -1,1), (1,1, -1)

ABCD tétraèdre commun et sa sphère circonscrite

Angles et distances(éditer)

Pour un tétraèdre de longueur régulière un:

zone du visage
Surface(3)
La hauteur de la pyramide(4)
Distance bord à bord opposé
volume(3)
Angle à bord à bord
Angle de face face-à-face, c'est-à-dire "angle dièdre"(3)
Angle sommet-sommet-sommet,(5) l'angle entre les lignes du centre du tétraèdre à deux sommets quelconques. C'est également l'angle entre les limites du plateau d'un sommet. Le soi-disant angle tétraédrique en chimie.
Angle solide au sommet supprimé par un visage
Rayon ou circonscription(3)
Le rayon de la sphère tangente aux faces(3)
Le rayon de la sphère centrale tangent aux bords(3)
Rayon d'exsphere
Distance au centre de l'exosphère depuis le sommet opposé

Quant au plan de base, une inclinaison de la face (22) est deux fois la taille d'un bord (2), correspond au fait que horizontal la distance parcourue de la base à la pointe le long d'un bord est deux fois plus longue que la médiane d'un visage. En d'autres termes, si C est le centre de la base, la distance de C à un sommet de la base est le double de C au milieu sur un bord de la base. Cela est dû au fait que les médianes d'un triangle se coupent au centre, et ce point divise chacun d'eux en deux segments, dont l'un est deux fois plus éloigné que l'autre (voir la preuve).

Pour un tétraèdre de longueur régulière un, rayon R de sa sphère omniprésente, et les distances Je de n'importe quel point de la pièce à ses quatre coins(6)

Isométries du tétraèdre commun(éditer)

Les rotations correctes (rotation d'ordre 3 sur l'apex et la face et l'ordre 2 sur deux bords) et le plan de réflexion (à travers deux surfaces et un bord) dans le groupe de symétrie du tétraèdre ordinaire

Les têtes d'un cube peuvent être regroupées en deux groupes de quatre, chacun formant un tétraèdre régulier (voir ci-dessus, et aussi une animation, montrant l'un des deux tétraèdres du cube). Les symétries d'un tétraèdre régulier correspondent à la moitié d'un cube: celles qui cartographient les tétraèdres entre elles et non entre elles.

Le tétraèdre est le seul solide platonique qui n'est pas cartographié sur lui-même par inversion ponctuelle.

Le tétraèdre habituel a 24 isométries, formant le groupe de symétrie T, (3.3), (* 332), isomorphe pour le groupe symétrique, S4. Ils peuvent être classés comme suit:

  • T, (3.3)+, (332) est isomorphe à un groupe alterné, FR4 (l'identité et 11 rotations correctes) avec les classes de conjugaison suivantes (entre parenthèses, les permutations sont données aux sommets, ou en conséquence, les faces et la représentation quaternaire de l'unité):
    • identité (identité; 1)
    • rotation autour d'un axe passant par un sommet, perpendiculaire au plan opposé, selon un angle de ± 120 °: 4 axes, 2 par axe, ensemble 8 ((1 2 3), etc.; 1 ± Je ± j ± k/2)
    • rotation à un angle de 180 ° de sorte qu'une arête mappe l'arête opposée: 3 ((1 2) (3 4), etc.; Je, j, k)
  • réflexions dans un plan perpendiculaire à un bord: 6
  • réflexions dans un plan combinées à une rotation de 90 ° autour d'un axe perpendiculaire au plan: 3 axes, 2 par axe, un total de 6; de même, les rotations à 90 ° sont combinées à l'inversion (x est mappé à –x): les rotations correspondent au cube du cube d'axe face à face

Projections orthogonales du tétraèdre habituel(éditer)

L'habituel tétraèdre a deux projections orthogonales spéciales, une centrée sur un sommet ou équivalent sur une face, et une centrée sur un bord. Le premier correspond à A2Coxeter-mouche.

Coupe transversale du tétraèdre régulier(éditer)

Une coupe transversale centrale d'un tétraèdre commun est un carré.

Les deux bords opposés perpendiculaires asymétriques d'un tétraèdre commun définir un ensemble de plans parallèles. Lorsqu'un de ces plans coupe le tétraèdre, la section résultante est un rectangle.(7) Lorsque le plan d'intersection est proche de l'un des bords, le rectangle est long et mince. À mi-chemin entre les deux bords, on croise un carré. Le rapport d'aspect du rectangle s'inverse lorsque vous passez ce point à mi-chemin. Pour l'intersection carrée du point médian, la ligne de délimitation qui en résulte traverse chaque côté du tétraèdre de la même manière. Si le tétraèdre est divisé par deux sur cette planète, les deux moitiés deviennent des coins.

Dysphénoïde tétragonal vu orthogonalement aux deux bords verts.

Cette propriété s'applique également aux disphénoïdes tétragonaux lorsqu'ils sont appliqués aux deux paires d'arêtes spéciales.

Carrelage sphérique(éditer)

Le tétraèdre peut également être produit sous forme de pavage sphérique et projeté sur la planète via une projection stéréographique. Cette projection est conformable, préservant les angles mais pas les zones ou les longueurs. Des lignes droites sur la sphère sont projetées sous forme d'arcs de cercle sur la planète.

Empilement hélicoïdal(éditer)

Les tétraèdres communs peuvent être empilés face à face dans une chaîne apériodique chirale appelée hélice de Boerdijk-Coxeter. En quatre dimensions, tous les 4-polytopes réguliers convexes avec des cellules tétraédriques (5 cellules, 16 cellules et 600 cellules) peuvent être construits sous forme de tuiles sur les 3 sphères de ces chaînes, qui deviennent périodiques dans l'espace tridimensionnel sur la surface limite 4-polytop.

Autres cas particuliers(éditer)

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Conditions du sous-groupe de symétrie tétraédrique
Tetrahedron symmetry tree.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 6/66 / Tetrahedron_symmetry_tree.png / 200px-Tetrahedron_symmetry_tree.png "decoding =" async "width =" 200 "height = "204" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons allow / 6/66 / Tetrahedron_symmetry_tree.png / 300px-Tetrahedron_symmetry_tree.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons complete / 6 / 66 / Tetrahedron_symmetry_tree.png / 400px-Tetrahedron_symmetry_tree.png 2x "data-file-width =" 1069 "data-file-height =" 1089
Symétries tétraédriques illustrées dans les diagrammes tétraédriques

un tétraèdre isocèleégalement appelé dysphénoïde, est un tétraèdre dans lequel les quatre faces sont des triangles congrus. FR tétraèdre rempli d'espace des paquets de copies congruentes d'eux-mêmes dans des pièces de carreaux, comme le pain d'épice tétraédrique disphénoïde.

Dans un tétraèdre à trois rectangles, les trois angles de face à un sommet sont des angles droits. Si les trois paires de bords opposés d'un tétraèdre sont perpendiculaires, cela s'appelle un tétraèdre orthocentrique. Lorsqu'une seule paire d'arêtes opposées est perpendiculaire, elle est appelée tétraèdre semi-orthocentrique. un tétraèdre isodynamique est un où les cevians qui se joignent aux sommets des empreintes sur les faces opposées sont en même temps, et un tétraèdre isogonique a en même temps des céviennes qui coïncident avec les sommets des points de contact des faces opposées avec la sphère espacée du tétraèdre.

Isométries de tétraèdres irréguliers(éditer)

Les isométries d'un tétraèdre irrégulier (non marqué) dépendent de la géométrie du tétraèdre, avec 7 cas possibles. Dans les deux cas, un groupe de points en trois dimensions est formé. Deux autres isométries (C3, (3)+) et (S4, (2+4+)) peut exister si la face ou la marque de bordure est incluse. Les diagrammes tétraédriques sont inclus pour chaque type ci-dessous, avec des bords colorés par équivalence isométrique, et sont gris pour des bords uniques.

Nom du tétraèdre Kant
équivalence
hit-parade
description
symétrie
Schön. Cox. Orb. Ord.
Tétraèdre commun Tétraèdre commun diagram.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 9/90 / Regular_tetrahedron_diagram.png / 60px-Regular_tetrahedron_diagram.png "decoding =" async "width =" 60 "height = "59" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons allow / 9/90 / Regular_tetrahedron_diagram.png / 90px-Regular_tetrahedron_diagram.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/90 /Regular_tetrahedron_diagram.png 2x "data-file-width =" 112 "data-file-height =" 111

quatre équilatéral triangles

Il forme le groupe de symétrie Test isomorphe pour le groupe symétrique, S4. Un tétraèdre commun a un diagramme de Coxeter Noeud CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png et le symbole Schläfli 3.3.

T
T
(3.3)
(3.3)+
* 332
332
24
12
Pyramide triangulaire Pyramide trigonale isocèle diagram.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons once / f / fe / Isosceles_trigonal_pyramid_diagram.png / 60px-Isosceles_trigonal_pyramid_diagram.png "décodage =" 60r hauteur = "51" = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / f / fe / Isosceles_trigonal_pyramid_diagram.png / 90px-Isosceles_trigonal_pyramid_diagram.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/ thumb / f / fe / Isosceles .png / 120px-Isosceles_trigonal_pyramid_diagram.png 2x "data-file-width =" 238 "data-file-height =" 201

un équilatéral base de triangle et trois similaires isocèle côtés du triangle

Il donne 6 isométries, correspondant aux 6 isométries de la base. Comme permutations des sommets, ces 6 isométries sont l'identité 1, (123), (132), (12), (13) et (23), formant le groupe de symétrie C3Vest isomorphe pour le groupe symétrique, S3. Une pyramide triangulaire a le symbole Schläfli 3 ∨ ().

C3V
C3
(3)
(3)+
* 33
33
6
3
Sphénoïde en miroir Sphenoid diagram.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons allow / 3/32 / Sphenoid_diagram.png / 60px-Sphenoid_diagram.png "decoding =" async "width =" 60 "height =" 45 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons letter / 3/32 / Sphenoid_diagram.png / 90px-Sphenoid_diagram.png 1,5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons end / 3/32 / Sphenoid_diagram.png / 120px-Sphenoid_diagram.png 2x "data-file-width =" 209 "data-file-height =" 158

Aimer scalène triangles à bord de masse commun

Cela a deux paires avec des bords égaux (1,3), (1,4) et (2,3), (2,4) et sinon aucun bord n'est égal. Les deux seules isométries sont 1 et la réflexion (34), ce qui donne au groupe Cs, également isomorphe pour le groupe cyclique, Z2.

Cs
=C1T
=C1v
() * 2
Tétraèdre irrégulier
(Pas de symétrie)
Scalene tetrahedron diagram.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 23 / Scalene_tetrahedron_diagram.png / 60px-Scalene_tetrahedron_diagram.png "decoding =" async "width =" 60 "height =" 45 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons sedan / 2/23 / Scalene_tetrahedron_diagram.png / 90px-Scalene_tetrahedron_diagram.png 1,5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons end / 2/23 / Scalene_tetrahedron_diagram.png / 120px-Scalene_tetrahedron_diagram.png 2x "data-file-width =" 128 "data-file-height =" 97

Quatre triangles différents

Sa seule isométrie est l'identité, et le groupe de symétrie est le groupe trivial. Un tétraèdre irrégulier a le symbole de Schläfli () ∨ () ∨ () ∨ ().

C1 ()+ 1 1
Disphénoïdes (quatre triangles égaux)
Dysphénoïde tétragonal Tetragonal disphenoid diagram.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / b / b4 / Tetragonal_disphenoid_diagram.png / 60px-Tetragonal_disphenoid_diagram.png "decoding =" async "width =" 60 "=" 59 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / b / b4 / Tetragonal_disphenoid_diagram.png / 90px-Tetragonal_disphenoid_diagram.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b / b4 / Tetragonal_disphenoid_diagram.png 2x "data-file-width =" 112 "data-file-height =" 111

Quatre comme isocèle triangles

Il a 8 isométries. Si les bords (1,2) et (3,4) ont des longueurs différentes des 4 autres, les 8 isométries sont l'identité 1, les réflexions (12) et (34) et les rotations à 180 ° (12) (34), (13 ) (24), (14) (23) et rotations incorrectes à 90 ° (1234) et (1432) formant le groupe de symétrie 2d. Un dysphénoïde tétragonal a un diagramme de Coxeter Noeud CDel h.pngCDel 2x.pngNoeud CDel h.pngCDel 4.pngCDel node.png et le symbole Schläfli s 2,4.

2d
S4
(2+, 4)
(2+4+)
2 * 2
2 x
8
4
Dysphénoïde rhombique Rhombic disphenoid diagram.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 3/39 / Rhombic_disphenoid_diagram.png / 60px-Rhombic_disphenoid_diagram.png "décodage =" async "width =" 60 "height = "48" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons latest / 3/39 / Rhombic_disphenoid_diagram.png / 90px-Rhombic_disphenoid_diagram.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons complete / 3 / 39 / Rhombic_disphenoid_diagram.png / 120px-Rhombic_disphenoid_diagram.png 2x "data-file-width =" 154 "data-file-height =" 122

Quatre comme scalène triangles

Il a 4 isométries. Les isométries sont les rotations 1 et 180 ° (12) (34), (13) (24), (14) (23). Ceci est le groupe Klein Four V4 ou Z22, présent en tant que groupe de points 2. Un dysphénoïde rhombique a un diagramme de Coxeter Noeud CDel h.pngCDel 2x.pngNoeud CDel h.pngCDel 2x.pngNoeud CDel h.png et le symbole Schläfli sr 2,2.

2 (2.2)+ 222 4
Disénoïdes généralisés (2 paires de triangles)
Dysphénoïde digonal Digonal disphenoid diagram2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 3 / 3e / Digonal_disphenoid_diagram2.png / 80px-Digonal_disphenoid_diagram2.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "64" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons latest / 3 / 3e / Digonal_disphenoid_diagram2.png / 120px-Digonal_disphenoid_diagram2.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e /Digonal_disphenoid_diagram2.png 2x "data-file-width =" 158 "data-file-height =" 127
Digonal disphenoid diagram.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / d / dd / Digonal_disphenoid_diagram.png / 80px-Digonal_disphenoid_diagram.png "décodage =" async "width =" 80 "height = "64" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / d / dd / Digonal_disphenoid_diagram.png / 120px-Digonal_disphenoid_diagram.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/dommons / dd /Digonal_disphenoid_diagram.png 2x "data-file-width =" 158 "data-file-height =" 127

Deux paires identiques isocèle triangles

Cela donne deux bords opposés (1,2) et (3,4) qui sont perpendiculaires mais de longueur différente, puis les 4 isométries 1, les réflexions (12) et (34) et la rotation à 180 ° (12) (34) ). Le groupe de symétrie est C2v, est isomorphe pour le groupe Klein V4. Un dysphénoïde digonal porte le symbole de Schläfli ∨ .

C2v
C2
(2)
(2)+
* 22
22
4
2
Dysphénoïde phyllique Diagramme tétraèdre demi-tour.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / b / b7 / Half-turn_tetrahedron_diagram.png / 80px-Half-turn_tetrahedron_diagram.png "decoding =" async "width =" 80 "height =" 34 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / b / b7 / Half-turn_tetrahedron_diagram.png / 120px-Half-turn_tetrahedron_diagram.png 1,5x, // upload .wikimedia.org / wikipedia / commons / thumb / b / b7 / Half-turn_tetrahedron_diagram.png / 160px-Half-turn_tetrahedron_diagram.png 2x "data-file-width =" 219 "data-file-height =" 94
Diagramme tétraèdre demi-tour2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons once / b / b3 / Half-turn_tetrahedron_diagram2.png / 80px-Half-turn_tetrahedron_diagram2.png "decoding =" async "width =" 80 "height =" 31 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / b / b3 / Half-turn_tetrahedron_diagram2.png / 120px-Half-turn_tetrahedron_diagram2.png 1,5x, // upload.wikimedia.org / wikipedia / commons / thumb / b / b3 / Half-turn_tetrahedron_diagram2.png / 160px-Half-turn_tetrahedron_diagram2.png 2x "data-file-width =" 215 "data-file-height =" 84

Deux paires identiques scalène ou isocèle triangles

Cela a deux paires avec des bords égaux (1,3), (2,4) et (1,4), (2,3), mais sinon aucun bord n'est égal. Les deux seules isométries sont 1 et la rotation (12) (34), ce qui donne au groupe C2 isomorphe pour le groupe cyclique, Z2.

C2 (2)+ 22 2

Caractéristiques générales(éditer)

volume(éditer)

Le volume d'un tétraèdre est donné par la formule du volume pyramidal:

FR0 er området til base og h er høyden fra sokkelen til toppen. Dette gjelder for hvert av de fire valgene til basen, så avstandene fra toppene til de motsatte flater er omvendt proporsjonale med områdene til disse flatene.

For en tetrahedron med toppunkt
un = (un1, un2, un3),
b = (b1, b2, b3),
c = (c1, c2, c3)et
d = (d1, d2, d3), volumet er 1/6| Det (und, bd, cd) |, eller en hvilken som helst annen kombinasjon av par vertikaler som danner en enkelt tilkoblet graf. Dette kan skrives om med et prikkprodukt og et kryssprodukt, og gir

Hvis opprinnelsen til koordinatsystemet er valgt å sammenfalle med toppunktet d, deretter d = 0, altså

hvor un, bet c representerer tre kanter som møtes i ett toppunkt, og un · (b x c) er en skalar trippelprodukt. Comparing this formula with that used to compute the volume of a parallelepiped, we conclude that the volume of a tetrahedron is equal to 1/6 of the volume of any parallelepiped that shares three converging edges with it.

The absolute value of the scalar triple product can be represented as the following absolute values of determinants:

Hence

which gives

where α, β, γ are the plane angles occurring in vertex d. The angle α, is the angle between the two edges connecting the vertex d to the vertices b and c. The angle β, does so for the vertices un and c, while γ, is defined by the position of the vertices un and b.

Given the distances between the vertices of a tetrahedron the volume can be computed using the Cayley–Menger determinant:

where the subscripts i, j ∈ 1, 2, 3, 4 represent the vertices un, b, c, d and dij is the pairwise distance between them – i.e., the length of the edge connecting the two vertices. A negative value of the determinant means that a tetrahedron cannot be constructed with the given distances. This formula, sometimes called Tartaglia's formula, is essentially due to the painter Piero della Francesca in the 15th century, as a three dimensional analogue of the 1st century Heron's formula for the area of a triangle.(8)

Denote a,b,c be three edges that meet at a point, and x,y,z the opposite edges. Let V be the volume of the tetrahedron; then(9)

where

The above formula uses different expressions with the following formula,The above formula uses six lengths of edges, and the following formula uses three lengths of edges and three angles.

Heron-type formula for the volume of a tetrahedron(edit)

If U, V, W, u, v, w are lengths of edges of the tetrahedron (first three form a triangle; u opposite to U and so on), then(10)

where

Volume divider(edit)

A plane that divides two opposite edges of a tetrahedron in a given ratio also divides the volume of the tetrahedron in the same ratio. Thus any plane containing a bimedian (connector of opposite edges' midpoints) of a tetrahedron bisects the volume of the tetrahedron.(11)(12):pp.89–90

Non-Euclidean volume(edit)

For tetrahedra in hyperbolic space or in three-dimensional elliptic geometry, the dihedral angles of the tetrahedron determine its shape and hence its volume. In these cases, the volume is given by the Murakami–Yano formula.(13) However, in Euclidean space, scaling a tetrahedron changes its volume but not its dihedral angles, so no such formula can exist.

Distance between the edges(edit)

Any two opposite edges of a tetrahedron lie on two skew lines, and the distance between the edges is defined as the distance between the two skew lines. Let d be the distance between the skew lines formed by opposite edges un and bc as calculated here. Then another volume formula is given by

Properties analogous to those of a triangle(edit)

The tetrahedron has many properties analogous to those of a triangle, including an insphere, circumsphere, medial tetrahedron, and exspheres. It has respective centers such as incenter, circumcenter, excenters, Spieker center and points such as a centroid. However, there is generally no orthocenter in the sense of intersecting altitudes.(14)

Gaspard Monge found a center that exists in every tetrahedron, now known as the Monge point: the point where the six midplanes of a tetrahedron intersect. A midplane is defined as a plane that is orthogonal to an edge joining any two vertices that also contains the centroid of an opposite edge formed by joining the other two vertices. If the tetrahedron's altitudes do intersect, then the Monge point and the orthocenter coincide to give the class of orthocentric tetrahedron.

An orthogonal line dropped from the Monge point to any face meets that face at the midpoint of the line segment between that face's orthocenter and the foot of the altitude dropped from the opposite vertex.

A line segment joining a vertex of a tetrahedron with the centroid of the opposite face is called a median and a line segment joining the midpoints of two opposite edges is called a bimedian of the tetrahedron. Hence there are four medians and three bimedians in a tetrahedron. These seven line segments are all concurrent at a point called the centroid of the tetrahedron.(15) In addition the four medians are divided in a 3:1 ratio by the centroid (see Commandino's theorem). The centroid of a tetrahedron is the midpoint between its Monge point and circumcenter. These points define the Euler line of the tetrahedron that is analogous to the Euler line of a triangle.

The nine-point circle of the general triangle has an analogue in the circumsphere of a tetrahedron's medial tetrahedron. It is the twelve-point sphere and besides the centroids of the four faces of the reference tetrahedron, it passes through four substitute Euler points, one third of the way from the Monge point toward each of the four vertices. Finally it passes through the four base points of orthogonal lines dropped from each Euler point to the face not containing the vertex that generated the Euler point.(16)

The center T of the twelve-point sphere also lies on the Euler line. Unlike its triangular counterpart, this center lies one third of the way from the Monge point M towards the circumcenter. Also, an orthogonal line through T to a chosen face is coplanar with two other orthogonal lines to the same face. The first is an orthogonal line passing through the corresponding Euler point to the chosen face. The second is an orthogonal line passing through the centroid of the chosen face. This orthogonal line through the twelve-point center lies midway between the Euler point orthogonal line and the centroidal orthogonal line. Furthermore, for any face, the twelve-point center lies at the midpoint of the corresponding Euler point and the orthocenter for that face.

The radius of the twelve-point sphere is one third of the circumradius of the reference tetrahedron.

There is a relation among the angles made by the faces of a general tetrahedron given by (17)

where αij is the angle between the faces i and j.

Geometric relations(edit)

A tetrahedron is a 3-simplex. Unlike the case of the other Platonic solids, all the vertices of a regular tetrahedron are equidistant from each other (they are the only possible arrangement of four equidistant points in 3-dimensional space).

A tetrahedron is a triangular pyramid, and the regular tetrahedron is self-dual.

A regular tetrahedron can be embedded inside a cube in two ways such that each vertex is a vertex of the cube, and each edge is a diagonal of one of the cube's faces. For one such embedding, the Cartesian coordinates of the vertices are

(+1, +1, +1);
(−1, −1, +1);
(−1, +1, −1);
(+1, −1, −1).

This yields a tetrahedron with edge-length 22, centered at the origin. For the other tetrahedron (which is dual to the first), reverse all the signs. These two tetrahedra's vertices combined are the vertices of a cube, demonstrating that the regular tetrahedron is the 3-demicube.

The volume of this tetrahedron is one-third the volume of the cube. Combining both tetrahedra gives a regular polyhedral compound called the compound of two tetrahedra or stella octangula.

The interior of the stella octangula is an octahedron, and correspondingly, a regular octahedron is the result of cutting off, from a regular tetrahedron, four regular tetrahedra of half the linear size (i.e., rectifying the tetrahedron).

The above embedding divides the cube into five tetrahedra, one of which is regular. In fact, five is the minimum number of tetrahedra required to compose a cube. To see this, starting from a base tetrahedron with 4 vertices, each added tetrahedra adds at most 1 new vertex, so at least 4 more must be added to make a cube, which has 8 vertices.

Inscribing tetrahedra inside the regular compound of five cubes gives two more regular compounds, containing five and ten tetrahedra.

Regular tetrahedra cannot tessellate space by themselves, although this result seems likely enough that Aristotle claimed it was possible. However, two regular tetrahedra can be combined with an octahedron, giving a rhombohedron that can tile space.

However, several irregular tetrahedra are known, of which copies can tile space, for instance the disphenoid tetrahedral honeycomb. The complete list remains an open problem.(18)

If one relaxes the requirement that the tetrahedra be all the same shape, one can tile space using only tetrahedra in many different ways. For example, one can divide an octahedron into four identical tetrahedra and combine them again with two regular ones. (As a side-note: these two kinds of tetrahedron have the same volume.)

The tetrahedron is unique among the uniform polyhedra in possessing no parallel faces.

A law of sines for tetrahedra and the space of all shapes of tetrahedra(edit)

Tetra.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Tetra.png/248px-Tetra.png" decoding="async" width="248" height="189" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/13/Tetra.png 1.5x" data-file-width="371" data-file-height="282

A corollary of the usual law of sines is that in a tetrahedron with vertices O, EN, B, C, we have

One may view the two sides of this identity as corresponding to clockwise and counterclockwise orientations of the surface.

Putting any of the four vertices in the role of O yields four such identities, but at most three of them are independent: If the "clockwise" sides of three of them are multiplied and the product is inferred to be equal to the product of the "counterclockwise" sides of the same three identities, and then common factors are cancelled from both sides, the result is the fourth identity.

Three angles are the angles of some triangle if and only if their sum is 180° (π radians). What condition on 12 angles is necessary and sufficient for them to be the 12 angles of some tetrahedron? Clearly the sum of the angles of any side of the tetrahedron must be 180°. Since there are four such triangles, there are four such constraints on sums of angles, and the number of degrees of freedom is thereby reduced from 12 to 8. The four relations given by this sine law further reduce the number of degrees of freedom, from 8 down to not 4 but 5, since the fourth constraint is not independent of the first three. Thus the space of all shapes of tetrahedra is 5-dimensional.(19)

Law of cosines for tetrahedra(edit)

Let P1 ,P2, P3, P4 be the points of a tetrahedron. Let Δi be the area of the face opposite vertex Pi and let θij be the dihedral angle between the two faces of the tetrahedron adjacent to the edge PiPj.

The law of cosines for this tetrahedron,(20) which relates the areas of the faces of the tetrahedron to the dihedral angles about a vertex, is given by the following relation:

Interior point(edit)

Let P be any interior point of a tetrahedron of volume V for which the vertices are EN, B, Cet D, and for which the areas of the opposite faces are Fun, Fb, Fcet Fd. Deretter(21):p.62,#1609

For vertices EN, B, Cet D, interior point P, and feet J, K, Let M of the perpendiculars from P to the faces,(21):p.226,#215

Inradius(edit)

Denoting the inradius of a tetrahedron as r and the inradii of its triangular faces as ri à i = 1, 2, 3, 4, we have(21):p.81,#1990

with equality if and only if the tetrahedron is regular.

If EN1, EN2, EN3 and EN4 denote the area of each faces, the value of r is given by

This formula is obtained from dividing the tetrahedron into four tetrahedra whose points are the three points of one of the original faces and the incenter. Since the four subtetrahedra fill the volume, we have

V=13EN1r+13EN2r+13EN3r+13EN4rdisplaystyle V=frac 13A_1r+frac 13A_2r+frac 13A_3r+frac 13A_4r

.

Circumradius(edit)

Denote the circumradius of a tetrahedron as R. Let un, b, c be the lengths of the three edges that meet at a vertex, and EN, B, C the length of the opposite edges. Let V be the volume of the tetrahedron. Deretter(22)(23)

Circumcenter(edit)

The circumcenter of a tetrahedron can be found as intersection of three bisector planes. A bisector plane is defined as the plane centered on, and orthogonal to an edge of the tetrahedron.
With this definition, the circumcenter C of a tetrahedron with vertices x0,x1,x2,x3 can be formulated as matrix-vector product:(24)

In contrast to the centroid, the circumcenter may not always lay on the inside of a tetrahedron.
Analogously to an obtuse triangle, the circumcenter is outside of the object for an obtuse tetrahedron.

Centroid(edit)

The tetrahedron's center of mass computes as the arithmetic mean of its four vertices, see Centroid.

Faces(edit)

The sum of the areas of any three faces is greater than the area of the fourth face.(21):p.225,#159

Integer tetrahedra(edit)

There exist tetrahedra having integer-valued edge lengths, face areas and volume. These are called Heronian tetrahedra. One example has one edge of 896, the opposite edge of 990 and the other four edges of 1073; two faces are isosceles triangles with areas of 436800 and the other two are isosceles with areas of 47120, while the volume is 124185600.(25)

A tetrahedron can have integer volume and consecutive integers as edges, an example being the one with edges 6, 7, 8, 9, 10, and 11 and volume 48.(26)

Related polyhedra and compounds(edit)

A regular tetrahedron can be seen as a triangular pyramid.

A regular tetrahedron can be seen as a degenerate polyhedron, a uniform digonal antiprism, where base polygons are reduced digons.

A regular tetrahedron can be seen as a degenerate polyhedron, a uniform dual digonal trapezohedron, containing 6 vertices, in two sets of colinear edges.

A truncation process applied to the tetrahedron produces a series of uniform polyhedra. Truncating edges down to points produces the octahedron as a rectified tetrahedron. The process completes as a birectification, reducing the original faces down to points, and producing the self-dual tetrahedron once again.

This polyhedron is topologically related as a part of sequence of regular polyhedra with Schläfli symbols 3,n, continuing into the hyperbolic plane.

The tetrahedron is topologically related to a series of regular polyhedra and tilings with order-3 vertex figures.

An interesting polyhedron can be constructed from five intersecting tetrahedra. This compound of five tetrahedra has been known for hundreds of years. It comes up regularly in the world of origami. Joining the twenty vertices would form a regular dodecahedron. There are both left-handed and right-handed forms, which are mirror images of each other. Superimposing both forms gives a compound of ten tetrahedra, in which the ten tetrahedra are arranged as five pairs of stellae octangulae. A stella octangula is a compound of two tetrahedra in dual position and its eight vertices define a cube as their convex hull.

The square hosohedron is another polyhedron with four faces, but it does not have triangular faces.

Applications(edit)

Numerical analysis(edit)

An irregular volume in space can be approximated by an irregular triangulated surface, and irregular tetrahedral volume elements.

In numerical analysis, complicated three-dimensional shapes are commonly broken down into, or approximated by, a polygonal mesh of irregular tetrahedra in the process of setting up the equations for finite element analysis especially in the numerical solution of partial differential equations. These methods have wide applications in practical applications in computational fluid dynamics, aerodynamics, electromagnetic fields, civil engineering, chemical engineering, naval architecture and engineering, and related fields.

Chemistry(edit)

The tetrahedron shape is seen in nature in covalently bonded molecules. All sp3-hybridized atoms are surrounded by atoms (or lone electron pairs) at the four corners of a tetrahedron. For instance in a methane molecule (CH
4
) or an ammonium ion (NH+
4
), four hydrogen atoms surround a central carbon or nitrogen atom with tetrahedral symmetry. For this reason, one of the leading journals in organic chemistry is called Tetrahedron. The central angle between any two vertices of a perfect tetrahedron is arccos(−1/3), or approximately 109.47°.(5)

Water, H
2
O
, also has a tetrahedral structure, with two hydrogen atoms and two lone pairs of electrons around the central oxygen atoms. Its tetrahedral symmetry is not perfect, however, because the lone pairs repel more than the single O–H bonds.

Quaternary phase diagrams in chemistry are represented graphically as tetrahedra.

However, quaternary phase diagrams in communication engineering are represented graphically on a two-dimensional plane.

Electricity and electronics(edit)

If six equal resistors are soldered together to form a tetrahedron, then the resistance measured between any two vertices is half that of one resistor.(27)(28)

Since silicon is the most common semiconductor used in solid-state electronics, and silicon has a valence of four, the tetrahedral shape of the four chemical bonds in silicon is a strong influence on how crystals of silicon form and what shapes they assume.

Games(edit)

The Royal Game of Ur, dating from 2600 BC, was played with a set of tetrahedral dice.

Especially in roleplaying, this solid is known as a 4-sided die, one of the more common polyhedral dice, with the number rolled appearing around the bottom or on the top vertex. Some Rubik's Cube-like puzzles are tetrahedral, such as the Pyraminx and Pyramorphix.

Color space(edit)

Tetrahedra are used in color space conversion algorithms specifically for cases in which the luminance axis diagonally segments the color space (e.g. RGB, CMY).(29)

Contemporary art(edit)

The Austrian artist Martina Schettina created a tetrahedron using fluorescent lamps. It was shown at the light art biennale Austria 2010.(30)

It is used as album artwork, surrounded by black flames on The End of All Things to Come by Mudvayne.

Popular culture(edit)

Stanley Kubrick originally intended the monolith in 2001: A Space Odyssey to be a tetrahedron, according to Marvin Minsky, a cognitive scientist and expert on artificial intelligence who advised Kubrick on the HAL 9000 computer and other aspects of the movie. Kubrick scrapped the idea of using the tetrahedron as a visitor who saw footage of it did not recognize what it was and he did not want anything in the movie regular people did not understand.(31)

In Season 6, Episode 15 of Futurama, named "Möbius Dick", the Planet Express crew pass through an area in space known as the Bermuda Tetrahedron. Many other ships passing through the area have mysteriously disappeared, including that of the first Planet Express crew.

In the 2013 film Oblivion the large structure in orbit above the Earth is of a tetrahedron design and referred to as the Tet.

Geology(edit)

The tetrahedral hypothesis, originally published by William Lowthian Green to explain the formation of the Earth,(32) was popular through the early 20th century.(33)(34)

Structural engineering(edit)

A tetrahedron having stiff edges is inherently rigid. For this reason it is often used to stiffen frame structures such as spaceframes.

Aviation(edit)

At some airfields, a large frame in the shape of a tetrahedron with two sides covered with a thin material is mounted on a rotating pivot and always points into the wind. It is built big enough to be seen from the air and is sometimes illuminated. Its purpose is to serve as a reference to pilots indicating wind direction.(35)

Tetrahedral graph(edit)

The skeleton of the tetrahedron (the vertices and edges) form a graph, with 4 vertices, and 6 edges. It is a special case of the complete graph, K4, and wheel graph, W4.(36) It is one of 5 Platonic graphs, each a skeleton of its Platonic solid.

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3-fold symmetry

Voir aussi(edit)

références(edit)

  1. ^ un b Weisstein, Eric W. "Tetrahedron". MathWorld.
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Liens externes(edit)


Les anciennes cultures néolithiques ont gravé des photos des composants de la nature sur des boules de pierre pendant un millier d’années avant qu’elles ne soient renommées sous le nom de robustes platoniques. Les philosophes et les mathématiciens grecs ont étudié l’idée des formes primaires. Certains attribuent leurs sources à Pythagore ( 570-495 av. J. -C. ), Empedocle ( 490-430 av. J. -C. ) ou Theaetetus ( 417-369 av. J. -C. ). Platon ( 424-347 av. J. -C. ), un étudiant de Socrate, en a beaucoup parlé dans son dialogue avec Timée. Il les a décrits comme les éléments constituants de la vie représentés par les 4 éléments que sont la terre, l’eau, le feu et l’air. Aristote a identifié un cinquième élément qu’il a nommé Aether. Euclide ( 323-283 av. J. -C. ) les réunit, les nomme les Solides de Platon et leur donne des descriptions mathématiques précises dans son livre Elements. Ce vaste corpus de connaissances est passé quasiment sous terre jusqu’à ce que Johannes Kepler ( 1571-1630 ), un astronome allemand, considère la sphère comme un container pour chacun des cinq solides de Platon. Il a également essayé de lier les solides aux six planètes renommées de Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne. En géométrie euclidienne, un solide de Platon est défini comme un polyèdre régulier et convexe, dont les faces sont des polygones réguliers et congruents, avec le même nombre de faces se rencontrant à chaque plus haut qui s’inscrivent dans une sphère. Empedocle voyait l’amour comme le pouvoir qui attire ces formes ensemble tandis que la bataille les sépare. Les composants ont inspiré l’art, la méthode et la gestion de l’élégance de notre univers. n

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