ils Solides platoniques peuvent être classés en deux groupes: ceux sans Golden Ratio dans leur constitution (le tétraèdre, le cube et l'octaèdre) et ceux impliqués Golden Ratio, à savoir le Dodécaèdre et l'Icosaèdre. Ces deux groupes sont indispensables lors de la double opération, c'est-à-dire que les doubles de tous ces solides restent dans le même groupe. Quelque chose de similaire se produit dans Archimède et leurs duels catalan solides: par exemple, l'octaèdre cube et son double, le dodécaèdre rhombique, s'appliquent au premier groupe (non Golden Ratio liés).
Dans chaque discussion sur Cube de Metatron on trouve l'affirmation que cette structure contient tous les solides platoniques en elle. Dans mon article sur Cube de Metatron J'ai montré que ce n'est pas vrai: la grille intérieure du cube est une tessellation d'espace composée de tétraèdres et d'octaèdres interchangeables. Les solides contenus dans Cube de Metatron faire pas impliquer Golden Ratio: la grille interne génère le tétraèdre, l'octaèdre, le tétraèdre étoilé et le cuboctaèdre, mais ni l'icosaèdre ni le dodécaèdre. Ce fait peut évoquer une question secondaire: ces deux Golden Ratio les solides liés forment une toile? Peut-être. Ce que je veux montrer, c'est que la connexion intérieure des coins et l'extension extérieure des bords conduisent à un ensemble de stellations, comme les autres endroits appelés Pentadodécaèdre double.
Je n'ai pas pu trouver de polyèdres convexes contenant tous les cinq Solides platoniques, à savoir dont le sommet en coordonnées cartésiennes permet de les construire tous. L'approche la plus proche de cette tâche est Triacontaèdre rhombique: Je veux montrer que les hauts définissent tout le monde Solides platoniques sauf pour l'octaèdre. Si vous voulez inclure les sommets des octaèdres, vous êtes conduit à un fantastique polyèdre non convexe qui contient vraiment tout Solides platoniques, et bien plus encore: on l'appelle 120 Polyèdre, et a été largement étudié par Robert W. Ray.
Il est bien connu que le polyèdre commun le plus simple, le tétraèdre, se trouve à l'intérieur du cube. Par conséquent, il peut être construit avec la moitié des sommets d'un cube (figure 1). Le double de ce dernier est l'octaèdre, donc les sommets sont les points médians des faces du cube. Tous ces solides ont en commun que leurs coordonnées cartésiennes n'impliquent pas Golden Ratio. En fait, tous peuvent être définis par des points dans l'espace avec des coordonnées entières (voir Figure 1 et Tableau 1).
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| Figure 1: L'octaèdre, le cube et deux tétraèdres contenaient dans ce dernier, ce qui définit un tétraèdre étoile ou octaèdre étoilé. | |||
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| Tableau 1: Les points de tête du cube, octaèdre et tétraèdre comme indiqué sur la figure 1, en coordonnées cartésiennes. Tous peuvent être dérivés avec des entiers. |
En revanche, pour la construction de solides dans le deuxième groupe, les coins des coordonnées cartésiennes doivent contenir Golden Ratio. Les points de tête de l'icosaèdre peuvent être facilement obtenus à partir de trois points mutuellement orthogonaux Rectangles dorés, dont les pages sont en proportion 1: φ (la longueur réelle du bord de tous les polyèdres illustrés dans les figures de cet article est deux fois plus longue que celle indiquée par les flèches bleues indiquant Proportions dorées). Les bords de l'icosaèdre sont les segments qui relient chacun des coins du rectangle à leurs cinq voisins les plus proches, comme le montre la figure 2 (si, au lieu de cela, joindre chaque sommet avec les cinq sommets opposés des cinq voisins les plus proches entraînerait une position fine de le dodécaèdre connu sous le nom de petit dodécaèdre stelladetd, voir section 3):
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| Figure 2: Les têtes d'icosaèdres sont définies par trois rectangles dorés mutuellement orthogonaux. | ||
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| Tableau 2: Les points de tête de l'icosaèdre en coordonnées cartésiennes. |
Pour construire le dodécaèdre, il est utile de savoir que le cube est à l'intérieur. À partir des huit coins d'un cube, les douze coins restants peuvent être obtenus à partir de trois rectangles orthogonaux qui sont également liés à Golden Ratio, mais dans une proportion 1: φ2 au lieu de 1: φ comme dans l'icosaèdre (figure 3):
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| Figure 3: Les points de tête du dodécaèdre peuvent être obtenus à partir du cube et de trois rectangles dorés mutuellement orthogonaux avec un rapport d'aspect 1: φ2. | ||
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| Tableau 3: Les points de tête du dodécaèdre représentés sur la figure 3, en coordonnées cartésiennes. |
3.1.- Le nombre d'or du petit dodécaèdre étoilé
Le dodécaèdre et l'icosaèdre sont des duels l'un de l'autre. Cela signifie que, sur la base d'un icosaèdre, une chaîne de la mort peut facilement être obtenue by joignant les points médians des faces de l'icosaèdre (figure 4a). Et inversement, un icosaèdre est formé en joignant les points médians des faces d'un dodécaèdre (figure 4b).
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| a) Dodécaèdre en double d'un icosaèdre | (b) Icosaèdre en double par un dodécaèdre |
| Figure 4 | |
Si vous tracez douze lignes à partir du centre du dodécèdre et traversant les points médians des faces, tout ensemble de douze points situés sur ces lignes et tout aussi loin du point central définira également un icosaèdre, mais à une échelle différente. Un cas très intéressant de ces ensembles infinis d'icosaèdres est celui obtenu comme suit: prenez un dodécaèdre et prolongez-en les bordson se retrouve à certains endroits éloignés. Vous constaterez que chaque ensemble de cinq bords étendus converge en un point situé sur les douze lignes mentionnées ci-dessus; ce sont donc les pinacles d'un icosededron. Ils peuvent également être obtenus en étendant symétriquement les petits côtés des rectangles qui composent le dodécèdre d'un Rectangle doré atteint (figure 5)..
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| Figure 5: Étendez les trois rectangles dorés d'un dodécaèdre à trois 1: φ2 On obtient des rectangles dorés donnant les pics d'un icosededron spécial: celui qui donne naissance au Petit Dodécaèdre étoilé. |
Il y a deux faits intéressants à propos de cet icosaèdre particulier: le premier est qu'il a une taille de bord proportionnelle 1: φ2 avec la taille du bord du dodécaèdre d'origine, qui peut être clairement comprise dans la figure précédente. Mais l'autre fait est que le processus d'élargissement des bords du dodécaèdre se retrouve dans une belle position connue sous le nom de Petit dodécaèdre étoilé (Figure 6).
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| Figure 6: Le petit dodécaèdre étoilé contient trois pouvoirs avec le Golden Ratio. Cela peut être clairement compris dans le pentagramme visages. Les sommets extérieurs définissent un icosaèdre dont la longueur du bord (A1E1) est dans une proportion 1: φ2 avec le bord du dodécaèdre d'origine (IL). | |
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| Tableau 4: Les coordonnées cartésiennes du petit dodécaèdre stellaire. Les points de tête du dodécaèdre d'origine (tableau 3), bien que visibles, ne sont pas les faits saillants du poste. |
Ce merveilleux polyèdre non convexe contient trois forces Golden Ratio à l'intérieur (Figure 6b). Si la longueur du bord du dodécaèdre d'origine est prise comme une unité, le dodécaèdre de petite taille peut être vu comme une extension de ce dodécaèdre en plaçant un cinq côtés Pyramide dorée au-dessus de chacune des faces. FR Pyramide dorée avoir un apothèque dans une proportion 1: φ avec le côté base, chacune des surfaces latérales est donc Gnomes dorés (Figure 7).
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| a) Pyramide dorée pentagonale | (b) Pyramide dorée triangulaire | |
| Figure 7 | ||
3.2.- La relation d'or du grand Dodécaèdre étoilé
Comme cela arrive à son homologue petit dodécaèdre étoilé, il existe plusieurs façons d'étudier la conception grand dodécaèdre étoilé. En tant que mise en scène, c'est le résultat de l'extension des sommets d'un icosaèdre régulier jusqu'à ce qu'ils se rencontrent dans un nouvel ensemble de points. Combien de points? Facile à deviner: si la position d'un dodécaèdre conduit aux 12 coins d'un icosaèdre, la position de l'icosaèdre conduira aux 20 coins d'un dodécaèdre. Voyons dans quelle proportion.
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| Figure 8: (a) Construction du grand dodécaèdre stellaire à partir d'un icosaèdre de longueur unitaire. Les boules noires les plus externes décrivent 1: φ2 rectangles d'un dodécaèdre, tandis que les sphères grises sont les sommets d'un cube. (b) Les proportions du Golden Ratio peuvent être clairement insérées dans les faces du pentagramme. | |
Le processus peut être divisé en deux étapes. La première étape consiste à étendre les trois symétriquement 1xφ Rectangles dorés de l'icosaèdre d'origine jusqu'à ce qu'ils forment les trois 1: φ2 rectangles nécessaire à une chaîne de la mort (figure 8a). Lorsque vous prenez la taille du bord de l'icosaèdre comme une unité, la taille réelle de ces rectangles étendus sera φxφ3. Ceci est plus clairement apprécié lorsque vous regardez les surfaces du pentagramme grand dodécaèdre étoilé (Figure 8b). Ces rectangles ne donnent que douze des vingt coins d'une chaîne de la mort. Comme nous l'avons vu dans la section 2, les huit sommets restants forment un cube. Suivant les proportions indiquées dans la figure 3 et le tableau 3, ce cube doit avoir une taille de bord de φ2 (Figure 8a).
La construction de grand dodécaèdre étoilé peut également être pensé à partir de l'icosaèdre et de définir un triangle Pyramide dorée (Figure 7b) au-dessus de chacun des vingt visages. Le polyèdre étoilé résultant est illustré à la figure 9.
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| Figure 9: Le grand dodécaèdre étoilé et son icosaèdre intérieur. | |
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| Tableau 5: Les coordonnées cartésiennes du grand dodécaèdre étoilé. Les points principaux de l'icosaèdre d'origine (tableau 2), bien que visibles, ne sont pas les coins de l'échafaudage. |
3.3.- Le double Pentadodécèdre
La procédure décrite dans les deux sections précédentes peut également être suivie dans l'ordre: Commencez avec un dodécaèdre, développez les bords pour former un petit dodécaèdre étoilé. Étant donné que les sommets ultérieurs décrivent un icosaèdre, ses bords (imaginaires) peuvent être étendus jusqu'à ce que vous obteniez un grand dodécaèdre étoilé (Figure 10a). Le résultat de tout le processus est un grand dodécaèdre étoilé en contenant un petit dodécaèdre étoilé whithin (figure 10b).
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| Figure 10: (a) Expansion des rectangles dorés du petit dodécèdre stellaire pour former 1: φ2 rectangles par un dodécaèdre externe qui décrit les pics du double Pentadodaèdre (sphères grises). Comme décrit au chapitre 3.2 (figure 8), il ne reste plus qu'à ajouter les sommets à un cube d'extrémité dans le rapport correct. (b) Une vue semi-transparente des décadeurs à double pentadode montrant son petit dodécaèdre stellaire intérieur. | |
Ce polyèdre est connu sous le nom de Pentadodécaèdre double. Le nom dérive du fait que chacun des douze points intérieurs de grand dodécaèdre étoilé qui coïncide avec les sommets petit dodécaèdre étoilé inventé whithin- a deux pentagrammes attachés à elle (le rose et le bleu montré dans la figure 11). Il est remarquable que chaînes à double pentadode contient cinq forces de Golden Ratio (Figure 11).
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| Figure 11: Le décodeur à double pentadode possède un petit décodeur interne à étages, chacun des 12 sommets ayant 2 pentagrammes associés (surlignés en rose et bleu sur la figure). Notez que cette double position contient 5 forces Golden Ratio. |
Plusieurs auteurs pensent que chaînes à double pentadode décrit la nouvelle énergie réseau cristallin qui est activé sur la planète Terre à l'heure actuelle. Cette grille est destinée à nous donner un accès plus facile aux dimensions non physiques qui existent au-dessus de notre réalité physique en trois dimensions.
Quel est le résultat de l'assemblage des sommets d'un dodécaèdre et d'un icosaèdre, tous deux à la même échelle? Cela dépend de leur orientation relative. Nous disons qu'un dodécaèdre et un icosaèdre sont à la même échelle lorsque le plus grand côté de leur composant Rectangles dorés (de proportions 1: φ2 et 1: φ) avoir la même longueur. Tdes polyèdres individuels qui répondent à cette première exigence peuvent être orientés de différentes manières les uns par rapport aux autres. L'orientation clé est que trois Rectangles dorés de l'icosaèdre et du dodécèdre sont exactement orthogonaux l'un à l'autre, et ont de plus grands côtés en parallèle (figure 12).
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| Figure 12: (a) Nous disons qu'un icosaèdre et un dodécèdre sont à la même échelle lorsque le plus grand côté (vertical sur la figure) de leurs rectangles dorés constitutifs a la même longueur. (b) Le polyèdre résultant de la superposition d'un dodécaèdre et d'un icosaèdre à la même échelle. Nous pouvons voir que les 30 arêtes des deux polyèdres sont orthogonales entre elles et définissent les diagonales de 30 losanges d'or. | |
Il se trouve que les deux revendications précédentes sont exactement satisfaites par le dodécaèdre et l’icosaèdre représentés sur les figures 2 et 3, dont les coordonnées sont jointes dans les tableaux 2 et 3. Dans ce cas, le côté Rectangles dorés a une longueur commune de 2φ. Si nous superposons les deux polyèdres, nous obtenons un polyèdre non convexe (figure 12b). Nous pouvons observer cette figure que les côtés les plus courts de chaque paire de rectangles dorés icosaèdre dodécaèdre mutuellement orthogonaux sont dans un Golden Ratio (dans ce cas, les longueurs sont 2 /φ et 2). Ils forment les deux diagonales dans un Losange doré. En fait, la figure 12b montre que tous les bords coplanaires de notre dodéchèdre et icosaèdre se croisent en définissant orthogonalement 30 Rhombi doré. enfin, si nous formons le polyèdre convexe qui joint tous leurs sommets, tle résultat est un Triacontaèdre rhombique (Figure 13).
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| Figure 13: Triacontaèdre rhombique formé en joignant un dodécaèdre et un icosaèdre à la même échelle. Les points principaux du dodécaèdre d'origine sont les sphères noires, tandis que les grises sont les coins de l'icosaèdre. | |
Avec notre processus de construction, nous avons établi que les 30 faces d'un triacontaèdre rhombique est Losange doré si des diagonales plus courtes et plus longues définissent les bords d'un dodécaèdre et d'un icosaèdre, respectivement. ils triacontaèdre rhombique est un polyèdre semi-régulier où les sommets définissent presque tout Solides platoniques, car le cube est à l'intérieur du dodécaèdre et le tétraèdre est à l'intérieur du cube (figures 1 et 3). Bien que certains auteurs prétendent qu'il contient également des octaèdres, ce n'est pas strictement vrai. Pour le faire "apparaître", nous devons ajouter les points centraux aux faces du cube, qui sont pas sommet de triacontaèdre rhombique. Le polyèdre suivant résout ce problème.
Prenons le cube qui se trouve dans notre dodécèdre d'origine (figure 3) et joignons-le à un octaèdre dont les bords coupent le cube en son centre exact (c'est-à-dire que nous joignons le cube de la figure 1b à l'octaèdre de la figure 1a). Faites maintenant pivoter le complexe du cube pour qu'il corresponde à un autre ensemble de huitième sommet dans le dodécèdre qui le contient. Ce processus peut se faire de quatre manières différentes. L'ensemble de sommets résultant sur les cinq cubes tournés définit le dodécèdre (certains de ces sommets sont répétés). Si nous ajoutons notre icosaèdre à ce dodécaèdre à la même échelle, nous atteignons triacontaèdre rhombique étudiée dans la section précédente (figure 13). L'ensemble des 30 coins de nos cinq octahs tournés se trouve au-dessus de chacun Rhombi doré de celui-ci triacontaèdre rhombique. Leurs coordonnées sont indiquées dans le tableau 6 ci-dessous.
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| Tableau 6: Les coordonnées cartésiennes des cinq octades tournées illustrées à la figure 14. |
En réunissant les 20 coins du dodécaèdre et les 12 coins de l'icosaèdre, nous avons les 32 coins de triacontaèdre rhombique (Figures 12 et 13). Maintenant, nous ajoutons à cet ensemble les 30 coins de l'octaèdre précédent. Le résultat final est un ensemble de 62 coins définissant un beau polyèdre non convexe appelé 120 polyèdres (Figure 15):
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| Figure 15: Trois vues différentes de 120 polyèdres. Il contient les sommets du dodécaèdre, de l'icosaèdre et des cinq octaèdres en rotation. | ||
Ce polyèdre a été largement étudié par Robert W. Ray. Il a 120 faces car chacune des 30 autres faces triacontaèdre rhombique a été "renforcée" par une petite pyramide à quatre côtés. Les 30 pyramides ont des dimensions très spéciales. Non seulement leur base en est une Losange doré, mais la taille de base et l'apothicaire le plus court sont également Golden Ratio. Cela peut facilement être vu à partir des coordonnées données dans les tableaux 2, 3 et 6 comme suit:

Les polyèdres que nous avons examinés dans cet article suivent en deux grands groupes. Pour le premier groupe, le tétraèdre, l'octaèdre et le cube se rapportent. Ils ont en commun que leurs coordonnées cartésiennes ont des valeurs entières. Par conséquent, ces polyèdres peuvent être représentés avec précision sur un ordinateur. D'un autre côté, la plupart des polyèdres examinés dans cet article s'appliquent à l'autre groupe: ceux dont les coordonnées impliquent Golden Ratio. Ces polyèdres ne peuvent pas être représentés avec précision sur un ordinateur. Les coordonnées que nous avons utilisées pour nos tracés sont exactes à dix décimales, bien que Golden Ratio a un nombre infini de décimales. Ce fait ne revendique pas leur construction physique exacte. Par exemple, l'icosaèdre peut être construit avec un ensemble de trente tiges égales et douze contacts.
Tenter de construire tous ces polyèdres montrera clairement que certains d'entre eux ne sont pas structurellement stables. L'exemple le plus simple est le cube: si vous avez déjà essayé de construire un cube avec une sorte de tiges rigides et des contacts rotatifs, vous avez peut-être remarqué qu'il s'effondrait. La même chose se produit avec la chaîne de la mort. Les deux peuvent être stabilisés en ajoutant des bords supplémentaires qui relient les bords entre eux. Par exemple, le cube peut être stabilisé en joignant les sommets avec deux tétraèdres entrelacés (voir figure 1d), et le dodécaèdre en joignant les sommets de l'intérieur sous la forme d'un dodécaèdre finement étagé (voir figures 8 et 9), ou en formant un extérieur petites chaînes mortelles stellaires (voir figure 6). Dans tous les cas, le polyèdre résultant ne contient ni les faces du cube ni du dodécèdre. De cette observation, on peut supposer que ces structures peuvent avoir une nature énergétique (subtile). Un cube peut être «vu» partout où un tétraèdre étoile est présent, tandis que le dodécaèdre peut être «observé» partout où une structure icosaédrique est présente – soit un petit ou un grand dodécaèdre stellaire. En fait, Buckminster Fuller déjà établi que la condition nécessaire et suffisante pour qu'une structure physique soit structurellement stable est qu'elle doit être triangulée – d'où la stabilité du tétraèdre, de l'octaèdre et de l'icosaèdre.
Les anciennes traditions néolithiques ont gravé des photos des éléments de la nature sur des boules de pierre un millier d’années avant qu’elles ne soient connues sous le nom de robustes platoniques. Les philosophes et les mathématiciens grecs ont analysé l’idée des formes primaires. Certains attribuent leurs origines à Pythagore ( 570-495 av. J. -C. ), Empedocle ( 490-430 av. J. -C. ) ou Theaetetus ( 417-369 av. J. -C. ). Platon ( 424-347 av. J. -C. ), un étudiant de Socrate, en a beaucoup parlé dans son dialogue avec Timée. Il les a décrits comme les composants constitutifs de la vie représentés par les 4 éléments que sont la terre, l’eau, le feu et l’air. Aristote a identifié un cinquième élément qu’il a appelé Aether. Euclide ( 323-283 av. J. -C. ) les réunit, les nomme les Solides de Platon et leur donne des descriptions mathématiques précises dans son livre Elements. Ce vaste corpus de connaissances est passé quasiment sous terre jusqu’à ce que Johannes Kepler ( 1571-1630 ), un astronome allemand, considère la sphère comme un conteneur pour chacun des cinq solides de Platon. Il a aussi essayé de lier les solides aux six planètes connues de Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne. En forme euclidienne, un solide de Platon est défini comme un polyèdre annuel et convexe, dont les faces sont des polygones constants et congruents, avec le même nombre de faces se rencontrant à chaque sommet qui s’inscrivent dans une sphère. Empedocle voyait l’attachement comme le pouvoir qui attire ces formes ensemble tandis que la lutte les sépare. Les composants ont inspiré l’art, la science et l’assimilation de l’élégance de notre monde. n


















































