POLYHEDRONS ET NON POLYHEDRONS
Un polyèdre est un solide géométrique en trois dimensions avec des faces plates et des bords droits.
Prisme Traingulaire Un polyèdre commun
SURFACE POLYÉDÉDALE:
Une caractéristique déterminante de presque tous les types de polyèdres est que seules deux faces s'étendent le long d'un bord commun. Cela garantit que la surface multiple est connectée en continu et ne se termine pas brusquement ou se divise dans des directions différentes.
BORDS:
Les bords ont deux propriétés importantes (à moins que le polyèdre ne soit composé):
-
Un bord devient juste deux apex.
-
Un bord ne devient que deux faces.
Ces deux propriétés sont deux l'une pour l'autre.
POLYÉDRES COMMUNS:
POLYHÉDRONS CONVEXES:
L'idée du polyèdre convexe est similaire à celle des polygones convexes.
|
Ce sont convexes
polyèdres |
Ce ne sont pas des polyèdres convexes |
POLYHÉDRONS RÉGULIERS:
Un polyèdre est dit régulier si les faces sont constituées de polygones ordinaires et le même nombre de faces se rencontrent à chaque sommet.
|
Ce polyèdre est courant. Les faces sont des polygones réguliers congruents. Les verticales sont formées par le même nombre de faces |
Ce polyèdre n'est pas courant. Toutes les pages sont congruentes; mais les sommets ne sont pas formés par le même nombre de faces. 3 faces se rencontrent en A mais 4 faces se rencontrent en B. |
Les membres importants de la famille des polyèdres sont les prismes et les pyramides.
|
Ce sont des prismes |
Ce sont des pyramides |
PRISM:
Un solide à deux faces est constitué de polygones plans parallèles et les faces latérales sont des rectangles appelés prisme. Un solide dont la base et le sommet sont des polygones identiques et les côtés sont des rectangles est connu comme un prisme. C'est un polyèdre, où deux des faces sont des polygones congruents dans un plan parallèle, et les autres faces sont des parallélogrammes.
|
TYPES |
FIGURE |
FACES |
BORDS |
SOMMETS |
|
|
(I) |
Prisme triangulaire |
|
5 |
9 |
6 |
|
(Ii) |
Prisme cubique rectangulaire |
|
6 |
12 |
8 |
|
(Iii) |
Prisme carré |
|
6 |
12 |
8 |
|
(Iv) |
cube |
|
6 |
12 |
8 |
|
(V) |
Prisme pentagonal |
|
7 |
15 |
10 |
|
(Nous) |
cylindre |
|
3 |
2 |
– |
PYRAMIDES:
Une pyramide est un polyèdre dont la base est un polygone (de n'importe quel nombre de côtés) et dont les autres faces sont des triangles avec un sommet commun.
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TYPES |
FIGURE |
FACES |
BORDS |
SOMMETS |
|
|
(I) |
Pyramide triangulaire |
|
4 |
6 |
4 |
|
(Ii) |
Pyramide rectangulaire |
|
5 |
8 |
5 |
|
(Iii) |
Pyramide carrée |
|
5 |
8 |
5 |
|
(Iv) |
Pyramide pentagonale |
|
6 |
10 |
6 |
-
Un prisme est un polyèdre dont la base et le sommet sont des polygones congruents et dont les autres surfaces, c'est-à-dire les surfaces latérales sont de forme parallélogrammes.
-
Une pyramide est un polyèdre dont la base est un polygone (de n'importe quel nombre de côtés) et dont les surfaces latérales sont des triangles avec un sommet commun.
-
Un prisme ou une pyramide est nommé d'après la base. Ainsi, un prisme hexagonal a un hexagone comme base; et une pyramide triangulaire a un triangle comme base.
Tout polyèdre peut être composé de différents types d'éléments ou d'unités, chacun avec un nombre différent de dimensions:
3 dimensions: Le corps est délimité par les visages et est généralement le volume fermé par eux.
2 dimensions: Une face est un polygone délimité par un cercle d'arêtes et comprend généralement la zone plate (plane) à l'intérieur de la frontière. Ces faces polygonales forment ensemble la surface polédrique.
1 dimension: Une arête relie un sommet à un autre et une face à une autre, et est généralement un segment de ligne. Les bords forment ensemble le squelette polyédrique.
0 dimensions: Un sommet (tête plurielle) est un sommet.
-1 dimension: Le polytope nul est une sorte de non-entité requise par les théories abstraites.
FORMULAIRE EULER:
Le tableau ci-dessous montre le nombre de faces, d'arêtes et de coins de chacun des solides platoniques. Ici v signifie sommet, f pour faces et e pour arêtes.
|
réel |
fa |
V |
E |
F + V |
E + 2 |
|
Hexaèdre (cube)
octaèdre
dodécaèdre
icosahèdre |
6
8
12
20 |
8
6
20
12 |
12
12
30
30 |
6 + 8 = 14
8 + 6 = 14
12 + 20 + 32
20 + 12 = 32 |
12 + 2 = 14
12 + 2 = 14
30 + 2 = 32
30 + 2 = 32 |
Le tableau ci-dessus montre clairement que
Leonard Euler (1707-1783) a découvert cette formule qui établissait la relation entre le nombre de faces, d'arêtes et de sommets d'un polyèdre.
Formule d'Euler
Où F = nombre de faces
V = nombre de coins
E = nombre d'arêtes.
par exemple, essayez-le sur le cube:
Un cube a 6 faces, 8 verticales et 12 arêtes,
donc: 6 + 8 – 12 = 2
OU PROPRIÉTÉS:
La caractéristique d'Euler χ désigne le nombre de verticales V, d'arêtes E et de surfaces F d'un polyèdre:
x = V – E + F
Pour un polyèdre convexe ou plus généralement pour tout polyèdre couplé unique dont les surfaces sont également facilement connectées et dont la frontière est un tube de branchement, χ = 2.
Donc F + V-E peut être égal à 2 ou 1, et peut-être à d'autres valeurs, donc la formule la plus générale est
F + V – E = χ
Où χ est appelé la "caractéristique d'Euler".
Voici quelques exemples:
|
forme |
|
χ |
|
sphère |
|
2 |
|
torus |
|
0 |
|
Mobius Strip |
|
0 |
|
|
Et la caractéristique d'Euler peut également être inférieure à zéro. C'est "Cubohemioctahedron": il a 10 faces (cela peut ressembler à plus, mais certaines des faces "internes" ne sont en fait qu'une face), 24 bords et 12 verticales, donc: F + V – E = -2 |
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Chapitre 8 Test en ligne de mathématiques de 8e année
Les anciennes coutumes néolithiques ont gravé des photos des composants de la nature sur des boules de pierre un millier d’années avant qu’elles ne soient connues sous l’appelation de solides platoniques. Les philosophes et les mathématiciens grecs ont étudié l’idée des formes primaires. Certains attribuent leurs sources à Pythagore ( 570-495 av. J. -C. ), Empedocle ( 490-430 av. J. -C. ) ou Theaetetus ( 417-369 av. J. -C. ). Platon ( 424-347 av. J. -C. ), un étudiant de Socrate, en a beaucoup parlé dans son dialogue avec Timée. Il les a décrits comme les éléments constitutifs de la vie représentés par les 4 éléments que sont la terre, l’eau, le feu et l’air. Aristote a identifié un cinquième élément qu’il a nommé Aether. Euclide ( 323-283 av. J. -C. ) les réunit, les nomme les Solides de Platon et leur donne des descriptions mathématiques ciblées dans son livre Elements. Ce vaste corpus de connaissances est passé quasiment sous terre jusqu’à ce que Johannes Kepler ( 1571-1630 ), un astronome allemand, considère la sphère comme un conteneur pour chacun des cinq robustes de Platon. Il a également essayé de relier les robustes aux six planètes renommées de Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne. En géométrie euclidienne, un solide de Platon est défini comme un polyèdre annuel et convexe, dont les faces sont des polygones constants et congruents, avec le même volume de faces se rencontrant à chaque plus haut qui s’inscrivent dans une sphère. Empedocle voyait l’attachement comme le pouvoir qui attire ces formes ensemble mais la lutte les sépare. Les éléments ont inspiré l’art, la science et l’assimilation de l’élégance de notre univers. n














