géométrie – Existe-t-il des solides platoniques non convexes? | solides de Platon spirituel

Imaginez un solide avec les propriétés suivantes –

  1. Il est composé de polygones réguliers congruents.
  2. À chaque sommet, le même nombre d'arêtes et de faces se rencontrent.

C'est la même chose que l'exigence pour les solides platoniques, mais le solide n'a pas besoin d'être convexe. Bien sûr, les cinq solides platoniques satisferont à ces conditions, mais en existe-t-il d'autres?

EDIT: Passez en revue les preuves topologiques fournies dans l'article de Wikipedia sur les solides platoniques – https://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid

Si nous exigeons que la caractéristique d'Euler soit 1 au lieu de 2 (comme dans la preuve), nous obtenons –

$$ frac 1 p + frac 1 q = frac 1 2 + frac 1 2E $$

Cela laisse toujours la possibilité (en utilisant le même argument que pour les solides platoniciens donnés dans cette preuve) ouverte à cinq de ces solides avec la caractéristique d'Euler 1 (afin qu'ils ne soient pas convexes). La question est, ces solides existent-ils?

Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des solides de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au minimum une de ses surfaces qui n’est pas plate ( par exemple, cylindre, sphère ou tube ). n Régulier veut dire que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou équivalentes dans tous les critères, et tous les rives sont de la même longueur. n 3D veut dire que la forme a la largeur, la capacité et la hauteur. n Un polygone est une forme fermée dans une est plane avec au moins cinq bords droits. n Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face. n

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