| Dodécèdre rhombique | |
|---|---|
(Cliquez ici pour le modèle rotatif) |
|
| type | Solide catalan |
| Diagramme de Coxeter | |
| notation Conway | JC |
| type de visage | V3.4.3.4
rhombe |
| visages | 12 |
| bords | 24 |
| sommets | 14 |
| Verticaux par type | 8 3 6 4 |
| Groupe de symétrie | Oh, B3, (4.3), (* 432) |
| Groupe rotation | O (4,3)+, (432) |
| Dihedralvinkelen | 120 ° |
| propriétés | convexe, transitif facial isohédrique, isotoxique, parallélèdre |
cuboctaèdre (double polyèdre) |
nett |
En géométrie, dodécaèdre rhombique est un polyèdre convexe avec 12 faces rhombiques congruentes. Il a 24 bords et 14 coins de deux types. C'est un solide catalan, et le double polyèdre pour le cube octane.
propriétés(éditer)
Le dodécaèdre rhombique est un zonoèdre. Son dual polyédrique est l'octaèdre cube. La longue diagonale sur chaque face est précise √2 fois la longueur de la courte diagonale de sorte que les angles pointus de chaque face mesurent les arccos (1/3), soit environ 70,53 °.
Comme le double d'un polyèdre archimédien, le dodécaèdre rhombique pénètre dans la face, ce qui signifie que le groupe de symétrie fixe fonctionne en transit sur l'ensemble des faces. En termes élémentaires, cela signifie que pour les deux surfaces A et B, il y a une rotation ou une réflexion du solide laissant l'occupant dans la même zone d'espace tout en déplaçant la face A vers la face B.
Le dodécaèdre rhombique peut être considéré comme la coque convexe de l'union des sommets d'un cube et d'un octaèdre. Les 6 sommets où se rencontrent 4 losanges correspondent aux verticales de l'octaèdre, tandis que les 8 sommets où se rencontrent 3 rhombes correspondent aux sommets du cube.
Le dodécaèdre rhombique est l'un des neuf polyèdres convexes à transition transitive, l'autre étant les cinq solides platoniciens, les cuboctacées, l'échosidodécaèdre et le triacontaèdre rhombique.
Le dodécaèdre rhombique peut être utilisé pour tesseller l'espace tridimensionnel. Il peut être empilé pour remplir un espace un peu comme les hexagones remplissent un avion.
Ce polyèdre dans une tessellation remplie d'espace peut être considéré comme la tessellation Voronoï du réseau cubique à face centrée. Il s'agit de la zone de Brillouin de cristaux cubiques (cc) centrés sur le corps. Certains minéraux comme le grenat forment une habitude de cristal dodécaédrique rhombique. Les abeilles utilisent la géométrie des dodécaèdres rhombiques pour former du pain d'épice à partir d'une tessellation de cellules, dont chacune est un prisme hexagonal révélé avec un demi-dodécaèdre rhombique. Le dodécaèdre rhombique apparaît également dans les cellules diamant et unités diamantoïdes. Dans ces cas, quatre coins (alternativement triangulaires) sont absents, mais les liaisons chimiques se trouvent sur les bords restants.(1)
Le graphique du dodécèdre rhombique n'est pas hamilton.
Un dodécèdre rhombique peut être disséqué au centre en 4 trapèzes trigonaux. Ces rhomboèdres sont les cellules d'un nid d'abeille trapézoïdal trigonal. Ceci est analogue à la dissection d'un hexagone régulier disséqué en losanges, et carrelé dans le plan comme un losange.
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Hexagone disséqué rhombique
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Cette animation montre la construction d'un dodécèdre rhombique à partir d'un cube en inversant les pyramides à mi-face d'un cube.
dimensions(éditer)
Si la longueur du bord d'un dodécèdre rhombique est un, est le rayon d'une sphère inscrite (tangente à chacune des faces du dodécèdre rhombique)
et le rayon de la sphère médiane est
Surface et volume(éditer)
la région FR et le volume V du dodécaèdre rhombique de longueur d'arête un sont les suivants:
Estimations orthogonales(éditer)
ils dodécaèdre rhombique a quatre projections orthogonales spéciales le long de l'axe de symétrie, centrées sur une face, un bord et les deux types d'apex, triplés et quadruplés. Les deux derniers correspondent à B2 et A2Coxeter-mouche.
Coordonnées cartésiennes(éditer)
Les huit sommets où trois faces se rencontrent à des angles arrondis ont des coordonnées cartésiennes:
- (± 1, ± 1, ± 1)
Les coordonnées des six coins où quatre faces se rencontrent aux angles aigus sont:
- (± 2, 0, 0), (0, ± 2, 0) et (0, 0, ± 2)
Le dodécaèdre rhombique peut être considéré comme un cas limite dégénéré d'un pyritoèdre, avec permutation des coordonnées (± 1, ± 1, ± 1) et (0, 1 + h, 1 – h2) avec paramètre h = 1.
Formes topologiquement équivalentes(éditer)
Parallelohedron(éditer)
ils dodécaèdre rhombique est un paralléloèdre, un polyèdre rempli d'espace, le dodécaèdre, qui est le double de tetroctahedrille ou demi-pain d'épices cubique, et décrit par deux diagrammes de Coxeter: ![]()
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et
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. Avec D3d symétrie, il peut être considéré comme un trapèze trigonal allongé.
Les chaînes de mort rhombiques du dièdre(éditer)
D'autres constructions de symétrie du dodécèdre rhombique remplissent également l'espace et, comme les lopes parallèles, ressemblent à des variantes d'octaèdres abrégés remplissant l'espace.(2)
Par exemple, avec 4 faces carrées et des faces rhombiques à 60 degrés, et D4hsymétrie dièdre, ordre 16. Il peut être vu comme un octogone cuboïde avec des pyramides carrées renforcées en haut et en bas.
nett |
Les coordonnées
|
Dodécaèdre Bilinski(éditer)
Bilinski dodécades avec des bords et des surfaces avant colorés selon les positions de symétrie. |
Chaînes de la mort de Bilinski colorées par des bords parallèles |
En 1960, Stanko Bilinski a découvert un deuxième dodécèdre rhombique à 12 faces de losanges congruents, le dodécaèdre Bilinski. Il a la même topologie, mais une géométrie différente. Les visages rhombiques sous cette forme ont la relation d'or.(3)(4)
| Première forme | Autre forme |
|---|---|
| √21 | √5 + 1/21 |
Dodécaèdre deltoïdal(éditer)
Une autre variante topologiquement équivalente, parfois appelée chaînes de mort deltoïdales(5) ou chaîne de la mort trapézoïdale,(6)(7) est isohédrique avec un ordre de symétrie tétraédrique 24, déforme les faces rhombiques en dragons (deltoïdes). Il a 8 coins alignés à l'intérieur ou à l'extérieur dans des ensembles alternatifs de 4, avec le boîtier de confinement une enveloppe tétraédrique. Les variations peuvent être paramétrées par (un,b), où b est déterminé à partir de un pour les faces planes. (1,1) est la solution rhombique. Som (un) approches 1/2, (b) approche à l'infini.
- (± 2, 0, 0), (0, ± 2, 0), (0, 0, ± 2)
- (un, un, un), (-un, –un, un), (-un, un, –un), (un, –un, –un)
- (-b, –b, –b), (-b, b, b), (b, –b, b), (b, b, –b)
Polyèdres associés(éditer)
| Polyèdres octaédriques uniformes | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symétrie: (4.3), (* 432) | (4.3)+ (432) |
(1+4.3) = (3.3) (* 332) |
(3+, 4) (3 * 2) |
|||||||
| 4,3 | t 4.3 | r 4.3 r 31.1 |
t 3,4 t 31.1 |
3,4 31.1 |
rr 4.3 s23,4 |
tr 4,3 | sr 4.3 | h 4.3 3,3 |
h2 4,3 t 3,3 |
s 3,4 s 31.1 |
= |
= |
= |
||||||||
| Duals to uniform polyhedra | ||||||||||
| V43 | V3.82 | V(3.4)2 | V4.62 | V34 | V3.43 | V4.6.8 | V34.4 | V33 | V3.62 | V35 |
When projected onto a sphere (see right), it can be seen that the edges make up the edges of two tetrahedra arranged in their dual positions (the stella octangula). This trend continues on with the deltoidal icositetrahedron and deltoidal hexecontahedron for the dual pairings of the other regular polyhedra (alongside the triangular bipyramid if improper tilings are to be considered), giving this shape the alternative systematic name of deltoidal dodecahedron.
This polyhedron is a part of a sequence of rhombic polyhedra and tilings with (n,3) Coxeter group symmetry. The cube can be seen as a rhombic hexahedron where the rhombi are squares.
Similarly it relates to the infinite series of tilings with the face configurations V3.2n.3.2n, the first in the Euclidean plane, and the rest in the hyperbolic plane.
Stellations(edit)
Like many convex polyhedra, the rhombic dodecahedron can be stellated by extending the faces or edges until they meet to form a new polyhedron. Several such stellations have been described by Dorman Luke.(8)
The first stellation, often simply called the stellated rhombic dodecahedron, is well known. It can be seen as a rhombic dodecahedron with each face augmented by attaching a rhombic-based pyramid to it, with a pyramid height such that the sides lie in the face planes of the neighbouring faces:
-

The first stellation of the rhombic dodecahedron
-

3D model of decomposition into 12 pyramids and 4 half-cubes
Luke describes four more stellations: the second and third stellations (expanding outwards), one formed by removing the second from the third, and another by adding the original rhombic dodecahedron back to the previous one.
Great rhombic dodecahedron : 12 concave octagonal faces
Great stellated rhombic dodecahedron : 12 concave dodecagonal faces
Related polytopes(edit)
The rhombic dodecahedron forms the hull of the vertex-first projection of a tesseract to three dimensions. There are exactly two ways of decomposing a rhombic dodecahedron into four congruent rhombohedra, giving eight possible rhombohedra as projections of the tesseracts 8 cubic cells. One set of projective vectors are: u=(1,1,-1,-1), v=(-1,1,-1,1), w=(1,-1,-1,1).
The rhombic dodecahedron forms the maximal cross-section of a 24-cell, and also forms the hull of its vertex-first parallel projection into three dimensions. The rhombic dodecahedron can be decomposed into six congruent (but non-regular) square dipyramids meeting at a single vertex in the center; these form the images of six pairs of the 24-cell's octahedral cells. The remaining 12 octahedral cells project onto the faces of the rhombic dodecahedron. The non-regularity of these images are due to projective distortion; the facets of the 24-cell are regular octahedra in 4-space.
This decomposition gives an interesting method for constructing the rhombic dodecahedron: cut a cube into six congruent square pyramids, and attach them to the faces of a second cube. The triangular faces of each pair of adjacent pyramids lie on the same plane, and so merge into rhombuses. The 24-cell may also be constructed in an analogous way using two tesseracts.(9)
Voir aussi(edit)
References(edit)
- ^ Dodecahedral Crystal Habit Archived 2009-04-12 at the Wayback Machine. khulsey.com
- ^ Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p.56–57
- ^ Branko Grünbaum (2010). "The Bilinski Dodecahedron and Assorted Parallelohedra, Zonohedra, Monohedra, Isozonohedra, and Otherhedra" (PDF). 32 (4): 5–15. Archived from the original (PDF) on 2015-04-02.
- ^ H.S.M Coxeter, "Regular polytopes", Dover publications, 1973.
- ^ Economic Mineralogy: A Practical Guide to the Study of Useful Minerals, p.8
- ^ http://mathworld.wolfram.com/Isohedron.html
- ^ http://loki3.com/poly/transforms.html
- ^ Luke, D. (1957). "Stellations of the rhombic dodecahedron". The Mathematical Gazette. 337: 189–194.
- ^ https://www.youtube.com/watch?v=oJ7uOj2LRso
Further reading(edit)
- Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
- Wenninger, Magnus (1983). Dual Models. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511569371. ISBN 978-0-521-54325-5. MR 0730208. (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 19, Rhombic dodecahedron)
- The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p. 285, Rhombic dodecahedron )
External links(edit)
Computer models(edit)
Paper projects(edit)
Practical applications(edit)
Les solides de Platon sont des formes qui font partie de la forme sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées sur la planète entier pendant plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. nIls sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du volume de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. nLes 4 premières formes conviennent aux éléments : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.
















