géométrie – Surface des solides platoniques inscrits dans la sphère unitaire. solides de Platon

Les solides platoniques sont mieux perçus comme étant constitués de deux familles – celles à faces triangulaires (le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre), qui pour un numéro d'arête donné ont un nombre maximum de faces et un nombre minimum de verticales, et leur double (tétraèdre, cube et dodécaèdre) , où trois surfaces se rencontrent à chaque sommet et qui pour un cantilever donné a un nombre maximum de verticales et un nombre minimum de surfaces. (Le tétraèdre apparaît dans les deux familles car il est double.)

Pour chacune de ces familles, nous pouvons dériver une formule du type que vous recherchez. Dans les deux cas, nous avons besoin de l'aire et de l'angle fixe d'un polygone régulier inscrit dans une sphère. Pensez à un gang régulier de $ N $ composé de triangles $ N $ formés par le centre et les paires $ N $ des bâtiments voisins. Soit $ r $ la distance du centre au sommet. Ensuite, chacun de ces triangles a une aire

$$ frac r ^ 2 2 sin frac 2 pi N ;, $$

et le temps $ N $ a $ N $ fois cette zone. L'angle solide $ Omega $ sous le triangle peut être calculé à partir des angles dièdres du tétraèdre qu'il forme avec l'origine (voir Wikipedia), à savoir l'excédent de $ pi $ de la somme des trois angles dièdres d'origine. Le calcul est un peu compliqué, mais donne un résultat soigné: si nous voulons que $ n $ de ces $ N $ golts sous-tendent l'angle solide $ 4 pi $ de la sphère, alors nous avons besoin

$$
sqrt 1-r ^ 2 = frac tan left ( frac pi N- frac 2 pi Nn right) tan frac pi N ;.
$$

Résoudre ceci pour $ r $, en remplaçant la première équation et en multipliant par $ Nn $ pour obtenir l'aire totale du rendement du polyèdre

$$
Begin eqnarray
A (n, N) & = & frac Nn 2 left {1- left ( frac tan left ( frac pi N- frac 2 pi Nn right) tan frac pi N right) ^ 2 right) sin frac 2 pi N \
& = & frac Nn cos ^ 2 frac pi N tan frac pi N left { tan ^ 2 frac pi N- tan ^ 2 left { frac pi N- frac 2 pi Nn droite) droite) ;.
End eqnarray
$$

Nous pouvons maintenant l'appliquer aux deux familles de solides platoniques. Pour le premier, celui avec des triangles, nous avons $ N = 3 $, et

$$
A_1 (n) = A (n, 3) = frac sqrt3 4n left (3- tan ^ 2 left ( frac pi 3- frac 2 pi 3n right) Pas vrai) ;.
$$

Pour les trois solides platoniques réels de cette famille,

$$
Begin matrice c
n & text name & a_1 (n) & \ simeq
hline
4 & text tétraèdre & 8 , / sqrt3 et 4.6188 \
8 & text octaèdre & 4 sqrt3 & 6,9282 \
20 & text icon seeds & 2 sqrt3 left (5- sqrt5 right) et 9.5745 \
Fin matrice
$$

Pour l'autre famille, il faut d'abord déterminer $ N $ en fonction de $ n $. Dans cette famille, trois faces se rencontrent dans chaque sommet, donc les nombres $ v $, $ e $ et $ f $ de sommet, d'arêtes et de faces sont donnés par $ 3v = Nn $, $ 2e = Nn $ et $ f = n respectivement $ . Ensuite par la formule du polyèdre d'Euler, $ Nn / 3-Nn / 2 + n = 2 $, donc $ N = 6-12 / n $. Ainsi, pour cette famille, nous avons

$$
Begin eqnarray
A_2 (n) & = & A left (n, 6- frac 12 n right) \
& = & frac 6 (n-2) cos ^ 2 left ( frac pi6 frac n n-2 right) tan left ( frac pi6 frac n n -2 droite) left ( tan ^ 2 left ( frac pi6 frac n n-2 right) – tan ^ 2 left ( frac pi6 frac n n- 2 – frac pi 3 (n-2) droite) droite) ;.
End eqnarray
$$

Pour les trois solides platoniques réels de cette famille,

$$
Begin matrice c
n & text name & a_2 (n) & \ simeq
hline
4 & text tétraèdre & 8 , / sqrt3 et 4.6188 \
6 & text cube & 8 & 8,0000 \
12 & text dodecahedron & 2 sqrt 10 left (5- sqrt5 right) & 10,5146 \
Fin matrice
$$

Voici un tracé de $ A_1 (n) $ (en bleu), $ A_2 (n) $ (en rouge) et l'aire $ 4 pi $ pour la sphère (en vert):

tracé des surfaces de polyèdre en fonction du nombre de faces

La deuxième famille, avec un nombre maximum de sommets et un nombre minimum de faces pour un nombre d'arêtes donné, converge beaucoup plus rapidement que la première, ce qui est lié à ce que Jim a souligné dans un commentaire, que la surface des cinq solides platoniciens augmente globalement du nombre de sommets, non avec le nombre de visages.

En observant les relations entre les robustes de Platon, on peut remarquer que l’icosaèdre est l’inverse précis du dodécaèdre. C’est-à-dire, si vous connectez les échelons centraux des 12 pentagones qui constituent l’élément éthérique, vous aurez créé les 12 coins de l’icosaèdre aqueux. C’est intrigant parce que ce que nous avons pu regarder jusqu’à présent de l’éther indique qu’il se comporte effectivement comme un fluide. Certes, la mesure et l’observation de l’éther s’est reconnue assez dur jusqu’à présent, à cause de son omniprésence. Comment mesurer quelque chose dont on ne peut s’échapper ? Et si nous ne pouvons pas le mesurer, de quelle manière pouvons-nous être sûrs qu’il existe ? Nous avons peu de mal à mesurer les autres éléments : la masse cinétique de la terre ; les commentaires artificiels rendues solubles par l’eau ; la chaleur rayonnante du feu ; les volts du vent électrique. Celles-ci s’observent relativement facilement, ‘ continuellement ouvertes à notre regard ‘ comme elles l’effectuent. Mais l’éther super subtil échappe à une détection facile. Les anciennes traditions néolithiques ont gravé des images des éléments de la nature sur des boules de pierre pendant un millier d’années avant qu’elles ne soient renommées sous l’appellation de robustes platoniques. Les philosophes et les mathématiciens grecs ont analysé l’idée des formes primaires. Certains attribuent leurs origines à Pythagore ( 570-495 av. J. -C. ), Empedocle ( 490-430 av. J. -C. ) ou Theaetetus ( 417-369 av. J. -C. ). Platon ( 424-347 av. J. -C. ), un étudiant de Socrate, en a beaucoup parlé dans son dialogue avec Timée. Il les a décrits comme les composants constitutifs de la vie représentés par les 4 composants que sont la terre, l’eau, le feu et l’air. Aristote a identifié un cinquième élément qu’il a nommé Aether. Euclide ( 323-283 av. J. -C. ) les réunit, les nomme les Solides de Platon et leur donne des descriptions mathématiques précises dans son livre Elements. Ce vaste corpus de connaissances est passé quasiment sous terre jusqu’à ce que Johannes Kepler ( 1571-1630 ), un astronome allemand, considère la sphère comme un container pour chacun des cinq robustes de Platon. Il a également essayé de relier les robustes aux six planètes renommées de Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne. En géométrie euclidienne, un solide de Platon est défini comme un polyèdre régulier et convexe, dont les faces sont des polygones réguliers et congruents, avec le même nombre de faces se rencontrant à chaque plus haut qui s’inscrivent dans une sphère. Empedocle voyait la passion comme le pouvoir qui attire ces formes ensemble tandis que la lutte les sépare. Les composants ont inspiré l’art, la méthode et la compréhension de l’élégance de notre monde.

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