Groupes de symétrie des solides platoniques | solides de Platon spirituel

Groupes de symétrie des solides platoniques

Certains des derniers sous-groupes de Je(R³) provient de ces solides.

définition

Un solide commun convexe i R³ est appelé Platoniquement solide.

remarques

1. FR polyèdre est une zone délimitée par des aéronefs R³. Il a deux dimensions visages qui se rencontrent en une dimension bords qui se rencontrent à sommets.
2. Un polyèdre est régulièrement si toutes les faces, arêtes et sommets sont égaux.
   C'est que toutes les faces se rencontrent au même angle, et que le même nombre d'arêtes se rencontrent aux mêmes angles à chaque sommet. Cela signifie que toutes les faces sont le même polygone régulier.
3. Ces solides ont été classés pour la première fois par Platon vers 400 av. Il y en a beaucoup d'autres semi-solide solides étudiés plus tard par, entre autres, Archimède et Kepler.

Voici les nombres des cinq solides platoniques.

Notez que tous ces éléments satisfont au théorème d'Euler: V – E + fa = 2.
L'entrée dans la dernière colonne est double solide.
Vous obtenez le double en joignant les points médians des faces adjacentes, puis en remplissant le solide.
Cela explique les symétries entre les entrées fa et V dans le tableau.

théorème
Les cinq solides ci-dessus sont les seuls solides communs.

preuve

Supposons que nous l'avons r visages (chacun ordinaire n-on) réunion à chaque sommet. (Un tel solide aurait le symbole Schafli n, r).
L'angle au coin n-gone est (n – 2)π/n et comme le polyèdre est convexe, nous devons avoir r × (n – 2)π/n <2π ⇒ (r – 2) (n – 2) <4.
Les seuls entiers positifs qui satisfont à cela sont (n, r) = (3, 3), (4, 3), (3, 4), (5, 3), (3, 5) correspondant aux cinq ci-dessus.

Nous étudions maintenant les groupes de symétrie de ces solides.

1. Le groupe de symétrie du tétraèdre S(T).

   Pour calculer l'ordre du groupe, vous évitez qu'un sommet donné puisse être déplacé vers l'une des quatre positions. Vous avez le choix entre trois pour une seconde et deux pour une troisième. D'où |S(T) | = 24.
   Toute symétrie détermine une permutation des quatre coins afin que nous obtenions une carte θ : S(T) S₄ à Groupe symétrique qui est facilement considéré comme un isomorphisme.
   Depuis transposition (permuter quelques sommets) est égal à un réflexion (une symétrie opposée), le sous-groupe S_ré(T) de symétries directes équivalent Sous-groupe alterné FR₄.
   Nous verrons une autre façon de penser ce groupe plus tard.

Tous les autres solides platoniques sont symétriques par rapport aux centres et ainsi (voir Exercices 4 questions 5) symétries de groupe complètes S(X) est isomorphe pour le produit direct S_ré(X) × < J > où S_ré(X) est le sous-groupe de symétries directes et < J > est le sous-groupe généré par la carte x ↦ –x.

2. Le groupe de symétrie du cube ou de l'octaèdre S(C).

   Parce que ces deux solides sont doubles l'un par rapport à l'autre, ils ont le même groupe de symétrie.
   Arguant comme dans ce dernier cas est l'ordre du groupe de symétries directes (toutes les rotations) |S_ré(C) | = 8 × 3 = 24.
   Les articles sont:
   3 rotations (avec ± π / 2 ou π) autour du centre de 3 paires de surfaces opposées. (9)
   1 rotation (avec π) autour des centres sur 6 paires de bords opposés. (6)
   2 rotations (avec ± 2π / 3) environ 4 paires de coins opposés (diagonales). (8)
   Avec l'identité, cela constitue les 24 éléments.

   Les commandes de ces articles suggèrent SL_ré(C) ≅ S₄. En fait, chaque rotation détermine une permutation des quatre diagonales, ce qui définit l'isomorphisme.

   en S_ré(C) ≅ S₄ et S(C) ≅ S₄ × < J > avec commande 48.

3. Le groupe de symétrie du dodécaèdre ou icosaèdre S(ré).

   Parce que ces deux solides sont doubles l'un par rapport à l'autre, ils ont le même groupe de symétrie.
   Dans la revendication ci-dessus, l'ordre du groupe de symétries directes (toutes les rotations) |S_ré(ré) | = 20 × 3 = 60.
   Les articles sont:
   4 rotations (avec des multiples de 2π / 5) autour du centre de 6 paires de surfaces opposées. (24)
   1 rotation (avec π) autour des centres sur 15 paires de bords opposés. (15)
   2 rotations (avec ± 2π / 3) environ 10 paires de coins opposés. (20)
   Avec l'identité, ces éléments constituent les 60 éléments.

   Cela suggère que S_ré(ré) ≅ FR₅ qui a 24 5 cycles, 20 3 cycles et 15 permutations de la forme (..) (..).

   En fait, cinq dés peuvent être insérés dans le dodécaèdre permuté par chaque rotation. Alternativement, cinq tétraèdres (divisant les 20 coins) peuvent être insérés et ceux-ci sont également permutés.

   en S_ré(ré) ≅ FR₅ et S(ré) ≅ FR₅ × < J > avec commande 120.

   notant

   Il est tentant de croire que tout le groupe de symétrie S(ré) est en fait isomorphe à S₅ mais on peut vérifier cette réflexion S(ré) conduisent à même permutations du tétraèdre et est donc l'ensemble du groupe de symétrie pas S₅.