Groupes de symétrie des solides platoniques | solides de Platon spirituel

Groupes de symétrie des solides platoniques
Sujet MT3818 Thèmes en géométrie



Groupes de symétrie des solides platoniques

Certains des derniers sous-groupes de Je(R3) provient de ces solides.

définition

Un solide commun convexe i R3 est appelé Platoniquement solide.

remarques

  1. FR polyèdre est une zone délimitée par des aéronefs R3. Il a deux dimensions visages qui se rencontrent en une dimension bords qui se rencontrent à sommets.
  2. Un polyèdre est régulièrement si toutes les faces, arêtes et sommets sont égaux.
    C'est que toutes les faces se rencontrent au même angle, et que le même nombre d'arêtes se rencontrent aux mêmes angles à chaque sommet. Cela signifie que toutes les faces sont le même polygone régulier.
  3. Ces solides ont été classés pour la première fois par Platon vers 400 av. Il y en a beaucoup d'autres semi-solide solides étudiés plus tard par, entre autres, Archimède et Kepler.

Voici les nombres des cinq solides platoniques.

Nombre de visages Nombre d'arêtes Nombre de coins Bords par face double
tétraèdre 4 6 4 3 tétraèdre
cube 6 12 8 4 octaèdre
octaèdre 8 12 6 3 cube
dodécaèdre 12 30 20 5 icosaèdre
icosaèdre 20 30 12 3 dodécaèdre

Notez que tous ces éléments satisfont au théorème d'Euler: VE + fa = 2.
L'entrée dans la dernière colonne est double solide.
Vous obtenez le double en joignant les points médians des faces adjacentes, puis en remplissant le solide.
Cela explique les symétries entre les entrées fa et V dans le tableau.

théorème
Les cinq solides ci-dessus sont les seuls solides communs.

preuve

Supposons que nous l'avons r visages (chacun ordinaire n-on) réunion à chaque sommet. (Un tel solide aurait le symbole Schafli n, r).
L'angle au coin n-gone est (n – 2)π/n et comme le polyèdre est convexe, nous devons avoir r × (n – 2)π/n <2π ⇒ (r – 2) (n – 2) <4.
Les seuls entiers positifs qui satisfont à cela sont (n, r) = (3, 3), (4, 3), (3, 4), (5, 3), (3, 5) correspondant aux cinq ci-dessus.

Nous étudions maintenant les groupes de symétrie de ces solides.

  1. Le groupe de symétrie du tétraèdre S(T).

    Pour calculer l'ordre du groupe, vous évitez qu'un sommet donné puisse être déplacé vers l'une des quatre positions. Vous avez le choix entre trois pour une seconde et deux pour une troisième. D'où |S(T) | = 24.
    Toute symétrie détermine une permutation des quatre coins afin que nous obtenions une carte θ : S(T) rarrowS4 à Groupe symétrique qui est facilement considéré comme un isomorphisme.
    Depuis transposition (permuter quelques sommets) est égal à un réflexion (une symétrie opposée), le sous-groupe S(T) de symétries directes équivalent Sous-groupe alterné FR4.
    Nous verrons une autre façon de penser ce groupe plus tard.

Tous les autres solides platoniques sont symétriques par rapport aux centres et ainsi (voir Exercices 4 questions 5) symétries de groupe complètes S(X) est isomorphe pour le produit direct S(X) × < J > où S(X) est le sous-groupe de symétries directes et < J > est le sous-groupe généré par la carte x ↦ –x.

  1. Le groupe de symétrie du cube ou de l'octaèdre S(C).

    Parce que ces deux solides sont doubles l'un par rapport à l'autre, ils ont le même groupe de symétrie.
    Arguant comme dans ce dernier cas est l'ordre du groupe de symétries directes (toutes les rotations) |S(C) | = 8 × 3 = 24.
    Les articles sont:
    3 rotations (avec ± π / 2 ou π) autour du centre de 3 paires de surfaces opposées. (9)
    1 rotation (avec π) autour des centres sur 6 paires de bords opposés. (6)
    2 rotations (avec ± 2π / 3) environ 4 paires de coins opposés (diagonales). (8)
    Avec l'identité, cela constitue les 24 éléments.

    Les commandes de ces articles suggèrent SL(C) ≅ S4. En fait, chaque rotation détermine une permutation des quatre diagonales, ce qui définit l'isomorphisme.

    en S(C) ≅ S4 et S(C) ≅ S4 × < J > avec commande 48.

  2. Le groupe de symétrie du dodécaèdre ou icosaèdre S().

    Parce que ces deux solides sont doubles l'un par rapport à l'autre, ils ont le même groupe de symétrie.
    Dans la revendication ci-dessus, l'ordre du groupe de symétries directes (toutes les rotations) |S() | = 20 × 3 = 60.
    Les articles sont:
    4 rotations (avec des multiples de 2π / 5) autour du centre de 6 paires de surfaces opposées. (24)
    1 rotation (avec π) autour des centres sur 15 paires de bords opposés. (15)
    2 rotations (avec ± 2π / 3) environ 10 paires de coins opposés. (20)
    Avec l'identité, ces éléments constituent les 60 éléments.

    Cela suggère que S() ≅ FR5 qui a 24 5 cycles, 20 3 cycles et 15 permutations de la forme (..) (..).

    En fait, cinq dés peuvent être insérés dans le dodécaèdre permuté par chaque rotation. Alternativement, cinq tétraèdres (divisant les 20 coins) peuvent être insérés et ceux-ci sont également permutés.

    en S() ≅ FR5 et S() ≅ FR5 × < J > avec commande 120.

    notant

    Il est tentant de croire que tout le groupe de symétrie S() est en fait isomorphe à S5 mais on peut vérifier cette réflexion S() conduisent à même permutations du tétraèdre et est donc l'ensemble du groupe de symétrie pas S5.




JOC mars 2003

tout au long de votre voyage d’apprentissage des cristaux, vous avez sans doute rencontré des mots et des phrases étranges que vous n’auriez sans doute jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les robustes de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta forme après le lycée ! Alors, que sont exactement les solides de Platon ? En matière simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les éléments principaux ( terre, aspect, feu et eau ) étaient directement liés aux solides. il existe cinq robustes de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à l’élément feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à le composant de l’air. Les icosaèdres ( constitués de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à le composant eau. Le dernier et souvent nommé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été appellé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à le composant d’éther. n

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