Pourquoi tous les solides platoniques ont-ils un nombre pair de côtés? : askcience | pierre énergétique

Je ne connais pas de raison morale pour laquelle il "doit" en être ainsi, mais lorsque vous découvrez ce que sont tous les solides platoniques, le nombre de faces devient même dans tous les cas. Il y a peut-être une raison plus profonde associée à la double relation entre différents solides platoniques ou quelque chose comme ça. Mais ce sera le seul argument que je connaisse:

Soit n le nombre d'arêtes qui se rencontrent à chaque sommet (ce qui doit être le même pour que le solide soit "normal"). Il doit être tel que l'angle intérieur des polygones réguliers formant les faces de notre polyèdre soit inférieur à 360 degrés. Ils totaliseront n * (m – 2) * 180 / m degrés, où m est le nombre de côtés (= nombre de sommets) des polygones en question. Donc, pour la forme avec le plus petit angle intérieur (le triangle avec m = 3), nous pouvons ajuster un maximum de 6 triangles autour d'un sommet. En fait, 6 sont trop, car ils doivent être ajustés "à plat". Donc n <6 pour tout solide platonique. (Le cas plat équivaut à paver l'avion avec des triangles, mais c'est intéressant.)

Laissez V, E et F indiquer le nombre de verticales, d'arêtes et de faces. Chaque sommet touche n bords, et chaque sommet touche deux sommets. Nous pouvons donc en conclure que E = nV / 2. (Une imagerie qui contourne chaque sommet compte n arêtes dans chacun et réalise ensuite que cela signifie que vous comptez De même, si les faces du solide platonique sont des polygones ayant des côtés m, V = mF / n (d’un argument de comptage double similaire – chaque face comporte des m-sommets, mais vous comptez toutes les n compte face à face).

La formule de polyèdre d'Euler indique que V – E + F = 2. Alors V – nV / 2 + F = 2. Ou, en combinant des termes égaux, (2 – n) V / 2 + F = 2. Lorsque nous effaçons le dénominateur, on obtient (2 – n) V + 2F = 4.

Alors (2 – n) mF / n + 2F = 4 ou ((2 – n) m + 2n) F = 4n. Donc F = 4n / ((2 – n) m + 2n). Simplifiez légèrement, F = 4n / (2n + 2m – nm).

Voici les alternatives: n = 3, m = 3. Alors F = 12/3 = 4 (le tétraèdre) et F sont pairs.
n = 3, m = 4. Alors F = 12/2 = 6 (le cube) et F est pair.
n = 3, m = 5. Alors F = 12/1 = 12 (le codec) et F est pair.
n = 3, m = 6. Alors F = 12/6 = 2, ce qui est impossible. (Bien que cela corresponde au pavage de l'avion avec des hexagones, d'une manière ou d'une autre. C'est le seul moment où un F impossible est positif.)
n = 3, m = 7. Alors F = 12 / -1, ce qui est impossible.

Et ainsi de suite. À mesure que m s'agrandit, le problème ne fait que s'aggraver. (Vous pouvez dessiner F (3, m) ou quelque chose pour vous en convaincre.) Passons donc à n = 4.

n = 4, m = 3. Alors F = 16/2 = 8 (l'octaèdre) et F est pair.
n = 4, m = 4. Alors F = 16/0, ce qui est impossible. (Bien que cela équivaut à paver l'avion avec des carrés.)
n = 4, m = 5. Alors F = 16 / -3, ce qui est impossible.

Et ainsi nous pouvons cesser de regarder n = 4.

n = 5, m = 3. Alors F = 20/1 = 20 (icosohèdre) et F est pair.
n = 5, m = 4. Alors F = 20 / -2, ce qui est impossible.
n = 5, m = 5. Alors F = 20 / -5, ce qui est impossible.

Et à ce stade, nous les avons tous trouvés, car n ne peut pas être plus grand.

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Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des robustes de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au moins une de ses étendue qui n’est pas plate ( par exemple, barillet, sphère ou tube ). n Régulier signifie que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou équivalentes dans tous les critères, et tous les abords sont de la même taille. n 3D signifie que la forme a la largeur, la profondeur et la hauteur. n Un polygone est une forme verrouillée dans une figure plane avec au moins cinq bords droits. n Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face. n

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