Solides platoniques | Polygones et polyèdres | pierre énergétique

Au début de ce cours, nous avons défini polygones ordinaires comme particulièrement les polygones "symétriques", où tous les côtés et angles sont égaux. Nous pouvons faire quelque chose de similaire pour les polyèdres.

Dans un polyèdre simple tous visages sont tous du même type de polygone régulier, et le même nombre de faces se rencontrent sur chaque sommet. On appelle les polyèdres ayant ces deux propriétés Solides platoniques, nommé d'après le philosophe grec Platon.

Alors, à quoi ressemblent les solides platoniques – et combien y en a-t-il? Pour créer une forme en trois dimensions, il faut au moins les visages se rencontrent à chaque sommet. Commençons systématiquement par le polygone le moins commun: les triangles équilatéraux:

Si on fait un polyèdre il y a trois triangles équilatéraux rencontrer à chaque sommet, nous obtenons la forme à gauche. Ça s'appelle un tétraèdre et ont visages. ("Tetra" signifie "quatre" en grec).

Si quatre triangles équilatéraux se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons un autre solide platonique. Ça s'appelle octaèdre et ont visages. ("Octa" signifie "huit" en grec. Tout comme "Octagon" signifie une forme à 8 côtés, "Octaèdre" signifie un solide à 8 phases.)

si les triangles se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons icosaèdre. Il a visages. ("Icosa" signifie "vingt" en grec.)

si les triangles se rencontrent à chaque sommet, quelque chose d'autre se produit: nous obtenons simplement une tessellationun quadrupléun autre icosaèdre, au lieu d'un polyèdre à trois dimensions.

Et sept triangles ou plus dans chaque sommet ne produisent pas non plus de nouveaux polyèdres: il n'y a pas assez d'espace autour du sommet pour contenir de nombreux triangles.

Cela signifie que nous avons trouvé Solides platoniques composés de triangles. Passons au prochain polygone régulier: les carrés.

si les itinéraires se rencontrent à chaque sommet nous obtenons cube. Tout comme les dés, il l'a visages. Le cube est parfois appelé aussi hexaèdre, après le mot grec "sorcière" pour "six".

si les carrés se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons une autre tessellationun tétraèdreun autre cube. Et comme auparavant, pas plus de cinq itinéraires ne fonctionneront.

Essayons ensuite les pentagones réguliers:

si les pentagones se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons dodécaèdre. Il a visages. ("Dodeca" signifie "douze" en grec.)

Comme auparavant, quatre pentagones ou plus ne fonctionne pasest possible parce qu'il n'y a pas assez d'espace.

Le prochain polygone commun à essayer est les hexagones:

Si trois hexagones se rencontrent à chaque sommet, nous en obtenons immédiatement un carrelagepolyèdrehexaèdre. Comme il n'y a pas de place pour plus de trois personnes, il semble qu'il n'y ait pas de solides platoniques composés d'hexagones.

La même chose se produit pour tous les polygones ordinaires ayant plus de six côtés. Ils ne tessellent pas, et nous n’obtenons absolument aucun polygone tridimensionnel.

Cela signifie que c'est juste Solides platoniques! Regardons tous:

tétraèdre

visages
sommets
bords

cube

visages
sommets
bords

octaèdre

visages
sommets
bords

dodécaèdre

visages
20 verticales
30 bords

icosaèdre

visages
12 verticales
30 bords

Remarquez le nombre de faces et de coins commutéle même à cube et octaèdre, en plus de dodécédèdre et icosaèdre, tandis que le nombre d'arêtes reste le mêmeest différent. Ces paires de solides platoniques sont appelées double solides.

On peut transformer un polyèdre en son double en "remplaçant" chaque face par un sommet et chaque sommet par une face. Ces animations montrent comment:

Le tétraèdre est double avec lui-même. Puisqu'il a le même nombre de faces et d'angles, les échanger ne changera rien.

Platon croyait que toute la matière dans l'univers se composait de quatre éléments: l'air, la terre, l'eau et le feu. Il croyait que chaque élément correspond à l'un des solides platoniciens, tandis que le cinquième représenterait l'univers dans son ensemble. Nous savons aujourd'hui qu'il existe plus de 100 éléments différents constitués d'atomes sphériques, et non de polyèdres.

Images du livre de Johannes Kepler «Harmonices Mundi» (1619)

Solides d'Archimède

Les solides platoniques sont des polyèdres particulièrement importants, mais il en existe d'innombrables autres.

Solides d'Archimède, par exemple, doit encore être composé de polygones ordinaires, mais vous pouvez utiliser plusieurs types différents. Ils portent le nom d'un autre mathématicien grec, Archimède de Syracuse, et il y en a 13:

Tétraèdre tronqué
8 faces, 12 angles, 18 arêtes

cuboctaèdre
14 faces, 12 angles, 24 arêtes

Cube tronqué
14 faces, 24 angles, 36 arêtes

Octaèdre tronqué
14 faces, 24 angles, 36 arêtes

rhombicuboctaèdre
26 faces, 24 angles, 48 ​​arêtes

Cuboctaèdre tronqué
26 faces, 48 ​​angles, 72 arêtes

Snub Cube
38 faces, 24 angles, 60 arêtes

icosidodécaèdre
32 faces, 30 angles, 60 arêtes

Chaînes de la mort tronquées
32 faces, 60 angles, 90 arêtes

Icosaèdre tronqué
32 faces, 60 angles, 90 arêtes

rhombicosidodécaèdre
62 faces, 60 angles, 120 arêtes

Icosidodécaèdre tronqué
62 faces, 120 angles, 180 arêtes

Dodécaèdre adouci
92 faces, 60 angles, 150 arêtes

applications

Platon a eu tort de croire que tous les éléments sont constitués de solides platoniques. Mais les polyèdres ordinaires ont de nombreuses propriétés spéciales qui les font apparaître ailleurs dans la nature – et nous pouvons les copier en science et en technologie.

beaucoup virus, bactéries et d'autres petits organismes est en forme de icosahedra. Les virus, par exemple, doivent enfermer du matériel génétique à l'intérieur d'une coque contenant de nombreuses unités protéiques identiques. L’icosaèdre est le moyen le plus efficace de le faire, car il se compose de quelques éléments communs, mais a presque la forme d’une balle.

beaucoup molécules est en forme de polyèdre régulier. L'exemple le plus connu est C60 composé de 60 atomes de carbone disposés sous la forme d'un Icosaèdre tronqué.

Il a été découvert en 1985 lorsque des chercheurs ont étudié la poussière interstellaire. Ils l'ont appelé "Buckyball" (ou Buckillers Fillers) d'après l'architecte Buckminster Fuller, célèbre pour la construction de bâtiments similaires.

plus cristaux ont leurs atomes disposés dans une grille régulière composée de tétraèdres, cubes ou octaèdres. Quand ils craquent ou écrasent, vous pouvez voir ces formes à plus grande échelle.

Les tétraèdres et les octaèdres sont incroyablement rigides et stables, ce qui les rend très utiles construction. cadres de l'espace sont des structures polygonales pouvant supporter de grands toits et de lourds ponts.

Dés de jeu de rôle polygonale

Les solides platoniques sont également utilisés pour fabriquer cubes. en raison de leur somme totale, toutes les parties ont probabilité d'atterrissage vers le haut – donc les dés sont justes.

ils Icosaèdre tronqué est probablement le polyèdre le plus célèbre au monde: c'est la forme du ballon de foot.

La et l’intérêt des robustes de Platon continuent d’inspirer toutes sortes de personnes, y compris des guérisseurs intuitifs et des esprits plus logiques. nLes Solides de Platon sont 5 formes polyèdres considérées comme une section importante de la Géométrie Sacrée. Ils ont été décrits pour la première fois par l’ancien philosophe Platon, bien qu’il ait été prouvé que les anciens étaient déjà au commun de ces formes spéciales et magiques depuis plus de 1000 ans avant la documentation de Platon. nLes formes qui forment les cinq Solides de Platon originaux se trouvent naturellement dans la nature, mais également sur la planète cristallin. Travailler avec eux individuellement est censé nous aider à nous lier à la nature et aux royaumes supérieurs du cosmos, à trouver le modèle commun qui nous lie tous au niveau moléculaire et spirituel.

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