7.5: Solides platoniques – Mathématiques LibreTexts | solides de Platon

Bien sûr, nous vivons dans un monde en trois dimensions (au moins!). Donc, étudier la géométrie à plat n'a pas beaucoup de sens. Pourquoi ne pas penser à des objets en trois dimensions également?

définition

FR polyèdre est une figure solide (en trois dimensions) délimitée par des polygones. Un polyèdre a visages qui sont des polygones plats, à droite bords où les visages se rencontrent par paires, et sommets où trois bords ou plus se rencontrent.

La majorité des polyèdres sont polyèdres.

Rappelez-vous qu'un polygone simple tous les côtés ont la même longueur et tous les angles ont les mêmes dimensions. C'est une notion similaire (quoique légèrement plus compliquée) bien que régulièrement pour les nombres pleins.

définition

A rpolyèdre égal ont des visages qui sont tous polygones ordinaires identiques (congruents). Tous les sommets sont également identiques (le même nombre de faces se rencontrent dans chaque sommet).

Polyèdres communs est également appelé Solides platoniques (nommé d'après Platon).

Si vous définissez le nombre de pages et leur longueur, vous obtenez un seul polygone régulier avec ce nombre de pages. Autrement dit, chaque page carrée régulière est un carré, mais il peut s'agir de carrés de différentes tailles. Chaque octogone régulier ressemble à un panneau d'arrêt, mais il peut être augmenté ou réduit. Votre travail dans cette section consiste à découvrir ce que nous pouvons dire sur les polyèdres réguliers.

Seuls

Travaillez sur les exercices suivants, seul ou avec un partenaire. Vous devrez faire de nombreuses copies des polygones réguliers ci-dessous. Copier et couper au moins:

  • 40 exemplaires du triangle équilatéral,
  • 15 exemplaires de la place,
  • 20 copies du pentathlon régulier, et
  • 10 copies d'hexagone, d'heptagone et d'octogone.

Vous avez aussi besoin de ruban adhésif.

eqtri.png

square3.png

pentagone-300x277.png

hexagone 300x255.png

heptagone-300x287.png

octogone-300x293.png

  1. Dans tout polyèdre, au moins trois polygones se rencontrent à chaque sommet. Commencez par les triangles équilatéraux: Set trois d’eux se rencontrent au sommet et les perdent ensemble. Puis fermez-les pour former une forme solide. Pouvez-vous compléter cette forme d'un solide platonique? Assurez-vous de vérifier à chaque pic que vous avez exactement trois les triangles se rencontrent.
  2. Répétez ce processus, mais commencez par quatre triangles équilatéraux autour d'un sommet unique. Puis fermez-les pour former une forme solide. Pouvez-vous compléter ceci à un solide platonique? Assurez-vous de vérifier à chaque pic que vous avez exactement quatre les triangles se rencontrent.
  3. Répétez ce processus avec cinq triangles équilatéraux, puis six, puis sept, et ainsi de suite. Continuez jusqu'à ce que vous soyez convaincu de comprendre ce qu'il advient des solides platoniques à faces triangulaires.
  4. Lorsque vous avez terminé avec les faces triangulaires, passez aux faces carrées. Travaillez systématiquement: essayez de construire un solide platonique avec trois carrés à chaque sommet, puis quatre, puis cinq, etc. Continuez à marcher jusqu'à ce que vous puissiez définir les solides platoniques à surfaces carrées.
  5. Répétez ce processus avec les autres polygones communs que vous avez coupés: pentagones, hexagones, heptagones et octogones.

Vous avez sûrement remarqué que la situation des solides platoniques est très différente de celle des polygones ordinaires. C'est infini beaucoup polygones réguliers (même si vous ne tenez pas compte de la taille). C'est un polygone régulier avec n pages pour chaque valeur de n supérieur à 2. Mais pour les solides, nous avons le résultat suivant (peut-être surprenant).

théorème

Il y a exactement cinq solides platoniques.

Le fait essentiel est que pour qu'un solide tridimensionnel puisse s'ouvrir et former un polyèdre, il doit y avoir moins de 360 ​​° autour de chaque sommet. Sinon, il repose soit à plat (s'il fait exactement 360 °), soit se replie sur lui-même (s'il dépasse 360 ​​°).

Exercice 9

Sur la base de votre travail dans les exercices, vous devriez être capable d’écrire une justification convaincante du théorème ci-dessus. Voici un croquis et vous devriez compléter les explications.

  1. Si un solide platonique a des faces égales à des triangles latéraux, moins de 6 faces doivent se rencontrer à chaque sommet. Pourquoi?
  2. Si un solide platonique a des faces carrées, trois faces peuvent se rencontrer à chaque sommet, mais pas plus que cela. Pourquoi?
  3. Si un solide platonique a des faces pentagones ordinaires, trois faces peuvent se rencontrer à chaque sommet, mais pas plus que cela. Pourquoi?
  4. Les hexagones ordinaires ne peuvent pas être utilisés comme faces d'un solide platonique. Pourquoi?
  5. De même, d'habitude n– gagne pour n supérieur à 6 ne peut pas être utilisé comme faces d’un solide platonique. Pourquoi?

Les robustes de Platon sont des formes qui font partie de la forme sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées dans les pays entier plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. nIls sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du nombre de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. nLes quatre premières formes correspondent aux composants : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.

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