Compréhension solide | NZ Maths | solides de Platon énergie

Augmenté un

Montrez aux élèves la première diapositive de PowerPoint One, qui contient les cinq solides platoniques.

Que remarquez-vous à propos de ces solides?
Quelles sont les formes de chaque solide? (Les solides platoniques sont constitués d'un type de polygone ordinaire)

Idée d'idées sur les solides. Vous pouvez envoyer les étudiants en petits groupes pour discuter et enregistrer leurs idées. Les étudiants sans expérience dans la conception de solides auront probablement des difficultés à trouver des idées géométriques. Vous pouvez essayer les questions suivantes:

Qu'est-ce qu'on appelle les surfaces planes (polygones) qui composent le solide? (Surfaces)
Combien de faces chaque solide a-t-il? Comment avez-vous compté les visages systématiquement?
Recherchez les arêtes et les coins (verticales – le singulier est le sommet). Combien d'arêtes et de verticales chacun a-t-il?

Une pensée multiplicative est attendue au niveau quatre. Ceci peut être utilisé pour trouver le nombre d'arêtes et de sommets lorsque le nombre de faces est connu. L'icosaèdre est le solide platonique le plus difficile. À partir de la deuxième diapositive de PowerPoint One, vous pourrez peut-être compter le nombre de sommets, soit 3 + 6 + 3 = 12. Préparez un modèle d’icosaèdre (constitué de formes continues).

Demandez aux élèves d’imaginer que le modèle est séparé.

Combien y aura-t-il de triangles? (Vingt puisque icosa est le préfixe pour vingt)
Combien de coins (sommet) les vingt triangles auront-ils au total? (20 x 3 = 60)
Combien des soixante coins forment chaque sommet de l'icosaèdre? (Référez vos élèves au modèle et comptez systématiquement les cinq triangles qui entourent chaque sommet)
Si cinq triangles forment un sommet, combien de verticales doit avoir l'icosaèdre? (60 ÷ 5 = 12)
Le même type de réflexion peut-il nous aider à déterminer le nombre d’arêtes? (Les vingt triangles ont 20 x 3 = 60 pages. Deux côtés sont nécessaires pour faire un bord. Depuis 60 ÷2 = 30 icosaèdre doit avoir 30 bords.)

En vous référant simplement à l’un des modèles de PowerPoint One, demandez à vos étudiants de créer des modèles des cinq solides platoniques. Observez que les élèves comprennent que la disposition des polygones autour d'un sommet est cohérente dans chaque solide platonique (par exemple, un dodécaèdre a trois pentagones autour de chaque sommet). Demandez aux étudiants de compléter Copymaster One, qui affiche systématiquement le nombre de faces, d'arêtes et de coins. Les copymasters incitent fortement les étudiants à réinventer le célèbre théorème du réseau d'Euler (V + F = E + 2, où V est égal au nombre de sommets, F est égal au nombre de faces et E est égal au nombre d'arêtes).

La diapositive trois de PowerPoint One montre un timbre de Leonhard Euler, souvent considéré comme l'un des trois plus grands mathématiciens de tous les temps. Les élèves voudront peut-être explorer comment Euler a inventé la théorie des réseaux en tant que branche des mathématiques.

Augmenté deux

Dans cette session, les étudiants travaillent sur les abréviations des solides platoniques. Une troncature se produit lorsque les apex sont "coupés". PowerPoint Two commence par la troncature la plus simple, celle d'un cube.

Regardez la diapositive.

Ces deux solides sont liés, mais ils ont l'air si différents. Comment sont-ils liés?

L'élève peut remarquer que si les coins d'un cube sont coupés, le résultat est la main droite, appelée cube tronqué (ou hexaèdre). Vous pouvez démontrer la troncature en utilisant un cube coupé dans une grosse pomme de terre kumara. Là où les coins sont tronqués, de nouvelles surfaces triangulaires sont formées.

Combien de faces, d'arêtes et de coins le cube tronqué contient-il?

Quelles sont les formes des visages? Pourquoi les visages sont ces formes.

Attendez-vous à ce que vos élèves utilisent la structure ainsi que la visualisation pour répondre à la question. Par exemple, un cube comporte huit coins. Par conséquent, le fait de changer chaque sommet en une face triangulaire ajoute huit nouvelles faces. Cela donne un total de 6 + 8 = 14 faces. Les faces constituées d'un sommet sont des triangles car trois carrés se rencontrent à chaque sommet d'un cube. Cela signifie également que 8 x 3 = 24 nouvelles arêtes sont ajoutées, ce qui donne 12 + 24 = 36 arêtes au total. Chacun des huit sommets d'un cube est remplacé par trois nouveaux sommets. Cela fait 8 x 3 = 24 coins.

Un cube tronqué a 14 faces, 24 angles et 36 arêtes. Cela correspond-il toujours au théorème d'Euler?

Montrez aux élèves la deuxième diapositive de PowerPoint Deux. Demandez aux élèves de nommer les solides platoniciens (tétraèdre et octaèdre) et de se rappeler les propriétés des solides, notamment le nombre de faces, de sommets et d'arêtes.

Voici le défi. Utilisez les formes de connexion pour construire les abréviations de ces solides. Avant de commencer, vous pouvez visualiser à quoi ressemblera le solide tronqué. Alors construis-le.

Donnez aux élèves suffisamment de temps pour construire des solides. Recherchez ce qui suit:

  • Les élèves utilisent-ils la structure pour prédire le résultat de la troncature? Par exemple, un tétraèdre a quatre coins, de sorte que quatre nouvelles surfaces seront formées en coupant chaque sommet. Pour l'octaèdre, six nouvelles faces seront formées.
  • Vos élèves prédisent-ils la forme des nouvelles faces à partir du nombre de triangles entourant chaque sommet du solide d'origine? Le tétraèdre a trois triangles autour de chaque sommet, mais un octaèdre en a quatre. Par conséquent, les nouvelles faces seront des triangles pour un tétraèdre et des carrés pour un octaèdre.
  • Vos élèves peuvent-ils prédire comment les visages d'origine vont changer? Couper les sommets des triangles donne des hexagones.

Les étudiants peuvent comparer leurs modèles à l’image de la diapositive trois de PowerPoint Two. Notez la disposition des formes autour de chaque sommet. Pour le tétraèdre tronqué, un sommet et deux hexagones entourent un sommet. Pour l'octaèdre tronqué, l'arrangement est un carré et deux hexagones.

Défiez vos élèves plus loin.
Voici le dodécaèdre et l'icosaèdre. Imaginez que ces solides soient tronqués.
Quelles formes auront les faces du solide tronqué?
Combien de visages serait-ce?

Demandez aux élèves de résoudre le problème en petits groupes. L'accès aux modèles qu'ils ont construits dans la première session sera utile. Construire un dodécaèdre tronqué nécessite 20 triangles et 12 décagones (polygones à dix côtés). Par conséquent, un modèle ne peut pas être construit avec un ensemble normal de formulaires de connexion. Cependant, un icosaèdre tronqué peut être construit à partir de 12 pentagones et de 20 hexagones.

La diapositive quatre de PowerPoint Two contient des images des deux solides tronqués. Demandez aux élèves de nommer le schéma de formes autour de chaque sommet. Ce schéma est cohérent pour l'ensemble du solide.

Il est difficile de visualiser le nombre d'arêtes et de coins de chaque solide. Vous avez le théorème d'Euler pour vous aider. Utilisez votre connaissance des faces pour calculer les nombres.

Assurez-vous que vos élèves utilisent les propriétés des formes qui se rejoignent au sommet et aux arêtes pour résoudre le problème. Ils pourraient organiser les données dans un tableau:

réel

Nombre de faces

Nombre d'arêtes

Nombre de coins

Chaînes de la mort tronquées

20 triangles

+ 12 décagones = 32

(20 x 3) + (12 x 10) 2 = 90

20 x 3 = 60

Icosaèdre tronqué

12 pentagones

+ 20 hexagones = 32

(12 x 5) + (20 x 6) 2

= 90

12 x 5 = 60

Le théorème d'Euler est-il valable pour les deux solides?

Bois augmenté

Dans cette session, les étudiants fabriquent des fils pour les solides platoniques et éventuellement leurs abréviations. Commencez avec ce défi.

Utilisez des rapporteurs, des règles et des ciseaux pour créer et découper un triangle équilatéral, un carré, un pentagone régulier, un hexagone régulier, un octogone régulier et un décagone régulier. Chaque côté doit avoir 5 cm de long. Utilisez du carton léger.

Le but de la fabrication des moules est de créer des modèles pour former des fils. Certains étudiants auront besoin d'aide pour créer les polygones. Idéalement, les élèves utiliseront la somme des angles internes pour calculer les mesures d'angle. C'est une bonne étude, mais peut interférer avec le flux de cet appareil.

Nombre de pages

Le nom du polygone

Somme des angles internes

Chaque angle intérieur

3

Triangle équilatéral

180 °

60 °

4

carré

360 °

90 °

5

Pentagone ordinaire

540 °

108 °

6

Hexagone simple

720 °

120 °

7

Heptagone commun

900 °

128,57 °

8

Octogone ordinaire

1080 °

135 °

9

Nonagone normal

1260 °

140 °

10

Décagone ordinaire

1440 °

144 °

Pour les étudiants qui ne connaissent pas le modèle, vous pouvez donner Copymaster Two, qui contient les polygones habituels. Les élèves peuvent mesurer les angles et utiliser ces informations pour créer des tranches.

Une fois que les élèves ont créé des polygones en carton, ils peuvent les utiliser pour construire des fils de solides platoniques et d’abréviations. Les modèles constitués de formulaires interconnectés peuvent être "intégrés", si nécessaire, pour révéler un réseau qui fonctionnera. En suivant les formes, les élèves peuvent faire du fil rapidement.

Le tétraèdre et le cube sont des constructions simples. Pour les trois autres solides platoniques, encouragez vos élèves à envisager de créer des réseaux pour la moitié du solide et de joindre deux moitiés pour obtenir le réseau complet.

Les moitiés peuvent être jointes pour former la totalité du Web.

Parmi les solides tronqués, le tétraèdre et le cube sont les plus faciles. Encouragez les élèves à connecter les filets des solides platoniques d’origine aux fils des solides tronqués. Par exemple:

Une grille pour le cube tronqué peut être créée par un processus similaire.

Augmentation de quatre

Dans cette session, l’élève trouve les propriétés des formes entourant un sommet qui peuvent être utilisées pour prédire si un polyèdre se formera.

Configurez l'enquête comme suit. Ouvrez des modèles de solides platoniques pour fabriquer des fils.

Pour chaque grille, vous trouverez un sommet où deux côtés se plieront pour former un bord du solide. Les points noirs donnent des exemples de tels points. "L'angle manquant" est appelé défaut d'angle. Poussez l'un des cas de PowerPoint Trois sur l'octaèdre.

Quelle est l'erreur d'angle, c'est-à-dire l'angle manquant dans un virage complet de 360 ​​°?

Les élèves devraient voir qu'il existe quatre angles de 60 ° au sommet. Puisque 4 x 60 = 240 et 360 – 240 = 120, l’erreur angulaire est de 120 °. Certains élèves peuvent voir que deux triangles de côtés égaux peuvent remplir la plage angulaire de sorte que le défaut soit égal à 2 x 60 = 120 °. La diapositive PowerPoint présente un rapporteur afin que la réponse analytique puisse être vérifiée par mesure.

Combien de coins a l'octaèdre? (Six)
Il y a six coins où le défaut d'angle est de 120°.
Quel est un total de six défauts à 120 degrés? (6 x 120 = 720°)

Poussez ton regarde le cube. L'angle de défaut est de 90 °. Un cube a huit coins, la somme des angles de défaut est donc 8 x 90 = 720 °.

Peut-être que c'est juste une coïncidence. Découvrez la somme des erreurs angulaires des autres solides platoniques.

Demandez aux élèves d'explorer les autres solides platoniques en utilisant les réseaux comme support. Attendez-vous à enregistrer les données systématiquement. La diapositive 3 montre les erreurs angulaires et multiplie chaque défaut par le nombre de sommets du solide en question.

Les élèves doivent noter que la somme des erreurs angulaires est toujours de 720 °.

Comment pouvons-nous utiliser ce théorème pour voir si un arrangement de formes donnera un solide fermé?
Peut-on alors savoir combien de coins le solide aura?

Les diapositives quatre à six ont une sorte de forme autour d’un sommet. La notation représente les polygones réguliers autour de chaque sommet. Par exemple, (8, 8, 3) représente deux octogones et un triangle autour d'un sommet. Discutez s'ils pensent que chaque événement fonctionnera. Chaque diapositive montre le solide tronqué qui correspond à la disposition du dernier clic de souris.

Pour chaque diapositive, les élèves demandent de calculer le défaut d’angle. Si l'arrangement fonctionne, 720 ° est un multiple du défaut angulaire. Avec la diapositive quatre, l'erreur d'angle est de 60 °, car les angles présents augmentent à 90 + 60 + 90 + 60 = 300. 12 x 60 = 720 de sorte que l'événement crée un solide fermé et que le nombre de verticales soit de douze.

Le cube tronqué a un défaut angulaire de 30 ° et 24 x 30 = 720, donc le solide aura 24 angles.

L'octaèdre tronqué a également un défaut angulaire de 30 ° et 24 x 30 = 720, de sorte que le solide aura 24 coins.

La diapositive sept présente un défi de taille. La disposition des polygones présente un défaut angulaire de 360 ​​- (108 + 60 + 108 + 60) = 24 °. Étant donné que 720 24 = 30, l’événement produira un polyèdre appelé icosa dodecahedron qui comporte 30 virages. Il a son nom car le centre de chaque face pentagonale est le sommet d'un icosaèdre et au centre de chaque face triangulaire se trouve le sommet d'un dodécaèdre. Mettez vos élèves au défi de prédire combien de chaque forme, triangle et pentagone seront nécessaires (20 triangles et 12 pentagones) avant de le construire.

Augmentation de cinq

Au cours de cette session, les étudiants étudient les classes de solides appelés prismes et pyramides. L'attribution de solides à ces classes permet aux étudiants de généraliser la structure des formules de fil et de volume. Dans le processus, un cylindre peut être considéré comme un "cas limite" & # 39; d'un prisme et d'un cône comme "cas limite" à une pyramide.

Créez un prisme triangulaire, un cuboïde et un prisme hexagonal à partir des formes de connexion.

Quel est le même avec chaque solide?
Quelles sont les différences entre les solides?

Demandez aux élèves de parler de la caractéristique des prismes, en coupe transversale, si le tranchant fixe est parallèle à la «fin». Ces faces donnent le nom de prisme, par exemple, un prisme triangulaire a une section transversale triangulaire.

Demandez à vos élèves de dessiner des fils (motifs plats) pour les prismes. Les croquis peuvent être confirmés en dépliant les modèles que vous avez. Les fils standard pour prismes ressemblent à ceci.

Comment les similitudes entre les prismes apparaissent-elles dans leurs fils?
Comment se manifestent les différences?

Les élèves ne veulent pas que les trois fils aient des surfaces rectangulaires, et le nombre de ces faces correspond au nombre de côtés des surfaces d'extrémité. Les faces d'extrémité sont celles qui donnent au prisme sa section transversale.

Montrez aux élèves Appuyez sur l'un des quatre PowerPoint qui est un cylindre.

Est-ce que ce solide est un type de prisme?

La plupart des définitions d'un cylindre le classent comme une surface courbe. Un prisme est un type de polyèdre qui signifie qu'il est délimité (fermé) par des polygones plats. Cependant, il est avantageux de considérer la similarité entre un cylindre et un type de prisme. Un cylindre a une section constante (un cercle), de sorte que le volume est calculé identique à un prisme. Demandez aux élèves de dessiner la bande pour un cylindre. Le réseau par défaut ressemble à ceci:

Le filet a beaucoup en commun avec les autres fils pour les prismes. Les deux faces d'extrémité sont des cercles et les faces rectangulaires sont infinies de manière à former un ensemble continu. La longueur du rectangle entier doit être égale à la circonférence du cercle.

Comment trouvez-vous le volume d'un cuboïde? (prisme rectangulaire)

Les étudiants sont susceptibles d'assumer longueur x largeur x hauteur. Reconstruisez le modèle cuboïde et demandez combien de 1 cm3 placer des blocs de valeur conviendront. Notez que multiplier deux dimensions revient à trouver l’aire de la section transversale. Multiplie avec d'autres dimensions la section transversale du calque.

Comment pensez-vous que nous pourrions trouver le volume des prismes triangulaires et hexagonaux et du cylindre?

La même méthode s'applique. Trouvez l'aire de la surface d'extrémité (triangle, hexagone et cercle) et multipliez cette aire par la deuxième dimension. Les élèves peuvent connaître la formule de l’aire d’un cercle a = πr2, bien que cette connaissance ne soit pas attendue au niveau quatre. Cela signifie que le volume d'un cylindre implique l'aire de la face circulaire multipliée par la hauteur (v = πr2 x h). Vous pouvez tester la formule avec un cylindre, par exemple une canette. Mesurez le rayon et la hauteur en centimètres et calculez le volume en centimètres cubes. Remplissez le récipient avec de l'eau et mesurez pour voir si la capacité en millilitres correspond au volume, puisque 1 cm3 = 1 ml.

Suivez un processus similaire avec des pyramides. Commencez par trois pyramides, triangulaire, carrée et pentagonale. Demandez ce qui est commun avec ces solides et ce qui est différent.

Insérer une image des modèles

Attendez-vous à ce que les élèves remarquent une base et des faces triangulaires qui convergent vers un sommet. Les étudiants doivent également noter que les bases sont différentes. Comme les prismes, les pyramides sont nommées par leurs bases, par exemple. pyramide carrée.

Demandez aux élèves de dessiner les fils de ces solides. La plupart des étudiants proposeront le "Web floral" qui est le modèle standard.

Les élèves devraient être en mesure d’élargir l’idée de la toile comme cône, bien que la surface courbe du solide soit plus difficile à visualiser. Demandez aux élèves d’expérimenter pour savoir quel modèle fonctionne. Notez que la toile florale ne fonctionne pas pour le cône, car la surface incurvée est un cercle (secteur). La longueur de l'arc du secteur doit correspondre à la circonférence du cercle.

Le volume d'une pyramide est lié au volume d'un prisme. Les élèves peuvent rechercher la formule et découvrir que le volume d’une pyramide correspond au tiers du prisme environnant. Par exemple, le volume d'un cylindre est donné par v = πr2 x h pour que le volume d'un cône soit donné avec v = πr2 x h.

Si vous êtes ambitieux, vous pouvez tester la formule du volume en fabriquant un cône avec un cône court, en tapissant le cône avec une pellicule de plastique et en le remplissant d’eau.

tout au long de votre voyage d’apprentissage des cristaux, vous avez sans doute rencontré des mots et des échanges étranges que vous n’auriez peut-être jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les solides de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta forme après le lycée ! Alors, que sont exactement les solides de Platon ? En matière simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les éléments principaux ( terre, air, feu et eau ) étaient directement liés aux solides. il y a cinq solides de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à le composant feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à le composant de l’air. Les icosaèdres ( composés de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à l’élément eau. Le dernier et souvent nommé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été appellé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à l’élément d’éther. n

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