La géométrie dans l'art et l'architecture Unité 6 | pierre énergétique

SOLIDES PLATONIQUES

“Personne ne doit être pauvre
la géométrie entre chez moi. "

Platon (ca. 427 – 347 av. J.-C.)


Ecole Raphaels d'Athènes


Diapositive 6-1: RAPHAEL: École d'Athènes

American Catalgo, page 126, n ° 21061. Fresco, Vatican, Stanza della Signurata,
la bibliothèque privée du pape

Nous avançons maintenant plus de 150 ans et restons toujours en Grèce,
de Pythagore à Platon, même un pythagoricien.

Dans notre dernière unité, nous avons étudié des polygones et j'ai dit que l'un d'entre eux
ceux-ci, le triangle, ont été pensés par Platon comme la pierre angulaire de
univers. Il a présenté cette idée et d'autres sur la création, comme
l'univers est créé pour ressembler à une progression géométrique, dans un
de ses livres, le Timée.

en Timée, nous voyons comment Platon décrit comment les triangles
constitue cinq solides, maintenant appelés Solides platoniqueset comment
Ces solides constituent les quatre éléments et le ciel. Voyons voir
polyèdre ordinaire en général, et voyez pourquoi cinq seulement sont possibles.

Enfin, nous voyons comment les solides platoniciens ont été utilisés comme motifs d'art
même avant Platon, comment ils ont été utilisés plus tard et comment ils ont été servis pour lier
ensemble, trois mathématiciens et artistes de la Renaissance, Piero della
Francesca, Luca Pacioli et Leonardo da Vinci.

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Platon

Ecole Raphaels d'Athènes. Partie médiane Diapositive 6-2: RAPHAEL: École d'Athènes. Partie médiane

Profil:

Plato (c.427-347 av. J.-C.) est né
une famille aristocratique à Athènes. Jeune homme, Platon était politique
ambitions, mais il a été déçu par la direction politique de
Athènes. Peu à peu, il devint disciple de Socrate et accepta les bases
philosophie et style de débat dialectique, la recherche de la vérité tout au long de
questions, réponses et questions supplémentaires. Platon a été témoin de la mort
de Socrate aux mains de la démocratie athénienne en 399 av. en
Raphael École d'Athènes on voit Socrate exposé, avec une tasse
à proximité.

L'étudiant le plus en vue de Platon était Aristote,
montré ici avec Platon à Raphaels École d'Athènes,
Aristote célèbre son éthique et Platon avec son Timée.


Académie de Platon

En 387 avant notre ère, Platon a fondé une académie à
Athènes, souvent décrite comme la première université. Il a donné un
programme complet, y compris l'astronomie, la biologie, les mathématiques,
théorie politique et philosophie.

La dernière année de Platon a été consacrée à des conférences académiques et à l'écriture.
Il mourut à Athènes, à l'âge de 80 ans, en 348 ou 347.

Sur les portes de son académie étaient les mots


Les mots sur la porte de Platon

sens, “Personne ne doit être pauvre
la géométrie entre chez moi. "


Platon sur l'art et la géométrie

Bien que Platon aimait la géométrie, il n'aurait pas été
bon à enseigner un cours d'art et de géométrie parce qu'il était faible
avis sur l'art. Il a appris que puisque le monde est une copie ou une image de
la vraie chose, alors une œuvre d'art est une copie d'une copie, la troisième est retirée de
réalité.

Il écrit dans sa république (p. 603),
"… peindre (et) … tout art d'imitation concerne une œuvre qui est
loin de la vérité; … et est sa maîtresse et amie pour pas sain ou
vrai but. … (il) est une petite amie sans valeur pour un ami sans valeur, et
les parents d'une progéniture sans valeur. "

Mais à propos de la géométrie, il a écrit dans sa république (p. 527),

"(La géométrie est). . . poursuivi pour des raisons de connaissance de
ce qui existe pour toujours, et non ce qui vient un moment,
et va gaspiller, …

(il) doit tirer l'âme vers la vérité et donner la touche finale
à l'esprit philosophique. "


Le timée

Platon a laissé de nombreux écrits.
Nous avons mentionné son république dans notre unité sur le symbolisme des nombres il
il a donné les quatre vertus cardinaux, mais son amour pour la géométrie est spécial
évident dans Timée.

Écrit vers la fin de Platon
la vie, vers 355 avant notre ère Timée décrit une conversation entre
Socrate, professeur de Platon, Critias, arrière-grand-père de Platon,
Hermocrates, homme d'État et soldat sicilien, et Timée, pythagoricien,
philosophe, scientifique, général, contemporain de Platon et l'inventeur
de la poulie. Il fut le premier à distinguer les harmoniques,
avancées arithmétiques et géométriques.

Dans ce livre, Timaeus fait l'essentiel du travail
parle, avec beaucoup d'hommage à Pythagore et fait écho harmonie de
chapelet
tout en décrivant la création géométrique de
monde.


La musique des sphères

Platon, à travers Timée, dit que le créateur a fait âme du monde
à partir d'ingrédients différents, formant une longue bande.
La bande a ensuite été marquée à intervalles.


Tout d'abord (le créateur) a pris une partie de l'ensemble (1 unité)
et puis certains doublent le premier (2 unités)
une troisième moitié moins que l'autre (3 unités)
la quatrième partie double la seconde (4 unités)
le cinquième trois fois le troisième (9 unités)
le sixième huit fois le premier (8 unités)
et le septième 27 fois le premier (27 unité)

Ils donnent les sept entiers; 1, 2, 3, 4, 8, 9, 27.
Ceux-ci contiennent la monade, la source de tous les nombres,
le premier pair et le premier impair, ainsi que leurs carrés et leurs dés.


Platon lambda

Arithmétique personnifiée en femme Diapositive 8-72: L'arithmétique personnifiée en tant que femme

Lawlor, Robert. Géométrie sacrée NY: Thames & Hudson, 1982. p.7.

Ces sept numéros peuvent être arrangés
comme deux avances

Monade 1 point

Premier pair et impair 2 3 Line

Routes 4 9 avions

Cubes 8 27 fixes

Ceci s'appelle Lambda de Platon, car il a la forme de la lettre grecque lambda.


Divisions de l'âme du monde
comme des intervalles de musique

Est-ce que cela concerne la musique, si nous commençons
à faible C et en laissant ces intervalles, nous obtenons 4 octaves plus un sixième. la
ne ressemble pas encore à une gamme musicale. Mais Platon continue à Remplir
chaque intervalle avec une arithmétique et une harmonique. prise
le premier intervalle, de 1 à 2, par exemple,

Arithmétique =
(1 + 2) / 2 = 02/03

ils Agent harmonique
de deux nombres, il est réciproque à la moyenne arithmétique de leur réciproque.

Pour 1 et 2, les réciprocités sont 1 et 1/2,
dont la moyenne arithmétique est 1+ 1/2 ÷ 2 ou 3/4. Et ainsi

Agent harmonique = 4/3

Ainsi nous obtenons quatrième ou 4/3,
et cinquième ou 3/2, les mêmes intervalles semblent confortables pour les pythagoriciens.
En outre, ils se composent des quatre premiers chiffres 1, 2, 3, 4 de
tétractys.


Pour combler les lacunes

Il a pris l'intervalle entre le quatrième et le
le cinquième comme un ton plein. C'est

3/2 ÷ 4/3 = 3/2 x 3/4 =
9/8

Platon demande alors à son créateur de remplir
échelle à intervalles de 9/8, le ton. Cela laisse des intervalles
256/243 en tant que résidu, égal au demi-ton.

Ainsi, Platon a construit la balance de
calculs arithmétiques seulset non pas en expérimentant
avec des cordes tendues pour trouver ce qui sonnait le mieux, les pythagoriciens aussi.

projet: Répéter Platon
calculs et voir si vous obtenez vraiment une échelle musicale.


Formes cercles célestes

Après avoir marqué la bande dans ces
À intervalles réguliers, le créateur coupe ensuite dans le sens de la longueur en deux bandes
placés à un angle les uns des autres et façonnés en cercles. ces
correspond à l'équateur céleste et l'écliptique, le début d'un
sphère armillaire.

sphère armillaire Diapositive 10-121: Sphère armillaire

Turner, Gérard. Instruments scientifiques antiques. Dorset: Blandford, 1980. p.61

Rappelez-vous notre citation de Platon
république, où Mythe à propos de Er il a écrit,

". . . Sur chacun des cercles
se tenait une sirène avec leurs mouvements et la poussa
sondages sur une échelle. "
(République p. 354)

C'est l'origine du terme,
La musique des sphères.


les éléments

L'idée est que toutes les choses sont
composé de quatre éléments principaux:
terre, air, feu et eau, est attribué
Empédocle (c. 493-433 av. J.-C.), philosophe grec,
Homme d'État et poète. Il est né à Agrigentum (maintenant Agrigente),
Sicile, et était un disciple de Pythagore et de Parménide.

Rappelez-vous les forces opposées, Yin
et Yang, homme et femme, dont l'interaction a tout créé
univers? Empedocles croyait que les forces actives et en conflit, l’amour et la
la haine ou l'appartenance et l'antipathie, agir sur ces éléments, combiner et
en les séparant sous des formes infiniment variées.

Il a également estimé que pas de changement
impliquant la création de nouvelle matière est possible; juste des changements dans
des combinaisons des quatre éléments existants peuvent se produire.

Empédocle est décédé environ 6 ans auparavant
Platon est né.


L'univers géométrique
progression

Platon déduit
la nécessité des quatre éléments. Timée, 31B-32C

1. Premièrement, nous devons avoir le feu, pour faire
monde visible et la terre pour le rendre résistant au toucher.
Ce sont les deux extrême éléments, le feu appartenant au ciel et
terre à terre. Il écrit,

. . . il faut que
la nature doit être visible et tangible …

et rien ne peut être vu sans feu ou tangible sans terre …

2. Mais deux ne peuvent pas tenir ensemble
sans tiers comme lien. (comme de la colle)

. . . Mais il est impossible que deux choses s'enchaînent sans l'intervention d'une troisième …

3. Et le lien le plus parfait est la proportion géométrique associée.

… (et) la plus belle analogie est quand c'est à l'intérieur
trois chiffres,

le milieu est au dernier comme le premier au milieu,. . .
ils deviennent identiques les uns aux autres.

4. Mais les corps primaires
sont des solides et doivent être représentés par des nombres fixes (cubes).
Pour connecter deux numéros de plan (carrés), un moyen suffit,
mais pour connecter deux numéros fixes, deux moyens sont nécessaires.

Mais si l'univers devait
n'ayant pas de profondeur, un support serait suffisant pour lier toutes les natures
contient. Mais . . le monde devrait être solide et les solides ne sont jamais
harmonisé par un, mais toujours par deux médias.

Par conséquent, la divinité a placé de l'eau et
l'air au milieu du feu et de la terre, et les produire dans la même proportion
l'un à l'autre; l'a vu le feu peut être à l'air comme l'air est à l'eau
et cette eau est à la terre.

feu / air = air / eau = eau / sol

Ainsi, le rapport est constant entre
éléments successifs, donnant une progression géométrique.



Les solides platoniques

Les solides platoniques appartiennent au groupe des
formes géométriques appelées polyèdres.

FR polyèdre est l'un
fixé borné par des polygones plans. Les polygones s'appellent
visages; ils se croisent bords, le
les points où trois arêtes ou plus se croisent sont appelés
sommets.

FR régulièrement polyèdre est celui dont les faces sont identiques
polygones ordinaires. Seulement cinq solides ordinaires est possible

octaèdre cube tétraédrique
dodécaèdre icosaeder

Ceux-ci sont devenus connus comme les solides platoniques


Les articles liés à
les solides platoniques

Platon à égalité Platoniquement solide avec les quatre éléments.
Il écrit,

Nous devons continuer à distribuer
les figures (solides) que nous venons de décrire entre feu, terre,
l'eau et l'air. . .

Attribuons le cube à la terre, car c’est le plus
immobile des quatre corps et le plus retenu dans la forme

le plus petit mobile du reste
figures (icosaèdre) pour l'eau

le plus mobile (tétraèdre)
se faire virer

intermédiaire (octaèdre)
se défouler

Notez que la terre est associée au cube,
avec ses six faces carrées. Cela a soutenu la notion de carré
de la terre.


Kosmos

Mais c'est cinq régulièrement
polyèdre et seulement quatre éléments. Platon écrit:

"Il y avait encore un cinquième
la construction, que Dieu a utilisé pour broder les constellations
dans tout le ciel. "

La déclaration de Platon est vague,
et il ne donne aucune autre explication. Plus tard assigne les philosophes grecs
le dodechedron à l'éther ou au ciel ou au cosmos.

Le dodécaèdre a 12 visages et le nôtre
le symbolisme numérique relie 12 au zodiaque.

C'est peut-être l'opinion de Platon quand il écrit à propos de « broderie
les constellations "
sur la chaîne de la mort.

Notez que les 12 faces du dodécaèdre sont des pentagones. commémorer
que le pentathlon contient relation en or.

Peut-être cela a-t-il quelque chose à voir avec l'assimilation de cette figure au cosmos.


Autres polyèdres

Les solides archimédiens

Solides d'Archimède "vspace =" 10

Diapositive 6-4: Solides archimédiens
Wenniger, Magnus J. Modèles en polyèdre pour la classe. NCTM 1966. p.7

D'autres ensembles de solides peuvent être
obtenu à partir de solides platoniques. Nous pouvons obtenir un jeu en coupant
coins de solides platoniques et peu tronqué polyèdres.

Ils ne sont plus communs; ils
s'appelle demi -regelmessig; toutes les faces sont des polygones ordinaires, cependant
il y a plus d'un polygone dans un solide particulier et tous les sommets
sont identiques.

On les appelle aussi
Solides archimédiens, nommé d'après Archimède, (287-212), le grec
mathématicien qui vivait à Syracuse dans le coin inférieur droit de
Sicilia.

Mini-projet:
Faire des solides archimédiens.


Polyèdres étoiles

Les quatre solides de Kepler-Poinsot

Diapositive 6-5: Les quatre solides de Kepler-Poinsot
Wenniger, Magnus J. Modèles en polyèdre pour la classe. NCTM 1966. p.11

Gravure de Harmonices Mundi

Diapositive 6-6: Gravure de Harmonices Mundi1619.
Seau, Michele, Ed. L'esprit visuel: art et maths. Cambridge: MIT
Press, 1993. p 218

L'autre moyen évident d'en obtenir un autre
l'ensemble des solides est d'étendre les faces de chacun pour former une étoile,
donne ce qu'on appelle Polyèdres en étoile.

Polyèdre à deux étoiles a été découvert
par Poinsot en 1809. Les autres ont été découverts environ 200 ans avant
celle de Johannes Kepler (1571-1630), l'astronome allemand et naturel
un philosophe connu pour avoir formulé les trois lois du mouvement planétaire,
maintenant connu comme lois de Kepler, y compris la loi des corps célestes
elliptiques, pas des orbites circulaires.

Mini-projet:
Fabrique des polyèdres étoiles.



Polyèdres en art et architecture

polyèdres
y a rien de nouveau

Polyhedra a servi de
motifs d'art de la préhistoire jusqu'à nos jours.

pyramides Diapositive 6-7: Les pyramides

Tompkins, Peter. Secrets de la grande pyramide. NY: Harper, 1971. Couverture

L'Egypte, bien sûr,
connaissait le tétraèdre, mais aussi l'octaèdre et le cube.
Et ce sont des cubes icosaédriques
de la dynastie ptolomaic au British Museum de Londres.

Dodécèdre étrusque Diapositive 6-8: Dodécaèdre étrusque

Seau, Michele, Ed. L'esprit visuel: art et maths. Cambridge: MIT
Press, 1993. p 216

Des solides néolithiques ont été trouvés
en Écosse, et des fouilles près de Padoue ont révélé un étrange
chaîne de la mort, ca. 500 avant JC, probablement utilisé comme un jouet.


Kepler

Le modèle de Kepler de l'univers Diapositive 3 à 6: Le modèle de Kepler de l'univers

Lawlor, page 106

En 1596, Kepler a publié un traité
appelé Le mystère cosmique où il a envisagé l'univers
constitué de solides platoniques imbriqués dont les sphères inscrites
déterminer les plans, tous enfermés dans une sphère
représentant le ciel extérieur. Bien sûr, ses observations ne correspondaient pas
ce schéma. Nous retrouverons Kepler dans notre unité à céleste
Thèmes dans l'art.


Polyèdres et plagiat
à la Renaissance

Luca Pacioli, Jacopo de Barberi Diapositive 14-10: JACOPO DE BARBERI: Luca Pacioli,
1499 environ

Ce tableau montre Fra Luca
Pacioli et son élève, Guidobaldo, duc d'Urbino. En haut à gauche
est un cuboctaèdre en forme de losange et sur la table se trouve un dodécèdre au-dessus
une copie d'Euclid Éléments.

Illustrations de Leonardo pour le livre de Luke Diapositive 15-11: Illustrations de Leonardo pour le livre de Luke.

Da Divina Proportions

Luca Pacioli a écrit un livre intitulé
Da Divina Proportions (1509) qui contenait un paragraphe sur
Solides platoniques et autres solides, qui ont 60 plaques de solides sans aucun
autre que son élève Léonard de Vinci. Nous devons raconter toute l'histoire
comment ce matériel a été volé à Piero della Francesca, professeur de Lucas
dans notre unité à Polyèdres et plagiat i
Renaissance
.


Solides platoniques tels que
Objets d'art

UCELLO: Mosaïques Diapositive 6-12: UCELLO: Mosaïque de la cathédrale Saint-Marc,
Venise,
1425-1430 assiette J2

Seau, Michele, Ed. L'esprit visuel: art et maths. Cambridge: MIT
Press, 1993.

Durer, Melancolia I Diapositive 16-08: DURER:
Melancolia I, 1514

citation

Albrech Durer (1471-1528) en avait un
grand intérêt pour la géométrie, comme nous le verrons dans une unité ultérieure. Ce fameux
gravure montre un polyèdre irrégulier, ainsi qu’une sphère, une magie
carré et boussole. Les personnes qui ont analysé ce polyèdre ont
décidé qu’il s’agissait en fait d’un cube dont les angles opposés avaient été coupés.

Johannes Neudorfer et son fils Diapositive 6-13: NEUFCHATEL, Nicolaus:
Photo de Johannes Neudorfer et de son fils,1561.

Kemp, Martin. Leonardo sur la peinture. New Haven: Yale U. Press, 1989. p 63

Lion plaqué or de la porte de la pureté céleste Diapositive 6-14: Lion plaqué or à l'avant Porte de la pureté céleste,
Gros plan du ballon

Cité Interdite, Beijing. De la dynastie Qing (1736-1796)

Cette balle a des bouts d'hexagones
avec des pentagones.


Les polyèdres dans l'art i
le vingtième siècle

Le travail de Giacometti

Diapositives 6-15, 6-16, 6-17:
Le travail de Giacometti

Hohl, Reinhold. Alberto Giacometti. NY: Abrams, 1972.

Artiste suisse Alberto Giacometti
(1901-1966) a souvent inclus des polyèdres dans son ancien livre surréaliste
fonctionne comme ces deux dessins et une sculpture.

Escher's Stars Diapositive 21-5:
Escher:étoiles

1948 (# 123)

Nous devons parler de M.C. Escher
(1902-1972) en détail alors que nous arrivons au 20ème siècle, mais ne laisse que
regardez sa gravure de 1948, Étoiles. Notez la similitude entre
ce polyèdre et les illustrations de Leonardo pour Paciolis
livre.

Escher considère son ensemble imbriqué de solides platoniques Diapositive 21-06: Escher
ihuga son ensemble imbriqué de solides platoniques

citation

Escher a fait un ensemble de nids
Solides platoniques. Quand il a déménagé dans un nouveau studio, il est presque parti
ses affaires, mais a pris son modèle bien-aimé.

Autres artistes du vingtième siècle
Utilisation de polyèdres inclut Harriet Brisson, Paul Calter et Lucio
Saffaro.

Octaèdres, rhombidodécaèdres et cubes à emballage étroit tronqués Diapositive 6-18:plafonnés
Fermer l'emballage Octaèdres, Rhombidodécaèdres et cubes.
Plexiglas, tubes en aluminium et cordon en nylon, 1976

Seau, Michele, Ed. L'esprit visuel:
Arts et Mathématiques
. Cambridge: MIT Press, 1993. planche B3

Trois solides platoniques du cercle des sorciers de Calter

Diapositives 6-19, 6-20, 6-21: Solides platoniques

Calter s Cercle du sorcier

Infographie: formes platoniques Diapositive 6-22: LUCIO SAFFARO:
Formes platoniques. Infographie, 1989.

Seau, Michele, Ed. L'esprit visuel: art et maths. Cambridge: MIT
Press, 1993. Plaque A3

projet:
Faire une oeuvre d'art avec des polyèdres.


résumé

Nous avons donc vu l'origine de
Platonic Solids, commence avant Plato et a une courte piste
l'influence des polygones dans l'art jusqu'à nos jours.

Nous avons également vu un premier regard sur quelqu'un
sujets que nous examinerons plus tard.

Pour les sujets mathématiques, nous avons
puis regardez les séquences et les séries et la géométrie de
polyèdres.




lecture

Lecture Affectation:

Platon, Timée,
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Autres références
de votre bibliographie:

Wennings Pedoe Kappraff Irma Juge Lawlor Euclid

Ivins Newman, Ghyka Wittkower Critchlow

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échelle musicale.

Faire des solides archimédiens

Fabrique des polyèdres étoiles.

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© Paul Calter, 1998. Tous droits réservés. Collège Dartmouth

au cours de votre voyage d’apprentissage des cristaux, vous avez peut-être rencontré des mots et des phrases étranges que vous n’auriez sans doute jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les solides de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta géométrie après le lycée ! Alors, que sont exactement les robustes de Platon ? En matière simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les éléments principaux ( terre, air, feu et eau ) étaient directement liés aux robustes. il existe cinq solides de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à le composant feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à le composant de l’air. Les icosaèdres ( constitués de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à le composant eau. Le dernier et souvent nommé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été nommé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à l’élément d’éther. n

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