Les solides platoniques génèrent leurs analogues à quatre dimensions – ScienceDaily | solides de Platon énergie

Alicia Boole Stott, troisième fille du mathématicien George Boole, est probablement mieux connue pour avoir établi le terme "polytope" pour désigner un solide convexe à quatre dimensions. Alicia était également un partenaire de longue date de HSM Coxeter, l'une des plus grandes géométries du 20ème siècle.

Les solides platoniques sont des corps communs en trois dimensions, tels que le cube et l'icosaèdre, et sont connus depuis des millénaires. Ils occupent une place importante dans le monde naturel où la géométrie et la symétrie sont importantes, par exemple dans les réseaux et les quasi-cristaux, ainsi que dans les fullerènes et les virus.

Les solides platoniques ont des équivalents en quatre dimensions, et le mathématicien suisse Ludwig Schlaefli et Alicia Boole Stott ont montré qu'ils étaient six, dont cinq avaient des symétries très étranges. Stott avait une intuition unique de la géométrie en quatre dimensions, qu’elle visualisait via des coupes transversales en trois dimensions.

Un article de Dechant publié dans Acta Crystallographica Section A: Fondements et progrès montre comment des polytopes convexes ordinaires 4, les analogues de solides platoniques à quatre dimensions, peuvent être construits à partir de considérations tridimensionnelles relatives aux solides platoniques. Les rotations des solides platoniques peuvent être interprétées naturellement comme des objets à quatre dimensions, appelés spineurs.

Celles-ci génèrent à leur tour des groupes de symétrie (Coxeter) à quatre dimensions et fournissent les analogues des solides platoniques à quatre dimensions. En particulier, cette construction spinale fonctionne pour n’importe quel groupe de groupe de symétrie tridimensionnel (Coxeter), de sorte que ces cas expliquent tous les "objets exceptionnels" dans quatre dimensions, c’est-à-dire les phénomènes à quatre dimensions qui n’ont pas d’équivalent dans des dimensions supérieures. Cela a également des liens vers d'autres "phénomènes exceptionnels" via Arnold's Trinity et la correspondance de McKay. Cette compréhension spinorial de la géométrie quadridimensionnelle explique pour la première fois les étranges symétries de ces objets quadridimensionnels.

Ce lien entre la géométrie des quatre dimensions et celle des trois dimensions via Les rotations / spinors n'ont pas été remarqués depuis des siècles en dépit des travaux de nombreux grands mathématiciens sur les solides platoniques et leurs symétries, et sont très différents de la manière dont Alicia Boole Stott visualisait les coupes en trois dimensions. Il apporte une nouvelle lumière des deux côtés, des systèmes tridimensionnels réels avec des symétries polyhédrales telles que les cristaux (quasi), les virus et les fullerènes aux géométries quadridimensionnelles qui émergent, par exemple dans Grand Theified Theories et String and M-theory.

Histoire Source:

Matériel fourni par Union Internationale de Cristallographie. Remarque: le contenu peut être modifié pour le style et la longueur.

Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des solides de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au minimum une de ses surfaces qui n’est pas plate ( par exemple, cylindre, sphère ou tube ). n Régulier signifie que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou semblables dans tous les aspects, et tous les abords sont de la même dimension. n 3D sous-entend que la forme a la largeur, la capacité et la hauteur. n Un polygone est une forme verrouillée dans une figure plane avec au moins cinq bords droits. n Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face. n

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