Solide platonicien – Wikipedia | Géometrie sacrée

Polyèdre ordinaire convexe avec le même nombre de faces à chaque sommet

Dans un espace tridimensionnel, un Platoniquement solide est un polyèdre convexe commun. Elle est construite avec des surfaces polygonales congruentes (identiques en forme et en taille), régulières (tous les angles égaux et égaux), avec le même nombre de faces qui se rencontrent à chaque sommet. Cinq solides répondent à ces critères:

Les géomètres étudient les solides platoniques depuis des milliers d'années.(1) Ils portent le nom de l'ancien philosophe grec Platon, qui assuma dans son dialogue le Timée, que les éléments classiques ont été faits de ces solides.(2)

histoire(éditer)

Tâche pour les éléments de Keplers Mysterium Cosmographicum

Les solides platoniques sont connus depuis l'Antiquité.
Il a été suggéré que certains
des perles de pierre sculptées fabriquées par le peuple néolithique tardif d'Écosse représentent ces formes; cependant, ces boules ont des boutons arrondis au lieu d'être polyédriques,
le nombre de boutons était souvent différent du nombre de têtes de soudure dans les solides platoniques. Sur le dodécaèdre, il n’ya pas de boules dont les nœuds correspondent à 20 angles, et la disposition des nœuds n’est pas toujours symétrique.

Les Grecs anciens ont étudié les solides platoniques de manière approfondie. Certaines sources (comme Proclus) attribuent cette découverte à Pythagore. D'autres preuves suggèrent qu'il était peut-être seulement familier avec le tétraèdre, le cube et le dodécédron, et que la découverte de l'octaèdre et de l'icosaèdre appartient à Theaetet, un contemporain de Platon. Dans tous les cas, Théétète a donné une description mathématique des cinq méthodes et a peut-être été à l'origine de la première preuve connue de l'absence d'autres polyèdres ordinaires convexes.

Les solides platoniques occupent une place prépondérante dans la philosophie de Platon, leur nom. Platon a écrit à leur sujet dans le dialogue Timée c.360 av. J.-C. où il associe chacun des quatre éléments classiques (terre, air, eau et feu) à un solide commun. La terre était associée au cube, l'air à l'octaèdre, l'eau à l'icosaèdre et le feu au tétraèdre. Il y avait une justification intuitive à ces associations: la chaleur du feu est vive et poignante (comme un petit tétraèdre). L'air est fabriqué par l'octaèdre; ses composants minuscules sont si lisses que vous pouvez à peine le sentir. L'eau, l'icosaèdre, sort de la main quand on la récupère, comme si elle était faite de petites boules. En revanche, un solide solide non sphérique représente l'hexaèdre (cube) "sol". Ces solides encombrants provoquent l'effritement de la saleté et la cassure lorsqu'ils sont ramassés, ce qui contraste nettement avec le courant d'eau constant.(besoin de référence) De plus, on pense que le cube est le seul solide qui tessellise l'espace euclidien, causant la solidité de la terre.

Platon note vaguement "du fait que le dieu a utilisé pour organiser les constellations dans tout le ciel" du cinquième solide platonicien, la chaîne de la mort. Aristote a ajouté un cinquième élément, aithēr (ether en latin, "ether" en anglais) et a postulé que les cieux étaient composés de cet élément, mais il n'avait aucun intérêt à le faire correspondre au cinquième solide de Platon.(4)

Euclide a décrit mathématiquement les solides platoniques dans élémentsdont le dernier livre (Livre XIII) est consacré à leurs caractéristiques. Les propositions 13 à 17 du livre XIII décrivent la construction du tétraèdre, de l'octaèdre, du cube, de l'icosaèdre et du dodécèdre dans cet ordre. Pour chaque Euclide fixe, trouvez le rapport entre le diamètre de la sphère circonscrite et la longueur du bord. Dans la proposition 18, il soutient qu'il n'y a plus de polyèdres ordinaires convexes.
Andreas Speiser a soutenu que la construction des 5 solides est l’objectif principal du système déductif canonisé en éléments. Une grande partie de l'information contenue dans le livre XIII est probablement tirée des travaux de Theaetetu.

Au 16ème siècle, l'astronome allemand Johannes Kepler a tenté de relier les cinq planètes extraterrestres connues à cette époque aux cinq solides platoniques. en Mysterium Cosmographicum, publié en 1596, Kepler a proposé un modèle du système solaire dans lequel les cinq solides étaient interposés et séparés par une série de sphères écrites et circonscrites. Kepler a suggéré que les relations de distance entre les six planètes connues à cette époque pourraient être comprises sous la forme des cinq solides platoniques enfermés dans une sphère représentant l'orbite de Saturne. Les six sphères correspondaient chacune à l'une des planètes (Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Les solides étaient ordonnés et les plus intérieurs étaient des octaèdres, suivis de l'icosaèdre, du dodécédèdre, du tétraèdre et enfin du cube, dictant ainsi la structure du système solaire et les relations de distance entre les planètes des solides platoniques. Finalement, l'idée originale de Kepler a dû être abandonnée, mais ses recherches ont abouti aux trois lois de la dynamique orbitale, la première étant que les orbites des planètes sont des ellipses plutôt que des cercles et ont modifié le cours de la physique et de l'astronomie. Il a également découvert les solides de Kepler.

Dans les années 1900, les tentatives visant à relier les solides platoniques au monde physique ont été étendues au modèle de couche d'électrons en chimie par Robert Moon dans une théorie connue sous le nom de "modèle de Moon".

Coordonnées cartésiennes(éditer)

Pour les solides platoniques centrés à l'origine, les coordonnées cartésiennes simples des sommets sont données ci-dessous. La lettre grecque φ est utilisé pour représenter la relation en or 1 + 5/2 1,6180.

paramètres
figure tétraèdre octaèdre cube icosaèdre dodécaèdre
visages 4 8 6 20 12
sommets 4 6 (2 × 3) 8 12 (4 × 3) 20 (8 + 4 × 3)
orientation
vu
1 2 1 2 1 2
sommet
Les coordonnées
(1, 1, 1)
(1, -1, -1)
(−1, 1, −1)
(−1, −1, 1)
(-1, -1, -1)
(−1, 1, 1)
(1, −1, 1)
(1, 1, -1)
(± 1, 0, 0)
(0, ± 1, 0)
(0, 0, ± 1)
(± 1, ± 1, ± 1) (0, ± 1, ±φ)
(± 1, ±φ, 0)
φ, 0, ± 1)
(0, ±φ, ± 1)
φ, ± 1, 0)
(± 1, 0, ±φ)
(± 1, ± 1, ± 1)
(0, ±1/φ±φ)
1/φ±φ, 0)
φ, 0, ±1/φ)
(± 1, ± 1, ± 1)
(0, ±φ±1/φ)
φ±1/φ, 0)
1/φ, 0, ±φ)
image CubeAndStel.svg Dual Cube-Octahedron.svg Icosaèdre-or-rectangles.svg Cube in dodecahedron.png

Les coordonnées du tétraèdre, de l'icosaèdre et du dodécaèdre sont données dans deux ensembles d'orientation contenant chacun la moitié du caractère et la permutation de position des coordonnées.

Ces coordonnées révèlent certaines relations entre les solides platoniques: les sommets du tétraèdre représentent la moitié du cube sous la forme 4.3 ou CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, un des deux jeux de 4 sommets en double position, tels que h 4.3 ou CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. Les deux positions tétraédriques font de la composition un octaèdre stellaire.

Les coordonnées de l’icosaèdre sont liées à deux jeux alternés de coordonnées d’un octaèdre non uniformément tronqué, t 3,4 ou CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png, aussi appelé un octaves déconcertantes, tels que s 3,4 ou CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pnget voyez la connexion de deux icosahedra.

Huit des coins du dodécaèdre sont partagés avec le cube. Compléter toutes les instructions conduit à la composition de cinq dés.

Propriétés combinatoires(éditer)

Un polyèdre convexe est un solide platonique si et seulement si

  1. toutes les faces sont des polygones réguliers convexes congruents,
  2. aucune des faces ne se croise, sauf sur les bords, et
  3. le même nombre de faces se rencontrent à chacun des sommets.

Chaque solide platonique peut donc être désigné par un symbole p, q

p est le nombre d'arêtes (ou de verticales équivalentes) sur chaque face, et
q est le nombre de faces (ou d'arêtes similaires) qui se rencontrent à chaque sommet.

Le symbole p, q, appelé symbole Schläfli, fournit une description combinatoire du polyèdre. Les symboles de Schläfli pour les cinq solides de Platon sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Ce qui précède sous forme de graphe plan en deux dimensions

Toutes les autres informations combinatoires sur ces solides, telles que le nombre total de verticales (V), bords (E) et des visages (fa), peut être déterminé à partir de p et q. Comme tout bord rejoint deux sommets et a deux surfaces adjacentes, nous devons avoir:

La deuxième relation entre ces valeurs est donnée par Formule d'Euler:

Cela peut être prouvé à bien des égards. Ensemble, ces trois conditions déterminent complètement V, Eet fa:

commutation p et q nœuds fa et V pendant que vous allez E inchangé. Pour une interprétation géométrique de cette propriété, voir § Double polyèdre en dessous.

En configuration(éditer)

Les éléments d'un polyèdre peuvent être exprimés dans une matrice de configuration. Les lignes et les colonnes correspondent aux sommets, aux arêtes et aux faces. Les nombres diagonaux indiquent le nombre de chaque élément présent dans le polyèdre. Les nombres non diagonaux indiquent le nombre d'éléments de colonne présents dans ou au niveau de l'élément de ligne. La matrice de configuration de deux paires de polyèdres est tournée à 180 degrés.(7)

P, q Configurations platoniques
ordre du groupe:
g = 8pq/ (4- (p-2) (q-2))
g= 24 g= 48 g= 120
v e fa
v g/ 2q q q
e 2 g/ 4 2
fa p p g/ 2p
3,5
12 5 5
2 30 2
3 3 20
5,3
20 3 3
2 30 2
5 5 12

classification(éditer)

Le résultat classique est qu'il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes. Deux arguments communs ci-dessous montrent que pas plus de cinq solides platoniques peuvent exister, mais il est distinct de démontrer l'existence d'un solide donné – une question qui nécessite une construction explicite.

Preuve géométrique(éditer)

Fil polygone autour d'un pic
Polyiamond-3-1.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 9/92 / Polyiamond-3-1.svg / 80px-Polyiamond-3-1.svg.png " decoding = "async" width = "80" height = "40" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 9/92 / Polyiamond-3-1.svg / 120px-Polyiamond-3 -1 .svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons allow / 9/92 / Polyiamond-3-1.svg / 160px-Polyiamond-3-1.svg.png 2x-data-file-width = "90" hauteur du fichier de données = "45
3,3
180 ° défectueux
Polyiamond-4-1.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 1/16 / Polyiamond-4-1.svg / 80px-Polyiamond-4-1.svg.png " decoding = "async" width = "80" height = "71" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 1/16 / Polyiamond-4-1.svg / 120px-Polyiamond-4 -1 .svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / 1/16 / Polyiamond-4-1.svg / 160px-Polyiamond-4-1.svg.png 2x "largeur de fichier de données = "90" hauteur du fichier de données = "80
3,4
120 ° défectueux
Polyiamond-5-4.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 6/60 / Polyiamond-5-4.svg / 80px-Polyiamond-5-4.svg.png " decoding = "async" width = "80" height = "71" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 6/60 / Polyiamond-5-4.svg / 120px-Polyiamond-5 -4 .svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / 6/60 / Polyiamond-5-4.svg / 160px-Polyiamond-5-4.svg.png 2x-data-file-width = "90" hauteur du fichier de données = "80
3,5
Erreur 60 °
Polyiamond-6-11.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 1/17 / Polyiamond-6-11.svg / 80px-Polyiamond-6-11.svg.png " decoding = "async" width = "80" height = "71" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Summit / 1/17 / Polyiamond-6-11.svg / 120px-Polyiamond-6-11 .svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / 1/17 / Polyiamond-6-11.svg / 160px-Polyiamond-6-11.svg.png 2x-data-file-width = "90" hauteur du fichier de données = "80
3,6
Erreur 0 °
TrominoV.jpg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 3 / 3f / TrominoV.jpg / 80px-TrominoV.jpg "decoding =" async "width =" 80 "height =" 80 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons moment / 3 / 3f / TrominoV.jpg / 120px-TrominoV.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons short / 3 / 3f / TrominoV.jpg / 160px-TrominoV.jpg 2x "data-file-width =" 200 "data-file-height =" 200
4,3
90 ° défectueux
Carrelage carré vertfig.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / a / a1 / Square_tiling_vertfig.png / 80px-Square_tiling_vertfig.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "80" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/s il y a / a / a1 / Square_tiling_vertfig.png / 120px-Square_tiling_vertfig.png 1,5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons également / a / a1 / Square_tiling_vertfig.png / 160px-Square_tiling_vertfig.png 2x "data-file-width =" 600 "data-file-height =" 600
4,4
Erreur 0 °
Pentagon net.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons allow / 9/99 / Pentagon_net.png / 80px-Pentagon_net.png "decoding =" async "width =" 80 "height =" 64 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons allow / 9/99 / Pentagon_net.png / 120px-Pentagon_net.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons support / 9/99 / Pentagon_net.png / 160px-Pentagon_net.png 2x "data-file-width =" 1913 "data-file-height =" 1526
5,3
Erreur 36 °
Carrelage hexagonal vertfig.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons une fois / a / ab / Hexagonal_tiling_vertfig.png / 80px-Hexagonal_tiling_vertfig.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "79" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons allow / a / ab / Hexagonal_tiling_vertfig.png / 120px-Hexagonal_tiling_vertfig.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons par exemple / ab / Hexagonal_tiling_vertfig.png / 160px-Hexagonal_tiling_vertfig.png 2x "data-file-width =" 536 "data-file-height =" 531
6,3
Erreur 0 °
Un sommet nécessite au moins 3 faces et une erreur angulaire.
Une erreur d'angle de 0 ° remplira le plan euclidien d'un pavage normal.
D'après le théorème de Descartes, le nombre de verticales est 720 ° /défectueux.

L'argument géométrique suivant est très similaire à celui donné par Euclid i éléments:

  1. Chaque sommet du solide doit être un sommet pour au moins trois faces.
  2. Dans chaque sommet du solide, la somme des angles entre les côtés adjacents respectifs doit être inférieure à 360 ° entre les surfaces adjacentes. Le montant inférieur à 360 ° est appelé défaut angulaire.
  3. Les angles de tous les sommets de toutes les faces d’un solide platonique sont identiques: chaque sommet de chaque face doit avoir une contribution inférieure à 360 °/3 = 120 °.
  4. Les polygones ordinaires de six côtés ou plus n'ont que des angles de 120 ° ou plus, la face régulière doit donc être le triangle, le carré ou le pentagone. Ce qui suit s'applique à ces différentes formes:
    • Faces triangulaires: Chaque sommet d’un triangle normal mesure 60 °. Ainsi, une forme peut comporter trois, quatre ou cinq triangles qui se rejoignent au sommet; ce sont respectivement le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre.
    • Faces carrées: Chaque sommet d'un carré mesure 90 °. Il n'y a donc qu'un seul arrangement possible avec trois faces dans un sommet, le cube.
    • Faces pentagonales: chaque sommet est à 108 °; là encore, un seul arrangement de trois faces en un sommet est possible, le dodécédron.
Au total, cela donne 5 solides platoniques possibles.

Preuves topologiques(éditer)

Des preuves topologiques pures peuvent être obtenues en utilisant uniquement des informations combinatoires sur les solides. La clé est l'observation d'Euler que VE + fa = 2, et le fait que pF = 2E = QVp représente le nombre d'arêtes sur chaque face et q pour le nombre d'arêtes qui se rencontrent à chaque sommet. En combinant ces équations, on obtient l'équation

La manipulation algébrique simple fournit alors

depuis E est strictement positif, nous devons avoir

Utilise le fait que p et q les deux doivent être au moins 3, vous pouvez facilement voir qu'il n'y a que cinq options pour p, q:

3, 3, 4, 3, 3, 4, 5, 3, 3, 5.

Propriétés géométriques(éditer)

angles(éditer)

Il existe un certain nombre d'angles associés à chaque solide platonique. L'angle dièdre est l'angle interne entre deux surfaces planes. L'angle dièdre, θ, du fixe p,q est donné par la formule

Parfois, cela s'exprime plus sous la forme de tangente

la quantité h (appelé Le nombre de Coxeter) est respectivement 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre.

Le défaut angulaire au sommet d’un polyèdre est la différence entre la somme des angles du visage de ce sommet et de 2π. L'absence, δ, dans n'importe quel pic de solides platoniques p,q euh

Par un théorème de Descartes, il est égal à 4π divisé par le nombre de sommets (c'est-à-dire que l'erreur totale à tous les sommets est 4)π).

L'analogue tridimensionnel à un angle plat est un angle solide. L'angle solide, Ω, au sommet d’un solide platonique se présente sous la forme de l’angle dièdre avec

Cela suit formule en excès sphérique pour un polygone sphérique et le fait que le sommet du polyèdre p,q est un commun q-Gon.

L'angle fixe d'une face soumise au centre d'un solide platonique est égal à l'angle fixe d'une sphère entière (4π Steradians) divisé par le nombre de faces. Cela correspond au défaut angulaire de double.

Les différents angles associés aux solides platoniques sont résumés ci-dessous. Les valeurs numériques des angles fixes sont données en stéradians. La constante φ = 1 + 5/2 est la relation en or.

Radii, surface et volume(éditer)

Un autre avantage de la régularité est que les solides platoniques ont tous trois sphères concentriques:

Les rayons de ces sphères sont appelés cercle circonscrit, le midradiuset inradius. Ce sont les distances entre le centre du polyèdre et les sommets, le centre du bord et les centres de la face, respectivement. cercle circonscrit R et dans le rayon r du fixe p, q avec une longueur de bordure un est dégagé

θ est l'angle dièdre. Midradiusen ρ est dégagé

h est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (h = 4, 6, 6, 10 ou 10). La relation entre circumradius et inradius est symétrique p et q:

ils zone de surface, FR, d'un solide platonique p, q se calcule facilement comme une surface de p– fois le nombre de faces fa. Ce sont:

ils le volume est calculé comme fa fois le volume de la pyramide dont la base est régulière p-gon et dont la hauteur est en rayon r. C'est-à-dire

Le tableau ci-dessous montre les différents rayons de solides platoniques ainsi que leur surface et leur volume. La taille totale est fixée en prenant la longueur du bord, un, être égal à 2.

les constantes φ et ξ dans ce qui précède est donné par

Parmi les solides platoniques, le dodécaèdre ou l'icosaèdre peuvent être considérés comme la meilleure approche de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces et le plus grand angle dièdre, il serre plus étroitement sa sphère inscrite et le rapport surface sur volume est le plus proche de celui d'une sphère de même taille (c'est-à-dire la même surface ou le même volume). Cependant, le dodécaèdre a le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle de crête fixe, et il remplit le plus dans sa sphère circonscrite.

symétrie(éditer)

Polyèdre double(éditer)

Chaque polyèdre a un polyèdre double (ou "polaire") avec visages et apex interchangés. Le double de chaque solide platonique est un autre solide platonique, nous pouvons donc organiser les cinq solides en paires doubles.

  • Le tétraèdre est dualiste (son dual est un autre tétraèdre).
  • Le cube et l'octaèdre forment une double paire.
  • Le dodécaèdre et l'icosaèdre forment une double paire.

Si un polyèdre a le symbole Schläfli p, q, puis son double symbole q, p. En fait, toutes les propriétés combinatoires d'un solide platonique peuvent être interprétées comme une autre propriété combinatoire de double.

On peut construire le double polyèdre en prenant les verticales du dual comme centre des faces de la figure originale. Si vous connectez les centres aux surfaces adjacentes de l'original, les arêtes du double sont formées, ce qui permet d'équilibrer le nombre de faces et le sommet tout en conservant le nombre d'arêtes.

Plus généralement, un solide platonique peut être dualisé par rapport à une sphère de rayon concentrique au solide. Radians (R, ρ, r) d'un solide et ceux de son double (R*, ρ*, r*) est lié par

Dualisation en ce qui concerne le mi-sphère ( = ρ) est souvent pratique car la sphère intermédiaire a la même relation avec les deux polyèdres. prise 2 = rr donne un double solide avec les mêmes circumradius et inradius (c'est-à-dire R* = R et r* = r).

Groupes de symétrie(éditer)

En mathématiques, le concept de symétrie est étudié avec la notion de groupe mathématique. Chaque polyèdre a un groupe de symétrie correspondant, qui est l'ensemble de toutes les transformations (isométries euclidiennes) laissant l'invariant du polyèdre. L'ordre du groupe de symétrie est le nombre de symétries du polyèdre. On distingue souvent groupe de symétrie complet, qui inclut les réflexions, et groupe de symétrie approprié, qui ne comprend que les rotations.

Les groupes symétriques des solides platoniques constituent une classe spéciale de groupes de points tridimensionnels appelés groupes polyhédriques. Le haut niveau de symétrie des solides platoniques peut être interprété de plusieurs manières. Plus important encore, les sommets de chaque solide sont égaux sous l'influence du groupe de symétrie, en plus des arêtes et des surfaces. On dit que l'action du groupe de symétrie est transitive sur les coins, les arêtes et les faces. En fait, c’est une autre façon de définir la régularité d’un polyèdre: un polyèdre est régulièrement si et seulement si elle est uniforme au sommet, uniforme au bord et uniforme au visage.

Il n'y a que trois groupes de symétrie associés aux solides platoniques au lieu de cinq, car le groupe de symétrie de tout polyèdre coïncide avec celui de son double. Cela se voit facilement en examinant la structure du double polyèdre. Toute symétrie de l'original doit être une symétrie de dual et vice versa. Les trois groupes multi-aléas sont:

Les ordres des groupes corrects (rotationnels) sont respectivement 12, 24 et 60, soit exactement deux fois plus d'arêtes dans le polyèdre correspondant. Les ordres des groupes de symétrie complets sont deux fois plus nombreux (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une dérivation de ces faits. Tous les solides platoniques sauf le tétraèdre sont symétrique centrale, ce qui signifie qu'ils sont conservés sous réflexion tout au long de l'origine.

Le tableau ci-dessous montre les différentes propriétés de symétrie des solides platoniques. Les groupes de symétrie répertoriés sont les groupes complets avec les sous-groupes de rotation indiqués entre parenthèses (également pour le nombre de symétries). La construction de kaléidoscope de Wythoff est une méthode de construction de polyèdres directement à partir de leurs groupes de symétrie. Ils sont répertoriés comme symbole de référence de Wythoff pour chacun des solides platoniques.

polyèdre Schläfli
symbole
Wythoff
symbole
double
polyèdre
Groupe de symétrie (réflexion, rotation)
polyédrique Schön. Cox. Orb. ordre
tétraèdre 3, 3 3 | 2 3 tétraèdre tétraèdre Réflexion tétraédrique domain.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Summit / 7/75 / Tetrahedral_reflection_domains.png / 40px-Tetrahedral_reflection_domains.png "decoding =" async "width =" 40 "height =" 40 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons sedan / 7/75 / Tetrahedral_reflection_domains.png / 60px-Tetrahedral_reflection_domains.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/ exemple / 7/75 /Tetrahedral_reflection_domains.png/80px-Tetrahedral_reflection_domains.png 2x "data-file-width =" 826 "data-file-height =" 818 T
T
(3.3)
(3.3)+
* 332
332
24
12
cube 4, 3 3 | 2 4 octaèdre octaèdre Octaèdre réflexion domains.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 1/10 / Octahedral_reflection_domains.png / 40px-Octahedral_reflection_domains.png "decoding =" async "width =" 40 "height = "39" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons allow / 1/10 / Octahedral_reflection_domains.png / 60px-Octahedral_reflection_domains.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons également / 1 / 10 / octaèdre_deflection_domains.png / 80px-octaèdre_deflection_domains.png 2x "data-file-width =" 825 "data-file-height =" 813 Oh
O
(4.3)
(4.3)+
* 432
432
48
24
octaèdre 3, 4 4 | 2 3 cube
dodécaèdre 5, 3 3 | 2 5 icosaèdre icosaèdre Icosahedral réflexion domains.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / e / eb / Icosahedral_reflection_domains.png / 40px-Icosahedral_reflection_domains.png "decoding =" async "width =" 40 "height = "40" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / e / eb / Icosahedral_reflection_domains.png / 60px-Icosahedral_reflection_domains.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons également / e / eb / Icosahedral_reflection_domains.png / 80px-Icosahedral_reflection_domains.png 2x "data-file-width =" 811 "data-file-height =" 812 Jegh
Jeg
(5,3)
(5,3)+
* 532
532
120
60
ikosaeder 3, 5 5 | 2 3 dodecahedron

I natur og teknologi(éditer)

Tetrahedronen, kuben og oktaederen forekommer naturlig i krystallstrukturer. Disse slipper på ingen måte antallet mulige former for krystaller. Imidlertid er verken den vanlige icosahedronen eller den vanlige dodecededronen blant dem. En av formene, kalt pyritohedron (oppkalt etter gruppen av mineraler som den er typisk) har tolv femkantede flater, anordnet i samme mønster som ansiktene til den vanlige dodekahedronen. Ansiktene til pyritohedronen er imidlertid ikke regelmessige, så pyritohedronen er heller ikke regelmessig. Allotroper av bor og mange borforbindelser, så som borkarbid, inkluderer separate B12 icosahedra innenfor sine krystallstrukturer. Karboransyrer har også molekylstrukturer som tilsvarer vanlig icosahedra.

På begynnelsen av 1900-tallet beskrev Ernst Haeckel (Haeckel, 1904) en rekke arter av Radiolaria, hvorav noen av skjelettene er formet som forskjellige vanlige polyeder. Eksempler inkluderer Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus et Circorrhegma dodecahedra. Formene til disse skapningene skal være tydelige fra navnene.

Mange virus, for eksempel herpesviruset, har formen som en vanlig icosahedron. Virale strukturer er bygd av gjentatte identiske protein-underenheter, og icosahedron er den enkleste formen å samle ved bruk av disse underenhetene. A regular polyhedron is used because it can be built from a single basic unit protein used over and over again; this saves space in the viral genome.

In meteorology and climatology, global numerical models of atmospheric flow are of increasing interest which employ geodesic grids that are based on an icosahedron (refined by triangulation) instead of the more commonly used longitude/latitude grid. This has the advantage of evenly distributed spatial resolution without singularities (i.e. the poles) at the expense of somewhat greater numerical difficulty.

Geometry of space frames is often based on platonic solids. In the MERO system, Platonic solids are used for naming convention of various space frame configurations. For eksempel, 1/2O+T refers to a configuration made of one half of octahedron and a tetrahedron.

Several Platonic hydrocarbons have been synthesised, including cubane and dodecahedrane.

Platonic solids are often used to make dice, because dice of these shapes can be made fair. 6-sided dice are very common, but the other numbers are commonly used in role-playing games. Such dice are commonly referred to as dnn is the number of faces (d8, d20, etc.); see dice notation for more details.

A set of polyhedral dice.

These shapes frequently show up in other games or puzzles. Puzzles similar to a Rubik's Cube come in all five shapes – see magic polyhedra.

Liquid crystals with symmetries of Platonic solids(éditer)

For the intermediate material phase called liquid crystals, the existence of such symmetries was first proposed in 1981 by H. Kleinert and K. Maki.(8)(9)
In aluminum the icosahedral structure was discovered three years after this by Dan Shechtman, which earned him the Nobel Prize in Chemistry in 2011.

Related polyhedra and polytopes(éditer)

Uniform polyhedra(éditer)

There exist four regular polyhedra that are not convex, called Kepler–Poinsot polyhedra. These all have icosahedral symmetry and may be obtained as stellations of the dodecahedron and the icosahedron.

The next most regular convex polyhedra after the Platonic solids are the cuboctahedron, which is a rectification of the cube and the octahedron, and the icosidodecahedron, which is a rectification of the dodecahedron and the icosahedron (the rectification of the self-dual tetrahedron is a regular octahedron). These are both quasi-regular, meaning that they are vertex- and edge-uniform and have regular faces, but the faces are not all congruent (coming in two different classes). They form two of the thirteen Archimedean solids, which are the convex uniform polyhedra with polyhedral symmetry. Their duals, the rhombic dodecahedron and rhombic triacontahedron, are edge- and face-transitive, but their faces are not regular and their vertices come in two types each; they are two of the thirteen Catalan solids.

The uniform polyhedra form a much broader class of polyhedra. These figures are vertex-uniform and have one or more types of regular or star polygons for faces. These include all the polyhedra mentioned above together with an infinite set of prisms, an infinite set of antiprisms, and 53 other non-convex forms.

The Johnson solids are convex polyhedra which have regular faces but are not uniform. Among them are five of the eight convex deltahedra, which have identical, regular faces (all equilateral triangles) but are not uniform. (The other three convex deltahedra are the Platonic tetrahedron, octahedron, and icosahedron.)

Regular tessellations(éditer)

Regular spherical tilings
Platonic tilings
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3,3 4,3 3,4 5,3 3,5
Regular dihedral tilings
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2,2 3,2 4,2 5,2 6,2…
Regular hosohedral tilings
Spherical digonal hosohedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Spherical_digonal_hosohedron.png/60px-Spherical_digonal_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="63" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Spherical_digonal_hosohedron.png/90px-Spherical_digonal_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Spherical_digonal_hosohedron.png/120px-Spherical_digonal_hosohedron.png 2x" data-file-width="573" data-file-height="603 Spherical trigonal hosohedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Spherical_trigonal_hosohedron.png/60px-Spherical_trigonal_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Spherical_trigonal_hosohedron.png/90px-Spherical_trigonal_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Spherical_trigonal_hosohedron.png/120px-Spherical_trigonal_hosohedron.png 2x" data-file-width="849" data-file-height="851 Spherical square hosohedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Spherical_square_hosohedron.png/60px-Spherical_square_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="59" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Spherical_square_hosohedron.png/90px-Spherical_square_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Spherical_square_hosohedron.png/120px-Spherical_square_hosohedron.png 2x" data-file-width="792" data-file-height="774 Spherical pentagonal hosohedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Spherical_pentagonal_hosohedron.png/60px-Spherical_pentagonal_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="59" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Spherical_pentagonal_hosohedron.png/90px-Spherical_pentagonal_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Spherical_pentagonal_hosohedron.png/120px-Spherical_pentagonal_hosohedron.png 2x" data-file-width="777" data-file-height="770 Spherical hexagonal hosohedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Spherical_hexagonal_hosohedron.png/60px-Spherical_hexagonal_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Spherical_hexagonal_hosohedron.png/90px-Spherical_hexagonal_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Spherical_hexagonal_hosohedron.png/120px-Spherical_hexagonal_hosohedron.png 2x" data-file-width="778" data-file-height="779
2,2 2,3 2,4 2,5 2,6…

The three regular tessellations of the plane are closely related to the Platonic solids. Indeed, one can view the Platonic solids as regular tessellations of the sphere. This is done by projecting each solid onto a concentric sphere. The faces project onto regular spherical polygons which exactly cover the sphere. Spherical tilings provide two infinite additional sets of regular tilings, the hosohedra, 2,n with 2 vertices at the poles, and lune faces, and the dual dihedra, n,2 with 2 hemispherical faces and regularly spaced vertices on the equator. Such tesselations would be degenerate in true 3D space as polyhedra.

One can show that every regular tessellation of the sphere is characterized by a pair of integers p, q with 1/p + 1/q > 1/2. Likewise, a regular tessellation of the plane is characterized by the condition 1/p + 1/q = 1/2. There are three possibilities:

In a similar manner, one can consider regular tessellations of the hyperbolic plane. These are characterized by the condition 1/p + 1/q < 1/2. There is an infinite family of such tessellations.

Higher dimensions(éditer)

In more than three dimensions, polyhedra generalize to polytopes, with higher-dimensional convex regular polytopes being the equivalents of the three-dimensional Platonic solids.

In the mid-19th century the Swiss mathematician Ludwig Schläfli discovered the four-dimensional analogues of the Platonic solids, called convex regular 4-polytopes. There are exactly six of these figures; five are analogous to the Platonic solids 5-cell as 3,3,3, 16-cell as 3,3,4, 600-cell as 3,3,5, tesseract as 4,3,3, and 120-cell as 5,3,3, and a sixth one, the self-dual 24-cell, 3,4,3.

In all dimensions higher than four, there are only three convex regular polytopes: the simplex as 3,3,…,3, the hypercube as 4,3,…,3, and the cross-polytope as 3,3,…,4. In three dimensions, these coincide with the tetrahedron as 3,3, the cube as 4,3, and the octahedron as 3,4.

Voir aussi(éditer)

References(éditer)

Sources(éditer)

  • Gardner, Martin(1987). The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions, University of Chicago Press, Chapter 1: The Five Platonic Solids, ISBN 0226282538
  • Haeckel, Ernst, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. (1998); Art forms in nature, Prestel USA. ISBN 3-7913-1990-6.
  • Hecht, Laurence; Stevens, Charles B. (Fall 2004). "New Explorations with The Moon Model" (PDF). 21st Century Science and Technology. s. 58.
  • Kepler. Johannes Strena seu de nive sexangula (On the Six-Cornered Snowflake), 1611 paper by Kepler which discussed the reason for the six-angled shape of the snow crystals and the forms and symmetries in nature. Talks about platonic solids.
  • Kleinert, Hagen and Maki, K. (1981). "Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals" (PDF). Fortschritte der Physik. 29 (5): 219–259. Bibcode:1981ForPh..29..219K. doi:10.1002/prop.19810290503CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  • Lloyd, David Robert (2012). "How old are the Platonic Solids?". BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics. 27 (3): 131–140. doi:10.1080/17498430.2012.670845.

Liens externes(éditer)


Les robustes de Platon sont des formes qui font partie de la géométrie sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées dans les pays entier plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. nIls sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du volume de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. nLes 4 premières formes conviennent aux éléments : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.

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