Symétrie involontaire Cs, (*) () = |
Symétrie cyclique CNevada, (* nn) (n) = |
Dihedromsymmetri réNew Hampshire, (* n22) (n, 2) = |
|
| Groupe polyhédral, (n, 3), (* n32) | |||
|---|---|---|---|
Symétrie tétraédrique Tré(* 332) (3,3) = |
Octahedrelsymmetri Oh(* 432) (4.3) = |
Symétrie icosaédrique Jeh, (* 532) (5.3) = |
|
Un icosaèdre ordinaire a 60 symétries de rotation, ou une séquence de symétrie de 120 incluant des transformations qui combinent une réflexion et une rotation. Un dodécaèdre ordinaire a le même ensemble de symétries, car il est doublé par l'icosaèdre.
L'ensemble des symétries préservant l'orientation constitue un groupe appelé A5 (le groupe alterné de 5 lettres), et le groupe complet de symétrie (réflexions incluses) est le produit A5 × Z2. Ce dernier groupe est également connu sous le nom de groupe Coxeter H3, et est également représenté avec la notation Coxeter, (5.3) et le diagramme de Coxeter ![]()
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En groupe de points(éditer)
Outre les deux séries infinies de symétrie prismatique et antiprismatique, rotasjonsikoskatedralsymmetri ou symétrie chirale icosaédrique d'objets chiraux et symétrie icosahédrique complète ou symétrie achirale icosaédrique sont les symétries ponctuelles discrètes (ou symétries équivalentes dans la sphère) avec les plus grands groupes de symétries.
La symétrie icosaédrique est pas compatible avec la symétrie de translation, il n’ya donc pas de groupes de points cristallographiques ou de groupes d’espaces associés.
Les présentations correspondant à ce qui précède sont:
Ceux-ci correspondent aux groupes icosaédriques (rotatifs et complets) étant les (2,3,5) groupes triangulaires.
La première présentation fut donnée par William Rowan Hamilton en 1856, dans son article sur le calcul iconique.(1)
Notez que d’autres présentations sont possibles, par exemple un groupe en alternance (pour Je).
visualiser ~~ POS = TRUNC(éditer)
Structure du Groupe(éditer)
| Les bords d'une connexion sphérique de cinq octets représentent les 15 plans de miroir qui colorent de grands cercles. Chaque octave peut représenter 3 plans de miroir orthogonaux sur ses bords. | |
| La symétrie pyritohédrique est un indice de 5 sous-ensembles de symétrie icosaédrique, avec 3 lignes de réflexion vertes orthogonales et 8 points de séquence de rotation-3 rouges. En tant que sous-groupe d'indice 5, il existe 5 autres orientations de symétrie pyritohédrique. | |
ils groupe de rotation icosaédrique Je est en ordre 60. Le groupe Je est isomorphe à FR5, le groupe alternant avec des permutations uniformes de cinq objets. Cet isomorphisme peut être réalisé par Je agissant sur divers composés, notamment le composé de cinq cubes (inscrit dans le dodécaèdre), le composé de cinq octaèdres ou l’un des deux composés de cinq tétraèdres (énantiomorphes et inscrits dans le dodécaèdre).
Le groupe contient 5 versions de Th avec 20 versions de ré3 (10 axes, 2 par axe), et 6 versions de ré5.
ils groupe complet Jeh a l'ordre 120. Il a Je en tant que sous-groupe normal de l'index 2. Le groupe Jeh est isomorphe à Je x Z2ou FR5 x Z2, l'inversion au centre correspondant à l'élément (identité, -1), où Z2 est écrit multiplicatively.
Jeh agit sur la connexion de cinq cubes et la connexion sur cinq octaèdres, mais −1 joue le rôle de l'identité (car les cubes et les octaèdres ont une symétrie centrale). Il agit sur le composé de dix tétraèdres: Je agit sur les deux moitiés chirales (composés de cinq tétraèdres), et -1 échange les deux moitiés.
Surtout il fait pas agir en tant que S5et ces groupes ne sont pas isomorphes; voir ci-dessous pour plus de détails.
Le groupe contient 10 versions de ré3d et 6 versions de ré5d (symétries telles que des anti-prismes).
Je est également isomorphe pour PSL2(5) cependant Jeh n'est pas isomorphe pour SL2(5).
Groupes généralement confus(éditer)
Les groupes suivants sont tous d'ordre 120 mais ne sont pas isomorphes:
Elles correspondent aux séquences exactes courtes suivantes (cette dernière ne se sépare pas) et produit
En mots,
Notez le
n'a pas de représentation tridimensionnelle irréductible, ce qui correspond au fait que tout le groupe icosaédrique n'est pas le groupe symétrique.
Celles-ci peuvent également être associées à des groupes linéaires sur le dernier champ de cinq éléments, qui montre les sous-groupes et couvre directement les groupes; Aucune de ces personnes ne fait partie du groupe icosaédrique:
- ils groupe linéaire spécial projectif, voir ici pour preuve;
- ils groupe linéaire général projectif;
- ils groupe linéaire spécial.
Cours de Conjugaison(éditer)
| Je | Jeh |
|---|---|
|
|
Sous-groupes de symétrie icosahédrique complète(éditer)
| Schön. | Coxeter | Orb. | H-M | structure | Cyc. | ordre | index | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Jeh | (5.3) | * 532 | 532 / m | FR5x Z2 | 120 | 1 | ||
| ré2h | (2.2) | * 222 | mmm | Dih2x Dih1= Dih13 | 8 | 15 | ||
| C5v | (5) | * 55 | 5m | Dih5 | 10 | 12 | ||
| C3V | (3) | * 33 | 3m | Dih3= S3 | 6 | 20 | ||
| C2v | (2) | * 22 | 2 mm | Dih2= Dih12 | 4 | 30 | ||
| Cs | () | * | 2 ou m | Dih1 | 2 | 60 | ||
| Th | (3+4) | 3 * 2 | m3 | FR4x Z2 | 24 | 5 | ||
| ré5d | (2+, 10) | 2 * 5 | 10m2 | Dih10= Z2x Dih5 | 20 | 6 | ||
| ré3d | (2+, 6) | 2 * 3 | 3m | Dih6= Z2x Dih3 | 12 | 10 | ||
| ré1d = C2h | (2+, 2) | 2 * | 2 / m | Dih2= Z2x Dih1 | 4 | 30 | ||
| S10 | (2+10+) | 5 x | 5 | Z10= Z2x Z5 | 10 | 12 | ||
| S6 | (2+6+) | 3 x | 3 | Z6= Z2x Z3 | 6 | 20 | ||
| S2 | (2+2+) | x | 1 | Z2 | 2 | 60 | ||
| Je | (5.3)+ | 532 | 532 | FR5 | 60 | 2 | ||
| T | (3.3)+ | 332 | 332 | FR4 | 12 | 10 | ||
| ré5 | (2,5)+ | 522 | 522 | Dih5 | 10 | 12 | ||
| ré3 | (2,3)+ | 322 | 322 | Dih3= S3 | 6 | 20 | ||
| ré2 | (2.2)+ | 222 | 222 | Dih2= Z22 | 4 | 30 | ||
| C5 | (5)+ | 55 | 5 | Z5 | 5 | 24 | ||
| C3 | (3)+ | 33 | 3 | Z3= Un3 | 3 | 40 | ||
| C2 | (2)+ | 22 | 2 | Z2 | 2 | 60 | ||
| C1 | ()+ | 11 | 1 | Z1 | 1 | 120 | ||
Toutes ces classes de sous-groupes sont conjuguées (c.-à-d. Que tous les stabilisateurs de sommet sont conjugués) et admettent des interprétations géométriques.
Notez que le stabilisateur d'un sommet / arête / face / polyèdre et son opposé sont les mêmes, car
est central.
Hvirvelstabilisatorer(éditer)
Les stabilisateurs d'une paire verticale opposée peuvent être interprétés comme des stabilisants pour l'axe qu'ils génèrent.
- stabilisateurs de sommet i Je donner des groupes cycliques C3
- stabilisateurs de sommet i Jeh donner des groupes dièdres ré3
- stabilisants d'un sommet opposé i Je donner des groupes dièdres ré3
- stabilisants d'un sommet opposé i Jeh donner
Kantstabilisatorer(redigere)
Stabilizers of an opposite pair of edges can be interpreted as stabilizers of the rectangle they generate.
- edges stabilizers in Je give cyclic groups Z2
- edges stabilizers in Jeh give Klein four-groups
- stabilizers of a pair of edges in Je give Klein four-groups ; there are 5 of these, given by rotation by 180° in 3 perpendicular axes.
- stabilizers of a pair of edges in Jeh give ; there are 5 of these, given by reflections in 3 perpendicular axes.
Face stabilizers(edit)
Stabilizers of an opposite pair of faces can be interpreted as stabilizers of the anti-prism they generate.
- face stabilizers in Je give cyclic groups C5
- face stabilizers in Jeh give dihedral groups D5
- stabilizers of an opposite pair of faces in Je give dihedral groups D5
- stabilizers of an opposite pair of faces in Jeh give
Polyhedron stabilizers(edit)
For each of these, there are 5 conjugate copies, and the conjugation action gives a map, indeed an isomorphism, <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e09e712547d5689ea9234569d52c18c556d1dd69" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.87ex; height:3.176ex;" alt="I stackrelsimto A_5 < S_5"/>.
- stabilizers of the inscribed tetrahedra in Je are a copy of T
- stabilizers of the inscribed tetrahedra in Jeh are a copy of T
- stabilizers of the inscribed cubes (or opposite pair of tetrahedra, or octahedra) in Je are a copy of T
- stabilizers of the inscribed cubes (or opposite pair of tetrahedra, or octahedra) in Jeh are a copy of Th
Fundamental domain(edit)
Fundamental domains for the icosahedral rotation group and the full icosahedral group are given by:
In the disdyakis triacontahedron one full face is a fundamental domain; other solids with the same symmetry can be obtained by adjusting the orientation of the faces, e.g. flattening selected subsets of faces to combine each subset into one face, or replacing each face by multiple faces, or a curved surface.
Polyhedra with icosahedral symmetry(edit)
Chiral polyhedra(edit)
Full icosahedral symmetry(edit)
| Platoniquement solide | Kepler–Poinsot polyhedra | Archimedean solids | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
5,3 |
5/2,5 |
5/2,3 |
t5,3 |
t3,5 |
r3,5 |
rr3,5 |
tr3,5 |
| Platoniquement solide | Kepler–Poinsot polyhedra | Catalan solids | |||||
3,5 |
5,5/2 |
3,5/2 |
V3.10.10 |
V5.6.6 |
V3.5.3.5 |
V3.4.5.4 |
V4.6.10 |
Other objects with icosahedral symmetry(edit)
Liquid crystals with icosahedral symmetry(edit)
For the intermediate material phase called liquid crystals the existence of icosahedral symmetry was proposed by H. Kleinert and K. Maki(2)
and its structure was first analyzed in detail in that paper. See the review article here.
In aluminum, the icosahedral structure was discovered experimentally three years after this
by Dan Shechtman, which earned him the Nobel Prize in 2011.
Related geometries(edit)
Icosahedral symmetry is equivalently the projective special linear group PSL(2,5), and is the symmetry group of the modular curve X(5), and more generally PSL(2,p) is the symmetry group of the modular curve X(p). The modular curve X(5) is geometrically a dodecahedron with a cusp at the center of each polygonal face, which demonstrates the symmetry group.
This geometry, and associated symmetry group, was studied by Felix Klein as the monodromy groups of a Belyi surface – a Riemann surface with a holomorphic map to the Riemann sphere, ramified only at 0, 1, and infinity (a Belyi function) – the cusps are the points lying over infinity, while the vertices and the centers of each edge lie over 0 and 1; the degree of the covering (number of sheets) equals 5.
This arose from his efforts to give a geometric setting for why icosahedral symmetry arose in the solution of the quintic equation, with the theory given in the famous (Klein 1888); a modern exposition is given in (Tóth 2002, Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, p. 66).
Klein's investigations continued with his discovery of order 7 and order 11 symmetries in (Klein & 1878/79b) and (Klein 1879) (and associated coverings of degree 7 and 11) and dessins d'enfants, the first yielding the Klein quartic, whose associated geometry has a tiling by 24 heptagons (with a cusp at the center of each).
Similar geometries occur for PSL(2,n) and more general groups for other modular curves.
More exotically, there are special connections between the groups PSL(2,5) (order 60), PSL(2,7) (order 168) and PSL(2,11) (order 660), which also admit geometric interpretations – PSL(2,5) is the symmetries of the icosahedron (genus 0), PSL(2,7) of the Klein quartic (genus 3), and PSL(2,11) the buckyball surface (genus 70). These groups form a "trinity" in the sense of Vladimir Arnold, which gives a framework for the various relationships; see trinities for details.
There is a close relationship to other Platonic solids.
See also(edit)
References(edit)
- Klein, F. (1878). "Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen" (On the order-seven transformation of elliptic functions). Mathematische Annalen. 14 (3): 428–471. doi:10.1007/BF01677143. Translated in Levy, Silvio, ed. (1999). The Eightfold Way. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66066-2. MR 1722410.
- Klein, F. (1879), "Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (On the eleventh order transformation of elliptic functions)", Mathematische Annalen, 15 (3–4): 533–555, doi:10.1007/BF02086276, collected as pp. 140–165 in Oeuvres, Tome 3
- Klein, Felix (1888), Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree, Trübner & Co., ISBN 0-486-49528-0trans. George Gavin Morrice
- Tóth, Gábor (2002), Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli
- Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 296
- The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 (1)
- N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups
External links(edit)
En observant les relations entre les solides de Platon, nous pouvons souligner que l’icosaèdre est l’inverse précis du dodécaèdre. C’est-à-dire, si vous connectez les échelons centraux des 12 pentagones qui constituent le composant éthérique, vous aurez créé les douze coins de l’icosaèdre aqueux. nC’est intrigant car ce que nous avons pu observer jusqu’à présent de l’éther indique qu’il se comporte effectivement comme un fluide. Certes, la mesure et l’observation de l’éther s’est reconnue assez dur jusqu’à présent, à cause de son omniprésence. Comment mesurer quelque chose dont on ne peut s’échapper ? Et si nous ne pouvons pas le mesurer, de quelle manière pouvons-nous être sûrs qu’il existe ? nNous avons peu de mal à mesurer les autres composants : la masse cinétique de la terre ; les critiques artificiels rendues solubles par l’eau ; la chaleur rayonnante du feu ; les volts du vent électrique. Celles-ci s’observent plutôt facilement, ‘ continuellement ouvertes à notre regard ‘ comme elles l’effectuent. Mais l’éther super délicat échappe à une détection facile. ‘ n
















