Symétrie icosaédrique – Wikipedia | solides de Platon spirituel

Groupes de points en trois dimensions
Sphère symétrie groupe cs.png
Symétrie involontaire
Cs, (*)
() = CDel node c2.png
Groupe de symétrie sphérique c3v.png
Symétrie cyclique
CNevada, (* nn)
(n) = CDel node c1.pngCDel n.pngCDel node c1.png
Groupe de symétrie sphérique d3h.png
Dihedromsymmetri
New Hampshire, (* n22)
(n, 2) = CDel node c1.pngCDel n.pngCDel node c1.pngCDel 2.pngCDel node c1.png
Groupe polyhédral, (n, 3), (* n32)
Groupe de symétrie sphérique td.png
Symétrie tétraédrique
T(* 332)
(3,3) = CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
Groupe de symétrie sphérique oh.png
Octahedrelsymmetri
Oh(* 432)
(4.3) = CDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
Groupe de symétrie sphérique ih.png
Symétrie icosaédrique
Jeh, (* 532)
(5.3) = CDel node c2.pngCDel 5.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c2.png

Domaines de base de la symétrie icosaédrique

Un icosaèdre ordinaire a 60 symétries de rotation, ou une séquence de symétrie de 120 incluant des transformations qui combinent une réflexion et une rotation. Un dodécaèdre ordinaire a le même ensemble de symétries, car il est doublé par l'icosaèdre.

L'ensemble des symétries préservant l'orientation constitue un groupe appelé A5 (le groupe alterné de 5 lettres), et le groupe complet de symétrie (réflexions incluses) est le produit A5 × Z2. Ce dernier groupe est également connu sous le nom de groupe Coxeter H3, et est également représenté avec la notation Coxeter, (5.3) et le diagramme de Coxeter CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

En groupe de points(éditer)

Outre les deux séries infinies de symétrie prismatique et antiprismatique, rotasjonsikoskatedralsymmetri ou symétrie chirale icosaédrique d'objets chiraux et symétrie icosahédrique complète ou symétrie achirale icosaédrique sont les symétries ponctuelles discrètes (ou symétries équivalentes dans la sphère) avec les plus grands groupes de symétries.

La symétrie icosaédrique est pas compatible avec la symétrie de translation, il n’ya donc pas de groupes de points cristallographiques ou de groupes d’espaces associés.

Les présentations correspondant à ce qui précède sont:

Ceux-ci correspondent aux groupes icosaédriques (rotatifs et complets) étant les (2,3,5) groupes triangulaires.

La première présentation fut donnée par William Rowan Hamilton en 1856, dans son article sur le calcul iconique.(1)

Notez que d’autres présentations sont possibles, par exemple un groupe en alternance (pour Je).

visualiser ~~ POS = TRUNC(éditer)

Structure du Groupe(éditer)

Connexion sphérique de cinq octaèdres.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / b / b2 / Composer_phérique_phérique_of_five_octahedra.png / 160px-Composer_phérique_phérique_of_five_octahedra.png srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / b / b2 / Composer_phosphérique_de_five_octahedra.png / 240px-Composer_phérique_phérique_de_five_octahedra.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/kk/ png / 320px-Spherical_compound_of_five_octahedra.png 2x "data-file-width =" 603 "data-file-height =" 612 Disdyakis triacontahedron stereographic d2 5-color.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 0/04 / Disdyakis_triacontahedron_stereographic_d2_5-color.png / 200px-Disdyakis_Dewakontahedronedogance) "127" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Récemment / 0/04 / Disdyakis_triacontahedron_stereographic_d2_5-color.png / 300px-Disdyakis_triacontahedron_stereographic_d2_nng_5 / uploadload.wikimedia /Disdyakis_triacontahedron_stereographic_d2_5-color.png/400px-Disdyakis_triacontahedron_stereographic_d2_5-color.png 2x "fichier-fichier-largeur =" 934 "fichier-fichier-fichier-
Les bords d'une connexion sphérique de cinq octets représentent les 15 plans de miroir qui colorent de grands cercles. Chaque octave peut représenter 3 plans de miroir orthogonaux sur ses bords.
Connexion sphérique de cinq symétries pyritohédriques octaédriques.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons terminé / 0 / 0d / Composé_phérique_de_five_octahedra-pyritohedral_symmetry.png / 160px-Spherical_ralprying "= = "163" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons lorsque / 0 / 0d / Composé_phérique_de_five_octahedra-pyritohedral_symmetry.png / 240px-Composé_sphérique_de_five_of_five_octahedra_pymmetrymoik Composé_sphérique_de_five_octaèdre-pyritohèdre_symmetry.png / 320px-Composé_sphérique_phérique_de_five_octahedra_pyritohedral_symmetry.png 2x12 = -2 Disdyakis triacontahedron stereographic d2 pyritohedral.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Summit / 0 / 0c / Disdyakis_triacontahedron_stereographic_d2_pyritohedral.png / 200px-Disdyakis_triakontd upload.wikimedia.org/wikipedia/commons berline / 0 / 0C / Disdyakis_triacontahedron_stereographic_d2_pyritohedral.png / 300px-Disdyakis_triacontahedron_stereographic_d2_pyritohedral.upload / media.pngik.org /hops/0/0c/Disdyakis_triacontahedron_stereographic_d2_pyritohedral.png/400px-Disdyakis_triacontahedron_stereographic_d2_pyritohedral.png 2x « Data- file-width = "934" data-file-height = "592
La symétrie pyritohédrique est un indice de 5 sous-ensembles de symétrie icosaédrique, avec 3 lignes de réflexion vertes orthogonales et 8 points de séquence de rotation-3 rouges. En tant que sous-groupe d'indice 5, il existe 5 autres orientations de symétrie pyritohédrique.

ils groupe de rotation icosaédrique Je est en ordre 60. Le groupe Je est isomorphe à FR5, le groupe alternant avec des permutations uniformes de cinq objets. Cet isomorphisme peut être réalisé par Je agissant sur divers composés, notamment le composé de cinq cubes (inscrit dans le dodécaèdre), le composé de cinq octaèdres ou l’un des deux composés de cinq tétraèdres (énantiomorphes et inscrits dans le dodécaèdre).

Le groupe contient 5 versions de Th avec 20 versions de 3 (10 axes, 2 par axe), et 6 versions de 5.

ils groupe complet Jeh a l'ordre 120. Il a Je en tant que sous-groupe normal de l'index 2. Le groupe Jeh est isomorphe à Je x Z2ou FR5 x Z2, l'inversion au centre correspondant à l'élément (identité, -1), où Z2 est écrit multiplicatively.

Jeh agit sur la connexion de cinq cubes et la connexion sur cinq octaèdres, mais −1 joue le rôle de l'identité (car les cubes et les octaèdres ont une symétrie centrale). Il agit sur le composé de dix tétraèdres: Je agit sur les deux moitiés chirales (composés de cinq tétraèdres), et -1 échange les deux moitiés.
Surtout il fait pas agir en tant que S5et ces groupes ne sont pas isomorphes; voir ci-dessous pour plus de détails.

Le groupe contient 10 versions de 3d et 6 versions de 5d (symétries telles que des anti-prismes).

Je est également isomorphe pour PSL2(5) cependant Jeh n'est pas isomorphe pour SL2(5).

Groupes généralement confus(éditer)

Les groupes suivants sont tous d'ordre 120 mais ne sont pas isomorphes:

Elles correspondent aux séquences exactes courtes suivantes (cette dernière ne se sépare pas) et produit

En mots,

Notez le

FR5 style d'affichage A_ 5

avoir un représentation tridimensionnelle irréductible exceptionnelle (comme le groupe de rotation icosaédrique), mais

S5 style d'affichage S_ 5

n'a pas de représentation tridimensionnelle irréductible, ce qui correspond au fait que tout le groupe icosaédrique n'est pas le groupe symétrique.

Celles-ci peuvent également être associées à des groupes linéaires sur le dernier champ de cinq éléments, qui montre les sous-groupes et couvre directement les groupes; Aucune de ces personnes ne fait partie du groupe icosaédrique:

Cours de Conjugaison(éditer)

classes de conjugaison
Je Jeh
  • identité
  • 12 × rotation 72 °, ordre 5
  • 12 × rotation à 144 °, ordre 5
  • 20 × rotation à 120 °, ordre 3
  • 15 × rotation à 180 °, ordre 2
  • inversion
  • 12 × réflexion du rotor à 108 °, ordre 10
  • 12 × réflexion du rotor à 36 °, ordre 10
  • 20 × réflexion du rotor à 60 °, ordre 6
  • 15 × réflexion, ordre 2

Sous-groupes de symétrie icosahédrique complète(éditer)

Relations entre les sous-groupes du chiral
Schön. Coxeter Orb. H-M structure Cyc. ordre index
Jeh (5.3) CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png * 532 532 / m FR5x Z2 120 1
2h (2.2) CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png * 222 mmm Dih2x Dih1= Dih13 GroupDiagramMiniC2x3.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / c / c9 / GroupDiagramMiniC2x3.svg / 25px-GroupDiagramMiniC2x3.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / c / c9 / GroupDiagramMiniC2x3.svg / 38px-GroupDiagramMiniC2x3.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / hops /c/c9/GroupDiagramMiniC2x3.svg/50px-GroupDiagramMiniC2x3.svg.png 2x "data-file-width =" 32 "data-file-height =" 32 8 15
C5v (5) CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png * 55 5m Dih5 GroupDiagramMiniD10.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / c / ce / GroupDiagramMiniD10.svg / 25px-GroupDiagramMiniD10.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / c / ce / GroupDiagramMiniD10.svg / 38px-GroupDiagramMiniD10.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / hops /c/ce/GroupDiagramMiniD10.svg/50px-GroupDiagramMiniD10.svg.png 2x "data-file-width =" 32 "data-file-height =" 32 10 12
C3V (3) CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png * 33 3m Dih3= S3 GroupDiagramMiniD6.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / c / c0 / GroupDiagramMiniD6.svg / 25px-GroupDiagramMiniD6.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / c / c0 / GroupDiagramMiniD6.svg / 38px-GroupDiagramMiniD6.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / hops /c/c0/GroupDiagramMiniD6.svg/50px-GroupDiagramMiniD6.svg.png 2x "data-file-width =" 32 "data-file-height =" 32 6 20
C2v (2) CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png * 22 2 mm Dih2= Dih12 GroupDiagramMiniD4.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 4/47 / GroupDiagramMiniD4.svg / 25px-GroupDiagramMiniD4.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons current / 4/47 / GroupDiagramMiniD4.svg / 38px-GroupDiagramMiniD4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / hops /4/47/GroupDiagramMiniD4.svg/50px-GroupDiagramMiniD4.svg.png 2x "data-file-width =" 32 "data-file-height =" 32 4 30
Cs () CDel node.png * 2 ou m Dih1 GroupDiagramMiniC2.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / d / en / GroupDiagramMiniC2.svg / 25px-GroupDiagramMiniC2.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons current / d / da / GroupDiagramMiniC2.svg / 38px-GroupDiagramMiniC2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / hops /d/da/GroupDiagramMiniC2.svg/50px-GroupDiagramMiniC2.svg.png 2x "data-file-width =" 32 "data-file-height =" 32 2 60
Th (3+4) Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 3.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 4.pngCDel node.png 3 * 2 m3 FR4x Z2 GroupDiagramMiniA4xC2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons moment / 4/48 / GroupDiagramMiniA4xC2.png / 25px-GroupDiagramMiniA4xC2.png "décodage =" asynch "width =" 25 "height =" 20 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons moment / 4/48 / GroupDiagramMiniA4xC2.png / 38px-GroupDiagramMiniA4xC2.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commonsgely/4/48/GroupDiagram. .png / 50px-GroupDiagramMiniA4xC2.png 2x "data-file-width =" 630 "data-file-height =" 497 24 5
5d (2+, 10) Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 2.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 10.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c6/CDel_10.png "decoding =" async "width =" 10 "height =" 23 "fichier de données width =" 10 "hauteur du fichier de données =" 23CDel node.png 2 * 5 10m2 Dih10= Z2x Dih5 GroupDiagramMiniD20.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 7/74 / GroupDiagramMiniD20.png / 25px-GroupDiagramMiniD20.png "décodage =" async "width =" 25 "height =" 27 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons moment / 7/74 / GroupDiagramMiniD20.png / 38px-GroupDiagramMiniD20.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 7/74 / GroupDiagramMiniD20.png / 50px-GroupDiagramMiniD20.png 2x "data-file-width =" 749 "data-file-height =" 817 20 6
3d (2+, 6) Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 2.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 6.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/32/CDel_6.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "hauteur du fichier de données =" 23CDel node.png 2 * 3 3m Dih6= Z2x Dih3 GroupDiagramMiniD12.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 5 / 5a / GroupDiagramMiniD12.svg / 25px-GroupDiagramMiniD12.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons current / 5 / 5a / GroupDiagramMiniD12.svg / 38px-GroupDiagramMiniD12.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / hops /5/5a/GroupDiagramMiniD12.svg/50px-GroupDiagramMiniD12.svg.png 2x "data-file-width =" 64 "data-file-height =" 64 12 10
1d = C2h (2+, 2) Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 2.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 2.pngCDel node.png 2 * 2 / m Dih2= Z2x Dih1 GroupDiagramMiniD4.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 4/47 / GroupDiagramMiniD4.svg / 25px-GroupDiagramMiniD4.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons current / 4/47 / GroupDiagramMiniD4.svg / 38px-GroupDiagramMiniD4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / hops /4/47/GroupDiagramMiniD4.svg/50px-GroupDiagramMiniD4.svg.png 2x "data-file-width =" 32 "data-file-height =" 32 4 30
S10 (2+10+) Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 2.pngNoeud CDel h4.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/CDel_node_h4.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 10.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c6/CDel_10.png "decoding =" async "width =" 10 "height =" 23 "fichier de données width =" 10 "hauteur du fichier de données =" 23Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23 5 x 5 Z10= Z2x Z5 GroupDiagramMiniC10.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 9 / 9e / GroupDiagramMiniC10.svg / 25px-GroupDiagramMiniC10.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons allow / 9 / 9th / GroupDiagramMiniC10.svg / 38px-GroupDiagramMiniC10.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / hops /9/9e/GroupDiagramMiniC10.svg/50px-GroupDiagramMiniC10.svg.png 2x "data-file-width =" 32 "data-file-height =" 32 10 12
S6 (2+6+) Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 2.pngNoeud CDel h4.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/CDel_node_h4.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 6.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/32/CDel_6.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "hauteur du fichier de données =" 23Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23 3 x 3 Z6= Z2x Z3 GroupDiagramMiniC6.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / f / fb / GroupDiagramMiniC6.svg / 25px-GroupDiagramMiniC6.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / f / fb / GroupDiagramMiniC6.svg / 38px-GroupDiagramMiniC6.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / hops /f/fb/GroupDiagramMiniC6.svg/50px-GroupDiagramMiniC6.svg.png 2x "data-file-width =" 32 "data-file-height =" 32 6 20
S2 (2+2+) Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 2.pngNoeud CDel h4.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/CDel_node_h4.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 2.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23 x 1 Z2 GroupDiagramMiniC2.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / d / en / GroupDiagramMiniC2.svg / 25px-GroupDiagramMiniC2.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons current / d / da / GroupDiagramMiniC2.svg / 38px-GroupDiagramMiniC2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / hops /d/da/GroupDiagramMiniC2.svg/50px-GroupDiagramMiniC2.svg.png 2x "data-file-width =" 32 "data-file-height =" 32 2 60
Je (5.3)+ Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 5.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 3.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23 532 532 FR5 60 2
T (3.3)+ Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 3.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 3.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23 332 332 FR4 GroupDiagramMiniA4.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 0/02 / GroupDiagramMiniA4.svg / 25px-GroupDiagramMiniA4.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons berline / 0/02 / GroupDiagramMiniA4.svg / 38px-GroupDiagramMiniA4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / Boutiques /0/02/GroupDiagramMiniA4.svg/50px-GroupDiagramMiniA4.svg.png 2x "data-file-width =" 64 "data-file-height =" 64 12 10
5 (2,5)+ Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 2.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 5.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23 522 522 Dih5 GroupDiagramMiniD10.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / c / ce / GroupDiagramMiniD10.svg / 25px-GroupDiagramMiniD10.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / c / ce / GroupDiagramMiniD10.svg / 38px-GroupDiagramMiniD10.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / hops /c/ce/GroupDiagramMiniD10.svg/50px-GroupDiagramMiniD10.svg.png 2x "data-file-width =" 32 "data-file-height =" 32 10 12
3 (2,3)+ Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 2.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 3.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23 322 322 Dih3= S3 GroupDiagramMiniD6.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / c / c0 / GroupDiagramMiniD6.svg / 25px-GroupDiagramMiniD6.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / c / c0 / GroupDiagramMiniD6.svg / 38px-GroupDiagramMiniD6.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / hops /c/c0/GroupDiagramMiniD6.svg/50px-GroupDiagramMiniD6.svg.png 2x "data-file-width =" 32 "data-file-height =" 32 6 20
2 (2.2)+ Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 2.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 2.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23 222 222 Dih2= Z22 GroupDiagramMiniD4.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 4/47 / GroupDiagramMiniD4.svg / 25px-GroupDiagramMiniD4.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons current / 4/47 / GroupDiagramMiniD4.svg / 38px-GroupDiagramMiniD4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / hops /4/47/GroupDiagramMiniD4.svg/50px-GroupDiagramMiniD4.svg.png 2x "data-file-width =" 32 "data-file-height =" 32 4 30
C5 (5)+ Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 5.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23 55 5 Z5 GroupDiagramMiniC5.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / c / cd / GroupDiagramMiniC5.svg / 25px-GroupDiagramMiniC5.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / c / cd / GroupDiagramMiniC5.svg / 38px-GroupDiagramMiniC5.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / hops /c/cd/GroupDiagramMiniC5.svg/50px-GroupDiagramMiniC5.svg.png 2x "data-file-width =" 32 "data-file-height =" 32 5 24
C3 (3)+ Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 3.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23 33 3 Z3= Un3 GroupDiagramMiniC3.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 4 / 4a / GroupDiagramMiniC3.svg / 25px-GroupDiagramMiniC3.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons current / 4 / 4a / GroupDiagramMiniC3.svg / 38px-GroupDiagramMiniC3.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / hops /4/4a/GroupDiagramMiniC3.svg/50px-GroupDiagramMiniC3.svg.png 2x "data-file-width =" 32 "data-file-height =" 32 3 40
C2 (2)+ Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23CDel 2.pngNoeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23 22 2 Z2 GroupDiagramMiniC2.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / d / en / GroupDiagramMiniC2.svg / 25px-GroupDiagramMiniC2.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons current / d / da / GroupDiagramMiniC2.svg / 38px-GroupDiagramMiniC2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / hops /d/da/GroupDiagramMiniC2.svg/50px-GroupDiagramMiniC2.svg.png 2x "data-file-width =" 32 "data-file-height =" 32 2 60
C1 ()+ Noeud CDel h2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "7" data-file-height = "23 11 1 Z1 GroupDiagramMiniC1.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / f / f2 / GroupDiagramMiniC1.svg / 25px-GroupDiagramMiniC1.svg.png "decoding =" async "width =" 25 "height = "25" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / f / f2 / GroupDiagramMiniC1.svg / 38px-GroupDiagramMiniC1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / hops /f/f2/GroupDiagramMiniC1.svg/50px-GroupDiagramMiniC1.svg.png 2x "data-file-width =" 32 "data-file-height =" 32 1 120

Toutes ces classes de sous-groupes sont conjuguées (c.-à-d. Que tous les stabilisateurs de sommet sont conjugués) et admettent des interprétations géométriques.

Notez que le stabilisateur d'un sommet / arête / face / polyèdre et son opposé sont les mêmes, car

1 displaystyle -1

est central.

Hvirvelstabilisatorer(éditer)

Les stabilisateurs d'une paire verticale opposée peuvent être interprétés comme des stabilisants pour l'axe qu'ils génèrent.

  • stabilisateurs de sommet i Je donner des groupes cycliques C3
  • stabilisateurs de sommet i Jeh donner des groupes dièdres 3
  • stabilisants d'un sommet opposé i Je donner des groupes dièdres 3
  • stabilisants d'un sommet opposé i Jeh donner

Kantstabilisatorer(redigere)

Stabilizers of an opposite pair of edges can be interpreted as stabilizers of the rectangle they generate.

  • edges stabilizers in Je give cyclic groups Z2
  • edges stabilizers in Jeh give Klein four-groups
  • stabilizers of a pair of edges in Je give Klein four-groups
  • stabilizers of a pair of edges in Jeh give

Face stabilizers(edit)

Stabilizers of an opposite pair of faces can be interpreted as stabilizers of the anti-prism they generate.

  • face stabilizers in Je give cyclic groups C5
  • face stabilizers in Jeh give dihedral groups D5
  • stabilizers of an opposite pair of faces in Je give dihedral groups D5
  • stabilizers of an opposite pair of faces in Jeh give

Polyhedron stabilizers(edit)

For each of these, there are 5 conjugate copies, and the conjugation action gives a map, indeed an isomorphism,

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e09e712547d5689ea9234569d52c18c556d1dd69" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.87ex; height:3.176ex;" alt="I stackrelsimto A_5 < S_5"/>.

  • stabilizers of the inscribed tetrahedra in Je are a copy of T
  • stabilizers of the inscribed tetrahedra in Jeh are a copy of T
  • stabilizers of the inscribed cubes (or opposite pair of tetrahedra, or octahedra) in Je are a copy of T
  • stabilizers of the inscribed cubes (or opposite pair of tetrahedra, or octahedra) in Jeh are a copy of Th

Fundamental domain(edit)

Fundamental domains for the icosahedral rotation group and the full icosahedral group are given by:

In the disdyakis triacontahedron one full face is a fundamental domain; other solids with the same symmetry can be obtained by adjusting the orientation of the faces, e.g. flattening selected subsets of faces to combine each subset into one face, or replacing each face by multiple faces, or a curved surface.

Polyhedra with icosahedral symmetry(edit)

Chiral polyhedra(edit)

Full icosahedral symmetry(edit)

Platoniquement solide Kepler–Poinsot polyhedra Archimedean solids
Dodecahedron.jpg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Dodecahedron.jpg/50px-Dodecahedron.jpg" decoding="async" width="50" height="49" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Dodecahedron.jpg/75px-Dodecahedron.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Dodecahedron.jpg/100px-Dodecahedron.jpg 2x" data-file-width="847" data-file-height="829
5,3
CDel node 1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23CDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
SmallStellatedDodecahedron.jpg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/SmallStellatedDodecahedron.jpg/50px-SmallStellatedDodecahedron.jpg" decoding="async" width="50" height="53" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/SmallStellatedDodecahedron.jpg/75px-SmallStellatedDodecahedron.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/SmallStellatedDodecahedron.jpg/100px-SmallStellatedDodecahedron.jpg 2x" data-file-width="770" data-file-height="822
5/2,5
CDel node 1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23CDel 5-2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/CDel_5-2.png" decoding="async" width="14" height="23" data-file-width="14" data-file-height="23CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
GreatStellatedDodecahedron.jpg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/GreatStellatedDodecahedron.jpg/50px-GreatStellatedDodecahedron.jpg" decoding="async" width="50" height="47" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/GreatStellatedDodecahedron.jpg/75px-GreatStellatedDodecahedron.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/GreatStellatedDodecahedron.jpg/100px-GreatStellatedDodecahedron.jpg 2x" data-file-width="853" data-file-height="794
5/2,3
CDel node 1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23CDel 5-2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/CDel_5-2.png" decoding="async" width="14" height="23" data-file-width="14" data-file-height="23CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Truncateddodecahedron.jpg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/Truncateddodecahedron.jpg/50px-Truncateddodecahedron.jpg" decoding="async" width="50" height="46" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/Truncateddodecahedron.jpg/75px-Truncateddodecahedron.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/Truncateddodecahedron.jpg/100px-Truncateddodecahedron.jpg 2x" data-file-width="876" data-file-height="802
t5,3
CDel node 1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23CDel 5.pngCDel node 1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23CDel 3.pngCDel node.png
Truncatedicosahedron.jpg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Truncatedicosahedron.jpg/50px-Truncatedicosahedron.jpg" decoding="async" width="50" height="50" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Truncatedicosahedron.jpg/75px-Truncatedicosahedron.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Truncatedicosahedron.jpg/100px-Truncatedicosahedron.jpg 2x" data-file-width="878" data-file-height="874
t3,5
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23CDel 3.pngCDel node 1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23
Icosidodecahedron.jpg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Icosidodecahedron.jpg/50px-Icosidodecahedron.jpg" decoding="async" width="50" height="51" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Icosidodecahedron.jpg/75px-Icosidodecahedron.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Icosidodecahedron.jpg/100px-Icosidodecahedron.jpg 2x" data-file-width="841" data-file-height="861
r3,5
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23CDel 3.pngCDel node.png
Rhombicosidodecahedron.jpg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/96/Rhombicosidodecahedron.jpg/50px-Rhombicosidodecahedron.jpg" decoding="async" width="50" height="51" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/96/Rhombicosidodecahedron.jpg/75px-Rhombicosidodecahedron.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/96/Rhombicosidodecahedron.jpg/100px-Rhombicosidodecahedron.jpg 2x" data-file-width="858" data-file-height="871
rr3,5
CDel node 1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23CDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23
Truncatedicosidodecahedron.jpg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Truncatedicosidodecahedron.jpg/50px-Truncatedicosidodecahedron.jpg" decoding="async" width="50" height="50" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Truncatedicosidodecahedron.jpg/75px-Truncatedicosidodecahedron.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Truncatedicosidodecahedron.jpg/100px-Truncatedicosidodecahedron.jpg 2x" data-file-width="868" data-file-height="869
tr3,5
CDel node 1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23CDel 5.pngCDel node 1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23CDel 3.pngCDel node 1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23
Platoniquement solide Kepler–Poinsot polyhedra Catalan solids
Icosahedron.jpg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Icosahedron.jpg/50px-Icosahedron.jpg" decoding="async" width="50" height="48" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Icosahedron.jpg/75px-Icosahedron.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Icosahedron.jpg/100px-Icosahedron.jpg 2x" data-file-width="819" data-file-height="791
3,5
CDel node f1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/CDel_node_f1.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23CDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23
GreatDodecahedron.jpg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/GreatDodecahedron.jpg/50px-GreatDodecahedron.jpg" decoding="async" width="50" height="54" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/GreatDodecahedron.jpg/75px-GreatDodecahedron.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/GreatDodecahedron.jpg/100px-GreatDodecahedron.jpg 2x" data-file-width="752" data-file-height="814
5,5/2
CDel node f1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/CDel_node_f1.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23CDel 5-2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/CDel_5-2.png" decoding="async" width="14" height="23" data-file-width="14" data-file-height="23CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel 5-2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/CDel_5-2.png" decoding="async" width="14" height="23" data-file-width="14" data-file-height="23CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23
GreatIcosahedron.jpg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/GreatIcosahedron.jpg/50px-GreatIcosahedron.jpg" decoding="async" width="50" height="51" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/GreatIcosahedron.jpg/75px-GreatIcosahedron.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/GreatIcosahedron.jpg/100px-GreatIcosahedron.jpg 2x" data-file-width="831" data-file-height="848
3,5/2
CDel node f1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/CDel_node_f1.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23CDel 5-2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/CDel_5-2.png" decoding="async" width="14" height="23" data-file-width="14" data-file-height="23CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel 5-2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/CDel_5-2.png" decoding="async" width="14" height="23" data-file-width="14" data-file-height="23CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23
Triakisicosahedron.jpg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Triakisicosahedron.jpg/50px-Triakisicosahedron.jpg" decoding="async" width="50" height="52" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Triakisicosahedron.jpg/75px-Triakisicosahedron.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Triakisicosahedron.jpg/100px-Triakisicosahedron.jpg 2x" data-file-width="819" data-file-height="849
V3.10.10
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V5.6.6
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V3.5.3.5
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V3.4.5.4
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V4.6.10
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Other objects with icosahedral symmetry(edit)

Liquid crystals with icosahedral symmetry(edit)

For the intermediate material phase called liquid crystals the existence of icosahedral symmetry was proposed by H. Kleinert and K. Maki(2)
and its structure was first analyzed in detail in that paper. See the review article here.
In aluminum, the icosahedral structure was discovered experimentally three years after this
by Dan Shechtman, which earned him the Nobel Prize in 2011.

Related geometries(edit)

Icosahedral symmetry is equivalently the projective special linear group PSL(2,5), and is the symmetry group of the modular curve X(5), and more generally PSL(2,p) is the symmetry group of the modular curve X(p). The modular curve X(5) is geometrically a dodecahedron with a cusp at the center of each polygonal face, which demonstrates the symmetry group.

This geometry, and associated symmetry group, was studied by Felix Klein as the monodromy groups of a Belyi surface – a Riemann surface with a holomorphic map to the Riemann sphere, ramified only at 0, 1, and infinity (a Belyi function) – the cusps are the points lying over infinity, while the vertices and the centers of each edge lie over 0 and 1; the degree of the covering (number of sheets) equals 5.

This arose from his efforts to give a geometric setting for why icosahedral symmetry arose in the solution of the quintic equation, with the theory given in the famous (Klein 1888); a modern exposition is given in (Tóth 2002, Section 1.6, Additional Topic: Klein&#39;s Theory of the Icosahedron, p. 66).

Klein&#39;s investigations continued with his discovery of order 7 and order 11 symmetries in (Klein & 1878/79b) and (Klein 1879) (and associated coverings of degree 7 and 11) and dessins d&#39;enfants, the first yielding the Klein quartic, whose associated geometry has a tiling by 24 heptagons (with a cusp at the center of each).

Similar geometries occur for PSL(2,n) and more general groups for other modular curves.

More exotically, there are special connections between the groups PSL(2,5) (order 60), PSL(2,7) (order 168) and PSL(2,11) (order 660), which also admit geometric interpretations – PSL(2,5) is the symmetries of the icosahedron (genus 0), PSL(2,7) of the Klein quartic (genus 3), and PSL(2,11) the buckyball surface (genus 70). These groups form a "trinity" in the sense of Vladimir Arnold, which gives a framework for the various relationships; see trinities for details.

There is a close relationship to other Platonic solids.

See also(edit)

References(edit)

  • Klein, F. (1878). "Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen" (On the order-seven transformation of elliptic functions). Mathematische Annalen. 14 (3): 428–471. doi:10.1007/BF01677143. Translated in Levy, Silvio, ed. (1999). The Eightfold Way. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66066-2. MR 1722410.
  • Klein, F. (1879), "Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (On the eleventh order transformation of elliptic functions)", Mathematische Annalen, 15 (3–4): 533–555, doi:10.1007/BF02086276, collected as pp. 140–165 in Oeuvres, Tome 3
  • Klein, Felix (1888), Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree, Trübner & Co., ISBN 0-486-49528-0trans. George Gavin Morrice
  • Tóth, Gábor (2002), Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli
  • Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 296
  • The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 (1)
  • N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups

External links(edit)

En observant les relations entre les solides de Platon, nous pouvons souligner que l’icosaèdre est l’inverse précis du dodécaèdre. C’est-à-dire, si vous connectez les échelons centraux des 12 pentagones qui constituent le composant éthérique, vous aurez créé les douze coins de l’icosaèdre aqueux. nC’est intrigant car ce que nous avons pu observer jusqu’à présent de l’éther indique qu’il se comporte effectivement comme un fluide. Certes, la mesure et l’observation de l’éther s’est reconnue assez dur jusqu’à présent, à cause de son omniprésence. Comment mesurer quelque chose dont on ne peut s’échapper ? Et si nous ne pouvons pas le mesurer, de quelle manière pouvons-nous être sûrs qu’il existe ? nNous avons peu de mal à mesurer les autres composants : la masse cinétique de la terre ; les critiques artificiels rendues solubles par l’eau ; la chaleur rayonnante du feu ; les volts du vent électrique. Celles-ci s’observent plutôt facilement, ‘ continuellement ouvertes à notre regard ‘ comme elles l’effectuent. Mais l’éther super délicat échappe à une détection facile. ‘ n

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