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Les onze noix sur un cube

En géométrie a en ligne d’un polyèdre est un agencement de polygones non superposés liés dans le plan qui peuvent être pliés (le long des bords) pour devenir les faces du polyèdre. Les grilles polyédriques sont un outil utile pour l'étude des polyèdres et de la géométrie solide en général, car elles permettent la construction de modèles physiques de polyèdres de matériau tels que le carton mince.(1)

Une apparition précoce de filets multicolores apparaît dans les œuvres d'Albrecht Dürer, dont le livre de 1525 Enseigner la mesure avec le Zyrkel et le Rychtscheyd y compris les fils pour les solides platoniques et plusieurs des solides archimédiens.(2)

Existence et unicité(éditer)

De nombreux fils différents peuvent exister pour un polyèdre donné, en fonction des choix pour lesquels des arêtes sont connectées et de celles qui sont séparées. Inversement, un maillage donné peut se plier en plus d’un autre polyèdre convexe, en fonction des angles de pliage et du choix des bords à coller.(3) Si un maillage est pourvu d'un motif pour lier les arêtes, de sorte que chaque sommet de la forme résultante ait une erreur angulaire positive et que la somme de ces erreurs soit exactement 4π, il y a nécessairement exactement un polyèdre qui peut en être plié; c'est le théorème de l'unicité d'Alexandrov. Cependant, le polyèdre ainsi formé peut avoir des surfaces différentes de celles spécifiées comme faisant partie du maillage: certains polygones de maillage peuvent avoir des replis et certaines arêtes entre les polygones de maillage peuvent rester non pliées. De plus, un même réseau peut avoir plusieurs modèles de dimensionnement valides, conduisant à différents polyèdres larges.(4)

En 1975, G. C. Shephard a demandé si chaque polyèdre convexe avait au moins un maillage.(5) Cette question, également connue sous le nom de conjecture de Dürer, ou problème de déploiement de Dürer, reste sans réponse.(6)(7) Il existe des polyèdres non convexes ne comportant pas de fils et il est possible de diviser les faces de chaque polyèdre convexe (par exemple, le long d'un locus coupé) de manière à ce que l'ensemble des surfaces subdivisées possède un filet.(8) En 2014, Mohammad Ghomi a démontré que chaque polyèdre convexe admet un réseau après une transformation affine.(9)

Chemin le plus court(éditer)

Le chemin le plus court sur la surface entre deux points de la surface d’un polyèdre correspond à une ligne droite sur une grille appropriée pour le sous-ensemble de surfaces affectées par la bande. Le Web doit être tel que la ligne droite soit complètement à l'intérieur, et vous devrez peut-être envisager plusieurs chemins pour voir lesquels donnent le chemin le plus court. Par exemple, dans le cas d'un cube, si les points se trouvent sur des surfaces adjacentes, un candidat pour le chemin le plus court est le chemin qui traverse le bord commun; le plus court chemin de ce type se trouve au moyen d'un filet où les deux faces sont également adjacentes. Les autres candidats au chemin le plus court passent par la surface d'une troisième face adjacente (il y en a deux), et des grilles similaires peuvent être utilisées pour trouver le chemin le plus court dans chaque catégorie.(10)

Le problème de l'araignée et de la mouche est un jeu de loisir mathématique qui consiste à trouver le chemin le plus court entre deux points d'un cuboïde.

Maille polytop haute dimension(éditer)

Le concept géométrique d'une grille peut être étendu à des dimensions plus grandes.

Par exemple, une grille d'un polytop 4, un polytop quadridimensionnel, est composée de cellules polyédriques reliées à leurs faces et occupent toutes le même espace tridimensionnel, tout comme les surfaces polygonales d'une grille d'un polyèdre sont connectées aux arêtes et occupent le même espace. avion. L’hypercube à quatre dimensions, cité ci-dessus, est utilisé de manière très visible dans un tableau de Salvador Dalí, Crucifixion (corpus hypercubus) (1954).(11) Le même réseau de tesseract est au centre de l'action du roman "- Et il a construit une maison penchée" "de Robert A. Heinlein.

Que chaque 4-polytop puisse être coupé le long des faces bidimensionnelles partagées par ses facettes tridimensionnelles ou déplié en 3D en un seul polyèdre non chevauchant (comme dans le déploiement ci-dessus des tesselles) reste inconnu, de même que des questions similaires dans des dimensions supérieures. Cependant, on sait qu'il est possible pour chaque 4-polytop uniforme convexe.

Voir aussi(éditer)

références(éditer)

  1. ^ Wenninger, Magnus J. (1971), Modèles en polyèdre, Cambridge University Press
  2. ^ A. Dürer, Enseignement des cuivres avec les Zyrkel et Rychtscheyd. Nuremberg (1525). Traduction anglaise commentée par Walter L. Strauss Le manuel du peintre, New York (1977). Voir p. 139-152.
  3. ^ Malkevitch, Joseph, "Nets: un outil pour représenter des polyèdres en deux dimensions", fonctionnalité Colonnes, Société mathématique américaine, récupéré 14/05/2014
  4. ^ Demaine, Erik D.; Demaine, Martin L.; Anna Lubiw; O & # 39; Rourke, Joseph (2002), "Énumération des plis et des déplis entre polygones et polytopes", Graphes et combinatoires, 18 (1): 93–104, arXiv:cs.CG/0107024, doi: 10.1007 / s003730200005, MR 1892436
  5. ^ Shephard, G. C. (1975), "Polytopes convexes à fils convexes", Actes mathématiques de la Cambridge Philosophical Society, 78 (3): 389–403, Bibcode: 1975MPCPS..78..389S, doi: 10.1017 / s0305004100051860, MR 0390915
  6. ^ Weisstein, Eric W. "La conjecture de Shephard". MathWorld.
  7. ^ dmoskovich (4 juin 2012), "Durer's Assumption", Problème jardin ouvert
  8. ^ Demaine, Erik D.; O Rourke, Joseph (2007), "Chapitre 22. Déroulement des bords de polyèdres", Algorithmes de pliage géométrique: couplages, origami, polyèdres, Cambridge University Press, p. 306–338.
  9. ^ Ghomi, Mohammad (2014), "Plis affines de polyèdres convexes", Geom. Topol., 18: 3055-3090, arXiv:1305.3231, Bibcode: 2013arXiv1305.3231G
  10. ^ O'Rourke, Joseph (2011), Comment le plier: Le calcul mathématique des liens, de l'origami et des polyèdres, Cambridge University Press, p. 115–116, ISBN 9781139498548
  11. ^ Kemp, Martin (1er janvier 1998), "Dali's Dimensions", nature, 391 (6662): 27, Bibcode: 1998Natural.391 … 27K, doi: 10.1038 / 34063

Liens externes(éditer)

La beauté et l’intérêt des robustes de Platon continuent d’inspirer toutes sortes de gens, y compris des guérisseurs intuitifs et des esprits plus logiques. Les Solides de Platon sont 5 formes polyèdres considérées comme une section cruciale de la Géométrie Sacrée. Ils ont été décrits pour la première fois par l’ancien philosophe Platon, bien qu’il ait été prouvé que les anciens étaient déjà au commun de ces formes spéciales et magiques depuis plus de 1000 ans avant la documentation de Platon. Les formes qui composent les cinq Solides de Platon atypiques se trouvent naturellement dans la nature, mais aussi dans les pays cristallin. Travailler avec eux individuellement est censé nous aider à nous raccorder à la nature et aux royaumes supérieurs du cosmos, à trouver le modèle commun qui nous lie tous au niveau moléculaire et spirituel.

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