Mathématiques grecques – Histoire des mathématiques | solides de Platon

MATHÉMATIQUES GRECQUES

Personnages hérodiens de la Grèce antique


Personnages hérodiens de la Grèce antique

Alors que l’empire grec commençait à étendre sa sphère d’influence vers l’Asie mineure, la Mésopotamie et au-delà, les Grecs étaient assez intelligents pour adopter et adapter des éléments utiles des communautés qu’ils avaient conquises. Cela correspondait à leurs mathématiques, comme tout le reste, et ils utilisaient des éléments de mathématiques de Babyloniens et d'Égyptiens. Mais ils ont rapidement commencé à faire eux-mêmes d'importantes contributions et, pour la première fois, nous pouvons reconnaître les contributions d'individus. Après la période hellénistique, les Grecs avaient mené l'une des révolutions les plus dramatiques et les plus importantes de la pensée mathématique de tous les temps.

L'ancien système de numération grecque, connu sous le nom de nombres attiques ou hérodianiques, a été complètement développé vers 450 avant notre ère, et a été utilisé régulièrement dès le 7ème siècle avant notre ère. C'était un système de base 10 similaire au système égyptien précédent (et encore plus semblable au système romain ultérieur), avec les symboles pour 1, 5, 10, 50, 100, 500 et 1000 répétés autant de fois que nécessaire pour représenter le souhait nombre. Des additions ont été faites en compilant séparément les symboles (1, 10, 100, etc.) dans les nombres à ajouter, et la multiplication était un processus à forte intensité de main-d'œuvre basé sur des doubles successifs (la division était basée sur l'inverse de ce processus).

Théorème d'intersection de Thales


Théorème d'intersection de Thales

Mais la plupart des mathématiques grecques étaient basées sur la géométrie. Thalès, l’un des sept sages de la Grèce antique, qui a vécu sur la côte ionienne d’Asiatiques mineurs dans la première moitié du VIe siècle avant notre ère, est généralement considéré comme le premier à jeter les bases de l’évolution abstraite de la géométrie, bien que ce que nous savons de son travail (sur des triangles semblables et droits, par exemple) semble maintenant assez élémentaire.

Thales a établi ce que l'on appelle désormais le théorème de Thales, selon lequel un triangle dessiné dans un cercle dont le côté long est le diamètre du cercle, l'angle opposé sera toujours un angle droit (ainsi que d'autres propriétés connexes dérivées de ce dernier). . On lui attribue également un autre théorème, également appelé théorème de Thales ou théorème d'Intercept, concernant les relations avec les segments linéaires créés si deux lignes qui se coupent sont coupées par une paire de parallèles (et, par extension, les relations avec des pages similaires). triangles).

Cependant, dans une certaine mesure, la légende du mathématicien Pythagore du 6ème siècle av. devenir synonyme de la naissance des mathématiques grecques. On pense qu'il a inventé à la fois les mots "philosophie" ("amour de la sagesse") et "mathématiques" ("ce qui est enseigné"). Pythagore fut peut-être le premier à se rendre compte qu'un système mathématique complet pouvait être construit, où les éléments géométriques correspondaient à des nombres. Le théorème de Pythagore (ou théorème de Pythagore) est l'un des plus connus de tous les théorèmes mathématiques. Comme nous le verrons, il reste un personnage controversé et les mathématiques grecques n’étaient en aucun cas limitées à un homme.

Les trois problèmes classiques


Les trois problèmes classiques

En particulier, trois problèmes géométriques, souvent appelés les trois problèmes classiques, et qui doivent tous être résolus de manière purement géométrique avec seulement un bord droit et une boussole, remontent aux débuts de la géométrie grecque: le carré (ou la place) du cercle, le doublement (ou la duplication) du cube et la trisection d'un angle. Ces problèmes intrigants ont grandement influencé la géométrie future et ont conduit à de nombreuses découvertes fructueuses, bien que leurs solutions actuelles (ou la preuve de leur impossibilité) aient dû attendre jusqu'au 19ème siècle.

Hippocrate de Chios (à ne pas confondre avec le grand médecin grec Hippocrate de Kos) était un mathématicien grec qui s'est appliqué à ces problèmes au cours du Ve siècle avant notre ère. (Sa contribution à la quadrature du problème du cercle est connue sous le nom de Lune d’Hippocrate). Son livre influent The Elements, qui date d'environ 440 ans avant JC, fut le premier recueil d'éléments de géométrie. Son travail fut une source importante pour les travaux ultérieurs d'Euclid.

Zénos paradoxe de l'Achille et de la tortue


Zénos paradoxe de l'Achille et de la tortue

Ce sont les Grecs qui se sont d'abord débattus avec l'idée de l'infini, telle que décrite dans les paradoxes bien connus attribués au philosophe Zénon d'Elée au Ve siècle avant notre ère. Le plus célèbre de ses paradoxes est Achille et la tortue, qui décrit une course théorique entre Achille et une tortue. Achilles donne une longueur d'avance à la tortue beaucoup plus lente, mais lorsqu'il atteint le point de départ de la tortue, celle-ci a déjà progressé. Alors qu'Achilles atteint ce point, la tortue est repartie, etc., etc., de sorte que le rapide Achille ne peut en principe jamais s'emparer de la lente tortue.

Les paradoxes comme celui-ci et le soi-disant paradoxe de Dichotomie de Zénon sont basés sur la divisibilité infinie de l'espace et du temps et reposent sur l'idée qu'un demi plus un quart plus un huitième plus un seizième, etc., etc., à l'infini ne sera jamais tout à fait égal. Cependant, le paradoxe découle de la fausse hypothèse selon laquelle il est impossible de compléter un nombre infini de traits discrets en un temps fini, bien qu'il soit extrêmement difficile de prouver définitivement l'erreur. L'ancien Grec Aristote a été le premier de beaucoup à essayer de réfuter les paradoxes, d'autant plus qu'il croyait fermement que l'infini ne pouvait être que potentiel et non réel.

Mieux connu pour ses idées préconçues de toute matière constituée d'atomes minuscules, Démocrite fut également un pionnier des mathématiques et de la géométrie aux Ve-IVe siècles avant J.-C. et il produisit des ouvrages avec des titres tels que "On Numbers" , "Sur la géométrie", "Sur les tangences", "Sur la cartographie" et "Sur les irrationnels", bien que ces travaux n’aient pas survécu. Nous savons qu'il a été parmi les premiers à remarquer qu'un cône (ou une pyramide) a un tiers du volume d'un cylindre (ou prisme) avec la même base et la même hauteur, et il est peut-être le premier à envisager sérieusement la division d'objets en un infini. nombre de sections transversales.

Cependant, il est certainement vrai que Pythagore en particulier a influencé ceux qui l'ont suivi, y compris Platon, qui a établi son célèbre académie à Athènes en 387 av. J.-C., et son protégé Aristote, dont le travail sur la logique a été considéré comme définitif pendant plus de deux mille ans. année Platon, le mathématicien, est surtout connu pour sa description des cinq solides platoniques, mais la valeur de son travail en tant qu’enseignant et vulgarisateur en mathématiques ne saurait être surestimée.

Eudoxus de Cnide, élève de Platon, est généralement crédité de la première application de la méthode de la fatigue (développée plus tard par Archimède), une méthode d'intégration précoce par des approches ultérieures qu'il a utilisées pour calculer le volume de la pyramide et du cône. Il développa également une théorie générale des proportions, applicable à des quantités invariables (irrationnelles) qui ne pouvait pas être exprimée sous forme de relation entre deux nombres entiers, ainsi qu'à des tailles raisonnables (rationnelles) et élargissait ainsi les idées incomplètes de Pythagore.

Peut-être que la contribution la plus importante des Grecs – et Pythagore, Platon et Aristote avaient tous une influence à cet égard – était l'idée de la preuve et la méthode déductive consistant à utiliser des étapes logiques pour prouver ou réfuter les théories des axiomes supposés initiaux. Les cultures plus anciennes, comme les Egyptiens et les Babyloniens, s’appuyaient sur un raisonnement inductif, c’est-à-dire sur des observations répétées pour établir des règles empiriques. C'est ce concept de preuve qui confère aux mathématiques le pouvoir et garantit que les théories éprouvées sont aussi vraies aujourd'hui qu'il y a deux mille ans et ont jeté les bases de l'approche systématique des mathématiques d'Euclide et de celles qui ont suivi.


au cours de votre voyage d’apprentissage des cristaux, vous avez sans doute rencontré des mots et des phrases étranges que vous n’auriez peut-être jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les solides de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta forme après le lycée ! Alors, que sont exactement les robustes de Platon ? En termes simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les composants principaux ( terre, air, feu et eau ) étaient directement liés aux robustes. il y a cinq solides de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à l’élément feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à le composant de l’air. Les icosaèdres ( constitués de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à l’élément eau. Le dernier et souvent appelé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été nommé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à l’élément d’éther. n

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