Cube – Wikipedia | solides de Platon spirituel

Une forme géométrique à 6 faces carrées

Hexaèdre normal
Hexahedron.jpg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons plus tard / 7/78 / Hexahedron.jpg / 280px-Hexahedron.jpg "decoding =" async "width =" 280 "height =" 312 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons moment / 7/78 / Hexahedron.jpg / 420px-Hexahedron.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 7/78 / Hexahedron.jpg / 560px-Hexahedron.jpg 2x "data-file-width =" 742 "data-file-height =" 826
(Cliquez ici pour le modèle rotatif)
type Platoniquement solide
éléments fa = 6, E = 12
V = 8 (χ = 2)
Visages sur les côtés 6 4
notation Conway C
symbole Schläfli 4,3
t 2,4 ou 4 ×
tr 2.2 ou × ×
Configuration visage V3.3.3.3
Symbole de Wythoff 3 | 2 4
Diagramme de Coxeter CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
symétrie Oh, B3(4.3), (* 432)
Groupe rotation O (4.3)+, (432)
références U06, C18, W3
propriétés zoonhèdre commun et convexe
Dihedralvinkelen 90 °
Cube vertfig.png
4.4.4
(Toppunktfigur)
Octahedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Laten / f / f5 / Octahedron.png / 120px-Octahedron.png "décodage =" async "width =" 120 "height =" 120 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / f / f5 / Octahedron.png / 180px-Octahedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / f / f5 / Octahedron.png / 240px-Octahedron.png 2x "data-file-width =" 1000 "data-file-height =" 1000
octaèdre
(double polyèdre)
Hexaèdre plat color.svg
nett

En géométrie, un cube(1) est un objet solide tridimensionnel délimité par six faces carrées, facettes ou côtés, avec trois points de rencontre à chaque sommet.

Le cube est le seul hexaèdre commun et est l’un des cinq solides platoniques. Il a 6 faces, 12 arêtes et 8 angles.

Le cube est également un parallélépipède carré, un cuboïde équilatéral et un rhomboèdre droit. C'est un prisme carré commun à trois orientations et un trapézoïde trièdre à quatre orientations.

Le cube est le double de l'octaèdre. Il a une symétrie cubique ou octaédrique

Le cube est le seul polyèdre convexe à faces comme tous les carrés.

Estimations orthogonales(éditer)

ils cube a quatre projections orthogonales spéciales, centrées sur un sommet, les arêtes, la face et la normale au sommet. Le premier et le troisième correspondent à A2 et B2Coxeter-mouche.

Estimations orthogonales
Centré par face sommet
Coxeter-mouche B2
2 cube.svg
FR2
3-cube t0.svg
projective
symétrie
(4) (6)
Vue inclinée Cube à e.png Cube à fb.png

Carrelage sphérique(éditer)

Le cube peut également être produit sous forme de mosaïque sphérique et projeté sur la planète via une projection stéréographique. Cette projection est conformable, en préservant les angles, mais pas les zones ni les longueurs. Les lignes droites sur la sphère sont projetées sous forme d'arcs de cercle sur la planète.

Coordonnées cartésiennes(éditer)

Pour un cube centré à l'origine, dont les arêtes sont parallèles aux axes et de longueur égale à 2, les coordonnées cartésiennes sont les sommets.

(± 1, ± 1, ± 1)

tandis que l'intérieur se compose de tous les points (x0, x1, x2) avec −1 < xJe <1 pour tout le monde Je.

Équation i

En géométrie analytique, la surface d’un cube est centrée (x0, y0, z0) et la longueur de la bordure de 2a est la place pour tous les points (x, y, z) de sorte que

formules(éditer)

Pour un cube de longueur d'arête

un displaystyle a

:

Puisque le volume d'un cube est la troisième force des côtés

unxunxun displaystyle a times a times a

, Les troisièmes pouvoirs s'appellent cubes, par analogie avec les carrés et les autres forces.

Un cube a le plus grand volume de cuboïdes (boîtes rectangulaires) avec une surface donnée. Un cube possède également le plus grand volume de cuboïdes ayant la même taille linéaire totale (longueur + largeur + hauteur).

Point dans la salle(éditer)

Pour un cube dont la sphère circonscrite a un rayon R, et pour un point donné dans l'espace tridimensionnel avec des distances Je des huit coins du cube, nous avons:(2)

Doubler le cube(éditer)

Doubler le cube, ou problème de Délos, était le problème que posaient les anciens mathématiciens grecs en utilisant uniquement une boussole et un redresseur pour commencer par la longueur du bord d’un cube donné et pour construire la longueur du bord d’un cube de deux fois le volume du cube original. Ils ne parviennent pas à résoudre ce problème et, en 1837, Pierre Wantzel le prouve, car la racine cubique de 2 n’est pas un nombre constructible.

Coloration uniforme et symétrie(éditer)

Le cube a trois couleurs unies, nommées par les couleurs des faces carrées autour de chaque sommet: 111, 112, 123.

Le cube a trois classes de symétrie, qui peuvent être représentées par la coloration transexuelle des faces. La plus haute symétrie octaédrique Oh avoir toutes les faces de la même couleur. La symétrie diédrique D4h vient du cube comme un prisme, avec les quatre côtés de la même couleur. La symétrie la plus basse D2h C'est aussi une symétrie prismatique, avec des côtés alternant les couleurs, donc il y a trois couleurs, appariées des côtés opposés. Chaque forme symétrique a un symbole Wythoff différent.

nom régulièrement
hexaèdre
carré
prisme
rectangulaire
cuboïde
losange
prisme
trigone
trapezohedron
Coxeter
hit-parade
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_2.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "hauteur du fichier de données =" 23CDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/CDel_node_h.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "9" data-file-height = "23CDel 2x.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "hauteur du fichier de données =" 23CDel node h.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/CDel_node_h.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "9" data-file-height = "23 CDel node 1.pngCDel 2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_2.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "hauteur du fichier de données =" 23CDel node 1.pngCDel 2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_2.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "hauteur du fichier de données =" 23CDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_2.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "hauteur du fichier de données =" 23Nœud CDel f1.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/CDel_node_f1.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "5" hauteur du fichier de données = "23CDel 2x.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "hauteur du fichier de données =" 23Nœud CDel f1.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/CDel_node_f1.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "largeur du fichier de données = "5" hauteur du fichier de données = "23 Noeud CDel fh.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6f/CDel_node_fh.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "largeur de fichier de données = "9" data-file-height = "23CDel 2x.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "hauteur du fichier de données =" 23Noeud CDel fh.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6f/CDel_node_fh.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "largeur de fichier de données = "9" data-file-height = "23CDel 6.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/32/CDel_6.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "hauteur du fichier de données =" 23CDel node.png
Schläfli
symbole
4,3 4 ×
4.2
s22,4 3
tr 2.2
× 2
Wythoff
symbole
3 | 4 2 4 2 | 2 2 2 2 |
symétrie Oh
(4.3)
(* 432)
4h
(4.2)
(* 422)
2d
(4,2+)
(2 * 2)
2h
(2.2)
(* 222)
3d
(6.2+)
(2 * 3)
symétrie
direction
24 16 8 8 12
image
(uniforme
colorants)
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(111)
Tétragonal prism.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 1 / 1d / Tetragonal_prism.png / 80px-Tetragonal_prism.png "décodage =" async "width = 80" height = " 80 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / 1 / 1d / Tetragonal_prism.png / 120px-Tetragonal_prism.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 1 / 1d / Tetragonal_prism.png / 160px-Tetragonal_prism.png 2x "data-file-width =" 924 "data-file-height =" 924
(112)
Symmetry de rotation de cube.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Sommet / 0 / 0f / Cube_rotorotational_symmetry.png / 80px-Cube_rotorotational_symmetry.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "81" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons berline / 0 / 0f / Cube_rotorotational_symmetry.png / 120px-Cube_rotymotational_symmetry.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / 0 / 0f /Cube_rotorotational_symmetry.png/160px-Cube_rotorotational_symmetry.png 2x "data-file-width =" 627 "data-file-height =" 634
(112)
Polyèdre uniforme 222-t012.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons presque / 5/53 / Uniform_polyhedron_222-t012.png / 80px-Uniform_polyhedron_222-t012.png "décodage" = "80" height = "80" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons latest / 5/53 / Uniform_polyhedron_222-t012.png / 120px-Uniform_polyhedron_222-t012.png 1.5x, // upload .wikimedia .org / wikipedia / commons / thumb / 5/53 / Uniform_polyhedron_222-t012.png / 160px-Uniform_polyhedron_222-t012.png 2x "data-file-width =" 1000 "data-file-height =" 1000
(123)
Cube rhombic symmetry.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / e / ef / Cube_rhombic_symmetry.png / 80px-Cube_rhombic_symmetry.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "85" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / e / ef / Cube_rhombic_symmetry.png / 120px-Cube_rhombic_symmetry.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons complete / e / ef / Cube_rhombic_symmetry.png / 160px-Cube_rhombic_symmetry.png 2x "data-file-width =" 595 "data-file-height =" 629
(112)
Traponal trapezohedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 2 / 2e / Trigonal_trapezohedron.png / 80px-Trigonal_trapezohedron.png "decoding =" async "width =" 80 "height =" 85 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons depuis / 2 / 2e / Trigonal_trapezohedron.png / 120px-Trigonal_trapezohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 2 / 2e / Trigonal_trapezohedron.png / 160px-Trigonal_trapezohedron.png 2x "data-file-width =" 602 "data-file-height =" 640
(111), (112)

Relations géométriques(éditer)

Ces dés à six faces bien connus sont en forme de dés.

Un cube contient onze fils (un illustré ci-dessus): il y a onze façons d’aplatir un cube creux en coupant sept arêtes.(3) Pour colorer le cube de manière à ce que deux surfaces adjacentes n'aient pas la même couleur, vous devez disposer d'au moins trois couleurs.

Le cube est la cellule de l'unique mosaïque commune de l'espace euclidien à trois dimensions. Il est également unique parmi les solides platoniques en ce qui concerne les faces ayant un nombre pair de côtés et, par conséquent, il est le seul membre de ce groupe qui soit un zonohèdre (chaque face a une symétrie ponctuelle).

Le cube peut être découpé en six pyramides carrées identiques. Si ces pyramides carrées sont ensuite attachées aux faces d'un second cube, un dodécèdre rhombique (avec des paires de triangles coplanaires combinés à des surfaces rhombiques) est obtenu.

Autres dimensions(éditer)

L'analogue d'un cube dans un espace euclidien à quatre dimensions a un nom spécial – tesseract ou hypercube. Plus correctement, un hypercube (ou n-dimensional cube ou simplement n-cube) est le cube analogique dans n– Un espace euclidien à trois dimensions et un thésaurus constituent l’hypercube d’ordre 4. Un hypercube est aussi appelé un mesurer le polytope.

Il existe également des analogues du cube dans les dimensions inférieures: un point dans la dimension 0, un segment de droite dans une dimension et un carré dans deux dimensions.

Polyèdres connexes(éditer)

Le double d'un cube est un octaèdre, vu ici avec des angles au centre des surfaces carrées du cube.

Hemicube est le rapport 2: 1 sur le cube.

Le quotient du cube par la carte des antipodes donne un polyèdre projectif, l'hémicube.

Si le cube d'origine a une longueur d'arête de 1, son double polyèdre (un octaèdre) a une longueur d'arête

2/2 displaystyle scriptstyle sqrt 2 / 2

.

Le cube est un cas particulier dans différentes classes de polyèdres généraux:

Les têtes de cube peuvent être regroupées en deux groupes de quatre, formant chacun un tétraèdre commun; plus généralement, on parle de demicube. Ces deux ensemble forment un composé commun, Stella Octangula. L'intersection des deux forme un octaèdre régulier. Les symétries d'un tétraèdre régulier correspondent à un cube qui associe chaque tétraèdre à lui-même; les autres symétries sur le cube mappent les deux.

Un tel tétraèdre commun a un volume de 1/3 du cube. L’espace restant est constitué de quatre tétraèdres également irréguliers avec un volume de 1/6 du cube, chacun.

Le cube réparé est l'octaèdre du cube. Si des angles plus petits sont coupés, nous obtenons un polyèdre à six surfaces octogonales et à huit triangles. En particulier, nous pouvons obtenir des octogones réguliers (cube tronqué). Rhombicuboctaèdre est obtenu en coupant les coins et les arêtes à la bonne quantité.

Un cube peut être inscrit dans un dodécaèdre, de telle sorte que chaque sommet du cube soit un sommet du dodécaèdre et que chaque arête soit une diagonale de l'une des faces du dodécaèdre; La prise de tous ces cubes donne lieu à la connexion habituelle de cinq cubes.

Si deux coins opposés d'un cube sont tronqués en profondeur par les trois sommets qui leur sont directement connectés, un octaèdre irrégulier est obtenu. Huit de ces octaèdres irréguliers peuvent être attachés aux faces triangulaires d'un octaèdre régulier pour obtenir l'octaèdre cube.

Le cube est topologiquement lié à une série de polyèdres sphériques et de mosaïques présentant des formes de sommet d'ordre 3.

Le cube octogone appartient à une famille de polyèdres uniformes liés au cube et à l'octaèdre commun.

The cube is topologically related as a part of sequence of regular tilings, extending into the hyperbolic plane: 4,p, p=3,4,5…

With dihedral symmetry, Dih4, the cube is topologically related in a series of uniform polyhedra and tilings 4.2n.2n, extending into the hyperbolic plane:

All these figures have octahedral symmetry.

The cube is a part of a sequence of rhombic polyhedra and tilings with (n,3) Coxeter group symmetry. The cube can be seen as a rhombic hexahedron where the rhombi are squares.

The cube is a square prism:

As a trigonal trapezohedron, the cube is related to the hexagonal dihedral symmetry family.

In uniform honeycombs and polychora(edit)

It is an element of 9 of 28 convex uniform honeycombs:

It is also an element of five four-dimensional uniform polychora:

Cubical graph(edit)

The skeleton of the cube (the vertices and edges) form a graph, with 8 vertices, and 12 edges. It is a special case of the hypercube graph.(4) It is one of 5 Platonic graphs, each a skeleton of its Platonic solid.

An extension is the three dimensional k-ary Hamming graph, which for k = 2 is the cube graph. Graphs of this sort occur in the theory of parallel processing in computers.

See also(edit)

Miscellaneous cubes

références(edit)

  1. ^ English cube from Old French < Latin cubus < Greek κύβος (kubos) meaning "a cube, a die, vertebra". In turn from PIE *keu(b)-, "to bend, turn".
  2. ^ Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Cube". MathWorld.
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Cubical graph". MathWorld.

External links(edit)

La et l’intérêt des robustes de Platon continuent d’inspirer toutes sortes de personnes, y compris des guérisseurs intuitifs et des esprits plus logiques. nLes Solides de Platon sont 5 formes polyèdres considérées comme une partie cruciale de la Géométrie Sacrée. Ils ont été décrits pour la première fois par l’ancien philosophe Platon, bien qu’il ait été prouvé que les anciens étaient déjà au commun de ces formes spéciales et magiques depuis plus de 1000 ans avant la documentation de Platon. nLes formes qui forment les cinq Solides de Platon atypiques se trouvent naturellement dans la nature, mais aussi dans le monde cristallin. Travailler avec eux séparément est censé nous aider à nous lier à la nature et aux royaumes supérieurs du cosmos, à trouver le modèle commun qui nous lie tous à la hauteur moléculaire et spirituel.

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