Tétraèdre – Wikipedia | Géometrie sacrée

Polyèdre à 4 faces

Tétraèdre commun
Tetrahedron.jpg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 8/83 / Tetrahedron.jpg / 280px-Tetrahedron.jpg "décodage =" asynchrone "width =" 280 "height =" 264 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons letter / 8/83 / Tetrahedron.jpg / 420px-Tetrahedron.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 8/83 / Tetrahedron.jpg / 560px-Tetrahedron.jpg 2x "data-file-width =" 643 "data-file-height =" 607
(Cliquez ici pour le modèle rotatif)
type Platoniquement solide
éléments fa = 4, E = 6
V = 4 (χ = 2)
Visages sur les côtés 4 3
notation Conway T
symbole Schläfli 3,3
h 4,3, s 2,4, sr 2,2
Configuration visage V3.3.3
Symbole de Wythoff 3 | 2 3
| 2 2 2
Diagramme de Coxeter CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
symétrie T, Un3(3,3), (* 332)
Groupe rotation T, (3,3)+, (332)
références U01, C15, W1
propriétés deltaèdre convexe commun
Dihedralvinkelen 70.528779 ° = arccos (1/3)
Tetrahedron vertfig.png
3.3.3
(Toppunktfigur)
Tetrahedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons allow / 2/25 / Tetrahedron.png / 120px-Tetrahedron.png "décodage =" async "width =" 120 "height =" 120 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons moment / 2/25 / Tetrahedron.png / 180px-Tetrahedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons end / 2/25 / Tetrahedron.png / 240px-Tetrahedron.png 2x "data-file-width =" 1000 "data-file-height =" 1000
Auto double
(double polyèdre)
Tetrahedron flat.svg
nett

En géométrie, un tétraèdre (Pluriel: tétraèdres ou tétraèdre), également connu sous le nom d'un pyramide triangulaire, est un polyèdre composé de quatre surfaces triangulaires, de six arêtes droites et de quatre sommets. Le tétraèdre est le plus simple de tous les polyèdres convexes ordinaires et le seul à moins de 5 faces.(1)

Le tétraèdre est le cas tridimensionnel du concept plus général de simplexe euclidien, et peut donc aussi être appelé un 3-simplex.

Le tétraèdre est une sorte de pyramide, qui est un polyèdre avec une base polygonale plate et des surfaces triangulaires reliant la base à un point commun. Dans le cas d'un tétraèdre, la base est un triangle (l'une des quatre faces peut être considérée comme la base), de sorte qu'un tétraèdre est également appelé «pyramide triangulaire».

Comme tous les polyèdres convexes, un tétraèdre peut être plié à partir d'une seule feuille de papier. Il a deux tels fils.(1)

Pour chaque tétraèdre, il existe une sphère (appelée périmètre) sur laquelle se trouvent les quatre coins et une autre sphère (la sphère) tangente aux faces du tétraèdre.(2)

Tétraèdre commun(éditer)

FR tétraèdre commun est celui où les quatre faces sont des triangles à côtés égaux. C'est l'un des cinq solides platoniques communs, connus depuis l'Antiquité.

Dans un tétraèdre régulier, toutes les faces ont la même taille et la même forme (congruentes) et toutes les arêtes ont la même longueur.

Cinq tétraèdres sont posés à plat sur un plan, avec les points tridimensionnels les plus hauts marqués 1, 2, 3, 4 et 5. Ces points sont ensuite attachés les uns aux autres et un mince espace vide est laissé où les cinq angles de bord ne se rencontrent pas complètement.

Les tétraèdres ordinaires à eux seuls ne tessellent pas (espace remplissant), mais s’ils sont échangés avec des octaèdres ordinaires dans un rapport de deux tétraèdres à un octaèdre, ils forment le nid d’abeilles cubique alterné, qui est une tessellation.

Le tétraèdre régulier est dualiste, ce qui signifie que son dual est un autre tétraèdre commun. La figure composée comprenant deux tels doubles doubles tétraèdres forme un octaèdre stellaire ou stella octangula.

Formules pour un tétraèdre commun(éditer)

Les coordonnées cartésiennes suivantes définissent les quatre coins d'un tétraèdre de longueur d'arête 2, centré à l'origine, et deux arêtes égales:

Exprimé symétriquement en 4 points sphère de l'appareil, centroïde à l'origine, avec niveau de face inférieur, les angles sont les suivants:

v1 = (sqrt (8/9), 0, -1/3)

v2 = (-sqrt (2/9), sqrt (2/3), -1/3)

v3 = (-sqrt (2/9), -sqrt (2/3), -1/3)

v4 = (0, 0, 1)

avec la longueur de bord de sqrt (8/3).

Un autre ensemble de coordonnées est basé sur un cube ou une alternance demicube avec une longueur de bordure 2. Ce formulaire contient un diagramme de Coxeter CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png et symbole Schläfli h 4,3. Le tétraèdre dans ce cas a la longueur du bord 22. L'inversion de ces coordonnées génère le double tétraèdre et le couple forme ensemble l'octaèdre défini, dont les verticales sont celles du cube d'origine.

Tétraèdre: (1,1,1), (1, -1, -1), (-1,1, -1), (-1, -1,1)
Double tétraèdre: (-1, -1, -1), (-1,1,1), (1, -1,1), (1.1, -1)

Le tétraèdre commun ABCD et sa sphère circonscrite

Pour un tétraèdre de longueur régulière un:

zone du visage
Surface(3)
La hauteur de la pyramide(4)
Distance entre bords opposés
volume(3)
Angle à bord
Angle de face de bord, c.-à-d. "Angle diédral"(3)
Bord central,(5) connu sous le nom angle tétraédrique, puisque c’est l’angle de liaison d’une molécule tétraédrique. C'est aussi l'angle entre les limites de plateau d'un sommet.
Angle solide au sommet supprimé par un visage
Rayon ou circonscription(3)
Le rayon de l'insphere tangent aux faces(3)
Le rayon de la sphère centrale tangent aux bords(3)
Rayon des exphères
Distance au centre de l'exosphère depuis le sommet opposé

Quant au plan de base, une inclinaison du visage (22) est deux fois la taille d'un bord (2), correspond au fait que horizontal la distance parcourue de la base au sommet le long d'un bord est deux fois plus longue que la médiane d'un visage. En d'autres termes, si C est le centre de la base, la distance entre C à un sommet de la base est le double de celui C au milieu sur un bord de la base. Cela est dû au fait que les médianes d'un triangle se croisent au centre et que ce point divise chacune d'elles en deux segments, l'un deux fois plus long que l'autre (voir la preuve).

Pour un tétraèdre de longueur régulière un, rayon R de sa sphère de réécriture, et les distances Je de n'importe quel point dans la pièce 3 à ses quatre coins(6)

Isométries du tétraèdre commun(éditer)

Les rotations correctes (rotation d'ordre 3 sur le sommet et la face et l'ordre 2 sur deux arêtes) et le plan de réflexion (à travers deux surfaces et une arête) dans le groupe de symétrie du tétraèdre ordinaire

Les têtes d'un cube peuvent être regroupées en deux groupes de quatre, formant chacun un tétraèdre régulier (voir ci-dessus, ainsi qu'une animation montrant l'un des deux tétraèdres du cube). Les symétries d'un tétraèdre régulier correspondent à la moitié d'un cube: celles qui cartographient les tétraèdres entre elles et non les unes aux autres.

Le tétraèdre est le seul solide platonique à ne pas avoir été cartographié par inversion de points.

Le tétraèdre habituel a 24 isométries qui forment le groupe de symétrie T, (3.3), (* 332), isomorphe pour le groupe symétrique, S4. Ils peuvent être classés comme suit:

  • T, (3.3)+, (332) est isomorphe au groupe alternant, FR4 (l'identité et les 11 rotations correctes) avec les classes de conjugaison suivantes (entre parenthèses, les permutations sont données aux sommets ou, en conséquence, aux faces et à la représentation quaternaire de l'unité):
    • identité (identité; 1)
    • rotation autour d'un axe passant par un sommet, perpendiculaire au plan opposé, sous un angle de ± 120 °: 4 axes, 2 par axe, ensemble 8 ((1 2 3), etc. 1 ± Je ± j ± k/2)
    • rotation à un angle de 180 ° afin qu’un bord mappe le bord opposé: 3 ((1 2) (3 4), etc. Je, j, k)
  • réflexions dans un plan perpendiculaire à une arête: 6
  • réflexions dans un plan combinées avec une rotation de 90 ° autour d'un axe perpendiculaire au plan: 3 axes, 2 par axe, un total de 6; De même, les rotations à 90 ° sont combinées avec une inversion (x est mappé sur –x): les rotations correspondent au cube du cube face à face

Projections orthogonales du tétraèdre habituel(éditer)

L'habituel tétraèdre a deux projections orthogonales spéciales, l'une centrée sur un sommet ou équivalent sur une face et l'autre centrée sur un bord. Le premier correspond à A2Coxeter-mouche.

Coupe transversale de tétraèdre régulier(éditer)

Une section centrale d'un tétraèdre commun est un carré.

Les deux bords opposés perpendiculaires asymétriques d’un tétraèdre commun définir un ensemble de plans parallèles. Lorsque l'un de ces plans coupe le tétraèdre, la section résultante est un rectangle.(7) Lorsque le plan d'intersection est proche de l'une des arêtes, le rectangle est long et mince. À mi-chemin entre les deux arêtes, on croise un carré. Le rapport d'aspect du rectangle s'inverse lorsque vous passez ce point à mi-chemin. Pour l'intersection carrée du point central, la ligne de démarcation résultante traverse chaque côté du tétraèdre de la même manière. Si le tétraèdre est réduit de moitié sur cette planète, les deux moitiés deviennent des coins.

Un dysphénoïde tétragonal vu orthogonalement aux deux bords verts.

Cette propriété s'applique également aux disphénoïdes tétragonaux appliqués aux deux paires d'arêtes spéciales.

Carrelage sphérique(éditer)

Le tétraèdre peut également être produit sous forme de pavage sphérique et projeté sur la planète via une projection stéréographique. Cette projection est conformable, en préservant les angles, mais pas les zones ni les longueurs. Les lignes droites sur la sphère sont projetées sous forme d'arcs de cercle sur la planète.

Empilement hélicoïdal(éditer)

Les tétraèdres ordinaires peuvent être empilés face à face dans une chaîne apériodique chirale appelée hélice de Boerdijk – Coxeter. En quatre dimensions, tous les 4-polytopes réguliers convexes à cellules tétraédriques (5 cellules, 16 cellules et 600 cellules) peuvent être construits en mosaïque sur la sphère 3 de ces chaînes, qui deviennent périodiques dans l'espace tridimensionnel de la surface limite de 4 polytop.

Autres cas particuliers(éditer)

Tetrahedral subgroup tree.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 1 / 1c / Tetrahedral_subgroup_tree.png / 240px-Tetrahedral_subgroup_tree.png "decoding =" async "width =" 240 "height = "208" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons allow / 1 / 1c / Tetrahedral_subgroup_tree.png / 360px-Tetrahedral_subgroup_tree.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons complete / 1 / 1c / Tetrahedral_subgroup_tree.png / 480px-Tetrahedral_subgroup_tree.png 2x "data-file-width =" 547 "data-file-height =" 473
Conditions du sous-groupe de symétrie tétraédrique
Tetrahedron symmetry tree.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 6/66 / Tetrahedron_symmetry_tree.png / 200px-Tetrahedron_symmetry_tree.png "decoding =" async "width =" 200 " "204" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons allow / 6/66 / Tetrahedron_symmetry_tree.png / 300px-Tetrahedron_symmetry_tree.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / 6 / 66 "tetrahedron_symmetry_tree.png / 400px-tetrahedron_symmetry_tree.png 2x" data-file-width = "1069" data-file-height = "1089
Symétries tétraédriques montrées dans des diagrammes tétraédriques

un tétraèdre isocèleégalement appelé dysphénoïde, est un tétraèdre dans lequel les quatre faces sont des triangles congruents. FR tétraèdre rempli d'espace des paquets de copies congruentes d’eux-mêmes dans la salle des carreaux, tels que le nid d’abeilles tétraédrique disphénoïde.

Dans un tétraèdre de trois rectangles, les trois faces d'un sommet ont des angles droits. Si les trois paires d'arêtes opposées d'un tétraèdre sont perpendiculaires, on parle alors de tétraèdre orthocentrique. Quand une seule paire d'arêtes opposées est perpendiculaire, on l'appelle un tétraèdre semi-orthocentrique. un tétraèdre isodynamique est celui où les cevians qui rejoignent les sommets des empreintes sur les faces opposées sont en même temps, et tétraèdre isogonique en même temps, des cevians qui coïncident avec les sommets des faces opposées de la sphère de tétraèdre.

Isométries de tétraèdres irréguliers(éditer)

Les isométries d'un tétraèdre irrégulier (non étiqueté) dépendent de la géométrie du tétraèdre, avec 7 cas possibles. Dans les deux cas, un groupe de points tridimensionnel est formé. Deux autres isométries (C3, (3)+) et (S4, (2+4+)) peut exister si le visage ou la bordure est inclus. Les diagrammes tétraédriques sont inclus pour chaque type ci-dessous, avec des bords colorés par une équivalence isométrique et en gris pour des bords uniques.

Nom de tétraèdre Kant
équivalence
hit-parade
description
symétrie
Schön. Cox. Orb. Ord.
Tétraèdre commun Tétraèdre régulier diagram.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 9/90 / Regular_tetrahedron_diagram.png / 60px-Regular_tetrahedron_diagram.png "decoding =" async "width =" 60 "height =" 59 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons allow / 9/90 / Regular_tetrahedron_diagram.png / 90px-Regular_tetrahedron_diagram.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/90/ Regular_tetrahedron_diagram.png 2x "data-file-width =" 112 "data-file-height =" 111
quatre équilatéral triangles
Il forme le groupe de symétrie Test isomorphe pour le groupe symétrique, S4. Un tétraèdre commun a un diagramme de Coxeter CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png et le symbole Schläfli 3.3.
T
T
(3.3)
(3.3)+
* 332
332
24
12
Pyramide triangulaire Pyramide trigonale isocèle diagram.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons une fois / f / fe / Isosceles_trigonal_pyramid_diagram.png / 60px-Isosceles_trigonal_pyramid_diagram.png "decoding =" 60 " = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / f / fe / Isosceles_trigonal_pyramid_diagram.png / 90px-Isosceles_trigonal_pyramid_diagram.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/fossame .png / 120px-Isosceles_trigonal_pyramid_diagram.png 2x "data-file-width =" 238 "data-file-height =" 201
un équilatéral base de triangle et trois similaires isocèle côtés du triangle
Il donne 6 isométries correspondant aux 6 isométries de la base. En tant que permutations des sommets, ces 6 isométries sont les identités 1, (123), (132), (12), (13) et (23), formant le groupe de symétrie. C3Vest isomorphe pour le groupe symétrique, S3. Une pyramide triangulaire a le symbole Schläfli 3 ∨ ().
C3V
C3
(3)
(3)+
* 33
33
6
3
Sphénoïde en miroir Sphenoid diagram.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Summit / 3/32 / Sphenoid_diagram.png / 60px-Sphenoid_diagram.png "décodage =" async "width =" 60 "height =" 45 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons letter / 3/32 / Sphenoid_diagram.png / 90px-Sphenoid_diagram.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons end / 3/32 / Sphenoid_diagram.png / 120px-Sphenoid_diagram.png 2x "data-file-width =" 209 "data-file-height =" 158
Aimer scalène triangles avec bord de base commun
Cela a deux paires avec des bords égaux (1.3), (1.4) et (2.3), (2.4) et sinon aucun bord égal. Les deux seules isométries sont 1 et la réflexion (34), ce qui donne au groupe Cs, également isomorphe pour le groupe cyclique, Z2.
Cs
=C1T
=C1v
() * 2
Tétraèdre irrégulier
(Pas de symétrie)
Scalene tetrahedron diagram.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 23 / Scalene_tetrahedron_diagram.png / 60px-Scalene_tetrahedron_diagram.png "decoding =" async "width =" 60 "height =" 45 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons sedan / 2/23 / Scalene_tetrahedron_diagram.png / 90px-Scalene_tetrahedron_diagram.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons également / 2/23 / Scalene_tetrahedron_diagram.png / 120px-Scalene_tetrahedron_diagram.png 2x "data-file-width =" 128 "data-file-height =" 97
Quatre triangles différents

Sa seule isométrie est l'identité et le groupe de symétrie est le groupe trivial. Un tétraèdre irrégulier a le symbole de Schläfli () () () ∨ ().

C1 ()+ 1 1
Disphenoids (Quatre triangles égaux)
Dysphénoïde tétragonal Diagramme disphénoïde tétragonal.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / b / b4 / Tetragonal_disphenoid_diagram.png / 60px-Tetragonal_disphenoid_diagram.png "decoding =" async "width =" 60 "" 59 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / b / b4 / Tetragonal_disphenoid_diagram.png / 90px-Tetragonal_disphenoid_diagram.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / b4 / Tetragonal_disphenoid_diagram.png 2x "data-file-width =" 112 "data-file-height =" 111
Quatre comme isocèle triangles

Il a 8 isométries. Si les arêtes (1,2) et (3,4) ont des longueurs différentes des 4 autres, les 8 isométries sont l'identité 1, les réflexions (12) et (34), et les rotations à 180 ° (12) (34), (13 ) (24), (14) (23) et des rotations incorrectes de 90 ° (1234) et (1432) formant le groupe de symétrie 2d. Un dysphénoïde tétragonal a un diagramme de Coxeter CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png et symbole Schläfli s 2,4.

2d
S4
(2+4)
(2+4+)
2 * 2
2 x
8
4
Dysphénoïde rhombique Diagramme disphénoïde rhombique.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 3/39 / Rhombic_disphenoid_diagram.png / 60px-Rhombic_disphenoid_diagram.png "decoding =" async "width =" 60 "height = "48" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons latest / 3/39 / Rhombic_disphenoid_diagram.png / 90px-Rhombic_disphenoid_diagram.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons complété / 3 / 39 / Rhombic_disphenoid_diagram.png / 120px-Rhombic_disphenoid_diagram.png 2x "data-file-width =" 154 "data-file-height =" 122
Quatre comme scalène triangles

Il a 4 isométries. Les isométries sont les rotations de 1 et 180 ° (12) (34), (13) (24), (14) (23). Ceci est le groupe de Klein quatre V4 ou Z22, présent comme groupe de points 2. Un dysphénoïde rhombique a un diagramme de Coxeter CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png et symbole Schläfli Sr 2,2.

2 (2.2)+ 222 4
Dénoïdes généralisés (2 paires de triangles)
Dysphénoïde digonal Digonal disphénoïde diagram2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 3 / 3e / Digonal_disphenoid_diagram2.png / 80px-Digonal_disphenoid_diagram2.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "64" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons latest / 3 / 3e / Digonal_disphenoid_diagram2.png / 120px-Digonal_disphenoid_diagram2.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e /Digonal_disphenoid_diagram2.png 2x "data-file-width =" 158 "data-file-height =" 127
Digonal disphenoid diagram.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / d / jj / Digonal_disphenoid_diagram.png / 80px-Digonal_disphenoid_diagram.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "64" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / d / dd / Digonal_disphenoid_diagram.png / 120px-Digonal_disphenoid_diagram.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/dommons / dd /Digonal_disphenoid_diagram.png 2x "data-file-width =" 158 "data-file-height =" 127
Deux paires égales isocèle triangles
. Cela donne deux arêtes opposées (1,2) et (3,4) perpendiculaires mais de longueur différente, puis les 4 isométries 1, réflexions (12) et (34) et rotation à 180 ° (12) (34). ). Le groupe de symétrie est C2v, est isomorphe pour le groupe de Klein V4. Un sphénoïde digonal a le symbole Schläfli ∨ .
C2v
C2
(2)
(2)+
* 22
22
4
2
Dysphénoïde phyllique Demi-tour tetrahedron diagram.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / b / b7 / Half-turn_tetrahedron_diagram.png / 80px-Half-turn_tetrahedron_diagram.png "decoding =" async "width = "80" height = "34" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / b / b7 / Half-turn_tetrahedron_diagram.png / 120px-Half-turn_tetrahedron_diagram.png 1.5x, // upload.wikimedia. org / wikipedia / commons / thumb / b / b7 / Half-turn_tetrahedron_diagram.png / 160px-Half-turn_tetrahedron_diagram.png 2x "data-file-width =" 219 "data-file-height =" 94
Demi-tour tétraèdre diagram2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons une fois / b / b3 / Demi-virage_tétraèdre_diagram2.png / 80px-Demi-virage_tetrahedron_diagram2.png "decoding = width" 80 "height =" 31 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / b / b3 / Half-turn_tetrahedron_diagram2.png / 120px-Half-turn_tetrahedron_diagram2.png 1.5x, // upload.wikimedia.org / wikipedia / commons / thumb / b / b3 / Half-turn_tetrahedron_diagram2.png / 160px-Half-turn_tetrahedron_diagram2.png 2x "data-file-width =" 215 "data-file-height =" 84
Deux paires égales scalène ou isocèle triangles

Celui-ci a deux paires avec des arêtes égales (1.3), (2.4) et (1.4), (2.3), mais sinon, aucune arête ne se ressemble. Les deux seules isométries sont 1 et la rotation (12) (34), ce qui donne au groupe C2 isomorphe pour le groupe cyclique, Z2.

C2 (2)+ 22 2

Caractéristiques générales(éditer)

volume(éditer)

Le volume d'un tétraèdre est donné par la formule de volume pyramidal:

FR0 est la zone à base et h est la hauteur de l'étagère au sommet. Ceci s'applique à chacun des quatre choix de la base, de sorte que les distances entre les sommets et les surfaces opposées sont inversement proportionnelles aux surfaces de ces surfaces.

Pour un tétraèdre à sommets
un = (un1, un2, un3),
b = (b1, b2, b3),
c = (c1, c2, c3)et
= (1, 2, 3), le volume est 1/6| Il (un, b, c) |, ou toute autre combinaison de verticales formant un seul graphe connecté. Ceci peut être réécrit avec un produit scalaire et un produit croisé, et donne

Si l'origine du système de coordonnées est choisie pour coïncider avec le sommet alors = 0, c'est-à-dire

un, bet c représente trois arêtes qui se rencontrent à un sommet, et un · (b x c) est l'un mise à l'échelle du triple produit. Lorsque nous comparons cette formule avec celle utilisée pour calculer le volume d’un parallèle raccordé, nous concluons que le volume d’un tétraèdre est égal à 1/6 du volume de toute tuyauterie parallèle partageant trois bords convergents.

La valeur absolue du triple produit scalaire peut être représentée par les valeurs absolues suivantes de déterminants:

en

ça donne

α, β, γ sont les angles plans qui se produisent au sommet . l'angle α, est l'angle entre les deux arêtes reliant le sommet aux sommets b et c. l'angle β, fais-le pour les pics un et c, en même temps que γ, est défini par la position des sommets un et b.

Gitt avstandene mellom vertikatene til en tetrahedron kan volumet beregnes ved hjelp av Cayley – Menger-determinanten:

hvor abonnementene Jeg, j ∈ 1, 2, 3, 4 representere toppunktene un, b, c, et ij er parvis avstand mellom dem – dvs. lengden på kanten som forbinder de to toppunktene. En negativ verdi på determinanten betyr at en tetrahedron ikke kan konstrueres med de gitte avstandene. Denne formelen, noen ganger kalt Tartaglias formel skyldes i hovedsak maleren Piero della Francesca på 1400-tallet, som en tredimensjonal analog av Herons formel fra 1000-tallet for området av en trekant.(8)

betegne a, b, c være tre kanter som møtes på et tidspunkt, og x, y, z motsatte kanter. La V være volumet av tetrahedronen; puis(9)

where

The above formula uses different expressions with the following formula,The above formula uses six lengths of edges, and the following formula uses three lengths of edges and three angles.

Heron-type formula for the volume of a tetrahedron(edit)

Hvis U, V, W, u, v, w are lengths of edges of the tetrahedron (first three form a triangle; u opposite to U and so on), then(10)

where

Volume divider(edit)

A plane that divides two opposite edges of a tetrahedron in a given ratio also divides the volume of the tetrahedron in the same ratio. Thus any plane containing a bimedian (connector of opposite edges' midpoints) of a tetrahedron bisects the volume of the tetrahedron.(11)(12):pp.89–90

Non-Euclidean volume(edit)

For tetrahedra in hyperbolic space or in three-dimensional elliptic geometry, the dihedral angles of the tetrahedron determine its shape and hence its volume. In these cases, the volume is given by the Murakami–Yano formula.(1. 3) However, in Euclidean space, scaling a tetrahedron changes its volume but not its dihedral angles, so no such formula can exist.

Distance between the edges(edit)

Any two opposite edges of a tetrahedron lie on two skew lines, and the distance between the edges is defined as the distance between the two skew lines. Let be the distance between the skew lines formed by opposite edges a et bc as calculated here. Then another volume formula is given by

Properties analogous to those of a triangle(edit)

The tetrahedron has many properties analogous to those of a triangle, including an insphere, circumsphere, medial tetrahedron, and exspheres. It has respective centers such as incenter, circumcenter, excenters, Spieker center and points such as a centroid. However, there is generally no orthocenter in the sense of intersecting altitudes.(14)

Gaspard Monge found a center that exists in every tetrahedron, now known as the Monge point: the point where the six midplanes of a tetrahedron intersect. A midplane is defined as a plane that is orthogonal to an edge joining any two vertices that also contains the centroid of an opposite edge formed by joining the other two vertices. If the tetrahedron's altitudes do intersect, then the Monge point and the orthocenter coincide to give the class of orthocentric tetrahedron.

An orthogonal line dropped from the Monge point to any face meets that face at the midpoint of the line segment between that face's orthocenter and the foot of the altitude dropped from the opposite vertex.

A line segment joining a vertex of a tetrahedron with the centroid of the opposite face is called a median and a line segment joining the midpoints of two opposite edges is called a bimedian of the tetrahedron. Hence there are four medians and three bimedians in a tetrahedron. These seven line segments are all concurrent at a point called the centroid of the tetrahedron.(15) In addition the four medians are divided in a 3:1 ratio by the centroid (see Commandino's theorem). The centroid of a tetrahedron is the midpoint between its Monge point and circumcenter. These points define the Euler line of the tetrahedron that is analogous to the Euler line of a triangle.

The nine-point circle of the general triangle has an analogue in the circumsphere of a tetrahedron's medial tetrahedron. It is the twelve-point sphere and besides the centroids of the four faces of the reference tetrahedron, it passes through four substitute Euler points, one third of the way from the Monge point toward each of the four vertices. Finally it passes through the four base points of orthogonal lines dropped from each Euler point to the face not containing the vertex that generated the Euler point.(16)

The center T of the twelve-point sphere also lies on the Euler line. Unlike its triangular counterpart, this center lies one third of the way from the Monge point M towards the circumcenter. Also, an orthogonal line through T to a chosen face is coplanar with two other orthogonal lines to the same face. The first is an orthogonal line passing through the corresponding Euler point to the chosen face. The second is an orthogonal line passing through the centroid of the chosen face. This orthogonal line through the twelve-point center lies midway between the Euler point orthogonal line and the centroidal orthogonal line. Furthermore, for any face, the twelve-point center lies at the midpoint of the corresponding Euler point and the orthocenter for that face.

The radius of the twelve-point sphere is one third of the circumradius of the reference tetrahedron.

There is a relation among the angles made by the faces of a general tetrahedron given by (17)

where αij is the angle between the faces en et j.

Geometric relations(edit)

A tetrahedron is a 3-simplex. Unlike the case of the other Platonic solids, all the vertices of a regular tetrahedron are equidistant from each other (they are the only possible arrangement of four equidistant points in 3-dimensional space).

A tetrahedron is a triangular pyramid, and the regular tetrahedron is self-dual.

A regular tetrahedron can be embedded inside a cube in two ways such that each vertex is a vertex of the cube, and each edge is a diagonal of one of the cube's faces. For one such embedding, the Cartesian coordinates of the vertices are

(+1, +1, +1);
(−1, −1, +1);
(−1, +1, −1);
(+1, −1, −1).

This yields a tetrahedron with edge-length 22, centered at the origin. For the other tetrahedron (which is dual to the first), reverse all the signs. These two tetrahedra's vertices combined are the vertices of a cube, demonstrating that the regular tetrahedron is the 3-demicube.

The volume of this tetrahedron is one-third the volume of the cube. Combining both tetrahedra gives a regular polyhedral compound called the compound of two tetrahedra or stella octangula.

The interior of the stella octangula is an octahedron, and correspondingly, a regular octahedron is the result of cutting off, from a regular tetrahedron, four regular tetrahedra of half the linear size (i.e., rectifying the tetrahedron).

The above embedding divides the cube into five tetrahedra, one of which is regular. In fact, five is the minimum number of tetrahedra required to compose a cube. To see this, starting from a base tetrahedron with 4 vertices, each added tetrahedra adds at most 1 new vertex, so at least 4 more must be added to make a cube, which has 8 vertices.

Inscribing tetrahedra inside the regular compound of five cubes gives two more regular compounds, containing five and ten tetrahedra.

Regular tetrahedra cannot tessellate space by themselves, although this result seems likely enough that Aristotle claimed it was possible. However, two regular tetrahedra can be combined with an octahedron, giving a rhombohedron that can tile space.

However, several irregular tetrahedra are known, of which copies can tile space, for instance the disphenoid tetrahedral honeycomb. The complete list remains an open problem.(18)

If one relaxes the requirement that the tetrahedra be all the same shape, one can tile space using only tetrahedra in many different ways. For example, one can divide an octahedron into four identical tetrahedra and combine them again with two regular ones. (As a side-note: these two kinds of tetrahedron have the same volume.)

The tetrahedron is unique among the uniform polyhedra in possessing no parallel faces.

A law of sines for tetrahedra and the space of all shapes of tetrahedra(edit)

Tetra.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Tetra.png/248px-Tetra.png" decoding="async" width="248" height="189" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/13/Tetra.png 1.5x" data-file-width="371" data-file-height="282

A corollary of the usual law of sines is that in a tetrahedron with vertices O, FR, B, C, we have

One may view the two sides of this identity as corresponding to clockwise and counterclockwise orientations of the surface.

Putting any of the four vertices in the role of O yields four such identities, but at most three of them are independent: If the "clockwise" sides of three of them are multiplied and the product is inferred to be equal to the product of the "counterclockwise" sides of the same three identities, and then common factors are cancelled from both sides, the result is the fourth identity.

Three angles are the angles of some triangle if and only if their sum is 180° (π radians). What condition on 12 angles is necessary and sufficient for them to be the 12 angles of some tetrahedron? Clearly the sum of the angles of any side of the tetrahedron must be 180°. Since there are four such triangles, there are four such constraints on sums of angles, and the number of degrees of freedom is thereby reduced from 12 to 8. The four relations given by this sine law further reduce the number of degrees of freedom, from 8 down to not 4 but 5, since the fourth constraint is not independent of the first three. Thus the space of all shapes of tetrahedra is 5-dimensional.(19)

Law of cosines for tetrahedra(edit)

Let P1 ,P2, P3, P4 be the points of a tetrahedron. Let Δen be the area of the face opposite vertex Pen and let θij be the dihedral angle between the two faces of the tetrahedron adjacent to the edge PenPj.

The law of cosines for this tetrahedron,(20) which relates the areas of the faces of the tetrahedron to the dihedral angles about a vertex, is given by the following relation:

Interior point(edit)

Let P be any interior point of a tetrahedron of volume V for which the vertices are FR, B, C, and , and for which the areas of the opposite faces are faa, fab, fac, and fa. Then(21):p.62,#1609

For vertices FR, B, C, and , interior point P, and feet J, K, L, and M of the perpendiculars from P to the faces,(21):p.226,#215

Inradius(edit)

Denoting the inradius of a tetrahedron as r and the inradii of its triangular faces as ren à en = 1, 2, 3, 4, we have(21):p.81,#1990

with equality if and only if the tetrahedron is regular.

Hvis FR1, FR2, FR3 et FR4 denote the area of each faces, the value of r is given by

This formula is obtained from dividing the tetrahedron into four tetrahedra whose points are the three points of one of the original faces and the incenter. Since the four subtetrahedra fill the volume, we have

V=13FR1r+13FR2r+13FR3r+13FR4rdisplaystyle V=frac 13A_1r+frac 13A_2r+frac 13A_3r+frac 13A_4r

.

Circumradius(edit)

Denote the circumradius of a tetrahedron as R. Let a, b, c be the lengths of the three edges that meet at a vertex, and FR, B, C the length of the opposite edges. Let V be the volume of the tetrahedron. Then(22)(23)

Circumcenter(edit)

The circumcenter of a tetrahedron can be found as intersection of three bisector planes. A bisector plane is defined as the plane centered on, and orthogonal to an edge of the tetrahedron.
With this definition, the circumcenter C of a tetrahedron with vertices x0,x1,x2,x3 can be formulated as matrix-vector product:(24)

In contrast to the centroid, the circumcenter may not always lay on the inside of a tetrahedron.
Analogously to an obtuse triangle, the circumcenter is outside of the object for an obtuse tetrahedron.

Centroid(edit)

The tetrahedron's center of mass computes as the arithmetic mean of its four vertices, see Centroid.

Faces(edit)

The sum of the areas of any three faces is greater than the area of the fourth face.(21):p.225,#159

Integer tetrahedra(edit)

There exist tetrahedra having integer-valued edge lengths, face areas and volume. One example has one edge of 896, the opposite edge of 990 and the other four edges of 1073; two faces have areas of 436800 and the other two have areas of 47120, while the volume is 62092800.(25):p.107

A tetrahedron can have integer volume and consecutive integers as edges, an example being the one with edges 6, 7, 8, 9, 10, and 11 and volume 48.(25):p. 107

Related polyhedra and compounds(edit)

A regular tetrahedron can be seen as a triangular pyramid.

A regular tetrahedron can be seen as a degenerate polyhedron, a uniform digonal antiprism, where base polygons are reduced digons.

A regular tetrahedron can be seen as a degenerate polyhedron, a uniform dual digonal trapezohedron, containing 6 vertices, in two sets of colinear edges.

A truncation process applied to the tetrahedron produces a series of uniform polyhedra. Truncating edges down to points produces the octahedron as a rectified tetrahedron. The process completes as a birectification, reducing the original faces down to points, and producing the self-dual tetrahedron once again.

This polyhedron is topologically related as a part of sequence of regular polyhedra with Schläfli symbols 3,n, continuing into the hyperbolic plane.

The tetrahedron is topologically related to a series of regular polyhedra and tilings with order-3 vertex figures.

An interesting polyhedron can be constructed from five intersecting tetrahedra. This compound of five tetrahedra has been known for hundreds of years. It comes up regularly in the world of origami. Joining the twenty vertices would form a regular dodecahedron. There are both left-handed and right-handed forms, which are mirror images of each other. Superimposing both forms gives a compound of ten tetrahedra, in which the ten tetrahedra are arranged as five pairs of stellae octangulae. A stella octangula is a compound of two tetrahedra in dual position and its eight vertices define a cube as their convex hull.

The square hosohedron is another polyhedron with four faces, but it does not have triangular faces.

Applications(edit)

Numerical analysis(edit)

An irregular volume in space can be approximated by an irregular triangulated surface, and irregular tetrahedral volume elements.

In numerical analysis, complicated three-dimensional shapes are commonly broken down into, or approximated by, a polygonal mesh of irregular tetrahedra in the process of setting up the equations for finite element analysis especially in the numerical solution of partial differential equations. These methods have wide applications in practical applications in computational fluid dynamics, aerodynamics, electromagnetic fields, civil engineering, chemical engineering, naval architecture and engineering, and related fields.

Chemistry(edit)

The tetrahedron shape is seen in nature in covalently bonded molecules. All sp3-hybridized atoms are surrounded by atoms (or lone electron pairs) at the four corners of a tetrahedron. For instance in a methane molecule (CH
4
) or an ammonium ion (NH+
4
), four hydrogen atoms surround a central carbon or nitrogen atom with tetrahedral symmetry. For this reason, one of the leading journals in organic chemistry is called Tetrahedron. The central angle between any two vertices of a perfect tetrahedron is arccos(−1/3), or approximately 109.47°.(5)

Water, H
2
O
, also has a tetrahedral structure, with two hydrogen atoms and two lone pairs of electrons around the central oxygen atoms. Its tetrahedral symmetry is not perfect, however, because the lone pairs repel more than the single O–H bonds.

Quaternary phase diagrams in chemistry are represented graphically as tetrahedra.

However, quaternary phase diagrams in communication engineering are represented graphically on a two-dimensional plane.

Electricity and electronics(edit)

If six equal resistors are soldered together to form a tetrahedron, then the resistance measured between any two vertices is half that of one resistor.(26)(27)

Since silicon is the most common semiconductor used in solid-state electronics, and silicon has a valence of four, the tetrahedral shape of the four chemical bonds in silicon is a strong influence on how crystals of silicon form and what shapes they assume.

Games(edit)

The Royal Game of Ur, dating from 2600 BC, was played with a set of tetrahedral dice.

Especially in roleplaying, this solid is known as a 4-sided die, one of the more common polyhedral dice, with the number rolled appearing around the bottom or on the top vertex. Some Rubik's Cube-like puzzles are tetrahedral, such as the Pyraminx and Pyramorphix.

Color space(edit)

Tetrahedra are used in color space conversion algorithms specifically for cases in which the luminance axis diagonally segments the color space (e.g. RGB, CMY).(28)

Contemporary art(edit)

The Austrian artist Martina Schettina created a tetrahedron using fluorescent lamps. It was shown at the light art biennale Austria 2010.(29)

It is used as album artwork, surrounded by black flames on The End of All Things to Come by Mudvayne.

Popular culture(edit)

Stanley Kubrick originally intended the monolith in 2001: A Space Odyssey to be a tetrahedron, according to Marvin Minsky, a cognitive scientist and expert on artificial intelligence who advised Kubrick on the HAL 9000 computer and other aspects of the movie. Kubrick scrapped the idea of using the tetrahedron as a visitor who saw footage of it did not recognize what it was and he did not want anything in the movie regular people did not understand.(30)

In Season 6, Episode 15 of Futurama, named "Möbius Dick", the Planet Express crew pass through an area in space known as the Bermuda Tetrahedron. Many other ships passing through the area have mysteriously disappeared, including that of the first Planet Express crew.

In the 2013 film Oblivion the large structure in orbit above the Earth is of a tetrahedron design and referred to as the Tet.

Geology(edit)

The tetrahedral hypothesis, originally published by William Lowthian Green to explain the formation of the Earth,(31) was popular through the early 20th century.(32)(33)

Structural engineering(edit)

A tetrahedron having stiff edges is inherently rigid. For this reason it is often used to stiffen frame structures such as spaceframes.

Aviation(edit)

At some airfields, a large frame in the shape of a tetrahedron with two sides covered with a thin material is mounted on a rotating pivot and always points into the wind. It is built big enough to be seen from the air and is sometimes illuminated. Its purpose is to serve as a reference to pilots indicating wind direction.(34)

Tetrahedral graph(edit)

The skeleton of the tetrahedron (the vertices and edges) form a graph, with 4 vertices, and 6 edges. It is a special case of the complete graph, K4, and wheel graph, W4.(35) It is one of 5 Platonic graphs, each a skeleton of its Platonic solid.

3-simplex t0 A2.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/3-simplex_t0_A2.svg/160px-3-simplex_t0_A2.svg.png" decoding="async" width="160" height="160" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/3-simplex_t0_A2.svg/240px-3-simplex_t0_A2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/3-simplex_t0_A2.svg/320px-3-simplex_t0_A2.svg.png 2x" data-file-width="1600" data-file-height="1600
3-fold symmetry

Voir aussi(edit)

références(edit)

  1. ^ a b Weisstein, Eric W. "Tetrahedron". MathWorld.
  2. ^ Ford, Walter Burton; Ammerman, Charles (1913), Plane and Solid Geometry, Macmillan, pp. 294–295
  3. ^ a b c e f Coxeter, Harold Scott MacDonald; Regular Polytopes, Methuen and Co., 1948, Table I(i)
  4. ^ Köller, Jürgen, "Tetrahedron", Mathematische Basteleien, 2001
  5. ^ a b Brittin, W. E. (1945). "Valence angle of the tetrahedral carbon atom". Journal of Chemical Education. 22 (3): 145. Bibcode:1945JChEd..22..145B. doi:10.1021/ed022p145.
  6. ^ Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
  7. ^ Sections of a Tetrahedron
  8. ^ "Simplex Volumes and the Cayley-Menger Determinant", MathPages.com
  9. ^ Kahan, William M.; "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?", pp.11
  10. ^ Kahan, William M.; "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?", pp. 16–17
  11. ^ Weisstein, Eric W. "Tetrahedron." From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html
  12. ^ Altshiller-Court, N. "The tetrahedron." Ch. 4 in Modern Pure Solid Geometry: Chelsea, 1979.
  13. ^ Murakami, Jun; Yano, Masakazu (2005), "On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron", Communications in Analysis and Geometry, 1. 3 (2): 379–400, doi:10.4310/cag.2005.v13.n2.a5, ISSN 1019-8385, MR 2154824, archived from the original on 10 April 2012, retrieved 10 February 2012
  14. ^ Havlicek, Hans; Weiß, Gunter (2003). "Altitudes of a tetrahedron and traceless quadratic forms" (PDF). American Mathematical Monthly. 110 (8): 679–693. arXiv:1304.0179. doi:10.2307/3647851. JSTOR 3647851.
  15. ^ Leung, Kam-tim; and Suen, Suk-nam; "Vectors, matrices and geometry", Hong Kong University Press, 1994, pp. 53–54
  16. ^ Outudee, Somluck; New, Stephen. The Various Kinds of Centres of Simplices (PDF). Dept of Mathematics, Chulalongkorn University, Bangkok. Archived from the original on 27 February 2009.CS1 maint: BOT: original-url status unknown (link)
  17. ^ Audet, Daniel (May 2011). "Déterminants sphérique et hyperbolique de Cayley-Menger" (PDF). Bulletin AMQ.
  18. ^ Senechal, Marjorie (1981). "Which tetrahedra fill space?". Mathematics Magazine. Mathematical Association of America. 54 (5): 227–243. doi:10.2307/2689983. JSTOR 2689983
  19. ^ Rassat, André; Fowler, Patrick W. (2004). "Is There a "Most Chiral Tetrahedron"?". Chemistry: A European Journal. 10 (24): 6575–6580. doi:10.1002/chem.200400869
  20. ^ Lee, Jung Rye (June 1997). "The Law of Cosines in a Tetrahedron". J. Korea Soc. Matte. Educ. Ser. B: Pure Appl. Math.
  21. ^ a b c Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, (1).
  22. ^ Crelle, A. L. (1821). "Einige Bemerkungen über die dreiseitige Pyramide". Sammlung mathematischer Aufsätze u. Bemerkungen 1 (in German). Berlin: Maurer. pp. 105–132. Retrieved 7 August 2018.
  23. ^ Todhunter, I. (1886), Spherical Trigonometry: For the Use of Colleges and Schools, p. 129 ( Art. 163 )
  24. ^ Lévy, Bruno; Liu, Yang (2010). "Lp Centroidal Voronoi Tessellation and its applications,". ACM: 119.
  25. ^ a b Wacław Sierpiński, Pythagorean Triangles, Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).
  26. ^ Klein, Douglas J. (2002). "Resistance-Distance Sum Rules" (PDF). Croatica Chemica Acta. 75 (2): 633–649. Archived from the original (PDF) on 10 June 2007. Retrieved 15 September 2006.
  27. ^ Záležák, Tomáš (18 October 2007); "Resistance of a regular tetrahedron" (PDF), retrieved 25 Jan 2011
  28. ^ Vondran, Gary L. (April 1998). "Radial and Pruned Tetrahedral Interpolation Techniques" (PDF). HP Technical Report. HPL-98-95: 1–32.
  29. ^ Lightart-Biennale Austria 2010
  30. ^ "Marvin Minsky: Stanley Kubrick Scraps the Tetrahedron". Web of Stories. Retrieved 20 February 2012.
  31. ^ Green, William Lowthian (1875). Vestiges of the Molten Globe, as exhibited in the figure of the earth, volcanic action and physiography. Part I. London: E. Stanford. OCLC 3571917.
  32. ^ Holmes, Arthur (1965). Principles of physical geology. Nelson. p. 32.
  33. ^ Hitchcock, Charles Henry (January 1900). Winchell, Newton Horace (ed.). "William Lowthian Green and his Theory of the Evolution of the Earth's Features". The American Geologist. XXV. Geological Publishing Company. pp. 1–10.
  34. ^ Federal Aviation Administration (2009), Pilot's Handbook of Aeronautical Knowledge, U. S. Government Printing Office, p. 13-10, ISBN 9780160876110.
  35. ^ Weisstein, Eric W. "Tetrahedral graph". MathWorld.

Liens externes(edit)


Les anciennes traditions néolithiques ont gravé des photos des composants de la nature sur des boules de pierre un millier d’années avant qu’elles ne soient renommées sous le nom de solides platoniques. Les philosophes et les mathématiciens grecs ont étudié l’idée des formes primaires. Certains attribuent leurs origines à Pythagore ( 570-495 av. J. -C. ), Empedocle ( 490-430 av. J. -C. ) ou Theaetetus ( 417-369 av. J. -C. ). Platon ( 424-347 av. J. -C. ), un étudiant de Socrate, en a beaucoup parlé dans son dialogue avec Timée. Il les a décrits comme les éléments constituants de la vie représentés par les 4 éléments que sont la terre, l’eau, le feu et l’air. Aristote a identifié un cinquième élément qu’il a nommé Aether. Euclide ( 323-283 av. J. -C. ) les réunit, les nomme les Solides de Platon et leur donne des descriptions mathématiques ciblées dans son bouqin Elements. Ce large corpus de connaissances est passé quasiment sous terre jusqu’à ce que Johannes Kepler ( 1571-1630 ), un astronome allemand, considère la sphère comme un container pour chacun des cinq solides de Platon. Il a également essayé de relier les solides aux six planètes renommées de Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne. En forme euclidienne, un solide de Platon est défini comme un polyèdre annuel et convexe, dont les faces sont des polygones constants et congruents, avec le même volume de faces se rencontrant à chaque sommet qui s’inscrivent dans une sphère. Empedocle voyait la passion comme le pouvoir qui attire ces formes ensemble tandis que la bataille les sépare. Les composants ont inspiré l’art, la méthode et la gestion de la classe de notre monde. n

Laisser un commentaire