Invariant de Dehn – Wikipedia solides de Platon énergie

En géométrie, le Invariant de Dehn Un polyèdre est une valeur utilisée pour déterminer si les polyèdres peuvent être disséqués les uns dans les autres ou s'ils peuvent paver l'espace. Il porte le nom de Max Dehn, qui l'a utilisé pour résoudre le troisième problème de Hilbert sur la possibilité de disséquer tous les polyèdres de volume égal.

Deux polyèdres ont une dissection en morceaux polyédriques qui peuvent être joints aux deux, si et seulement si leur volume et les invariants de Dehn sont égaux.
Un polyèdre peut être découpé et réassemblé dans des pièces de mosaïque si et seulement si son invariant de Dehn est égal à zéro; il est donc indispensable que le zéro invariant de Dehn soit une condition nécessaire pour être un polyèdre rempli d'espace.
Il y a également un problème ouvert: l'invariant de Dehn d'un polyèdre souple auto-croisé-libre est-il invariable quand il se plie.

L'invariant de Dehn est zéro pour le cube mais non nul pour les autres solides platoniques, ce qui suggère que les autres solides ne peuvent pas former de mosaïque et qu'ils ne peuvent pas être disséqués en un cube. Tous les solides d'Archimède ont des invariants de Dehn, qui sont des combinaisons rationnelles des invariants des solides platoniques. En particulier, l'octaèdre tronqué couvre l'espace et a le zéro invariant de Dehn comme cube.

Les invariants de Dehn des polyèdres sont des éléments d'un espace vectoriel de dimensions infinies. En tant que groupe abélien, cet espace fait partie d'une séquence exacte impliquant une homologie de groupe.
Des invariants similaires peuvent également être définis pour d'autres énigmes de dissection, notamment le problème de la dissection de polygones rectilignes les uns par rapport aux autres par incisions et translations axiales parallèles.

fond(éditer)

Dissection d'un triangle carré et équilatéral l'un dans l'autre. Aucune dissection de ce type n'existe pour le cube et le tétraèdre régulier.

Selon le théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien en deux dimensions, deux polygones de taille égale peuvent être coupés en morceaux polygonaux et assemblés. David Hilbert s’est intéressé à ce résultat comme moyen d’axiomatiser la région, en liaison avec les axiomes de Hilbert pour la géométrie euclidienne. Dans son troisième problème, Hilbert posait la question de savoir si deux polyèdres de volume égal pouvaient toujours être coupés en morceaux polyédriques et assemblés. Max Dehn, élève de Hilbert, dans sa mission d'habilitation de 1900, a inventé l'invariant de Dehn pour prouver que ce n'est pas toujours possible, ce qui donne une solution négative au problème de Hilbert. Bien que Dehn ait formulé son invariant différemment,
l'approche moderne consiste à le décrire comme une valeur dans un produit tenseur, selon Jessen (1968).(1)(2)

définition(éditer)

La définition de l'invariant de Dehn nécessite la notion de polyèdre pour lequel les longueurs et les angles dièdres sont bien définis. Le plus souvent, il s’agit de polyèdres aux frontières diverses, intégrés dans un nombre limité de plans de l’espace euclidien. Cependant, l’invariant de Dehn a également été évalué pour les polyèdres à géométrie sphérique ou dans l’espace hyperbolique,(1) et pour certains polyèdres auto-croisants dans l'espace euclidien.(3)

Les valeurs de l'invariant de Dehn appartiennent à un groupe abélien(4) défini comme le produit tensoriel

Le facteur de gauche de ce produit tensoriel est l'ensemble des nombres réels (dans ce cas, les longueurs sur les arêtes des polyèdres) et le facteur de droite représente les angles dièdres en radians, donné sous forme de module de nombres 2π.(5) (Certaines sources prennent les angles modulo π au lieu de modulo 2π,(1)(4)(6) ou diviser les angles par π et utiliser

R/Z displaystyle mathbb R / mathbb Z

au lieu de

R/2πZ displaystyle mathbb R / 2 pi mathbb Z

(7) mais cela ne fait aucune différence pour le produit tenseur résultant, qui un multiple rationnel de π le facteur correct devient zéro dans le produit.)

Dehn invariant pour un polyèdre à longueurs d'arêtes

Je displaystyle ou _ i

et bord dièdre angles

θJe displaystyle theta _ i

est la somme(5)

Une description alternative mais égale de l’invariant de Dehn implique de choisir un Hamel base, un sous-groupe sans fin

B displaystyle B

des nombres réels afin que chaque nombre réel puisse être exprimé de manière unique comme une somme de nombreux multiples rationnels de

B displaystyle B

. En tant que groupe additif,

R displaystyle mathbb R

est isomorphe à

QB displaystyle mathbb Q ^ B

.
si

B displaystyle B

soigneusement sélectionnés pour que π (ou un multiple rationnel de π) est l'un des éléments, et

B& # 39; style d'affichage B & # 39;

le reste de la base de cet élément est exclu, alors le produit tensoriel

RR/2πZ displaystyle mathbb R otimes mathbb R / 2 pi mathbb Z

est la surface du vecteur réel (infiniment dimensionnelle)

RB& # 39; displaystyle mathbb R ^ B & # 39;

. L'invariant de Dehn peut être exprimé en décomposant chaque angle dièdre

θJe displaystyle theta _ i

en une somme finie d'éléments de base

qJe,j displaystyle q_ i, j

est rationnel,

bJe,j displaystyle b_ i, j

est l’un des nombres réels sur la base de Hamel, et ces éléments de base sont numérotés de telle sorte que

bJe,0 displaystyle b_ i, 0

est le multiple rationnel de π
qui appartient à

B displaystyle B

mais pas

B& # 39; style d'affichage B & # 39;

. Avec cette dégradation,
L’invariant de Dehn est

où chacun

eJe,j displaystyle e_ i, j

est un vecteur unitaire dans

RB& # 39; displaystyle mathbb R ^ B & # 39;

correspondant à l'élément de base

bJe,j displaystyle b_ i, j

.(8) Bien que la formulation de base de Hamel semble impliquer l’axiome choisi, cela peut être évité (en considérant un ensemble limité particulier de polyèdres) en limitant l’attention à l’espace vectoriel dimensionnel final généré ci-dessus.

Q displaystyle mathbb Q

aux angles dièdres des polyèdres.(9) Cette formulation alternative montre que les valeurs de l'invariant de Dehn peuvent recevoir la structure supplémentaire d'un espace vectoriel réel.

exemples(éditer)

Les solides platoniques ont chacun des longueurs d'arête et des angles dièdres uniformes, dont aucun n'est un multiple rationnel l'un de l'autre. L'angle dièdre d'un cube, π/ 2, est un multiple rationnel de π, mais le reste n'est pas. Les angles dièdres du tétraèdre régulier et des octahs ordinaires sont complémentaires: ils totalisent π.(10)

Dans la formulation de base de Hamel de l'invariant de Dehn, quatre de ces angles dièdres peuvent être sélectionnés dans le cadre de la base de Hamel.
L'angle du cube, π/ 2, est l'élément de base jeté dans la formule de l'invariant de Dehn, de sorte que l'invariant de Dehn pour le cube est égal à zéro. Plus généralement, l'invariant de Dehn de tout parallélépipède est également zéro.(11) Seul l’un des deux angles du tétraèdre et de l’octaèdre peut être inclus, l’autre étant une combinaison rationnelle de l’inclus et de l’angle du cube. Les invariants de Dehn de chacun des autres solides platoniques seront un vecteur i

RB& # 39; displaystyle mathbb R ^ B & # 39;

formé en multipliant le vecteur unitaire pour l'angle du solide par la longueur et le nombre d'arêtes du solide. Quelle que soit leur taille, le tétraèdre, l’icosaèdre et le dodécédron ont tous des invariants de Dehn qui forment des vecteurs pointant dans des directions différentes. Ils sont donc différents et inégaux.(12)

L'angle dièdre nié de l'octaèdre diffère de l'angle d'un tétraèdre avec un multiple entier de πet en plus, l'octaèdre a deux fois plus d'arêtes que le tétraèdre (douze au lieu de six). Par conséquent, l'invariant de Dehn de l'octaèdre est égal à -2 fois l'invariant de Dehn d'un tétraèdre de même longueur d'arête. Les invariants de Dehn des autres solides d'Archimède peuvent également être exprimés sous forme de combinaisons rationnelles des invariants des solides de Platon.(12)

applications(éditer)

Question, Web Fundamentals.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ Il y a un an / 2/26 / Question% 2C_Web_Fundamentals.svg / 20px-Question% 2C_Web_Fundamentals.svg.png "decoding =" async " width = "20" height = "20" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons ago / 2/26 / Question% 2C_Web_Fundamentals.svg / 30px-Question% 2C_Web_Fundamentals.svg.png 1.5x, // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Later / 2/26 / Question% 2C_Web_Fundamentals.svg / 40px-Question% 2C_Web_Fundamentals.svg.png 2x "data-file-width =" 44 "data-file-height =" 44 Problème non résolu en maths:

Existe-t-il une dissection entre chaque paire de polyèdres sphériques ou hyperboliques de même volume et les invariants de Dehn les uns aux autres?

(plus de problèmes de mathématiques non résolus)

Comme Dehn (1901) l'a noté, l'invariant de Dehn est un invariant pour disséquer des polyèdres, en ce sens que couper un polyèdre en morceaux polyhédriques plus petits, puis les assembler dans un autre polyèdre ne modifie pas l'invariant de Dehn du résultat. Un autre invariant est le volume du polyèdre. Par conséquent, s’il est possible de disséquer un polyèdre P à un autre polyèdre Q, puisque les deux P et Q doit avoir le même invariant de Dehn ainsi que le même volume.(1. 3)Sydler (1965) a étendu ce résultat en prouvant que le volume et l'invariant de Dehn sont les seuls invariants à ce problème. si P et Q les deux ont le même volume et le même invariant de Dehn, il est toujours possible de disséquer l'un à l'autre.(5)(14)

Le résultat de Dehn s'applique toujours à la géométrie sphérique et à la géométrie hyperbolique. Dans ces deux géométries, deux polyèdres qui peuvent être coupés et assemblés doivent à nouveau avoir le même invariant de Dehn. Cependant, comme Jessen l'a observé, l'extension du résultat de Sydler à la géométrie sphérique ou hyperbolique reste ouverte: on ne sait pas si deux polyèdres sphériques ou hyperboliques du même volume et du même invariant de Dehn peuvent toujours être coupés et réassemblés.(15) Chaque variété hyperbolique à volume fini peut être découpée le long de surfaces géodésiques en un polyèdre hyperbolique, qui a nécessairement un invariant de Dehn de zéro.(16)

L'invariant de Dehn contrôle également la capacité d'un polyèdre à paver l'espace (partie du sujet du huitième problème de Hilbert). Chaque tuile remplissant l'espace a un invariant Dehn égal à zéro, comme le cube.(17)(18) Le contraire de ceci n’est pas vrai: il existe des polyèdres à zéro invariant de Dehn qui ne permettent pas de mosaïque, mais ils peuvent toujours être disséqués sous une autre forme (le cube) qui fabrique des mosaïques.

Plus généralement, si vous combinez des tuiles de polyèdres, la somme de leurs invariants de Dehn (pris dans le même rapport) doit être égale à zéro. Par exemple, le nid d'abeilles octaédrique tétraédrique est une mosaïque d'espace de tétraèdres et d'octaèdres (avec deux fois plus de tétraèdres que d'octaèdres), ce qui équivaut au fait que la somme des invariants de Dehn d'un octaèdre et de deux tétraèdres (avec les mêmes longueurs latérales) est nulle.(19)

réalisabilité(éditer)

Bien que l’invariant de Dehn prenne des valeurs

RZR/2πZ, displaystyle mathbb R otimes _ mathbb Z mathbb R / 2 pi mathbb Z,

tous les éléments de cet espace ne peuvent pas être réalisés sous la forme d'invariants de Dehn de polyèdres.
Les invariants de Dehn du polyèdre euclidien forment une sous-région linéaire de

RZR/2πZ displaystyle mathbb R otimes _ mathbb Z mathbb R / 2 pi mathbb Z

: on peut ajouter des invariants de polyèdres de Dehn en prenant le composé fusionné de polyèdres (ou en les collant ensemble sur une face), en annulant les invariants de Dehn en faisant des trous dans la forme du polyèdre en gros cubes, et en multipliant l’invariant de Dehn par un autre de préférence scalaire en mettant à l'échelle le polyèdre par le même nombre.
La question de savoir quels éléments de

RZR/2πZ, displaystyle mathbb R otimes _ mathbb Z mathbb R / 2 pi mathbb Z,

(ou équivalent,

RZR/Z displaystyle mathbb R otimes _ mathbb Z mathbb R / mathbb Z

) peut être réalisé a été clarifié par les travaux de Dupont and the Sah, qui ont démontré l’existence des Brève séquence exacte des groupes abéliens (non des espaces vectoriels) impliquant une homologie de groupe:(20)

Ici la notation

P(E3) displaystyle mathcal P (E ^ 3)

représente groupe abélien libre sur les polyèdres euclidiens modulo certaines relations dérivées de paires de polyèdres qui peuvent être disséquées les unes dans les autres.

Z(E3) displaystyle mathcal Z (E ^ 3)

est le sous-groupe généré dans ce groupe du triangle prismes, et est utilisé ici pour représenter le volume (puisque chaque nombre réel est le volume d’exactement un élément de ce groupe). La carte du polyèdre de groupe à

RZR/Z displaystyle mathbb R otimes _ mathbb Z mathbb R / mathbb Z

est l'invariant de Dehn.

ALORS(3) displaystyle nom de l'opérateur SO (3)

est-ce Groupe de rotation euclidien, et

H style d'affichage H

est l'homologie du groupe.
Le théorème de Sydler selon lequel la liaison et l'invariant de Dehn sont les seuls invariants de la dissection euclidienne est représenté de manière homologue par l'affirmation que le groupe

H2(ALORS(3),R3) displaystyle H_ 2 ( nom de l'opérateur SO (3), mathbb R ^ 3)

montré dans cette séquence est en réalité zéro.
Si rien d'autre, l'image dans le groupe de polyèdres donnerait une famille de polyèdres qui ne peuvent pas être disséqués en un cube du même volume, mais qui a zéro invariant de Dehn. Selon le théorème de Sydler, de tels polyèdres n'existent pas.(20)

groupe

H1(ALORS(3),R3) displaystyle H_ 1 ( nom de l'opérateur SO (3), mathbb R ^ 3)

apparaître à la droite de la séquence exacte est isomorphe au groupe

ΩR1 displaystyle Omega _ mathbb R ^ 1

de différentielles de Kähler,
et la carte des produits tensoriels de longueurs et d'angles aux différentiels de Kähler est donnée

displaystyle d

est la dérivation universelle de

ΩR1 displaystyle Omega _ mathbb R ^ 1

.
Ce groupe

H1(ALORS(3),R3)=ΩR1 displaystyle H_ 1 ( nom de l'opérateur SO (3), mathbb R ^ 3) = Omega _ mathbb R ^ 1

obstacle à la réalisation: ses éléments non nerveux proviennent d’éléments de

RZR/Z displaystyle mathbb R otimes _ mathbb Z mathbb R / mathbb Z

qui ne peut pas être réalisé comme invariants de Dehn.(21)

Par analogie, dans un espace hyperbolique ou sphérique, les invariants de Dehn réalisables ne forment pas nécessairement un espace vectoriel, car la multiplication scalaire n'est plus possible, mais ils forment quand même un sous-ensemble.
Dupont et Sah prouvent l'existence des séquences exactes(20)

et

ici

sl displaystyle nom de l'opérateur Sl

représente groupe linéaire spécial, et

sl(2,C) displaystyle nom de l'opérateur Sl (2, mathbb C)

est le groupe de transformations Möbius; le signe moins de l'indice "indique un espace propre (−1) pour l'implication induite par la conjugaison complexe".

SU displaystyle nom de l'opérateur SU

représente groupe d'appareils spéciaux.
le sous-groupe

Z displaystyle mathbb Z

en

P(S3)/Z displaystyle mathcal P (S ^ 3) / mathbb Z

est le groupe généré par la sphère entière.(20) De nouveau, le groupe non nul le plus élevé dans ces séquences constitue l’obstacle à la réalisabilité d’une valeur en

RZR/Z displaystyle mathbb R otimes _ mathbb Z mathbb R / mathbb Z

comme invariant de Dehn.

Cette vue algébrique de l’invariant de Dehn peut être étendue aux dimensions supérieures, où elle a une interprétation motivationnelle impliquant la théorie du K algébrique.(16)

Résultats connexes(éditer)

Une approximation très similaire à l'invariant de Dehn peut être utilisée pour déterminer si deux polygones rectilignes ne peuvent être disséqués l'un avec l'autre que par des incisions et des translations axiales parallèles (au lieu de coupes à des angles et des rotations arbitraires). Un invariant pour ce type de dissection utilise le produit tensoriel

RZR displaystyle mathbb R otimes _ mathbb Z mathbb R

où les termes gauche et droit du produit représentent la hauteur et la largeur des rectangles.
L'invariant d'un polygone donné est calculé en le découpant en rectangles,
Prenez le produit tenseur de la hauteur et de la largeur de chaque rectangle et ajoutez les résultats. De nouveau, une dissection est possible si et seulement si deux polygones ont la même étendue et le même invariant.(6)(9)

Les polyèdres flexibles sont une classe de polyèdres pouvant subir un mouvement continu qui maintient la forme des faces. Selon le théorème de rigidité de Cauchy, ils doivent être non convexes et il est connu (le "théorème du soufflet") que le volume du polyèdre doit rester constant tout au long de ce mouvement. Une version plus forte de ce théorème est supposée et stipule que l'invariant de Dehn d'un tel polyèdre doit également rester invariable pendant tout mouvement continu. Cette hypothèse est appelée "forte hypothèse de soufflet". Il est connu que cela vaut pour le premier polyèdre flexible connu, l'octaèdre de Bricard (auto-croisant), et pour un polyèdre flexible non auto-croisé dérivé, le polyèdre de Steffen.(3)
Pour les polyèdres plus compliqués avec auto-croisement, il est connu que "forte hypothèse de soufflet" est fausse.(22) Cependant, il existe toujours un problème ouvert pour les polyèdres flexibles sans auto-jonctions.

La courbure moyenne totale d'une surface polyédrique a été définie comme étant la somme des arêtes des longueurs d'arêtes multipliées par les angles dièdres extérieurs. Ainsi (pour les polyèdres sans angles rationnels), il s'agit d'une fonction linéaire de l'invariant de Dehn, bien qu'il ne fournisse pas une information complète sur cet invariant. Il a été constaté qu'il reste constant pour tous les polyèdres de flexion.(23)

Liens externes(éditer)

références(éditer)

  1. ^ un b c Dupont, Johan L.; Sah, Chih-Han (2000), "Trois questions sur les simplifications des 3 espaces sphériques et hyperboliques", Séminaires mathématiques Gelfand, 1996-1999, Gelfand Math. Sem., Birkhäuser Boston, Boston, MA, p. 49–76, doi: 10.1007 / 978-1-4612-1340-6_3, MR 1731633. Voir en particulier page 61.
  2. ^ Jessen, Børge (1968), "The Algebra for Polyhedron and Thehn – Théorème de Sydler", Mathematica Scandinavica, 22 (2): 241–256 (1969), doi: 10.7146 / math.scand.a-10888, JSTOR 24489773, MR 0251633.
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  8. ^ Essentiellement, la même formule est montrée, mais avec la notation tenseur utilisée pour les vecteurs unitaires Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge (2007), Omnibus mathématique: trente conférences sur les mathématiques classiques, Providence, RI: Société mathématique américaine, page 312, doi: 10.1090 / mbk / 046, ISBN 978-0-8218-4316-1, MR 2350979. Comme le note la source, le fait que la deuxième somme soit indexée de 1 au lieu de 0 n’est pas une erreur; cette indexation est utilisée délibérément pour omettre le terme correspondant aux multiples rationnels de π.
  9. ^ un b Benko, David (2007), "Une nouvelle approche du troisième problème de Hilbert" (PDF), American Mathematical Monthly, 114 (8): 665–676, doi: 10.1080 / 00029890.2007.11920458, JSTOR 27642302, MR 2354437.
  10. ^ Voir le tableau des angles polyédriques dièdres.
  11. ^ Akiyama, Jin; Matsunaga, Kiyoko (2015), "Le troisième problème de Hilbert et le théorème de Dehn", Introduction à la géométrie intuitive, Springer, Tokyo, p. 382–388, doi: 10.1007 / 978-4-431-55843-9, ISBN 978-4-431-55841-5, MR 3380801.
  12. ^ un b Conway, J.H .; Radin, C .; Sadun, L. (1999), "Aux angles dont les fonctions trigonométriques carrées sont rationnelles", Géométrie discrète et computationnelle, 22 (3): 321–332, arXiv:math-ph / 9812019, doi: 10.1007 / PL00009463, MR 1706614, Tableau 3, page. 331.
  13. ^ Dehn, Max (1901), "Ueber den Raumhalt" (PDF), Annales mathématiques (en allemand), 55 (3): 465–478, doi: 10.1007 / BF01448001
  14. ^ Sydler, J.-P. (1965), "Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidien en trois dimensions", Commentaire. Matte. Helv. (en français), 40: 43–80, doi: 10.5169 / cell-30629, MR 0192407
  15. ^ Dupont (2001), page 6.
  16. ^ un b Goncharov, Alexander (1999), "Volumes de variétés hyperboliques et de motifs de Tate mélangés", Journal de la société mathématique américaine, 12 (2): 569–618, doi: 10.1090 / S0894-0347-99-00293-3, MR 1649192.
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  18. ^ Lagarias, J. C.; Moews, D. (1995), "Des polytopes qui remplissent
  19. ^ Cet argument s'applique lorsque les proportions des carreaux peuvent être définies comme un point limite pour le nombre de carreaux dans des polyèdres plus grands. voir Lagarias & Moews (1995), Equation (4.2), et la discussion autour.
  20. ^ un b c Dupont (2001), page 7.
  21. ^ Dupont (2001), théorème 6.2 (a), page 23 35. Dupont affirme qu'il s'agit d'une "reformulation du résultat de Jessen (1968)".
  22. ^ Alexandrov, Victor; Connelly, Robert (2011), "Suspensions flexibles à équateur hexagonal", Illinois Journal of Mathematics, 55 (1): 127-155, arXiv:0905.3683, doi: 10.1215 / ijm / 1355927031, RM 3006683.
  23. ^ Alexander, Ralph (1985), "Cartographie lipschitzienne et courbure moyenne totale des surfaces polyédriques. I", Transactions de l'American Mathematical Society, 288 (2): 661–678, doi: 10.2307 / 1999957, JSTOR 1999957, MR 0776397.


Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des robustes de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au moins une de ses surfaces qui n’est pas plate ( par exemple, cylindre, sphère ou tube ) Régulier veut dire que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou équivalentes dans tous les critères, et tous les bords sont de la même longueur 3D sous-entend que la forme a la largeur, la capacité et la hauteur. Un polygone est une forme fermée dans une figure plane avec au moins cinq bords droits. Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face

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