Triacontahedron rhombique – Wikipedia solides de Platon

Triacontaèdre rhombique
Rhombictriacontahedron.svg
(Cliquez ici pour le modèle rotatif)
type Solide catalan
Diagramme de Coxeter CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
notation Conway jD
type de visage V3.5.3.5

DU24 facets.png

rhombe

visages 30
bords 60
sommets 32
Verticales par type 20 3 12 5
Groupe de symétrie Jeh, H3(5.3), (* 532)
Groupe rotation I, (5.3)+, (532)
Dihedralvinkelen 144 °
propriétés convexe, isoèdre transitif facial, isotoxal, zonohédron
Icosidodecahedron.svg
icosidodécaèdre
(double polyèdre)
Filet de triacontaèdre rhombique
nett

En géométrie, le triacontaèdre rhombique, parfois juste appelé triacontaèdre comme il s’agit du polyèdre à trente faces le plus répandu, il s’agit d’un polyèdre convexe à 30 faces rhombiques. Il a 60 bords et 32 ​​coins de deux types. C'est un solide catalan et le double polyèdre d'icosidodécaèdre. C'est un zonohedron.

GoldenRhombus.svg
Un visage du triacontaèdre rhombique. longueurs
des diagonales sont dans le nombre d'or.

Cette animation montre une transformation d'un cube en triacontaèdre rhombique en divisant les faces carrées en 4 carrés et en divisant les bords du centre en nouvelles faces rhombiques.

Le rapport de la diagonale longue à la diagonale courte dans chaque face est exactement le même que le ratio d’or, φ, afin que les angles aigus de chaque face soient à la hauteur 2 bronzage-1(1/φ) = bronzage-1(2)ou environ 63,43 °. Un losange ainsi obtenu est appelé un losange doré.

Comme le double d’un solide archimédien, le triacontaèdre rhombique face-transitive, ce qui signifie que le groupe de symétrie fixe agit en transit sur l’ensemble des faces. Cela signifie que pour les deux surfaces, A et B, il y a une rotation ou une réflexion du solide laissant l'occupant dans la même zone, tout en déplaçant la face A vers la face B.

Le triacontaèdre rhombique est quelque chose de spécial quand il s’agit d’être un des neuf polyèdres convexes à transition de bord, l’autre étant les cinq solides platoniques, l’octaèdre cube, l’icosidodécaèdre et le dodécaèdre rhombique.

Le triacontaèdre rhombique est également intéressant en ce que les apex incluent l’arrangement de quatre solides platoniques. Il contient dix tétraèdres, cinq cubes, un icosaèdre et un dodécèdre. Les centres sur les faces contiennent cinq octaèdres.

Il peut être créé par octaèdre tronqué en divisant les faces hexagonales en 3 losanges:

dimensions(éditer)

Si la longueur du bord d'un triacontaèdre rhombique est un, la surface, le volume, le rayon d’une sphère inscrite (tangente à chacune des faces du triacontaèdre rhombique) et le rayon central qui touche le centre de chaque bord sont les suivants:(1)

φ est la relation en or.

La sphère est tangente aux faces des centroïdes faciaux. Les diagonales courtes appartiennent uniquement aux bords du dodécaèdre régulier inscrit, alors que les diagonales longues ne sont incluses qu'aux bords de l'icosaèdre inscrit.

dissection(éditer)

Le triacontaèdre rhombique peut être disséqué en 20 rhomboèdres dorés: 10 aigus et 10 obtus.(2)(3)

10 10
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Forme aiguë
Plat golden rhombohedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 7/76 / Flat_golden_rhombohedron.png / 120px-Flat_golden_rhombohedron.png "decoding =" async "width =" 120 "height = "76" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons sedan / 7/76 / Flat_golden_rhombohedron.png / 180px-Flat_golden_rhombohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons complete / 7 / 76 "Flat-golden_rhombohedron.png / 240px-Flat_golden_rhombohedron.png 2x" data-file-width = "901" data-file-height = "573
Moule moulé

Estimations orthogonales(éditer)

Le drone rhombique Triaconta a quatre positions de symétrie, deux centrées sur les coins, une centre et une centre. La projection "10" est construite avec le losange "gras" et le losange "maigre" qui forment un pavé pour produire le pavage non périodique, couramment appelé pavage de Penrose.

stellations(éditer)

Le drone roumain triaconta a 227 stellations entièrement pris en charge.(4)(5) Le nombre total de positions du drone rhombique Triaconta est de 358 833 097.

Polyèdres connexes(éditer)

Ce polyèdre fait partie d’une séquence de polyèdres rhombiques et de carreaux avec (n, 3) Symétrie du groupe éthers de coke. Le cube peut être vu comme un hexaèdre rhombique où les losanges sont aussi des rectangles.

6-cube(éditer)

Le triacontaèdre rhombique forme une coque convexe à 32 apex d'une projection d'un 6-cube à trois dimensions.

6Cube-QuasiCrystal.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 8/86 / 6Cube-QuasiCrystal.png / 240px-6Cube-QuasiCrystal.png "decoding =" async "width =" 240 "height =" 234 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons quand / 8/86 / 6Cube-QuasiCrystal.png / 360px-6Cube-QuasiCrystal.png 1.5x, //upload.wikimedia .org / wikipedia / commons / thumb / 8/86 / 6Cube-QuasiCrystal.png / 480px-6Cube-QuasiCrystal.png 2x "data-file-width =" 1376 "data-file-height =" 1342
Les vecteurs de base 3D (u, v, w) sont:

u = (1, φ, 0, -1, φ, 0)
v = (φ0, 1, φ, 0, -1)
w = (0, 1, φ, 0, -1, φ)
RhombicTricontrahedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 8/82 / RhombicTricontrahedron.png / 240px-RhombicTricontrahedron.png "décodage =" asynch "width =" 240 "height =" 234 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons depuis / 8/82 / RhombicTricontrahedron.png / 360px-RhombicTricontrahedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 8/82 / RhombicTricontrahedron.png / 480px-RhombicTricontrahedron.png 2x "data-file-width =" 1555 "data-file-height =" 1518
Montré avec les bords intérieurs cachés
20 angles internes sur 32 forment une chaîne de la mort et les 12 autres forment un icosaèdre.

Exemple d'utilisation d'un triacontaèdre rhombique dans la conception d'une lampe. IQ signifie «Quadrilaterals imbriqués».

Le designer danois Holger Strøm a utilisé le drone en losange triaconta comme base pour la conception de sa lampe à assembler IQ light (IQ pour "Interlocking Quadrilaterals").

Modèle STL d'une boîte triacontaédrique en losange composée de six panneaux entourant un trou cubique – zoomez sur le modèle pour voir le trou de l'intérieur.

La menuisière Jane Kostick construit des boîtes sous la forme d'un drone rhombique triaconta.(6) La construction simple est basée sur la relation peu évidente entre le drone rhombique Triaconta et le cube.

"Ball of Whacks" de Roger von Oech se présente sous la forme d'un triacontaèdre rhombique.

Le drone rhombique Triaconta est utilisé comme un dé à 30 faces "d30", parfois utile dans certains jeux de rôle ou ailleurs.

Voir aussi(éditer)

références(éditer)

  • Williams, Robert (1979). Le fondement géométrique de la structure naturelle: un livre source de conception. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  • Wenninger, Magnus (1983), Deux modèles, Cambridge University Press, doi: 10.1017 / CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 (Les treize polyèdres convexes semi-régulaires et leurs duels, page 22, triacontaèdre rhombique)
  • Les symétries des choses 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (3) (Chapitre 21, Dénomination et pavage de polyèdres catalans et archimental, page 285, Triacontaèdre rhombique)

Liens externes(éditer)


tout au long de votre voyage d’apprentissage des cristaux, vous avez sans doute rencontré des mots et des phrases étranges que vous n’auriez sans doute jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les robustes de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta forme après le lycée ! Alors, que sont exactement les robustes de Platon ? En matière simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les composants principaux ( terre, air, feu et eau ) étaient directement liés aux solides. il existe cinq robustes de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à le composant feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à l’élément de l’air. Les icosaèdres ( composés de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à le composant eau. Le dernier et souvent nommé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été nommé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à l’élément d’éther

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