Chaînes de la mort communes – Wikipedia | solides de Platon énergie

Chaînes de la mort commune
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(Cliquez ici pour le modèle rotatif)
type Platoniquement solide
éléments fa = 12, E = 30
V = 20 (χ = 2)
Visages sur les côtés 12 5
notation Conway
symbole Schläfli 5,3
Configuration visage V3.3.3.3.3
Symbole de Wythoff 3 | 2 5
Diagramme de Coxeter CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
symétrie Jeh, H3(5.3), (* 532)
Groupe rotation I, (5.3)+, (532)
références U23, C26, W5
propriétés plaine, convexe
Dihedralvinkelen 116.56505 ° = arccos (-1/5)
Dodécaèdre vertfig.png
5.5.5
(Toppunktfigur)
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Icosaèdre simple
(double polyèdre)
Dodécaèdre flat.svg
nett

Animation d'une grille d'une chaîne régulière (pentagonale) en cours de pliage

FR chaînes de la mort commune ou chaînes de la mort pentagonales est un dodécaèdre régulier, composé de douze faces pentagonales régulières, trois réunions à chaque sommet. C'est l'un des cinq solides platoniques. Il a 12 faces, 20 angles, 30 arêtes et 160 diagonales (60 diagonales de faces, 100 diagonales d’espace).(1) Il est représenté par le symbole Schläfli 5.3.

dimensions(éditer)

Si la longueur du bord d'un dodécaèdre régulier est un, est le rayon d’une sphère circonscrite (celle qui touche le dodécaèdre ordinaire à tous les sommets)

et le rayon d’une sphère inscrite (tangente à chacune des faces régulières du dodécèdre) est

tandis que le rayon central, qui touche le centre de chaque bord, est

Ces quantités peuvent également être exprimées en

φ est-ce relation en or.

Notez que compte tenu d'un dodécaèdre de la longueur de la frontière régulière, ru est le rayon d'une sphère circonscrite autour d'un cube de longueur d'arête φet rJe est la prothèse d'un pentagone régulier de longueur d'arête φ.

Surface et volume(éditer)

la surface FR et le volume V d'une chaîne d'œdème régulière avec une longueur d'arête un sont les suivants:

En outre, la surface et le volume d’un dodécèdre ordinaire sont liés relation en or. Un dodécaèdre avec une longueur d'arête d'un appareil possède les propriétés suivantes:(2)

Projections de symétrie bidimensionnelles(éditer)

ils chaînes de la mort commune a deux projections orthogonales spéciales, centrées sur les angles et les faces pentagonales, correspondant à A2 et H2Coxeter-mouche.

Estimations orthogonales
Centré par sommet Kant face
image Fichier A2 projection.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / e / e0 / Dodecahedron_A2_projection.svg / 160px-Dodecahedron_A2_projection.svg.png "decoding =" async "= 160" hauteur = "160" srcset = "// autorise upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/ Dodecahedron_A2_projection.svg / 240px-Dodecahedron_A2_projection.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikimedia.org/commons /e/e0/Dodecahedron_A2_projection.svg/320px-Dodecahedron_A2_projection.svg.png 2x "data-file-width =" 1000 "data-file-height =" 1000 Dodecahedron de.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 1/18 / Dodecahedron_t0_e.png / 160px-Dodecahedron_t0_e.png "decoding =" async "width =" 160 "height = "153" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons berline / 1/18 / Dodecahedron_t0_e.png / 240px-Dodecahedron_t0_e.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons également / 1 / 18 "Dodécaèdre_t0_f.png / 320px-Dodécaèdre_t0_f.png 2x" data-file-width = "941" data-file-height = "898 Dodecahedron H3 projection.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Summit / 7 / 7b / Dodecahedron_H3_projection.svg / 160px-Dodecahedron_H3_projection.svg.png "decoding =" 160 " height = "160" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons berline / 7 / 7b / Dodecahedron_H3_projection.svg / 240px-Dodecahedron_H3_projection.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Plus tard / 7 / 7b / Dodecahedron_H3_projection.svg / 320px-Dodecahedron_H3_projection.svg.png 2x "data-file-width =" 1024 "data-file-height =" 1024
projective
symétrie
((3)) = (6) (2) ((5)) = (10)

En projection en perspective, au-dessus d'une face pentagonale, le dodécaèdre ordinaire peut être vu comme un diagramme de Schlegel angulaire linéaire, ou une projection stéréographique comme un polyèdre sphérique. Ces projections servent également à afficher le polytop quadridimensionnel à 120 cellules en quatre dimensions, construit à partir de 120 dodécaèdres, et à le projeter en 3 dimensions.

Carrelage sphérique(éditer)

Le dodécaèdre ordinaire peut également être fabriqué sous forme de pavage sphérique.

Coordonnées cartésiennes(éditer)

Coordonnées tête-tête:
Les sommets orange sont situés sur (± 1, ± 1, ± 1) et forment un cube (lignes en pointillés).
Les sommets verts sont à (0, ±φ±1/φ) et forme un rectangle sur YZ-Plane.
Les sommets bleus sont à (±1/φ, 0, ±φ) et forme un rectangle sur XZ-Plane.
Les coins roses sont allumés (±φ±1/φ, 0) et forme un rectangle sur xy-Plane.
La distance entre les coins adjacents est 2/φ, et la distance entre l'origine et tout sommet est 3.
φ = 1 + 5/2 est la relation en or.

Les coordonnées cartésiennes suivantes définissent les 20 coins d'une chaîne d'origine commune centrée sur l'origine, correctement mise à l'échelle et orientée:(3)

(± 1, ± 1, ± 1)
(0, ±φ±1/φ)
1/φ, 0, ±φ)
φ±1/φ, 0)

φ = 1 + 5/2 est la relation d'or (également écrite) τ) ≈ 1,618. La longueur du bord est 2/φ = 5 – 1. Le rayon de cercle est 3.

Équations à facettes(éditer)

Comme la symétrie des coordonnées du sommet, les équations des douze facettes du dodécaèdre ordinaire montrent également une symétrie dans leurs coefficients:

x ± φy = ±φ2
y ± φz = ±φ2
z ± φx = ±φ2

propriétés(éditer)

  • L'angle diédral d'un dodécaèdre commun est de 2 arctans (φ) ou grossièrement 11656505117707798935157219372045° (où encore φ = 1 + 5/2, la relation en or). OEIS: A137218 Notez que la tangente de l'angle dièdre est exactement -2.
  • Si le dodécaèdre régulier d'origine a une longueur de bordure de 1, son double icosaèdre a une longueur de bordure φ.
  • Si les cinq solides platoniques sont construits avec le même volume, le dodécaèdre ordinaire possède les arêtes les plus courtes.
  • Il a 43 380 fils.
  • Le numéro de coloration de la carte des faces d'un dodécaèdre régulier est 4.
  • La distance entre les points d’angle de la même face qui ne sont pas connectés à un bord est φ fois la longueur du bord.
  • Si deux arêtes partagent un sommet commun, les points centraux de ces arêtes forment un triangle 36-72-72 avec le centre du corps.

Relations géométriques(éditer)

ils chaînes de la mort commune est la troisième partie d'un ensemble infini de trapèzohèdres tronqués pouvant être construits en découpant les deux coins axiaux d'un trapézoèdre pentagonal.

Les positions du dodécaèdre commun sont trois des quatre polyèdres de Kepler – Poinsot.

Une chaîne de mort régulière améliorée forme un icosidodécèdre.

La chaîne de la mort commune a écho symétrie écho Ih, Groupe Coxeter (5.3), ordre 120, avec une structure de groupe abstraite de FR5 x Z2.

Relation avec l'icosaèdre habituel(éditer)

Lorsqu'un dodécaèdre ordinaire est inscrit dans une sphère, il occupe plus de son volume (66,49%) qu'un icosaèdre inscrit dans la même sphère (60,54%).

Une chaîne ordinaire de longueur d'arête 1 a plus de trois fois et demie le volume d'un icosaèdre de même longueur d'arête (7 663 … par rapport à 2 181 …), rapport qui correspond à env. 351246117975ou exactement: 3/5(3φ +1 ou (1.8φ + 0,6).

Un dodécaèdre régulier a 12 faces et 20 sommets, tandis qu'un skieur iso régulier en a 20 et 12 sommets. Les deux ont 30 bords.

Relation avec le cube imbriqué(éditer)

Un cube peut être intégré à un dodécaèdre standard, attaché à huit de ses coins équidistants, dans cinq positions différentes.(4) En fait, cinq dés peuvent se chevaucher et se verrouiller ensemble dans le dodécaèdre régulier, ce qui donne un mélange de cinq cubes.

Le rapport entre le bord d'un dodécaèdre régulier et le bord d'un cube incorporé dans un tel dodécaèdre régulier est de 1: φ, ou (φ – 1): 1.

Le rapport entre le volume d'un dodécaèdre ordinaire et le volume d'un cube incorporé dans un tel dodécaèdre ordinaire est de 1: 2/2 + φou 1 + φ/2 : 1 ou (5 + 5): 4.

Par exemple, un cube intégré avec un volume de 64 (et une longueur d'arête de 4) sera imbriqué dans un dodécaèdre standard de volume 64 + 32.φ (et longueur de bordure de 4φ – 4).

Ainsi, la différence de volume entre le dodécaèdre régulier étendu et le cube fermé correspond toujours à la moitié du volume du temps de cube φ.

À partir de ces ratios, des formules simples pour le volume sont obtenues pour un dodécaèdre de longueur de bord régulière un en ce qui concerne le juste milieu:

V = (ÃÖ)3 · 1/4(5 + 5)
V = 1/4(14φ + 8)un3

Relation avec le rectangle d'or(éditer)

Les rectangles d'or avec le ratio (φ + 1): 1 et φ : 1 s'intègre également parfaitement dans une chaîne de la mort standard.(5) Par rapport à ce rectangle d'or est un cube fermé φ, quand la longue longueur du rectangle est φ + 1 (ou φ2) et la longueur courte est 1 (le bord est divisé avec un dodécaèdre régulier).

De plus, le milieu de chaque face du dodécaèdre régulier forme trois rectangles dorés se croisant.(6)

Relation avec le triacontaèdre rhombique et le cube de 6(éditer)

Projection de 6-demicube dans une enveloppe régulière avec la cathédrale

Il peut être projeté en 3D à partir du 6-démicube à 6 dimensions en utilisant les mêmes vecteurs de base qui forment la coque du drone rhombique Triaconta du 6-cube. Ici figurent les 12 coins intérieurs, qui ne sont pas reliés aux bords de la coque extérieure avec une longueur standard 6D 2, forme un icosaèdre ordinaire.

Vecteurs de base de projection 3D (u,v,w) sont utilisés:

u = (1, φ, 0, -1, φ, 0)
v = (φ, 0, 1, φ, 0, -1)
w = (0, 1, φ, 0, -1, φ)

Histoire et utilisation(éditer)

Source audio omnidirectionnelle

Un mur d'escalade composé de trois pièces de la cathédrale de la mort

Les objets dodécaédriques ordinaires ont trouvé des utilisations pratiques et ont également joué un rôle dans les arts visuels et la philosophie.

Iamblichus déclare qu'Hippasus, un pythagoricien, a péri dans la mer, parce qu'il s'est vanté d'avoir appelé pour la première fois "la sphère des douze pentagones".(7) en Théétète, dialogue de Platon, Platon pourrait prouver qu’il n’ya que cinq corps, même solides; ceux-ci sont devenus plus tard connus sous le nom de solides platoniques. En tant que personnalité du dialogue de Platon, Timaeus (environ 360 av. J.-C.) relie les quatre autres solides platoniciens aux quatre éléments classiques, ajoutant qu'il s'agit d'un cinquième motif solide qui, bien que souvent associé à le dodécaèdre régulier, n'est jamais directement mentionné en tant que tel; "Ce Dieu utilisé dans la délimitation de l'univers."(8)Aristote a également postulé que le ciel était constitué d'un cinquième élément, qu'il a appelé iciéther en latin, éther en anglais américain).

Des chaînes de mort régulières ont été utilisées comme jets de dés et probablement aussi comme lignes de division. Au cours de la période hellénistique, de petits bronzes creux de dodécaèdres romains ont été créés et ont été trouvés dans diverses ruines romaines en Europe. Le but n'est pas certain.

Dans l’art du XXe siècle, les dodécaèdres apparaissent dans les œuvres de M. C. Escher, telles que ses lithographies. reptiles (1943) et pesanteur (1952). Dans le tableau de Salvador Dali Sacrement de la Cène (1955) la pièce est une chaîne de la mort commune creuse. Gerard Caris a basé toute son œuvre artistique sur le dodécadron et le pentathlon habituels, présentés comme un nouveau mouvement artistique baptisé pentagonisme.

Dans les jeux de rôle modernes, le dodécaèdre régulier est souvent utilisé comme un dé à douze faces, un des dés polyhédral les plus répandus.

Certains quasi-cristaux ont une forme dodécaédrique (voir figure). On dit également que certains cristaux courants tels que le grenat et le diamant présentent une habitude de "dodécaèdre", mais cette déclaration se réfère en réalité à la forme rhodique de dodécaèdre.(9)

Immersive Media, un fabricant d'appareils photo, a créé la caméra Dodeca 2360, la première caméra au monde à mouvement intégral à 360 ° qui filme une vidéo haute résolution dans toutes les directions en même temps, avec plus de 100 millions de pixels par seconde ou 30 images par seconde. Il est basé sur les chaînes de la mort communes.

Le puzzle Megaminx Twists, ainsi que les analogues d'ordre plus grands et plus petits, se présente sous la forme d'un dodécadron régulier.

Dans le roman pour enfants Phantom Péage, le dodécaèdre régulier apparaît comme un personnage au pays des mathématiques. Chacun de ses visages a une expression différente – par exemple heureux, en colère, triste – alors qu'il se balance vers l'avant au besoin pour s'adapter à son humeur.

La forme de l'univers(éditer)

Différents modèles ont été proposés pour la géométrie globale de l'univers. Outre les géométries primitives, ces suggestions incluent la salle dodécaédrique de Poincaré, un espace courbé de manière positive constitué d’un dodécaèdre régulier dont les faces opposées correspondent (légèrement tordues). Cette proposition avait été proposée par Jean-Pierre Luminet et ses collègues en 2003,(10)(11) et une orientation optimale du ciel pour le modèle a été estimée en 2008.(12)

Dans l'histoire courte de Bertrand Russell datant de 1954, "Le cauchemar du mathématicien: la vision du professeur Squarepunt", le chiffre 5 disait: "Je suis le nombre de doigts sur ma main. Je fabrique des pentagones et des pentagones. Et pour moi, le dodécaèdre ne pouvait pas exister; et comme tout le monde le sait, l’univers est un dodécaèdre. Alors, pour moi, ce ne pourrait pas être un univers. "

Espace de remplissage avec cube et bilunabirotunda(éditer)

Site de remplissage de dodécaèdres habituel avec des cubes et des bilunabirotundae (solide Johnson 91), dans un rapport de 1 pour 1 à 3.(1. 3)(14) Le dodécaèdre constitue à lui seul une grille de pyritohèdres bord à bord. Les bilunabirotundae remplissent les trous rhombiques. Chaque cube rencontre six bilunabirotundae dans trois orientations.

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Modèle de bloc
Lune de Miel de Dodécaèdres Ordinaires-J91.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons pres de / 6 / 6d / Honeycomb_of_regular_dodecahedra-cubes-J91.png / 200px-Honeycomb_of_ regular_dodeces decoding = "async" width = "200" height = "200" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons Summit / 6 / 6d / Honeycomb_of_regular_dodecahedra-cubes-J91.png / 300px-Honeycomb_of_regular_dodecahed-cubes .png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / 6 / 6d / Honeycomb_of_regular_dodecahedra-cubes-J91.png / 400px- Honeycomb_of_regular_dodecahedra-cubes-J91.png 2x "data-file" = "1000" data-file = "1000 Dodecahedron lattice.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 0/01 / Dodecahedron_lattice.png / 200px-Dodecahedron_lattice.png "decoding =" async "width =" 200 "height =" 195 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons later / 0/01 / Dodecahedron_lattice.png / 300px-Dodecahedron_lattice.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 01 / Dodecahedron_lattice.png / 400px-Dodecahedron_lattice.png 2x "data-file-width =" 750 "data-file-height =" 731
Grille des chaînes de la mort
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6 bilunabirotundae autour d'un cube

Polyèdres et tuiles connexes(éditer)

Le dodécaèdre habituel est topologiquement lié à une série de dalles en forme de sommet n3.

Le dodécaèdre ordinaire peut être transformé par une séquence de troncature en son double icosaèdre:

The regular dodecahedron is a member of a sequence of otherwise non-uniform polyhedra and tilings, composed of pentagons with face configurations (V3.3.3.3.n). (For n > 6, the sequence consists of tilings of the hyperbolic plane.) These face-transitive figures have (n32) rotational symmetry.

Vertex arrangement(redigere)

The regular dodecahedron shares its vertex arrangement with four nonconvex uniform polyhedra and three uniform polyhedron compounds.

Five cubes fit within, with their edges as diagonals of the regular dodecahedron's faces, and together these make up the regular polyhedral compound of five cubes. Since two tetrahedra can fit on alternate cube vertices, five and ten tetrahedra can also fit in a regular dodecahedron.

Stellations(redigere)

The 3 stellations of the regular dodecahedron are all regular (nonconvex) polyhedra: (Kepler–Poinsot polyhedra)

Dodecahedral graph(redigere)

The skeleton of the dodecahedron (the vertices and edges) form a graph. It is one of 5 Platonic graphs, each a skeleton of its Platonic solid.

This graph can also be constructed as the generalized Petersen graph G(10,2). The high degree of symmetry of the polygon is replicated in the properties of this graph, which is distance-transitive, distance-regular, and symmetric. The automorphism group has order 120. The vertices can be colored with 3 colors, as can the edges, and the diameter is 5.(16)

The dodecahedral graph is Hamiltonian – there is a cycle containing all the vertices. Indeed, this name derives from a mathematical game invented in 1857 by William Rowan Hamilton, the icosian game. The game's object was to find a Hamiltonian cycle along the edges of a dodecahedron.

See also(redigere)

referanser(redigere)

  1. ^ Sutton, Daud (2002), Platonic & Archimedean Solids, Wooden Books, Bloomsbury Publishing USA, p. 55, ISBN 9780802713865.
  2. ^ Livio, Mario (2003) (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (First trade paperback ed.). New York City: Broadway Books. pp. 70–1. ISBN 0-7679-0816-3.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Icosahedral group". MathWorld.
  4. ^ http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/DodecahedronCube_700.gif
  5. ^ http://davidf.faricy.net/polyhedra/images/dodecarect.gif
  6. ^ http://www.toshen.com/images/dodecahedronwithgoldrectang.gif
  7. ^ Florian Cajori, A History of Mathematics (1893)
  8. ^ Plato, Timaeus, Jowett translation (line 1317–8); the Greek word translated as delineation is diazographein, painting in semblance of life.
  9. ^ Dodecahedral Crystal Habit Archived 12 April 2009 at the Wayback Machine
  10. ^ Dumé, Belle (Oct 8, 2003). "Is The Universe A Dodecahedron?". PhysicsWorld. Archived from the original on 2012-04-25.
  11. ^ Luminet, Jean-Pierre; Jeff Weeks; Alain Riazuelo; Roland Lehoucq; Jean-Phillipe Uzan (2003-10-09). "Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background". Natur. 425 (6958): 593–5. arXiv:astro-ph/0310253. Bibcode:2003Natur.425..593L. doi:10.1038/nature01944. PMID 14534579.
  12. ^ Roukema, Boudewijn; Zbigniew Buliński; Agnieszka Szaniewska; Nicolas E. Gaudin (2008). "A test of the Poincaré dodecahedral space topology hypothesis with the WMAP CMB data". Astronomy and Astrophysics. 482 (3): 747. arXiv:0801.0006. Bibcode:2008A&A…482..747L. doi:10.1051/0004-6361:20078777.
  13. ^ http://demonstrations.wolfram.com/DodecahedronAndBilunabirotunda/
  14. ^ http://www.lcv.ne.jp/~hhase/memo/m09_08b.html
  15. ^ Frucht, Roberto (1936–1937), "Die gruppe des Petersen'schen Graphen und der Kantensysteme der regulären Polyeder", Comment. Math. Helv., 9: 217–223, doi:10.5169/seals-10183
  16. ^ Weisstein, Eric W. "Dodecahedral Graph". MathWorld.

External links(redigere)

En observant les relations entre les solides de Platon, il est possible de remarquer que l’icosaèdre est l’inverse précis du dodécaèdre. C’est-à-dire, si vous connectez les échelons centraux des douze pentagones qui constituent l’élément éthérique, vous aurez créé les 12 coins de l’icosaèdre aqueux. nC’est intrigant car ce que nous avons pu observer jusqu’à présent de l’éther indique qu’il se comporte effectivement comme un fluide. Certes, la mesure et l’observation de l’éther s’est vérifiée assez difficile jusqu’à présent, en raison de son omniprésence. Comment mesurer quelque chose dont on ne peut s’échapper ? Et si nous ne pouvons pas le mesurer, de quelle façon pouvons-nous être sûrs qu’il existe ? nNous avons peu de mal à mesurer les autres éléments : la masse cinétique de la terre ; les critiques artificiels rendues solubles par l’eau ; la chaleur rayonnante du feu ; les volts du vent électrique. Celles-ci s’observent relativement facilement, ‘ continuellement ouvertes à notre regard ‘ comme elles le font. Mais l’éther super délicat échappe à une détection facile. ‘ n

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