Symétrie tétraédrique – Wikipedia | solides de Platon spirituel

Groupe de symétrie 3D

Groupes de points en trois dimensions
Sphère symétrie groupe cs.png
Symétrie involontaire
Cs, (*)
() = CDel node c2.png
Groupe de symétrie sphérique c3v.png
Symétrie cyclique
CNevada, (* nn)
(n) = CDel node c1.pngCDel n.pngCDel node c1.png
Groupe de symétrie sphérique d3h.png
Dihedromsymmetri
New Hampshire, (* n22)
(n, 2) = CDel node c1.pngCDel n.pngCDel node c1.pngCDel 2.pngCDel node c1.png
Groupe polyhédral, (n, 3), (* n32)
Groupe de symétrie sphérique td.png
Symétrie tétraédrique
T(* 332)
(3,3) = CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
Groupe de symétrie sphérique oh.png
Octahedrelsymmetri
Oh(* 432)
(4.3) = CDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
Groupe de symétrie sphérique ih.png
Symétrie icosaédrique
Jeh(* 532)
(5.3) = CDel node c2.pngCDel 5.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c2.png

Un tétraèdre ordinaire, exemple de solide à symétrie tétraédrique complète

Un tétraèdre conventionnel a 12 symétries de rotation, ou une séquence de symétrie de 24 incluant des transformations qui combinent une réflexion et une rotation.

Le groupe de toutes les symétries est isomorphe pour le groupe S4, groupe symétrique de permutations de quatre objets, car il existe exactement une telle symétrie pour chaque permutation des sommets du tétraèdre. L'ensemble des symétries préservant l'orientation forme un groupe appelé sous-groupe alternatif A4 par S4.

détails(éditer)

chirale et plein (ou symétrie tétraédrique achirale et symétrie pyritohédrique) sont des symétries ponctuelles discrètes (ou des symétries équivalentes de la sphère). Ils font partie des groupes de points cristallographiques du système cristallin cubique.

Gyrasjonsakser
C3
Purple Fire.svg
C3
Defence Red Triangle.svg
C2
Rhomb.svg
2 2 3

En projection stéréographique, les bords de l'hexaèdre de tetrakis forment 6 cercles (ou lignes radiales centrales) dans le plan. Chacun de ces 6 cercles représente une ligne de miroir en symétrie tétraédrique. L'intersection de ces cercles se rencontre aux points d'ordre 2 et 3 de giration.

orthogonal Projections stéréographiques
4 fois 3 fois 2 fois
Symétrie tétraédrique chirale, T, (332), (3.3)+ = (1+, 4.3+) Noeud CDel h2.pngCDel 3.pngNoeud CDel h2.pngCDel 3.pngNoeud CDel h2.png = Noeud CDel h0.pngCDel 4.pngNoeud CDel h2.pngCDel 3.pngNoeud CDel h2.png
Groupe de symétrie sphérique t.png Tetrakis hexaèdre stéréographique D4 gyrations.png Tetrakis hexaèdre stéréographique D3 gyrations.png Tetrakis hexaèdre stéréographique D2 gyrations.png
Symétrie pyritoédrique, th, (3 * 2), (4,3+) CDel node c2.pngCDel 4.pngNoeud CDel h2.pngCDel 3.pngNoeud CDel h2.png
Groupe de symétrie Sphère th.png Disdyakis dodecahedron stereographic D4 pyritohedral.png Disdyakis dodecahedron stereographic D3 pyritohedral.png Disdyakis dodecahedron stereographic D2 pyritohedral.png
Symétrie tétraédrique achirale, T, (* 332), (3.3) = (1+4.3), CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png = Noeud CDel h0.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
Groupe de symétrie sphérique td.png Tetrakis hexahedron stereographic D4.png Tetrakis hexahedron stereographic D3.png Tetrakis hexaèdre stéréographique D2.png

Symétrie tétraédrique chirale(éditer)

Groupe de symétrie sphérique t.png
Le groupe de rotation tétraédrique T avec le domaine de base; pour triakis tetrahedron, voir ci-dessous, ce dernier est un visage intégral
Groupe tétraédrique 2.svg
Un tétraèdre peut être placé dans 12 positions différentes uniquement par rotation. Celles-ci sont illustrées ci-dessus dans le format graphique de cycle, avec le bord à 180 ° (flèches bleues) et le sommet à 120 ° (flèches rouges) qui font pivoter le tétraèdre à travers ces positions.
Tetrakishexahedron.jpg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 6/61 / Tetrakishexahedron.jpg / 150px-Tetrakishexahedron.jpg "decoding =" async "width =" 150 "height =" 156 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons let / 6/61 / Tetrakishexahedron.jpg / 225px-Tetrakishexahedron.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons late / 6/61 /Tetrakishexahedron.jpg/300px-Tetrakishexahedron.jpg 2x "data-file-width =" 736 "data-file-height =" 767 "/><br />Dans l'hexaèdre tetrakis, un visage complet est un domaine de base. d’autres solides de même symétrie peuvent être obtenus en ajustant l’orientation des faces, par ex. Sélectionnez un sous-ensemble plat de faces pour combiner chaque sous-ensemble en une seule face ou remplacez chaque face par plusieurs faces ou une surface courbe.
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p><i><b>T</b></i>, <b>332</b>, (3.3)<sup>+</sup>ou <b>23</b>, de l'ordre 12 – <b>chirale</b> ou <b>symétrie tétraédrique rotationnelle</b>. Il existe trois axes de rotation orthogonaux à 2 volets, tels que la symétrie chirale dièdre <i>ré</i><sub>2</sub> ou 222, avec quatre autres axes triples, centrés <i>entre</i> les trois directions orthogonales. Ce groupe est isomorphe pour <i>FR</i><sub>4</sub>, le groupe alternant de 4 éléments; en fait, il existe le groupe des permutations uniformes des quatre axes à 3 volets: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (143), (243), ( 12) (34), (13) (24), (14) (23).
</p>
<p>Les classes de conjugaison de T sont:
</p>
<ul>
<li>identité</li>
<li>4 × rotation à 120 ° dans le sens des aiguilles d'une montre (vue d'un sommet): (234), (143), (412), (321)</li>
<li>4 × rotation à 120 ° dans le sens antihoraire (idem)</li>
<li>3 × rotation à 180 °</li>
</ul>
<p>Les rotations à 180 °, ainsi que l'identité, forment un sous-groupe normal de type Dih<sub>2</sub>, avec groupe de quotient de type Z<sub>3</sub>. Les trois éléments de ce dernier sont l'identité, "rotation dans le sens des aiguilles d'une montre" et "rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre", les permutations correspondantes des trois axes orthogonaux doubles, et conservent l'orientation.
</p>
<p>FR<sub>4</sub> est le plus petit groupe qui démontre que la conversation avec le théorème de Lagrange n'est pas vraie en général: à partir d'un groupe limité <i>sol</i> et un diviseur <i>ré</i> av |<i>sol</i>|, il n’existe pas nécessairement un sous-ensemble de <i>sol</i> avec ordre <i>ré</i>: le groupe <span class=sol = Un4 n'a pas de sous-groupe d'ordre 6. Bien qu'il s'agisse d'une propriété du groupe abstrait en général, cela ressort clairement du groupe d'isométrie de symétrie tétraédrique chirale: à cause de la chiralité, le sous-groupe devra être C6 ou D3, mais ne s'applique pas non plus.

Sous-groupes de symétrie tchirédrique chirale(éditer)

Sous-ensembles de symétrie tétraédrique chirale

Symétrie tétraédrique achirale(éditer)

Le groupe tétraédrique complet T avec domaine de base

T, * 332, (3.3) ou 43m, d'ordre 24 – achiral ou symétrie tétraédrique complète, également connu sous le nom de groupe triangle (2,3,3). Ce groupe a le même axe de rotation que T, mais avec six plans de miroir, chacun suivant deux axes de 3 fois. Les deux axes sont maintenant S4 (4) les axes. T et O sont isomorphes en tant que groupes abstraits: ils correspondent tous deux à S4, le groupe symétrique de 4 objets. T est le composé T et l’ensemble obtenu en combinant chaque élément de O T avec inversion. Voir aussi les isométries du tétraèdre ordinaire.

Les classes conjuguées de T sont les suivants:

  • identité
  • 8 × rotation à 120 ° (C3)
  • 3 × rotation à 180 ° (C2)
  • 6 × réflexion dans un plan passant par deux axes de rotation (Cs)
  • 6 × réflexion du rotor 90 ° (S4)

Sous-groupes de symétrie tétrasédrique achirale(éditer)

Sous-groupes tétraédriques achiraux

Symétrie pyritoédrique(éditer)

Le groupe pyritohèdre Th avec domaine de base

Les coutures d'un ballon de volley ont une symétrie pyritoédrique

Th, 3 * 2, (4.3+) ou m3, de l'ordre 24 – symétrie pyritohédrique. Ce groupe a le même axe de rotation que T, avec un plan de miroir passant par deux des directions orthogonales. Les axes 3 fois sont maintenant S6 (3), et c’est une symétrie d’inversion centrale. Th est isomorphe à T × Z2: chaque élément de Th est soit un élément de T, soit une combinaison d'inversion. Outre ces deux sous-groupes normaux, il existe également un sous-groupe normal D2h (celle d'un cuboïde), du type Dih2 × Z2 = Z2 × Z2 × Z2. C’est un produit direct du sous-groupe normal de T (voir ci-dessus) avec CJe. Le groupe de quotient est le même que ci-dessus: type Z3. Les trois éléments de ce dernier sont l'identité, "rotation dans le sens des aiguilles d'une montre" et "rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre", les permutations correspondantes des trois axes orthogonaux doubles, et conservent l'orientation.

C'est la symétrie d'un cube avec de chaque côté un segment de droite divisant la face en deux rectangles égaux, de sorte que les segments de droite des surfaces adjacentes ne se rejoignent pas au bord. Les symétries correspondent aux permutations uniformes des diagonales du corps et aux mêmes combinées avec une inversion. Il existe également la symétrie d'un pyritohèdre, qui est extrêmement similaire au cube décrit, chaque rectangle étant remplacé par un pentagone avec un axe de symétrie et 4 côtés égaux et 1 côté différent (celui correspondant au segment de droite divisant la face du cube); c'est-à-dire que les faces du cube sont bombées à la ligne de séparation et deviennent plus étroites là-bas. Il s'agit d'un sous-ensemble de l'ensemble du groupe de symétrie icosahèdre (en tant que groupe d'isométrie, et non simplement en tant que groupe abstrait), avec 4 des 10 axes de 3 fois.

Les classes conjuguées de Th comprend ceux de T, avec les deux classes de 4 combinées et chacune avec inversion:

  • identité
  • 8 × rotation à 120 ° (C3)
  • 3 × rotation à 180 ° (C2)
  • inversion (S2)
  • 8 × réflexion du rotor à 60 ° (S6)
  • 3 × réflexion dans un plan (Cs)

Sous-groupes de symétrie pyritohédrique(éditer)

Solides de symétrie tchéthrédrique chirale(éditer)

Snub tetrahedron.png
Icosaèdre coloré comme un tétraèdre obstiné a symétrie chirale.

Solides de pleine symétrie tétraédrique(éditer)

Voir aussi(éditer)

références(éditer)

  • Peter R. Cromwell, polyèdres (1997), p. 295
  • Les symétries des choses 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
  • Kaléidoscope: auteurs sélectionnés de H.S.M. Coxeter, édité par F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, publication Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 (1)
  • N.W. Johnson: Géométries et transformations(2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapitre 11: Groupes de symétrie finaux, 11.5 Groupes d'éther de coke sphériques

Liens externes(éditer)

Les anciennes cultures néolithiques ont gravé des images des composants de la nature sur des boules de pierre pendant un millier d’années avant qu’elles ne soient renommées sous l’appelation de robustes platoniques. Les philosophes et les mathématiciens grecs ont étudié l’idée des formes primaires. Certains attribuent leurs sources à Pythagore ( 570-495 av. J. -C. ), Empedocle ( 490-430 av. J. -C. ) ou Theaetetus ( 417-369 av. J. -C. ). Platon ( 424-347 av. J. -C. ), un étudiant de Socrate, en a beaucoup parlé dans son dialogue avec Timée. Il les a décrits comme les éléments constitutifs de la vie représentés par les 4 composants que sont la terre, l’eau, le feu et l’air. Aristote a identifié un cinquième élément qu’il a appelé Aether. Euclide ( 323-283 av. J. -C. ) les réunit, les nomme les Solides de Platon et leur donne des descriptions mathématiques précises dans son bouqin Elements. Ce large corpus de connaissances est passé pratiquement sous terre jusqu’à ce que Johannes Kepler ( 1571-1630 ), un astronome allemand, considère la sphère comme un container pour chacun des cinq solides de Platon. Il a aussi essayé de rattacher les solides aux six planètes connues de Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne. En forme euclidienne, un solide de Platon est défini comme un polyèdre fréquent et convexe, dont les faces sont des polygones réguliers et congruents, avec le même nombre de faces se rencontrant à chaque plus haut qui s’inscrivent dans une sphère. Empedocle voyait la passion comme le pouvoir qui attire ces formes ensemble mais la bataille les sépare. Les composants ont inspiré l’art, la science et l’assimilation de la classe de notre monde. n

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